二项式定理 概 念 篇
【例1】求二项式(a －2b )4
的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开.
解：根据二项式定理得(a －2b )4
=C 04a 4
+C 14a 3
(－2b )+C 24a 2
(－2b )2
+C 34a (－2b )3
+C 4
4(－
2b )4
=a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4.
说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略.
【例2】展开(2x －
223x
)5
. 分析一：直接用二项式定理展开式.
解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 2
5(2x )3(－2
23x
)2+C 35(2x )2(－223x
)3
+ C 45 (2x )(－
223x )4+C 55(－223x
)5
=32x 5－120x 2+x 180
－4135x +78405x －10
32243x .
分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
解法二：(2x －223x
)5=105
332)34(x x
=10
321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5
］
=
10
321x
(1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3
－243) =32x 5－120x 2+x 180
－4135x +78405x －10
32243x
. 说明：记准、记熟二项式(a +b )n
的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.
【例3】在(x －3)10
的展开式中，x 6
的系数是 .
解法一：根据二项式定理可知x 6
的系数是C 4
10.
解法二：(x －3)10
的展开式的通项是T r +1=C r 10x
10－r
(－3)r
.
令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6
项为第5项，即T 4+1=C 410x 6
(－3)4
=9C 410x 6
. ∴x 6
的系数为9C 410.
上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢
问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6
的二项式系数，所以应是解法二正确.
如果问题改为求含x 6
的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4
10.
说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
【例4】已知二项式(3x －
x
32)10
， (1)求其展开式第四项的二项式系数； (2)求其展开式第四项的系数； (3)求其第四项.
分析：直接用二项式定理展开式.
解：(3x －x 32)10的展开式的通项是T r +1=C r
10(3x )10－r (－x
32)r (r =0，1，…，10).
(1)展开式的第4项的二项式系数为C 3
10=120.
(2)展开式的第4项的系数为C 3
1037
(－
32)3
=－77760. (3)展开式的第4项为－77760(x )7
31x
，即－77760x .
说明：注意把(3x －
x 32)10写成［3x +(－x 32)］10
，从而凑成二项式定理的形式. 【例5】求二项式(x 2
+x
21)10的展开式中的常数项.
分析：展开式中第r +1项为C r
10(x 2)10－r (x
21)r ，要使得它是常数项，必须使“x ”的指
数为零，依据是x 0
=1，x ≠0.
解：设第r +1项为常数项，则
T
r +1=C r 10(
x 2)
10－r
(
x
21)
r
=C r 10
x r 2
520-(
21)r (r =0，1，…，10)，令20－2
5
r =0，得r =8. ∴T 9=C 8
10(
21)8=256
45
. ∴第9项为常数项，其值为
256
45
. 说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r +1
中的变元的指数为零的方法求得常数项.
【例6】 (1)求(1+2x )7
展开式中系数最大项；
(2)求(1－2x )7
展开式中系数最大项.
分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.
解：(1)设第r +1项系数最大，则有?????≥≥++--,
2C 2C ,
2C 2C 11771177r r r r r r r r
即????
???--+≥-+--≥---,2!)17(!)1(!72!
)7(!!7,2!)17(!)1(!72!)7(!!711
r r r r r r r r r r r r
化简得???
???
?≥≤???????+≥--≥.313,316
.1271,812r r r r r r 解得又∵0≤r ≤7，∴r =5.
∴系数最大项为T 6=C 5725x 5
=672x 5
.
(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取
得.又因(1－2x )7
括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大
值必在中间或偏右，故只需比较T 5和T 7两项系数的大小即可.6
67447)2(C )2(C --=17
3
7C 4C ＞1，所以系数最大项为第五项，即T 5=560x 4
.
说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.
【例7】 (1+2x )n
的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.
解：T 6=C 5n (2x )5
，T 7=C 6n (2x )6
，依题意有C 5n 25
=C 6
n 26
，解得n =8. (1+2x )8
的展开式中，
二项式系数最大的项为T 5=C 4n (2x )4
=1120x 4
.
设第r +1项系数最大，则有?????≥≥++--.2C 2C ,
2C 2C 1177
1
177r r r r r r r r
∴5≤r ≤6.∴r =5或r =6. ∴系数最大的项为T 6=1792x 5，T 7=1792x 6
.
说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.
应 用 篇
【例8】若n ∈N *
，(2+1)n
=2a n +b n (a n 、b n ∈Z )，则b n 的值( ) A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.与b n 的奇偶性相反
D.与a 有相同的奇偶性
分析一：形如二项式定理可以展开后考查.
解法一：由(2+1)n =2a n +b n ，知2a n +b n =(1+2)n
=C 0n +C 1
n
2+C 2n (2)2
+C 3n (2)3
+ … +C n
n (2)n
.
∴b n =1+C 2n (2)2
+C 4
n (2)4
+ …
∴b n 为奇数. 答案：A
分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法. 解法二：n ∈N *
，取n =1时，(2+1)1
=(2+1)，有b 1=1为奇数. 取n =2时，(2+1)2
=22+5，有b 2=5为奇数.
答案：A
【例9】若将(x +y +z )10
展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为( ) B.33
分析：(x +y +z )10
看作二项式10
)(］［z y x ++展开.
解：我们把x +y +z 看成(x +y )+z ，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x +y +z )10
=
10
)(］［z y x ++=
∑=10
10
C
k k
(x +y )
10－k z k
.
这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式(x +y )
10－k
展开，不
同的乘积C k
10(x +y )
10－k z k
(k =0，1，…，10)展开后，都不会出现同类项.
下面，再分别考虑每一个乘积C k
10(x +y )
10－k z k
(k =0，1，…，10).
其中每一个乘积展开后的项数由(x +y )10－k
决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+…+1=66.
答案：D
说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.
【例10】求(｜x ｜+|
|1x －2)3
展开式中的常数项.
分析：把原式变形为二项式定理标准形状. 解：∵(｜x ｜+
||1x －2)3=(||x －|
|1x )6
， ∴展开式的通项是T r +1=C r
6(||x )
6－r
(－
|
|1x )r =(－1)r C r 6(||x )6－2r
. 若T r +1为常数项，则6－2r =0，r =3.
∴展开式的第4项为常数项，即T 4=－C 36=－20.
说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解. 【例11】求(x －3x )9
展开式中的有理项.
分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x 的指数为整数的项.
解：∵T r +1=C r 9
(x 2
1)
9－r
(－x 3
1
)r =(－1)
r
C r 9
x
6
27r -.
令
627r -∈Z ，即4+63r
-∈Z ，且r =0，1，2，…，9. ∴r =3或r =9.
当r =3时，
627r -=4，T 4=(－1)3C 39x 4=－84x 4
. 当r =9时，6
27r -=3，T 10=(－1)9C 99x 3=－x 3
.
∴(x －3x )9
的展开式中的有理项是第4项－84x 4
，第10项－x 3
.
说明：利用二项展开式的通项T r +1可求展开式中某些特定项.
【例12】若(3x －1)7=a 7x 7+a 6x 6
+ … +a 1x +a 0，求 (1)a 1+a 2…+a 7； (2)a 1+a 3+a 5+a 7； (3)a 0+a 2+a 4+a 6.
分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决.
解：(1)令x =0，则a 0=－1，令x =1，则a 7+a 6+ … +a 1+a 0=27
=128.
①
∴a 1+a 2+…+a 7=129.
(2)令x =－1，则a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=(－4)7
.
②
由
2)2()1(-得：a 1+a 3+a 5+a 7=21［128－(－4)7
］=8256. (3)由2)2()1(+得a 0+a 2+a 4+a 6=2
1［128+(－4)7
］=－8128.
说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.
(2)一般地，对于多项式g (x )=(px +q )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7
，g (x )各项的
系数和为g (1)，g (x )的奇数项的系数和为21［g (1)+g (－1)］，g (x )的偶数项的系数和为
2
1
［g (1)－g (－1)］.
【例13】证明下列各式
(1)1+2C 1n +4C 2
n + … +2
n －1
C 1-n n +2n
C n
n =3n
；
(2)(C 0n )2
+(C 1n )2
+ … +(C n n )2
=C n
n 2； (3)C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n n =n 2
n －1
.
分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通项寻求规律.
证明：(1)在二项展开式(a +b )n
=C 0n a n
+C 1n a
n －1
b +C 2n a n －2b 2+ … +C 1
-n n ab n －1+C n n b n 中，
令a =1，b =2，得(1+2)n
=1+2C 1n +4C 2
n + … +2n －1
C 1-n n +2n
C n
n ，即
1+2C 1n +4C 2n + … +2
n －1
C 1-n n +2n
C n
n =3n
.
(2)(1+x )n
(1+x )n
=(1+x )2n
，
∴(1+C 1n x +C 2n x 2
+ … +C r n x r + … +x n )(1+C 1n x +C 2n x 2+ … +C r
n x r + … +x n )=(1+x )2n
.
而C n n 2是(1+x )2n
的展开式中x n
的系数，由多项式的恒等定理，得
C 0n C n n +C 1n C 1-n n + … +C 1n C 1-n n +C n n C 0n =C n n 2. ∵C m n =C m n n
-，0≤m ≤n ， ∴(C 0n )2
+(C 1n )2
+ … +(C n n )2
=C n n 2.
(3)证法一：令S =C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n n .
①
令S =C 1n +2C 2n + … +(n －1)C 1-n n +n C n
n =n C n n +(n －1)C 1-n n + … +2C 2n +C 1n =n C n n +(n －1)C 1n + … +2C 2-n n +C 1-n n .
②
由①+②得2S =n C 1n +n C 2n +n C 3n + … +n C n n =n (C n n +C 1n +C 2n +C 3n + … +C n n ) =n (C 0n +C 1n +C 2n +C 3n + … +C n n )=n 2n
.
∴S =n 2
n －1，即C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n
n =n 2
n －1
. 证法二：观察通项：k C k n =k 1
1C !
)(!)1(!)1(!)(!--=---=-k n n k n k n n k n k n .
∴原式=n C 01-n +n C 11-n +n C 21-n +n C 31-n + … +n C 11--n n =n (C 01-n +C 11-n +C 21-n +C 31-n +…+C 1
1--n n )=n 2
n
－1
，
即C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n n =n 2
n －1
.
说明：解法二中k C k n =n C 11--k n 可作为性质记住. 【例14】求精确到的近似值.
分析：准确使用二项式定理应把拆成二项之和形式如=2－.
解：=(2－5
=25
－15+25－3
5+…
≈32－+≈.
说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.
【例15】求证：5151
－1能被7整除.
分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.
证明：5151
－1=(49+2)51
－1=C 0514951
+C 1514950
2+ … +C 505149·250
+C 51
51251
－1，
易知除C 5151251
－1以外各项都能被7整除.
又251
－1=(23)17
－1=(7+1)17
－1=C 017717
+C 117716
+ … +C 16177+C 1717－1=7(C 017716
+C 117715
+…
+C 1617).
显然能被7整除，所以5151
－1能被7整除. 说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.
创 新 篇
【例16】已知(x lg x
+1)n
的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为20000.求x . 分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！
解：由已知C n n +C 1-n n +C 2
-n n
=22，即n 2
+n －42=0. 又n ∈N *
，∴n =6. T 4为中间一项，T 4=C 36 (x lg x )3=20000，即(x lg x )3=1000. x lg x =10.
两边取常用对数，有lg 2
x =1，lg x =±1，∴x =10或x =10
1.
说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.
【例17】设f (x )=(1+x )m +(1+x )n (m ，n ∈N *
)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为
11，问m ，n 为何值时，含x 2
项的系数取最小值并求这个最小值.
分析：根据已知条件得到x 2
的系数是关于x 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.
解：C 1m
+C 1n
=n +m
=11. C 2m +C 2n
=2
1(m 2－m +n 2
－n )=21122-+n m ，
∵n ∈N *
，
∴n =6或5，m =5或6时，x 2
项系数最小，最小值为25. 说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题.
【例18】若(x +
x
1－2)n
的展开式的常数项为－20，求n . 分析：题中x ≠0，当x ＞0时，把三项式(x +x 1－2)n
转化为(x －x
1)2n ；当x ＜0时，
同理(x +x 1－2)n =(－1)n
(x －x
1)2n .然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n .
解：当x ＞0时，(x +x 1－2)n
=(x －x
1)2n ，
其通项为T r +1=C r n 2(x )2n －r (－x
1)r =(－1)r C r n 2(x )
2n －2r
. 令2n －2r =0，得n =r ，∴展开式的常数项为(－1)r
C n n 2；
当x ＜0时，(x +
x 1－2)n =(－1)n (x －x
1)2n .同理可得，展开式的常数项为(－1)r
C n n 2. 无论哪一种情况，常数项均为(－1)r
C n n 2.
令(－1)r
C n n 2=20.以n =1，2，3，…，逐个代入，得n =3.
说明：本题易忽略x ＜0的情况.
【例19】利用二项式定理证明(32)n －1＜1
2
+n .
分析：
12+n 不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数2
1
+n . 证明：欲证(32)n －1＜12+n 成立，只需证(23)n －1＜2
1
+n 成立.
而(23)n －1=(1+21)n －1=C 01-n +C 11-n 21+C 21-n (21)2+ … +C 11--n n (
21)n －1
=1+21-n +C 21-n (21)2+ … +C 11--n n (
21)n －1
＞2
1+n .
说明：本题目的证明过程中将(23)n －1转化为(1+2
1)n －1
，然后利用二项式定理展开式是
解决本问题的关键.
【例20】求证：2≤(1+n
1)n ＜3(n ∈N *
).
分析：(1+n
1)n
与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析.
证明：当n =1时，(1+n
1)n
=2.
当n ≥2时，(1+n 1)n =1+C 1n n 1+C 2n 21n + … +C n n (n 1)n =1+1+C 2n 21n
+ … +C n n (n 1)n ＞2. 又C k n
(n 1)k =k
n k k n n n !)
1()1(+--Λ≤!1k ， 所以(1+n 1)n ≤2+!21+!31+ … +!1n ＜2+211?+3
21
?+ … +n n ?-)1(1
=2+(1－21)+(21－31)+ … +(11-n －n
1) =3－
n
1
＜3. 综上有2≤(1+
n
1)n
＜3. 说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.
【例21】求证：对于n ∈N *
，(1+n 1)n ＜(1+1
1+n )n +1.
分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法.
证明：(1+n 1)n 展开式的通项T r +1=C r n r n 1=r
r n n r A !
=
!1r r
n r n n n n )
1()2)(1(+---Λ =!1r (1－n 1)(1－n 2)…(1－n
r 1-). (1+11+n )n +1展开式的通项T ′r +1=C r n 1+r
n )1(1+=r
r n n r )1(!A 1++ =
!1r r
n r n n n n )
1()2)(1(+---Λ =!1r (1－11+n )(1－12+n )…(1－1
1+-n r ). 由二项式展开式的通项可明显地看出T r +1＜T ′r +1
所以(1+
n 1)n ＜(1+1
1+n )n +1
说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同.证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.
【例22】设a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列，n ∈N *，求证：a n +c n
＞2b n
.
分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a 、b 、c 成等差数列创造条件使用二项式定理.
证明：设公差为d ，则a =b －d ，c =b +d .
a n +c n －2
b n =(b －d )n +(b +d )n －2b n
=［b n
－C 1n b
n －1
d +C 2n b n －2d 2+ … +(－1)n d n ］+［b n +C 1n b n －1d +C 2n b
n －2d 2
+ … +d n ］ =2(C 2n b
n －2d 2
+C 4n b
n －4d 4
…)＞0.
说明：由a 、b 、c 成等差，公差为d ，可得a =b －d ，c =b +d ，这就给利用二项式定理证
明此问题创造了可能性.问题即变为(b －d )n +(b +d )n ＞2b n ，然后用作差法改证(b －d )n +(b +d )
n
－2b n
＞0.
【例23】求(1+2x －3x 2)6的展开式中x 5
项的系数.
分析：先将1+2x －3x 2分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x －3x 2)6=(1+3x )6
(1－x )6
.
然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x 5
的系数，问题可得到解决.
解：原式=(1+3x )6
(1－x )6
，其中(1+3x )6
展开式之通项为T k +1=C k
63k x k ，(1－x )6
展开式之
通项为T r +1=C r
6(－x )r
.
原式=(1+3x )6
(1－x )6
展开式的通项为C k 6C r
6(－1)r 3k x k +r
.
现要使k +r =5，又∵k ∈{0，1，2，3，4，5，6}，r ∈{0，1，2，3，4，5，6}，
必须???==5,0r k 或?
??==???==???==???==???==.0,
51,42,33,24,1r k r k r k r k r k 或或或或
故x 5
项系数为C 0630
C 56(－1)5
+C 1631
C 46(－1)4
+C 2632
C 36(－1)3
+C 3633
C 26(－1)4
+C 4634
C 1
6 (－
1)+C 5635
C 0
6(－1)0
=－168.
说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键.
【例24】(2004年全国必修+选修1)(x －x
1)6
展开式中的常数项为( )
B.－15
D.－20
解析：T r +1=(－1)r
C r 6(
x )
6－r x －r
=(－1)
r
C r
6
x r 2
33-，当r =2时，3－
2
3r =0，T 3=(－1)2C 26=15. 答案：A
【例25】 (2004年江苏)(2x +x )4的展开式中x 3
的系数是( )
B.12
解析：T r +1=(－1)r
C r 4
(x )4－r
(2x )r
=(－1)r 2
r
C r 4
x
2
2r
+
，当r =2时，2+
2
r
=3，T 3=(－2)2C 24=24. 答案：C
【例26】 (2004年福建理)若(1－2x )9
展开式的第3项为288，则∞
→n lim (
x 1+21x + … +n x
1)的值是( )
B.1
C.
2
1
D.
5
2 解析：T r +1=(－1)r
C r 9(2x )r
=(－1)r
C r
92xr
，当r =2时，T 3=(－1)2
C 2922x
=288.
∴x =
2
3
.
∴∞→n lim (x 1+21x + … +n x 1
)=3
2132
-=2.
答案：A
【例27】 (2004年福建文)已知(x －x
a )8
展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )
B.38
或38
或28
解析：T r +1=(－1)r
C r 8x
8－r
(
x
a )r =(－a )r C r 8x 8－2r ，当r =4时，T 3=(－a )4C 48=1120，∴a =±2. ∴有函数f (x )=(x －
x
a )8.令x =1，则f (1)=1或38
. 答案：C
【例28】 (2004年天津)若(1－2x )2004=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2004x 2004
(x ∈R )，则(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+ (a 0+a 3)+ … +(a 0+a 2004)= .(用数字作答)
解析：在函数f (x )=(1－2x )2004
中，f (0)=a 0=1，f (1)=a 0+a 1+a 2+ … +a 2004=1， (a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004) =2004a 0+a 1+a 2+ … +a 2004 =2003a 0+a 0+a 1+a 2+ … +a 2004 =2003f (0)+f (1) =2004. 答案：2004
相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是 d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．② ()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比 例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的 黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为： 1 2 长短＝＝ 全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于 黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?．
动能定理及应用 动能定理 1、内容： ________________________________________________________________________________ 2、动能定理表达式：_____________________________________________________________________ 3、理解：①F合在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 F合做正功时，物体动能增加；F合做负功时，物体动能减少。 ②动能定理揭示了合外力的功与动能变化的关系。 4、适用范围：适用于恒力、变力做功；适用于直线运动，也适用于曲线运动。 5、应用动能定理解题步骤： A、明确研究对象及研究过程 B进行受力分析和做功情况分析 C确定初末状态动能 D列方程、求解。 1、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路，坡路上S=100m坡顶和坡底的高度差h=10m汽车山坡前的速度是10m/s， 上到坡顶时速度减为 5.0m/s。汽车受到的摩擦阻力时车重的0.05倍。求汽车的牵引力。 2、一小球从高出地面H米处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至地面后又深入沙坑h米后停止，求沙坑对 球的平均阻力是其重力的多少 倍。 3、质量为5 x 105kg的机车，以恒定的功率沿平直轨道行驶，在大 速度15m/s ?若阻力保持不变，求机车的功率和所受阻力的数值. 3min内行驶了1450m,其速度从10m/s增加到最 4、质量为M、厚度为d的方木块，静置在光滑的水平面上，如图所示，一子弹以初速度V。水平射穿木块，子弹 的 质量为m,木块对子弹的阻力为f且始终不变，在子弹射穿木块的过程中，木块发生的位移为L。求子弹射穿木块后，子弹和木块的速度各为多少? 5、如图所示，质量m=1kg的木块静止在高h=1.2m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数使木块产生位移S=3m时撤去，木块又滑行9=1m时飞出平台，求木块落地时速度的大小？"=0.2,用水平推力F=20N, 2 （空气阻力不计， g=10m/s ） 图6-3-1
二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项
正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2 ＝EG· EF，故EB 2 =EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】 本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD ”过渡，使问题得证，证法 二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．
学习目标 1. 能够推导并理解动能定理知道动能定理的适用围 2. 理解和应用动能定理，掌握外力对物体所做的总功的计算，理解“代数和”的含义。 3. 确立运用动能定理分析解决具体问题的步骤与方法 类型一 .常规题型 例1. 用拉力F 使一个质量为m 的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s ，拉力 F 跟 木 箱 前进的方向的夹角为，木箱与冰道间的动摩擦因数为，求木箱获得的速度αμ 例2. 质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F 的作用从静止起通过位移s 时的动能为E1，当物体受水平力2F 作用，从静止开始通过相同位移s ，它的动能为E2，则： A. E2＝E1 B. E2＝2E1 C. E2＞2E1 D. E1＜E2＜2E1 针对训练 材料相同的两个物体的质量分别为m1和m2，且m m 124=，当它们以相同的初动能在水平面上滑行，它们的滑行距离之比s s 12：和滑行时间之比 t t 12：分别是多少？（两物体与水平面的动摩擦因数相同）
类型二、应用动能定理简解多过程问题 例3：质量为m的物体放在动摩擦因数为μ的水平面上，在物体上施加水平力F 使物体由静止开始运动，经过位移S后撤去外力，物体还能运动多远？ 例4、一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ． 2-7-6 针对训练2 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取10m/s2）
《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
1、如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m.小球到达槽最低点时的速率为10m／s，并继续滑槽壁运动直至槽左端边缘飞出，竖直上升，落下后恰好又沿槽壁运动直至从槽右端边缘飞出，竖直上升、落下，如此反复几次.设摩擦力大小恒定不变:(1)求小球第一次离槽上升的高度h.(2)小球最多能飞出槽外几次 (g取10m／s2) 2、如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜 面的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度 沿斜面向上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦 力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足 够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s. 3、有一个竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成。如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA 是粗糙的．现在最低点A给一个质量为m的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，小球在B 点又能沿BFA轨道回到点A，到达A点时对轨道的压力为4mg 1、求小球在A点的速度v0 2、求小球由BFA回到A点克服阻力做的功 * 4、如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O 点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP = L/2，在A点给小球一个水平向左的初速度v ，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．则：（1）小球到达B点时的速率（2）若不计空气阻力，则初速度v0为多少 （3）若初速度v0=3gL，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功v0 E F… R
5、如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B 平滑连接着半径r =0.40m 的竖直光滑圆轨道。质量m =0.50kg 的小物块，从距地面h =2.7m 处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=，求：（sin37°=，cos37°=，g =10m/s 2 ） （1）物块滑到斜面底端B 时的速度大小。 （2）物块运动到圆轨道的最高点A 时，对圆轨道的压力大小。 { 6、质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ） ， 7\如图所示，AB 与CD 为两个对称斜面，其上部都足够长，下部 分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200 ，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E 高度为h=3.0m 处，以初速度V 0=4m/s 沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程 （g=10m/s 2 ）. / 8、如图所示，在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a 点，质量为m 的物块(可视为质点)由静止开始下滑，经圆弧最低点b 滑上粗糙水平面，圆弧轨道在b 点与水平轨道平滑相接，物块最终滑至c 点停止．若圆弧轨道半径为R ，物块与水平面间的动摩擦因数为μ， 则：1、物块滑到b 点时的速度为 2、物块滑到b 点时对b 点的压力是 3、c 点与b 点的距离为 θ A B O h A B C D O > E h
二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数． 分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5 x 项的系数为6． 例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ；
（2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ． 解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边． （2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5 2232??? ? ?-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开． 解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开， 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ?= == ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ?= ===?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60 o o a =，∴56a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ?= ==中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .
动能定理典型基础例题 应用动能定理解题的基本思路如下： ①确定研究对象及要研究的过程 ②分析物体的受力情况，明确各个力是做正功还是做负功，进而明确合外力的功 ③明确物体在始末状态的动能 ④根据动能定理列方程求解。 例1．质量M=×103 kg 的客机，从静止开始沿平直的跑道滑行，当滑行距离S=×lO 2 m 时，达到起飞速度ν=60m／s 。求： (1)起飞时飞机的动能多大 (2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大 (3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为F=×103 N ，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应多大 ~ 例2．一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为 15m 的斜坡滑下，到达底部时速度为10m/s 。人和雪橇的总质量为60kg ，下滑过程中克服阻力做的功。 例3．在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于：( ) 例4．质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为：（ ） A ． 4mgR B ．3mgR C ．2 mgR D ．mgR 例5．如图所示，质量为m 的木块从高为h 、倾角为α的斜面顶端由静止滑下。到达斜面底端时与固定不动的、与斜面垂直的挡板相撞，撞后木块以与撞前相同大小的速度反向弹回，木块运动到 高 2 h 处速度变为零。求： （1）木块与斜面间的动摩擦因数 （2）木块第二次与挡板相撞时的速度 （3）木块从开始运动到最后静止，在斜面上运动的总路程 ， 例6．质量m=的物块（可视为质点）在水平恒力F 作用下，从水平面上A 点由静止开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行t=停在B 点，已知A 、B 两点间的距离s=，物块与水平面间的动摩擦因数μ=，求恒力F 多大。（g=10m/s 2 ） 1、在光滑水平地面上有一质量为20kg 的小车处于静止状态。用30牛水平方向的力推小车，经过多大距离小车才能达到3m/s 的速度。 2、汽车以15m/s 的速度在水平公路上行驶，刹车后经过20m 速度减小到5m/s ，已知汽车质量是，求刹车动力。（设汽车受到的其他阻力不计） 3、一个质量是的小球在离地5m 高处从静止开始下落，如果小球下落过程中所受的空气阻力是，求它落地时的速度。 4、一辆汽车沿着平直的道路行驶，遇有紧急情况而刹车，刹车后轮子只滑动不滚动，从刹车开始 到汽车停下来，汽车前进12m 。已知轮胎与路面之间的滑动摩擦系数为，求刹车前汽车的行驶速度。 5、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路，坡路上S=100m ，坡顶和坡底的高度差h=10m ，汽车山坡前的速度是10m/s ，上到坡顶时速度减为s 。汽车受到的摩擦阻力时车重的倍。求汽车的牵引力。 6、质量为2kg 的物体，静止在倾角为30o 的斜面的底端，物体与斜面间的摩擦系数为，斜面长1m ，用30N 平行于斜面的力把物体推上斜面的顶端，求物体到达斜面顶端时的动能。 7、质量为的铅球从离沙坑面高处自由落下，落入沙坑后在沙中运动了后停止，求沙坑对铅球的平均阻力。 ^ h m
二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页 系数和为n 3． 典型例题四 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA
2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D．
1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ）
动能定理典型例题
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动能定理典型例题 【例题】 1、一架喷气式飞机，质量m=５.0×103ｋg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=５.3×102m，达到起飞速度v＝60ｍ/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0．02倍(k＝０.０2）。求飞机受到的牵引力。 2、在动摩擦因数为μ的粗糙水平面上,有一个物体的质量为ｍ,初速度为V1,在与 运动方向相同的恒力Ｆ的作用下发生一段位移Ｓ，如图所示,试求物体的末速度Ｖ2。 拓展：若施加的力F变成斜向右下方且与水平方向成θ角,求物体的末速度V2 V滑上动摩擦因数为μ的粗糙水平面上，最后3、一个质量为m的物体以初速度 静止在水平面上,求物体在水平面上滑动的位移。
4、一质量为ｍ的物体从距地面高h的光滑斜面上滑下，试求物体滑到斜面底端 的速度。 拓展1:若斜面变为光滑曲面，其它条件不变,则物体滑到斜面底端的速度是多少？ 拓展2：若曲面是粗糙的，物体到达底端时的速度恰好为零，求这一过程中摩擦力做的功。 类型题 题型一:应用动能定理求解变力做功 1、一质量为m的小球,用长为Ｌ的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置缓慢地移Q点如图所示，则此过程中力F所做的功为（) A．mｇＬcoｓ0 B.FLsinθ C.FLθ?D．(1cos). - mgLθ
２、如图所示，质量为m的物体静放在光滑的平台上,系在物体上的绳子跨过光 V向右匀速运动的人拉着，设人从地面上由平台的滑的定滑轮由地面上以速度 边缘向右行至绳与水平方向成30角处，在此过程中人所做的功为多少? ３、一个质量为m的小球拴在钢绳的一端,另一端用大小为Ｆ1的拉力作用,在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动（如图所示)，今将力的大小改为Ｆ２，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R2,小球运动的半径由R1变为R2过程中拉力对小球做的功多大？ 4、如图所示，AＢ为１/４圆弧轨道，半径为R=0．８m,ＢＣ是水平轨道，长S ＝３ｍ，BＣ处的摩擦系数为μ=1/1５，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-b
相似三角形中的射影定 理 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= · AC2= · BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD 的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o ，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF A B M C N D C