2011年高考数学 第五章 第一节.doc
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1 同步检测训练
一、选择题
1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么( )
A.AO→＝OD→ B.AO→＝2OD→
C.AO→＝3OD→ D．2AO→＝OD→
答案：A
解析：∵OB→＋OC→＝2OD→，∴2OA→＋2OD→＝0，
∴AO→＝OD→.
2．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．若直角三角形ABC中，AB→＝2i＋j，AC→＝3i＋kj，则k的可能值个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)．
当AB⊥BC时，AB→·BC→＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.
当AB⊥AC时，AB→·AC→＝6＋k＝0，∴k＝－6.
当AC⊥BC时，AC→·BC→＝3＋k2－k＝0，无解．
所以满足要求的k的值可能有2个，故选B.
3．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则( )
A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|
C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|
答案：C
解析：由已知(a＋b)2＝|b|2，即2a·b＋|a|2＝0.
从上式及选项可只考虑选项C、D.
∵|a＋2b|2－|2b|2＝|a|2＋4a·b
＝|a|2－2|a|2＝－|a|2<0.故选C.
4．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
答案：A
解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，表示f(x)的表达式是关于x的一次表达式，而(xa＋b)·(a－xb)＝xa2－x2ab＋ab－xb2，故a·b＝0，又a，b是非零向量，所以a⊥b.故选A.
5．(2009·山东实验中学3月)已知O是△ABC所在平面内一点，且满足BA→·OA→＋|BC→|2＝AB→·OB→＋|AC→|2，则点O( )
A．在AB边的高所在的直线上
B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边的中线所在的直线上
D．是△ABC的外心
答案：A 2 解析：∵BA→·OA→＋|BC→|2＝AB→·OB→＋|AC→|2，
∴AB→·OA→＋AB→·OB→－|BC→|2＋|AC→|2＝0，
AB→·(OA→＋OB→)＋(AC→－BC→)·(AC→＋BC→)＝0，AB→·(OA→＋OB→)－AB→·(CA→＋CB→)＝0，设AB的中点为D，则AB→· 2OD→－AB→·2CD→＝2AB→·(OD→－CD→)＝2AB→·OC→＝0，AB→⊥OC→，则点O在AB边上的高所在的直线上，故选A.
6．(2009·浙江宁波十校)设G是△ABC的重心，且(56sinA)GA→＋(40sinB)GB→＋(35sinC)GC→＝0，则∠B的大小为( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
答案：D
解析：G是△ABC的重心，则GA→＋GB→＋GC→＝0，－(GA→＋GB→)＝GC→，又(56sinA)GA→＋(40sinB)GB→＋(35sinC)·GC→＝0，
则(56sinA)GA→＋(40sinB)GB→－(35sinC)(GA→＋GB→)＝0，(56sinA－35sinC)GA→＋(40sinB－35sinC)GB→＝0，
56sinA－35sinC＝0,40sinB－35sinC＝0，
再结合正弦定理得8a－5c＝0,8b－7c＝0，a∶b∶c＝5∶7∶8，由余弦定理得cosB＝12，∠B的大小为60°，故选D.
7．(2009·洛阳)A、B、O是平面内不共线的三个定点，且OA→＝a，OB→＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR→等于( )
A．a－b B．2(b－a)
C．2(a－b) D．b－a
答案：B
解析：PR→＝OR→－OP→＝(OR→＋OQ→)－(OP→＋OQ→)＝2OB→－2OA→＝2(b－a)，故选B.
8．(2009·成都市一测)已知点O为△ABC内一点，且OA→＋2OB→＋3OC→＝0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于( )
A．9∶4∶1 B．1∶4∶9
C．3∶2∶1 D．1∶2∶3
答案：C
解析：依题意得OB→－OA→＝3(OB→＋OC→)．取BC的中点D，连结OD，则有OB→＋OC→＝2OD→，OB→－OA→＝6OD→，AB→＝6OD→，OD∥AB，S△AOB＝12S△ABC，S△BOC＝2S△DOC＝2×16×12S△ABC＝16S△ABC，S△COA＝(1－12－16)S△ABC＝13S△ABC，因此△AOB、△COA、△BOC的面积之比等于12∶13∶16，即3∶2∶1，选C.
二、填空题
9．在△ABC中，CA→＝a，CB→＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP→可用a、b表示为________．
答案：－23a＋13b 3
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.
答案：23
CD→＝CB→＋BD→②
且AD→＋2BD→＝0.
①＋②×2得：3CD→＝CA→＋2CB→，
∴CD→＝13CA→＋23CB→，∴λ＝23.
11．(2009·天津)在四边形ABCD中，AB→＝DC→＝(1,1)，1|BA→|BA→＋1|BC→|BC→＝3|BD→|BD→，则四边形ABCD的面积为________．
答案：3
解析：由AB→＝DC→＝(1,1)知
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三、解答题
12．如右图所示，在△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，用a，b分别表示向量AE→，BC→，DE→，DN→，AM→，AN→.
解： DE∥BCAD→＝23AB→⇒AE→＝23AC→＝23b.
BC→＝AC→－AB→＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．
由AM是△ABC的中线，DE∥BC，得
DN→＝12DE→＝13(b－a)．而且AM→＝AB→＋BM→＝a＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．
由△ADN∽△ABMAD→＝23AB→⇒AN→＝23AM→＝13(a＋b)．
13．如右图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.
(1)用a、b表示向量AD→、AE→、AF→、BE→、BF→；
(2)求证：B、E、F三点共线．
5 14．已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，
15．设a、b是不共线的两个非零向量，
(1)若OA→＝2a－b，OB→＝3a＋b，OC→＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)设OM→＝ma，ON→＝nb，OP→＝α a＋β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若 6 M、P、N三点共线，求证：αm＋βn＝1.
证明：(1)∵AB→＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b.而BC→＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB→，∴AB→与BC→共线，且有公共端点B，∴A、B、C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a与b不共线，∴ 8－λk＝0，k－2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
(3)∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得MP→＝λPN→
∴OP→＝OM→＋λON→1＋λ＝m1＋λa＋λn1＋λb
∵a、b不共线，∴ α＝m1＋λ，β＝λn1＋λ
∴αm＋βn＝11＋λ＋λ1＋λ＝1.
