2011年辽宁高考数学试题及标准答案经典word版(理科)

2011年辽宁高考数学(理)试题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A、2B、C、D、1考点：复数代数形式的混合运算。

分析：根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．解答：解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3 由a为正实数解得a= 故选B点评：本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数a的方程，是解答本题的关键．2、（2011•辽宁）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩C1M=∅，则M∪N=（）A、MB、NC、ID、∅考点：交、并、补集的混合运算。

专题：图表型。

分析：利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩C1M=∅，”的集合M，N，再考察它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项．解答：解：利用韦恩图画出满足题意的集合．由图可得：M∪N=M．故选A．点评：本题考察交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单．3、（2011•辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A、B、1 C、D、考点：抛物线的定义。

专题：计算题。

分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．解答：解：∵F是抛物线y2=x的焦点F（）准线方程x=设A（x1，y1）B（x2，y2）∴|AF|+|BF|==3解得∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为故选C点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．4、（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=a 则=（）A、2B、2C、D、考点：正弦定理的应用。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷，解析版）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ）（A ）2 （B (D)1(3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） (A)34 (B) 1 (C)54 (D)74答案： C解析：设A 、B 的横坐标分别是m 、n ，由抛物线定义，得AF BF 3+==m+14+n+14= m+n+12=3，故m+n=52，524m n +=，故线段AB 的中点到y 轴的距离为54.（4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2则ba=（ ）(A)（6）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2答案：C解析：第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2; 第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p 的值4.（7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79答案： A解析：217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8）如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是（ ）(A) AC ⊥SB (B) AB ∥平面SCD(C) SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 (D)AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案： D解析：对于A:因为SD ⊥平面ABCD ，所以DS ⊥AC.因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，故AC ⊥平面ABD,因为SB ⊂平面ABD,所以AC ⊥SB ，正确.对于B ：因为AB//CD,所以AB//平面SCD. 对于C:设ACBD O =.因为AC ⊥平面ABD ，所以SA 和SC 在平面SBD 内的射影为SO ，则∠ASO 和∠CSO 就是SA 与平面SBD 所成的角和SC 与平面SBD 所成的角，二者相等，正确.故选D.（9）设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）（11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，f ’(x)＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（ ）（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞） 答案： B解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g ’(x)= f ’(x)-2.因为对任意x R ∈，f ’（x ）＞2，所以对任意x R ∈，g ’(x)>0，则函数g(x)在R 上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+∞).（12）已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，︒=∠=∠30B SC ASC ，则棱锥S-ABC 的体积为（ ）（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________. 答案： 2解析：由题意得，24,2c c ==，22491a b-=，224a b +=，解得a=1，故离心率为2. (14) 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：^y =0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.（16）已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.解析：函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan 1,3tan 20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎩得,14A πϕ==.所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故tan 224244f πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD.（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ（II ）求二面角Q-BP-C 的余弦值.即PQ DQ ⊥，PQ DC ⊥.故PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.（II ）依题意得B(1,0,1)，(1,1,0),(1,2,1)CB BP ==--,设n =(x,y,z)是平面PBC 的法向量，则0,0.n CB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x x y z =⎧⎨-+-=⎩因此，取n =(0,-1,-2).设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取m =(1,1,1),所以cos ,5m n <>=-， 故二面角Q-BP-C 的余弦值为19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.（I ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2，…，x a 的样本方差()()()2222111n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x 为样本平均数.解析：（I ）X 可能的取值为0,1,2,3,4,且()48110,70P X C === ()13444881,35C C P X C === ()224448182,35C C P X C === ()31444883,35C C P X C ===()48110,70P X C ===即X 的分布列为X 的数学期望是：()1818810123427035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()22222222213310412012657.258s =+-+-++-+++=甲. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411-121568s =+-+++-+++=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. （20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由解析：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设()22222122242:1,:1,0x y b y x C C a b a b a a+=+=>>. 设直线:(||)l x t t a =<分别和C 1，C 2联立，求得,A t B t ⎛⎛ ⎝⎝. 当12e =时，2b a =，分别用y A ，y B 表示A 、B 的纵坐标，可知 |BC|:AD|=222||3.2||4B A y b y a == （II ）t=0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即a b t t a=-， 解得222221ab e t a a b e-=-=-⋅-. 因为||t a <，又01e <<，所以2211e e-<，解得12e <<.所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. (21)(本小题满分12分)已知函数f （x ）=lnx-ax 2+（2-a ）x.(I)讨论f （x ）的单调性；（II ）设a ＞0，证明：当0＜x ＜1a 时，f （1a +x ）＞f （1a-x ）； （III ）若函数y=f （x ）的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ’（ x 0）＜0.解析：(I)f(x)的定义域为(0,+∞),()()()()2111'22x ax f x ax a x x+-=-+-=-, ①若a ≤0，()'0f x >，所以f(x)在(0,+∞)单调增加；②若a>0，则由()'0f x =得1x a =，且当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，当1x a >时，()'0f x <，所以f(x)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增加，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调减少. （II ）设()11g x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()ln 1ln 12g x ax ax ax =+---， ()32222'2111a a a x g x a ax ax a x=+-=+--， 当10x a<<时，()'0,g x >而()00g =，所以()0g x >. 故当10x a <<时， 11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED.（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos,sin,xyϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C2的参数方程为cos,sin,x ay bϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b>>，ϕ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合.（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积. 解析：（I ）C 1为圆，C 2为椭圆.当α=0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别是(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别是(0,1),(0,b),因为这两点重合，所以b=1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221,19x x y y +=+=，当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标是2x =，与C 2交点B 1的横坐标是'10x =； 当4πα=-时，射线l 与C 1 、C 2的两个交点A 2 、B 2的分别与A 1、B 1 关于x 轴对称，因此，四边形与A 1 A 2B 2B 1 为梯形.故四边形与A 1 A 2B 2B 1 的面积为()()2'2'325x x x x +-=.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f（x ）≥x 2-8x+15的解集.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至8页，第II卷9至16页，共300分。

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I卷（选择题共140分）本卷共35个小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

随着工业化、城市化的飞速发展，耕地不断被挤占，但2004年以来，我国粮食总量仍连续增长。

据此完成1-3题。

1.近年来，我国粮食总产量连续增长的主要原因是A.扩大了粮食播种面积B.加大了农业科技投入C.改进了农田水利设施D.完善了粮食流通体系2.改革开放以来，下列粮食主要产区在全国商品粮食生产中的地位下降最为显著的是A.太湖平原B.洞庭湖平原C.汉江平原D.成都平原3.河南省和黑龙江省都是我国产粮大省。

两省相比，黑龙江省粮食商品率高的主要原因是A.耕地面积广B.生产规模大C.机械化水平高D.人口较少图1示意流域水系分布（a）和该流域吧、内一次局地暴雨前后甲，乙两水文站观测到的河流流量变化曲线（b），读图1完成4~5题4.此次局地暴雨可能出现在图1a中的A①地B②地C③地D④地5.乙水文站洪峰流量峰值小于甲水文站，主要是因为甲，乙水文站之间A河道淤积B河谷变宽C湖泊分流D湖水补给量减小读图2，完成6~7题6.根据图是信息可以推断，A1月平均气温甲城市高于乙城市B1月平均气温甲城市低于乙城市C7月平均气温甲城市高于乙城市D7月平均气温甲城市低于乙城市7.图中甲乙两城市分别位于A关中平原，浙闽丘陵B江汉平原，山东丘陵C汗水谷地，黄淮平原D汾河谷地，松嫩平原图3表示某区域在一定时期内剩余劳动力数量，人均工资的变化，以及甲、乙两类企业在该区域维持最低经济效益所能支付人均工资的变化，读图3，完成8-9题8.由图3可以推断，该区域A．T0年工业基础雄厚B.T0ˉ—T1年吸引的工业企业类型最多C.T1—T2年经历产业结构调整D.T2年以后工业生产衰退9.甲、乙两类企业相比A．甲类企业在该区域维持发展的时间更长B．甲类企业趋向廉价劳动力区位C.乙类企业进入该区域的时间更早D.乙类企业产品的附加值较低图4示意某小区域地形，图中等高距为100米，瀑布的落差为72米，据此完成10-11题10.Q地的海拔可能为A.90米B.230米C.340米D.420米11.桥梁附近河岸与山峰的高差最接近A.260米B.310米C.360米D.410米12.货币最早以足值的金属货币形式出现的。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a A ．2B ．3C ．2D ．12．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．744．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=abA ．23B ．22C ．3D ．25．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．18 B ．14C ．25D ．126．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3D ．27．设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=A ．79- B ．19-C ．19D ．798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为A ．12-B ．1C ．2D ．211．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S—ABC 的体积为 A ．33B ．32C ．3D ．1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．16．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f的部分图像如下图，则=)24(πf ．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12P D ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性； （II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 13．2 14．0.254 15．23 16．3 三、解答题 17．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++= 故， 12.2242n n nS aa a =+++ 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a nn------=+++--=-+++--=---.2nn 所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分 18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).CB B P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即 因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取15(1,1,1).cos ,.5m m n =<>=-所以 故二面角Q —BP —C 的余弦值为15.5-………………12分19．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ===============即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a -- ………………4分 当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222,b a a t a t a b t t a --=-解得222221.ab e t a a b e-=-=--- 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ； 当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得 且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a +∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a'<<>=>时而所以.故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和 当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为 310.10x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

第1页2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= . 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.2.复数31ii--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2. 【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C. 答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长第2页3. 【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x xπ=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22sin y x x =+=,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 23π+D. 43π+ 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为213⨯=所以该几何体的体积为23π+. 答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的 一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件. 答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.6. 函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为侧(左)视图正(主)视图俯视图D第3页22212111x x x x x x xe e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A. 答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，则a=（A ）2 （B (D)1（2）已知M,N 为集合I 的非空真子集，且M,N 不相等，若1,N C M M N ⋂=∅⋃=则(A)M (B) N (C)I (D)∅(3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 (A)34 (B) 1 (C)54 (D)74（4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则b a =(A) (B) (C)（5）从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B ︱A )= (A) 18 (B) 14 (C) 25 (D)12（6）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是(A) 8(B) 5(C) 3(D) 2（7）设sin1 += 43πθ（），则sin2θ=(A)79-(B)19-(C)19(D)79（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确．．．的是(A) AC⊥SB(B) AB∥平面SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角（9）设函数f（x）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1xxlog-11x22x-1则满足f（x）≤2的x的取值范围是（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+∞）（D）[0，+∞）（10）若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，则c-ba+的最大值为（A）1-2（B）1 （C）2（D）2（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（A）（-1，1）（B）（-1，+∞）（C）（-∞，-1）（D）（-∞，+∞）（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=3，︒=∠=∠30B SCASC，则棱锥S-ABC的体积为（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（辽宁卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a = A.2D.12.已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若I N C M =∅I ，M N =UA.MB.NC.ID.∅3.已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.34B.1C.54D.744.若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .2sin sin cos a A B b A +=，则ab= A.32 B.22 C.3 D.2 5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(/)P B A =A.18B.14C.25D.126.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4， 则输出的p 是A ．8B ．5C ．3D ．27.设1sin()43πθ+=，则sin 2θ=A.79-B.19-C.19D.798.如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不．正确．．的是 A ．AC SB ⊥ B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9.设函数1221()1log 1x x f x xx -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 A.[1,2]- B.[0,2] C.[1,)+∞ D.[0,)+∞10.若a r ，b r ，c r 均为单位向量，且0a b ⋅=r r ，b r ，（()()0a c b c --≤r r r r ，则a b c +-r r r 的最大值为A1 B ．1 CD ．2 11.函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,1)-∞-D.(,)-∞+∞ 12.已知球的直径4SC =，A ,B是该球球面上的两点，AB =ASC BSC ∠=∠30=o ，则棱锥S ABC -的体积为A．．32 C ．3 D ．1SABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(2,3)在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上，C 的焦距为4，则它的离心率为 .14.调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：$0.2540.321y x =+.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元.15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 .16.已知函数()tan()f x A x ωϕ=+（0ω>＞0，2πω<），()y f x =的部分图像如下图，则()24f π= .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721:题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23，24题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；8π38π x yo1（Ⅱ）求数列1{}2nn a -的前n 项. 18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，12QA AB PD ==. （Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求二面角Q BP C --的余弦值.19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.（Ⅰ）假设4n =，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg /2hm ）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆1C 的中心在原点o ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ，直线l MN ⊥，l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .（Ⅰ）设12e =，求BC 与AD 的比值；AQPDBC（Ⅱ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设0a >，证明：当10x a <<，11()()f x f x a a+>-； （Ⅲ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23，24题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ED =.（Ⅰ）证明：CD //AB ；（Ⅱ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF EG =，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系统与参数方程ABCDEFG在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θα=与1C ，2C 各有一个交点.当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合.（Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； （Ⅱ）设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为1A ，1B ,当4πα=-时，l 与1C ，2C 的交点为2A ，2B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()25f x x x =---. （Ⅰ）证明：3()3f x -≤≤；（Ⅱ）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a 为正实数，i 为虚数单位，2=+i ia ，则=a （ ）A ．2BCD ．12．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M （ ） A ．M B ．N C ．I D ．∅3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．34 B ．1 C ．54 D ．744．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（ ）A ．B ．C D5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和 为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=（ ） A ．18 B ．14 C ．25 D ．126．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（ ） A ．8 B ．5 C ．3 D ．27．设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79- B ．19- C ．19 D ．798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， 则下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCD C ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（ ） A ．12- B ．1 C ．2 D ．211．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（ ） A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为（ ）A ．33B ．32C ．3D ．1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．13．214．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．14．0.25415．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．15．16．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f的部分图像如下图，则=)24(πf ．16三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．17．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++=故， 12.2242n n n S a a a =+++ 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a nn------=+++--=-+++--=--- =.2n n所以1.2n n nS -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12P D ． （I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅= 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分 （II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C B B P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即 因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取(1,1,1).cos ,m m n =<>=所以 故二面角Q —BP —C的余弦值为 ………………12分 19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的2哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．19．解： （I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C =============== 即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,2A B e b y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即,a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e-=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分21．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性； （II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得 且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a''∈>><时当时 所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. ………………4分 （II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以.故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点， 故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ． （I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和 当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x =，与C 2交点B 1的横坐标为10x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集． 24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+≤≤的解集为 …………10分。

2011年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B【点评】本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数a的方程，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•辽宁）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁I M）=∅，则M∪N=（）A．M B．N C．I D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】图表型．【分析】利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩（∁I M）=∅，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项．【解答】解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁I M）=∅的集合．由图可得：M∪N=M．故选A．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单．3．（5分）（2011•辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．4．（5分）（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的sinA和sinB的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比．【解答】解：∵asin AsinB+bcos2A= a∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinA∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA∴==选D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．5．（5分）（2011•辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题．【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）=．故选B．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．6．（5分）（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．2【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．7．（5分）（2011•辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．【解答】解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．8．（5分）（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；探究型．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO 是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．9．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】分类讨论．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10．（5分）（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】计算题；整体思想．【分析】根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．【解答】解：∵，即﹣+≤0，又∵为单位向量，且=0，∴，而==3﹣2≤3﹣2=1．∴的最大值为1．故选B．【点评】此题是个中档题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．11．（5分）（2011•辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）【考点】其他不等式的解法．【专题】压轴题；函数思想．【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．12．（5分）（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2C．D．1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD，因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD==故选C【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•辽宁）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据：﹣=1判断该双曲线的焦点在x轴上，且C的焦距为4，可以求出焦点坐标，根据双曲线的定义可求a，利用离心率的公式即可求出它的离心率．【解答】解：∵﹣=1，C的焦距为4，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∵点（2，3）在双曲线C上，∴2a==2，∴a=1，∴e==2．故答案为2．【点评】此题是个基础题．考查双曲线的定义和标准方程以及简单的几何性质，同时也考查了学生的运算能力．14．（5分）（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．【解答】解：∵对x的回归直线方程．∴=0.254（x+1）+0.321，∴﹣=0.254（x+1）+0.321﹣0.254x﹣0.321=0.254．故答案为：0.254．【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确．15．（5分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意求出正三棱柱的侧棱长，然后求出左视图矩形的边长，即可求出左视图的面积．【解答】解：设正三棱柱的侧棱长为：a，由题意可知，，所以a=2，底面三角形的高为：，所以左视图矩形的面积为：2×=2．故答案为：2．【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的三视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）（2011•辽宁）已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可．【解答】解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f（x）=Atan（ωx+φ），因为函数过（，0）所以0=Atan（+φ）所以φ=，图象经过（0，1），所以，1=Atan，所以A=1，所以f（x）=tan（2x+）则f（）=tan（）=故答案为：【点评】本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】综合题．【分析】（I）根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得，解得：，故数列{a n}的通项公式为a n=2﹣n；（II）设数列{}的前n项和为S n，即S n=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，当n＞1时，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以S n=，综上，数列{}的前n项和S n=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．18．（12分）（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz；（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．【点评】本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．19．（12分）（2011•辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2附：样本数据x1，x2，…，x a的样本方差s2=[（x1﹣）2+（x1﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为样本平均数．【考点】离散型随机变量的期望与方差；用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；应用题．【分析】（I）根据题意得到变量X的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，列出分布列，算出变量的期望值．（II）根据条件中所给的甲和乙两组数据，分别求出甲品种的每公顷产量的平均值和方差和乙的平均值和方差，把两个品种的平均值和方差进行比较，得到品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，应选择种植品种乙．【解答】解：（I）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，4，P（X=0）==P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=，P（X=4）=∴X的期望是（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数=400，方差是=57.25品种乙每公顷的产量的样本平均数=412，方差是=56有以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查两组数据的平均值和方差，并且针对于所得的结果进行比较，本题考查利用概率统计知识解决实际问题．20．（12分）（2011•辽宁）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上．椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．（Ⅰ）e=，求|BC|与|AD|的比值；（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线l联立求出A、B的坐标，再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；（Ⅱ）BO∥AN，即是BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，利用斜率相等得到关于t和a以及e的等式，再利用|t|＜a和0＜e＜1就可求出何时BD∥AN．【解答】解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设，设直线l：x=t（|t|＜a），分别与C1，C2的方程联立，求得，（4分）当，，分别用y A，y B表示的A，B的纵坐标，可知（6分）（Ⅱ）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，即，解t=﹣=﹣•a；因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以﹣1＜﹣，解得所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；当时，存在直线l，使得BO∥AN．【点评】本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化．21．（12分）（2011•辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论．【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==﹣，①若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；（II）设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g′（x）==，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，所以g（x）＞0，故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2，由（II）得，f（﹣x1）=f（）＞f（x1）=f（x2）=0，又f（x）在（，+∞）单调递减，∴﹣x1＜x2，于是x0=，由（I）知，f′（x0）＜0．【点评】此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．22．（10分）（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】证明题．【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆【点评】本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．23．（2011•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．【考点】参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合．【专题】压轴题．【分析】（I）有曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C1是圆，C2是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合，求出a及b．（II）利用C1，C2的普通方程，当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，利用面积公式求出面积．【解答】解：（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），因为这两点重合所以b=1．（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为．当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为．【点评】此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．24．（2011•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）分x≤2、2＜x＜5、x≥5，化简f（x）=，然后即可证明﹣3≤f（x）≤3 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，当2＜x＜5时，当x≥5时，分别求出f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3，所以，﹣3≤f（x）≤3（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}综上：不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集：{x|5﹣≤x≤6}【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a 为正实数，i 为虚数单位，i2ia +=，则a ＝( ) A ．2B ． 3C ． 2D ．12．已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若N ∩＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ． 34B ．1C ． 54D ．744．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝a 2，则=ab( ) A ．23B ．22C ． 3D ． 25．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18 B ．14 C ． 25D ． 126．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是( )A ．8B ．5C ．3D ．27．设1sin+=43πθ（），则sin 2θ＝( ) A ．79- B ．19-C ． 19D ． 798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是()A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x 则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-⋅-≤a c b c ，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ． 12-B ．1C ． 2D ．211．函数f (x )的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 12．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为( )A ．33B ．32C. 3 D ．1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点(2，3)在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)．调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．16．已知函数()tan()f x A x ωϕ＝＋，(ω＞0,π2ϕ<)，y ＝f (x )的部分图像如图，则=)24(πf ________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．18．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ．(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．19．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：品种甲403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．20．如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．(1)设12e =，求|BC |与|AD |的比值； (2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 21．已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=. (1)讨论f (x )的单调性； (2)设a ＞0，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； (3)若函数y ＝f (x )的图像与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)＜0.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED ．(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 23．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x (φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝2π时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (2)设当α＝4π时，l 与C 1、C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝4π-时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．选修4—5：不等式选讲已知函数()|2||5|f x x x ＝－－－. (1)证明：()33f x ≤≤－；(2)求不等式()2815f x x x ≥－＋的解集．参考答案1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C 13．答案：2 14．答案：0.254 15．答案：23 16．答案：3。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷，解析版）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） （A ）2 （B ）3 (C)2 (D)1(3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） (A)34 (B) 1 (C)54 (D)74答案： C解析：设A 、B 的横坐标分别是m 、n ，由抛物线定义，得AF BF 3+==m+14+n+14= m+n+12=3，故m+n=52，524m n +=，故线段AB 的中点到y 轴的距离为54. （4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2A=2a 则ba=（ ）(A) 23 (B) 22 (C) 3 (D)2（6）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2答案：C解析：第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2; 第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p 的值4.（7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79答案： A解析：217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8）如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是（ ）(A) AC ⊥SB (B) AB ∥平面SCD(C) SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 (D)AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案： D解析：对于A:因为SD ⊥平面ABCD ，所以DS ⊥AC.因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，故AC ⊥平面ABD,因为SB ⊂平面ABD,所以AC ⊥SB ，正确.对于B ：因为AB//CD,所以AB//平面SCD.对于C:设AC BD O =I .因为AC ⊥平面ABD ，所以SA 和SC 在平面SBD 内的射影为SO ，则∠ASO 和∠CSO 就是SA 与平面SBD 所成的角和SC 与平面SBD 所成的角，二者相等，正确.故选D.（9）设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）（11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，f ’(x)＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（ ）（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞） 答案： B解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g ’(x)= f ’(x)-2.因为对任意x R ∈，f ’（x ）＞2，所以对任意x R ∈，g ’(x)>0，则函数g(x)在R 上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+∞).（12）已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，︒=∠=∠30B SC ASC ，则棱锥S-ABC 的体积为（ ）（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________. 答案： 2解析：由题意得，24,2c c ==，22491a b-=，224a b +=，解得a=1，故离心率为2. (14) 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：^y =0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.（16）已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.3解析：函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan 1,3tan 20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎩得,14A πϕ==.所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故tan 2324244f πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD.（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ（II ）求二面角Q-BP-C 的余弦值.即PQ DQ ⊥，PQ DC ⊥.故PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.（II ）依题意得B(1,0,1)，(1,1,0),(1,2,1)CB BP ==--u u u r u u u r,设n =(x,y,z)是平面PBC 的法向量，则0,0.n CB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r即0,20.x x y z =⎧⎨-+-=⎩ 因此，取n =(0,-1,-2).设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r可取m =(1,1,1),所以15cos ,5m n <>=-u r r ，故二面角Q-BP-C 的余弦值为155-. 19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.（I ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2，…，x a 的样本方差()()()2222111n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x 为样本平均数.解析：（I ）X 可能的取值为0,1,2,3,4,且()48110,70P X C === ()13444881,35C C P X C === ()224448182,35C C P X C === ()31444883,35C C P X C ===()48110,70P X C ===即X 的分布列为X1234P170 835 1835 835 170X 的数学期望是：()1818810123427035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()22222222213310412012657.258s =+-+-++-+++=甲. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411-121568s =+-+++-+++=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. （20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由解析：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设()22222122242:1,:1,0x y b y x C C a b a b a a +=+=>>. 设直线:(||)l x t t a =<分别和C 1，C 2联立，求得2222,,,a b A t a t B t a t b a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当12e =时，32b a =，分别用y A ，y B 表示A 、B 的纵坐标，可知 |BC|:AD|=222||3.2||4B A y b y a == （II ）t=0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222b a a t a t a b t t a--=-， 解得222221ab e t a a b e-=-=-⋅-. 因为||t a <，又01e <<，所以2211e e-<，解得212e <<. 所以当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. (21)(本小题满分12分)已知函数f （x ）=lnx-ax 2+（2-a ）x.(I)讨论f （x ）的单调性；（II ）设a ＞0，证明：当0＜x ＜1a 时，f （1a +x ）＞f （1a-x ）； （III ）若函数y=f （x ）的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ’（ x 0）＜0.解析：(I)f(x)的定义域为(0,+∞),()()()()2111'22x ax f x ax a x x+-=-+-=-, ①若a ≤0，()'0f x >，所以f(x)在(0,+∞)单调增加；②若a>0，则由()'0f x =得1x a =，且当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，当1x a >时，()'0f x <，所以f(x)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增加，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调减少. （II ）设()11g x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()ln 1ln 12g x ax ax ax =+---， ()32222'2111a a a x g x a ax ax a x=+-=+--， 当10x a<<时，()'0,g x >而()00g =，所以()0g x >. 故当10x a <<时， 11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED.（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos,sin,xyϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C2的参数方程为cos,sin,x ay bϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b>>，ϕ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合.（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积. 解析：（I ）C 1为圆，C 2为椭圆.当α=0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别是(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2，所以a=3.当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别是(0,1),(0,b),因为这两点重合，所以b=1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221,19x x y y +=+=， 当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标是22x =，与C 2交点B 1的横坐标是310'x =； 当4πα=-时，射线l 与C 1 、C 2的两个交点A 2 、B 2的分别与A 1、B 1 关于x 轴对称，因此，四边形与A 1 A 2B 2B 1 为梯形.故四边形与A 1 A 2B 2B 1 的面积为()()2'2'325x x x x +-=.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f（x ）≥x 2-8x+15的解集.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（辽宁卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）a 为正实数，i 为虚数单位，2=+ii a ，则=a（A ）2（B ） （C （D ）1（2）已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M（A ）M（B ）N （C ）I （D ）∅（3）已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 （A ）34（B ）1 （C ）54（D ）74（4）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（A ）（B ）（C（D（5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= （A ）18（B ）14（C ）25（D ）12（6）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（A ）8（B ）5 （C ）3 （D ）2（7）设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（A ）79-（B ）19-（C ）19（D ）79（8）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是（A ）AC ⊥SB （B ）AB ∥平面SCD（C ）SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 （D ）AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角（9）设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（A ）1[-，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）（10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（A ）12-（B ）1（C ）2（D ）2（11）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（A ）（1-，1） （B ）（1-，+∞） （C ）（∞-，1-） （D ）（∞-，+∞） （12）已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 （A ）33（B ）32（C ）3（D ）1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by ax 上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．（14）调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．（16）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf ．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．（19）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求B C 与A D 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性； （II ）设0>a ，证明：当ax 10<<时，)1()1(x af x af ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 13．2 14．0.254 15．16三、解答题 17．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++= 故，12.2242n n nS a a a =+++所以，当1n >时， 1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn nn n S a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---=.2nn所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).D Q D C PQ ===-所以0,0.PQ D Q PQ D C ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C BB P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n C B x x y z n B P ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即 因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m B P m P Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取(1,1,1).cos ,5m m n =<>=-所以故二面角Q —BP —C的余弦值为5-………………12分19．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且4813444811(0),708(1),35P X C C C P X C ======22444818(2),35C C P X C===3144488(3),35C C P X C===4811(4).70P X C ===即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b abaa+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a===………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN -相等，即,abtt a=-解得222221.abe t a a be-=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a xx+-'=-+-=-（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a +∞单调减少. ………………4分 （II ）设函数11()()(),g x f x f x aa=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a xg x a axaxa x=+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a'<<>=>时而所以. 故当10x a<<时，11()().f x f x aa+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f aa>且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x aaa-=+->=从而1221021,.2x x x x x aa+>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分 22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9xx y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为10x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．解：（I）3,2, ()|2||5|27,25,3, 5.xf x x x x xx-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x<<-<-<时所以3() 3.f x-≤≤………………5分（II）由（I）可知，当22,()815x f x x x≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x<<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x≥-+-≤≤的解集为…………10分一择题(共12小题，每小题5分，满分60分) 1、(2011•辽宁)a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=∣∣，则a =( )A 、2BCD 、1考点：复数代数形式的混合运算。