同济第三版-高数-(3.0) 第三章 节目录同济第三版-高数-

0
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 1 步骤: 步骤 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞, 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞ 求 lim x − 2e x . ( 0⋅ ∞ ) 例7 x → +∞
→ +∞
解
e e e 原式 = lim 2 = lim = lim = +∞ . x → +∞ x x → +∞ 2 x x → +∞ 2
1 x 1 x
2
=e
x →0+
lim x ln x
=e
ln x x →0+ 1 x lim
=e
x→0+
lim − x
= e 0 = 1.
例10 解
求 l
=e .
=e
ln x x →11− x lim
原式 = lim e
x →1
x →0
1 ln x 1− x
+
tan x . 例5 求 lim π x → tan 3 x
2
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim π 3 sec 2 3 x 3 x → π cos 2 x x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π − 2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x
1 1 1 2、 3、 4、 5、 二、1、 ； 2、1； 3、 ； 4、 ； 5、1 ； 2 8 2
6、 6、1； 三、连续. 连续. 7、 7、e
− 2 π.
0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞
定义
如果当 x → a (或 x → ∞) 时，两个函数

同济高数第3章课件第5节
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目录
引言 知识点一：函数的概念与性质 知识点二：函数的极限 知识点三：函数的导数 知识点四：微分概念与运算 知识点五：习题解析与解答
01
引言
极限是微积分中的基本概念之一，对于理解函数的变化趋势和导数、积分等概念具有重要意义。
本节内容分为三个部分：函数极限的定义、极限的性质和求极限的方法。
公式法
利用微分近似计算公式，如泰勒级数展开式进行近似计算。
近似计算
微分是积分的基础，通过微分可以计算定积分和不定积分。
微分与积分的关系
微分的计算
极值问题
利用微分确定函数的极值点，从而解决最优化问题。
导数的几何意义
利用微分计算切线斜率，从而确定函数图像的增减性。
近似计算
利用微分进行近似计算，如求曲线上某一点的切线斜率、求解函数的近似值等。
函数的单调性
如果对于定义域内的任意两个数x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在其定义域上单调递增；反之，如果对于定义域内的任意两个数x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在其定义域上单调递减。
函数的性质
根据函数值是否有限，可以将函数分为有界函数和无界函数。
有界函数与无界函数
导数的定义与性质
掌握一些常用的基本初等函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等。
基础导数公式
导数的四则运算
复合函数的导数
掌握导数的四则运算规则，包括加法、减法、乘法和除法运算的导数法则。
掌握复合函数的导数计算方法，能够利用链式法则求得复合函数的导数。
03
02
01
导数的计算

使得曲线在该点处的
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论 定理 拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数 对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题， 而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值 定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点 处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性 质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分 学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成， 它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中 值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些 定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间 内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系 列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起 着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式 不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性， 每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式 的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样 的
曲
线
y f x
弧
没
f a

f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3

9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.