2010年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试卷（理科）参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）A 二、填空题（13）-5 （14）（3，8） （15） （16）21217．解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即 222a b c b c=++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 故 1c o s 2A =-，A=120° ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：)60sin(sin sin sin 0B B C B -+=+1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1。

……12分 18．解：（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为991981002002100199C P C ==……4分 （Ⅱ）（i ）图Ⅰ注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数。

……8分（ii ）表3：22200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于K 2＞10．828，所以有99．9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积于注射药物B 后的疱疹面积有差异”。

19．证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P （0，0，1），C （0，1，0），B （2，0，0），M （1，0，12），N （12，0，0），S （1，12，0）．……4分 （Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--，因为110022CM SN ∙=-++=，所以CM ⊥SN ……6分（Ⅱ）1(,1,0)2NC =-，设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，则10,2210.2x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩令，得a=(2,1,-2). ……9分因为1cos ,2a SN -== 所以SN 与片面CMN 所成角为45°。

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-A A =-=⋅⋅⋅ 一． 选择题（1）复数3223i i+-= （A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i（2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7 (C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) (B) 7 (C) 6(D)(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3 B 3 C 23D 3 （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)2 (B)2(C) (D)（10）已知函数()|lg |f x x =,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)(C) (D) 第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13)1x ≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.[来源:学*科*网] （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围.答案解析一、选择题(1)A＝i.(2)B∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝＝.∴tan100°＝－tan80°＝－＝－.(3)B线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z＝x－2y得y＝－，当直线y ＝－在y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴上的截距最小，由，解得A(1，－1)．所以z max＝1－2×(－1)＝3.（4）A数列{a n}为等比数列，由a1a2a3＝5得＝5，由a7a8a9＝10得＝10，所以＝50，即(a2a8)3＝50，即＝50，所以＝5(a n＞0)．所以a4a5a6＝＝5.(5)C(1＋2)3(1－)5的展开式中x的项为(－)3＋(2)2＝2x，所以x的系数为2.(6)A分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，有·＝12(种)；②选A类选修课1门，B类选修课2门，有·＝3×6＝18(种)，所以不同的选法共有12＋18＝30(种)．（7）D不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的法向量为＝(1,1,1)，又＝(0,0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.（8）C∵log32＝＜ln2，要比较log32＝与5－＝，只需比较log23与＝log22，只需比较3与2，∵2＞22＝4＞3，∴log32＞5－.∴c＜a＜b.(9) B在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解得h＝（10）C函数f(x)＝lg|x|的图象如图所示．由图知0＜a＜1，b＞1.∵f(a)＝|lga|＝－lga＝lg＝f(b)＝|lgb|＝lgb，∴b＝.∴a＋2b＝a＋.令g(a)＝a＋(0＜a＜1)，g(a)在(0,1)上为减函数，∴g(a)＝a＋＞g(1)＝1＋2＝3.（11）D如图，设∠APO＝θ，·＝||2·cos2θ＝||2·(1－2sin2θ)＝(|OP|2－1)(1－2·)＝|OP|2＋－3≥2－3，当且仅当|OP|2＝，即|OP|＝时，“＝”成立．（12）B不妨取AB⊥CD，过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P.设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD＝×2××2×h＝h.当直径通过AB与CD的中点时，h max＝2＝2.故V max＝二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13){x|0≤x≤2}解析：∵－x≤1，∴≤x＋1.原不等式等价于，解得0≤x≤2.(14)－解析：∵α为第三象限的角，∴π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ，k∈Z.又∵cos2α＝－，∴2α为第二象限角．∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan(＋2α)＝＝＝－.(15)(1，)解析：y＝x2－|x|＋a＝.当其图象如图所示时满足题意．由图知，解得1＜a＜.(16)解析：如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在椭圆上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)解：由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcos－cosAsin＝cosBsin－sinBcos，sin(A－)＝sin(－B)．又0＜A＋B＜π，故A－＝－B，A＋B＝.所以C＝.(18)解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，其分布列为P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(X＝1)＝×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(X＝2)＝×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6，P(X＝3)＝×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，P(X＝4)＝0.44＝0.025 6.期望E(X)＝4×0.4＝1.6.（19）解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD. 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.作BK⊥EC，K为垂足．因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB.SB＝＝，DE＝＝，EB＝＝，SE＝SB－EB＝，所以SE＝2EB.(2)由SA＝＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1，又AD＝1，故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝＝.连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.所以∠AFG是二面角A—DE—C的平面角．连结AG，AG＝，FG＝＝，cos∠AFG＝＝－.所以二面角A-DE-C的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．(1) ＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)．设平面SBC的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得n·＝0，n·＝0.故2b－2c＝0，－a＋b＝0.令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．又设＝λ(λ＞0)，则E(，，)．＝(，，)，＝(0,2,0)．设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，由m⊥，m⊥，得m·＝0，m·＝0.故＋＋＝0,2y＝0.令x＝2，则m＝(2,0，－λ)．由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n，m·n＝0，2－λ＝0，λ＝2.故SE＝2EB.(2)由(1)知E(，，)，取DE中点F，则F(，，)，＝(，－，－)，故·＝0，由此得FA⊥DE.又＝(－，，－)，故·＝0，由此得EC⊥DE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角．于是cos〈，〉＝＝－，所以二面角A-DE-C的大小为120°(20)解：(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋－1)＝lnx－x(ln－＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.（21）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4. ①直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·(x－)．令y＝0，得x＝＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±.所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.又由①知y2－y1＝±＝±，故直线BD的斜率＝±，因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1＜t＜1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径r＝＝.所以圆M的方程为(x－)2＋y2＝.（22）解：(1)a n＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即b n＋1＝4b n＋2.b n＋1＋＝4(b n＋)，又a1＝1，故b1＝＝－1.所以{b n＋}是首项为－，公比为4的等比数列，b n＋＝(－)×4n－1，b n＝－－.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，a n＜a n＋1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k时，a k＜a k＋1，则当n＝k＋1时，a k＋2＝c－＞c－＝a k＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，a n＜a n＋1.当c＞2时，令α＝，由a n＋＜a n＋1＋＝c得a n＜α；当2＜c≤时，a n＜α≤3.当c＞时，α＞3，且1≤a n＜α，于是α－a n＋1＝(α－a n)≤(α－a n)，α－a n＋1≤(α－1)．当n＞时，α－a n＋1＜α－3，a n＋1＞3. 因此c＞不符合要求．所以c的取值范围是(2，]．。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一、选择题 （1）复数3223i i+-=（ ）（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（ ）（A ）．k（B ）. —k（C.）（D ）.—（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（ ）（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 (4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（ ）(A) 5(B) 7(C) 6(5) 35的展开式中x 的系数是（ ）(A) -4(B) -2(C) 2(D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

若要求两类课程中各至少一门，则不同的选法共有（ ）（A ）30种 （B ）35种 （C ）42种 （D ）48种（7）正方体1111ABC D A B C D -中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为（ ）（A ）3（B ）3（C ）23（D ）3（8）设123102,12,5a gb nc -===则（ ）（A ）a b c << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）c b a << （9）已知1F 、2F 为双曲线22:1C χγ-=的左、右焦点，点在P 在C 上，12F PF ∠=60°，则P 到χ轴的距离为（ ）（A ）2（B ）2（C （D（10）已知函数()|1|f g χχ=，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）（A ）)+∞ （B ）)+∞ （C ）(3,)+∞ （D ）[3,)+∞ （11）已知圆O 的半径为1，P A 、P B 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB的最小值为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值（ ）()3A (3B (C (3D第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨1p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa211．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f （|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a 和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n）+…+（a2﹣a1）]+a1﹣1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．。

理科综合能力测试(辽宁卷)一、选择题本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列有关细胞的叙述，正确的是（D）A．病毒是一类具有细胞结构的生物 B.海澡细胞具有细胞核且DNA分子呈环状C．人体所有细胞的细胞周期持续时间相同 D.内质网膜和高尔基体膜都具有流动性2．下列关于呼吸作用的叙述，正确的是（D）A．无氧呼吸的终产物是丙酮酸B.有氧呼吸产生的在线粒体基质中与氧结合生成水C．无氧呼吸不需要的参与，该过程最终有的积累D.质量相同时，脂肪比糖原有氧氧化释放的能量多3．若要在普通显微镜下观察到质壁分离、RNA和脂肪，下列四组材料中应选择的一组是（C）A．水稻胚乳和花生子叶 B.天竹葵叶和水稻胚乳C. 紫色洋葱和花生子叶D.天竺葵叶和紫色洋葱4.水中氧含量随水温的升高而下降，生活在寒温带湖泊中的某动物，其血液中的血红蛋白含量与其生活的水温有关。

右图中能正确表示一定温度范围内动物血液中血红蛋白含量随水温变化趋势的曲线是【A】A 甲 B。

乙 C.丙 D.丁5..将神经细胞置于相当于细胞外液的溶液（溶液S）中，可测到静息电位。

给予细胞一个适宜的刺激，膜两侧出现一个暂时性的电位变化，这种膜电位变化称为动作电位。

适当降低溶液S中NA+浓度，测量该细胞的静息电位和动作电位，可观测到【D】A.静息电位值减小B.静息电位值增大C.动作电位峰值升高D.动作电位峰值降低6.在白花豌豆品种栽培园中，偶然发现了一株开红花的豌豆植株，推测该红花表现型的出现是花色基因突变的结果。

为了确定推测是否正确，应检测和比较红花植株与百花植株中【B】A 白花基因的碱基组成B 花色基因的DNA序列C.细胞的DNA含量D.细胞的RNA含量7.下列各项表达中正确的是【C】A. Na2O2的电子式为ＮａＮａB.106g的乙醇和丙醇混合液完全燃烧生成的CO2为112L（标准状态）C.在氮原子中，质子数为7而种子数不一定为7D.CL-的结构示意图为8.分子式为C3H6CL2 的同分异构体共有（不考虑例题异构）【B】A.3中B.4种C.5种D.6种9.下列各组的反应，属于统一反应类型的是【D】A.由溴丙烷睡解制丙醇：由丙烯和水反应制丙醇B.由甲苯硝化制对硝基甲苯：由甲苯氧化制苯甲酸C.由苯乙烷消去制环乙烯：由丙烯加溴制1,2-二溴丙烷D.由乙酸和乙醇制乙酸乙酯：由苯甲酸乙酯水解制苯甲酸和乙醇10.把500ml含有BaCl2和KCl的混合溶液分成5等分，取一份加入含a mol硫酸钠的溶液，恰好是钡离子完全沉淀：令取一份加入b mol硝酸银的溶液，恰好使卤离子完全沉淀，则该混合溶液中钾离子浓度为【D】A.0.1(b-2a)mol·L-1B.10(2a-b) mol·L-1C.10(b-a) mol·L-1D.10(b-2a) mol·L-111.已知：HCN(aq)与NaOH(aq)反应的△H等于【C】A.-67.7KJ·mol·L-1B.-43.5 KJ·mol·L-1C.+43.5 KJ·mol·L-1D.+67.7 KJ·mol·L-112．根据右图，可判断出下列离子方程式中错误的是（A）A．2Ag(s) + Cd2+(s) = 2Ag(s) + Cd(s)B. Co2+（aq）+ Cd(s) = Co（s）+ Cd2+（aq）C. 2Ag (aq) + Cd(s) = 2Ag(s) Cd2+（aq）D. 2Ag (aq) +Co（s）=2Ag(s)+Co2+（aq）13.下表中评价合理的是二．选择题：本体共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）复数=（）A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5 分）若变量x，y 满足约束条件，则z=x﹣2y 的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5 分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．5．（5分）（1+2）3（1﹣）5的展开式中x 的系数是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．46．（5分）某校开设A 类选修课3 门，B 类选择课4 门，一位同学从中共选3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．30 种B．35 种C．42 种D．48 种7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，BB1 与平面ACD1 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a=log32，b=ln2，c= ，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 9．（5 分）已知F1、F2 为双曲线C：x2﹣y2=1 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2=60°，则P 到x 轴的距离为（）A．B．C．D．10．（5 分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）11．（5 分）已知圆O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知在半径为2 的球面上有A、B、C、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）不等式的解集是．14．（5 分）已知α为第三象限的角，，则=．15．（5分）直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是．16．（5 分）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D，且，则C 的离心率为．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）已知△ABC 的内角A，B 及其对边a，b 满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．18．（12 分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（I）求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率；（II）求投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的概率．19．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（I）证明：SE=2EB；（II）求二面角A﹣DE﹣C 的大小．20．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（I）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a 的取值范围；（II）证明：（x﹣1）f（x）≥0．21．（12 分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l 与C 相交于A、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D．（I）证明：点F 在直线BD 上；（II）设，求△BDK 的内切圆M 的方程．22．（12 分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=c﹣．（I）设c=，b n=，求数列{b n}的通项公式；（II）求使不等式a n＜a n+1＜3 成立的c 的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）复数=（）A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】复数的分子中利用﹣i2=1 代入3，然后化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧．2．（5 分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．【专题】11：计算题．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°= ．：法二cos （﹣80°）=k ⇒cos （80°）=k ，=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．3．（5 分）若变量x，y 满足约束条件，则z=x﹣2y 的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l 经过点A（1，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max=1﹣2×（﹣1）=3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5 分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=8 8 （ ） A ．B ．7C ．6D ．【考点】87：等比数列的性质．【分析】由数列{a n }是等比数列，则有 a 1a 2a 3=5⇒a 23=5；a 7a 8a 9=10⇒a 3=10．【解答】解：a 1a 2a 3=5⇒a 23=5；a 7a 8a 9=10⇒a 3=10，a 52=a 2a 8， ∴ ，∴，故选：A ．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．5．（5 分）（1+2）3（1﹣ ）5 的展开式中 x 的系数是（） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4【考点】DA ：二项式定理． 【专题】11：计算题．【分析】利用完全平方公式展开，利用二项展开式的通项公式求出 x 的系数． 【解答】解：（1+2）3（1﹣）5=（1+6+12x +8x）（1﹣）5 故（1+2）3（1﹣）5 的展开式中含 x 的项为 1×C 53（）3+12x=﹣10x +12xC 50=2x ， 所以 x 的系数为 2．故选：C ．【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力6．（5 分）某校开设A 类选修课3 门，B 类选择课4 门，一位同学从中共选3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．30 种B．35 种C．42 种D．48 种【考点】D1：分类加法计数原理．【专题】11：计算题．【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1 门，B 类选修课选2 门；A 类选修课选2 门，B 类选修课选1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：可分以下2 种情况：①A 类选修课选1 门，B 类选修课选2 门，有C31C42 种不同的选法；②A 类选修课选2 门，B 类选修课选1 门，有C32C41 种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故选：A．【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C73﹣C33﹣C43=30．7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，BB1 与平面ACD1 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5G：空间角．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1 所成角，即为BB1 与平面ACD1 所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O 与平面ACD1 所成角就是BB1 与平面ACD1 所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1 中，cos∠O1OD1= ==，故选：D．【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面ACD1 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．8．（5 分）设a=log32，b=ln2，c= ，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】根据a 的真数与b 的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1 与之比较大小，便值a、b、c 的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c= = ，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．9．（5 分）已知F1、F2 为双曲线C：x2﹣y2=1 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2=60°，则P 到x 轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】设点P （x0 ，y0 ）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos ∠F1PF2=，由此可求出P 到x 轴的距离．【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos ∠F1PF2= ，即cos60°= ，解得，所以，故P 到x 轴的距离为故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．10．（5 分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）【考点】34：函数的值域；3D：函数的单调性及单调区间；4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab 的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b 的取值范围．【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b 的取值范围是（3，+∞）．故选：C．【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b= ，从而错选A，这也是命题者的用心良苦之处．11．（5 分）已知圆O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．【专题】5C：向量与圆锥曲线．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB 的长度和夹角，并将表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），则PA=PB=，∠APO=α，则∠APB=2α，sinα=，==×（1﹣2sin2α）=（x2﹣1）（1﹣）==x2+﹣3≥2 ﹣3，∴当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为2﹣3．故选：D．【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．12．（5 分）已知在半径为2 的球面上有A、B、C、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】四面体ABCD 的体积的最大值，AB 与CD 是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．【解答】解：过CD 作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB 于P，设点P 到CD 的距离为h，则有，当直径通过AB 与CD 的中点时，，故．故选：B．【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）不等式的解集是[0，2] ．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】法一是移项后平方，注意等价转化为不等式组，化简求交集即可；法二是化简为等价不等式组的形式，求不等式组的解集．【解答】解：法一：原不等式等价于解得0≤x≤2．法二：故答案为：[0，2]【点评】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致．14．（5 分）已知α为第三象限的角，，则=．【考点】G3：象限角、轴线角；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又＜0 确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2 （2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．15．（5 分）直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是（1，）．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a 的图象，观察求解．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a 的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．16．（5 分）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D，且，则C 的离心率为．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D 的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c 的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1 ⊥y 轴于点D1 ，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）已知△ABC 的内角A，B 及其对边a，b 满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A -）=sin（B+），进而根据A，B 的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B=，则C 的值可求．【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB，∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB∴sin（A﹣）=sin（B+），∵0＜A＜π，0＜B＜π∴﹣＜A﹣＜＜B+＜∴A﹣+B+=π，∴A+B=，C=π﹣（A+B）=【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．18．（12 分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（I）求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率；（II）求投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率．【分析】（1）投到该杂志的1 篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．（2）投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的对立事件是0 篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．【解答】解：（Ⅰ）记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用．则D=A+B•C，P（A）=0.5×0.5=0.25，P（B）=2×0.5×0.5=0.5，P（C）=0.3，P（D）=P（A+B•C）=P（A）+P（B•C）=P（A）+P（B）P（C）=0.25+0.5×0.3=0.40．（2）记4 篇稿件有1 篇或0 篇被录用为事件E，则P（E）=（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3=0.1296+0.3456=0.4752，∴=1﹣0.4752=0.5248，即投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的概率是0.5248．【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．19．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（I）证明：SE=2EB；（II）求二面角A﹣DE﹣C 的大小．【考点】LY ：平面与平面垂直；MJ ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）连接 BD ，取 DC 的中点 G ，连接 BG ，作 BK ⊥EC ，K 为垂足，根据线面垂直的判定定理可知 DE ⊥平面 SBC ，然后分别求出 SE 与 EB 的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE 为等腰三角形，取 ED 中点 F ，连接 AF ，连接FG ，根据二面角平面角的定义可知∠A【解答】解：（Ⅰ）连接 BD ，取 DC 的中点 G ，连接 BG ，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC 为直角三角形，故 BC ⊥BD ．又 SD ⊥平面 ABCD ，故 BC ⊥SD ，所以，BC ⊥平面 BDS ，BC ⊥DE ． 作 BK⊥EC ，K 为垂足，因平面 EDC ⊥平面 SBC ， 故 BK⊥平面 EDC ，BK ⊥DE ，DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK 、BC 都垂直， DE ⊥平面 SBC ，DE ⊥EC ，DE ⊥SB ． SB=， DE=EB= 所以 SE=2EB（Ⅱ）由 SA=，AB=1，SE=2EB ，AB ⊥SA ，知AE= =1，又 AD=1．故△ADE 为等腰三角形．取ED 中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG 是二面角A﹣DE﹣C 的平面角．连接AG，AG= ，FG=，cos∠AFG=，所以，二面角A﹣DE﹣C 的大小为120°．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（I）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a 的取值范围；（II）证明：（x﹣1）f（x）≥0．【考点】63：导数的运算．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）先根据导数公式求出导函数f′（x），代入xf′（x）≤x2+ax+1，将a 分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数 a 的取值范围；（Ⅱ）【解答】解：（Ⅰ），根xf′（x）=xlnx+1，题设xf′（x）≤x2+ax+1 等价于lnx﹣x≤a．令g（x）=lnx﹣x，则当0＜x＜1，g′（x）＞0；当x≥1 时，g′（x）≤0，x=1 是g（x）的最大值点，g（x）≤g（1）=﹣1综上，a 的取值范围是[﹣1，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1 即lnx﹣x+1≤0．当0＜x＜1 时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0；当x≥1 时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）= =≥0所以（x﹣1）f（x）≥0．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．21．（12 分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l 与C 相交于A、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D．（I）证明：点F 在直线BD 上；（II）设，求△BDK 的内切圆M 的方程．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K 的直线L 方程代入抛物线方程消去x，设L 与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2 和y1y2 的表达式，进而根据点A 求得点D 的坐标，进而表示出直线BD 和BF 的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2 原式得证．） （Ⅱ）首先表示出 结果为求得 m ，进而求得 y 2﹣y 1 的值，推知 BD 的斜率，则 B D方程可知，设M 为（a，0），M到 x=y﹣1和【解答】解：（Ⅰ）抛物线 C ：y 2=4x ①的焦点为 F （1，0），设过点K （﹣1，0）的直线 L ：x=my ﹣1， 代入①，整理得y 2﹣4my +4=0， 设 L 与 C 的交点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4， 点 A 关于 X 轴的对称点 D 为（x 1，﹣y 1）． BD 的斜率 k 1===，BF 的斜率 k 2=．要使点 F 在直线 BD 上需 k 1=k 2 需 4（x 2﹣1）=y 2（y 2﹣y 1），需 4x 2=y22， 上式成立，∴k 1=k 2， ∴点 F 在直线 BD 上． （Ⅱ =（x 1﹣1，y 1）（x 2﹣1，y 2）=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=（my 1﹣2）（my 2 ﹣2）+y 1y 2=4（m 2+1）﹣8m 2+4=8﹣4m 2=， ∴m 2=，m=±．y 2﹣y 1= =4 =，∴k 1=，BD ：y=（x ﹣1）．易知圆心 M 在 x 轴上，设为（a ，0），M 到 x= y ﹣1 和到 BD 的距离相等，即|a +1|×=|（（a ﹣1）|×，∴4|a +1|=5|a ﹣1|，﹣1＜a ＜1，解得 a=．∴半径 r=，∴△BDK 的内切圆 M 的方程为（x ﹣）2+y 2=．【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．22．（12 分）已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=c ﹣． （I ） 设 c=，b n =，求数列{b n }的通项公式；（II ） 求使不等式 a n ＜a n +1＜3 成立的 c 的取值范围．【考点】8H ：数列递推式；RG ：数学归纳法．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）令c=代入到（2）先求出 n=1，2 时的 c 的范围，然后用数学归纳法分 3 步进行证明当 c ＞2 时 a n ＜ a n +1 ， 然 后 当 c ＞ 2 时 ， 令 α= ， 根 据 由 可发现 c ＞时不能满足条件，进而可确定 c 的范围．【解答】解：（1），，即b n=4b n+2+1，a1=1，故所以{ }是首项为﹣，公比为4 的等比数列，，（Ⅱ）a1=1，a2=c﹣1，由a2＞a1 得c＞2．用数学归纳法证明：当c＞2 时a n＜a n+1．（i）当n=1 时，a2=c﹣＞a1，命题成立；（ii）设当n=k 时，a k＜a k+1，则当n=k+1 时，故由（i）（ii）知当c＞2 时，a n＜a n+1当c＞2 时，令α=，由当2＜c≤时，a n＜α≤3当c＞时，α＞3 且1≤a n＜α于是α﹣a n+1≤（α﹣1），当n＞因此c＞不符合要求．所以c 的取值范围是（2，]．【点评】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．。