(复习指导)3.1 导数的概念及运算含解析

1 第三章 导数及其应用

3.1 导数的概念及运算

必备知识预案自诊

知识梳理

1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1(或Δ𝑦Δ𝑥).

2.函数y=f(x)在x=x0处的导数

(1)定义:f'(x0)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.

(2)几何意义:f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 .

3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的 ,通常也简称为导数.

4.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

函数 导函数

y=c(c为常数) y'=0

y=xα(α为实数) y'=

y=sin x y'=

y=cos x y'=

y=tan x y'=

y=cot x y'=

y=ax(a>0,a≠1) y'=

y=ex y'=

y=logax(a>0,a≠1) y'=

y=ln x y'=

5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]'= ;

(2)[f(x)·g(x)]'= ;

(3)[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2(g(x)≠0).

6.复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=

g(x)的导数间的关系为y'x= ,即y对x的导数等于 的导数与

的导数的乘积.

1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.

2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了 2 变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.

考点自诊

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( )

(2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0). ( )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( )

(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. ( )

2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为s=13t3-32t2+2t,那么速度为零的时刻是( )

A.0 s B.1 s末

C.2 s末 D.1 s末和2 s末

3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )

A.y=-2x-1

B.y=-2x+1

C.y=2x-3

D.y=2x+1

4.(2020山东淄博一模,13)曲线f(x)=1𝑥+ln1𝑥在点(1,f(1))处的切线方程是

.

5.(2020全国3,文15)设函数f(x)=e𝑥𝑥+𝑎.若f'(1)=e4,则a= .

关键能力学案突破

考点 导数的运算

【例1】分别求下列函数的导数.

(1)y=ex·cos x;

(2)y=x(𝑥2+1𝑥+1𝑥3);

(3)y=x-sin 𝑥2cos 𝑥2;

(4)y=ln√1+𝑥2.

思考函数求导应遵循怎样的原则?

3

解题心得函数求导应遵循的原则

(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.

(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.

(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.

对点训练1求下列函数的导数.

(1)y=x2sin x;

(2)y=ln x+1𝑥;

(3)y=cos𝑥e𝑥;

(4)y=ln(2x-5).

考点 导数几何意义的应用 (多考向探究)

考向1 过函数图像上一点求切线方程

【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.

(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.

解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.

对点训练2(1)已知函数f(x)=xln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )

A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 4 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0

(2)(2020全国1,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .

考向2 已知曲线切线方程(或斜率)求切点

【例3】(1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是 .

(2)设a∈R,函数f(x)=ex+𝑎e𝑥的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 .

解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.

对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1𝑥(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .

考向3 已知切线方程(或斜率)求参数的值

【例4】若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.

(1)求实数m的值;

(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.

解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.

对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为 , .

1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.

2.导数的几何意义是函数的图像在切点处的切线斜率,应用时主要体现在以下几个方面:

(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求在该点处的导数值k=f'(x0);

(2)已知斜率k,求切点B(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k;

(3)已知切线过某点M(x1,f(x1))(不是切点)求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0)),求导数得出斜率k=

5

第三章 导数及其应用

3.1 导数的概念及运算

必备知识·预案自诊

知识梳理

2.(2)斜率 3.导函数

4.αxα-1 cos x -sin x 1cos2𝑥 -1sin2𝑥 axln a ex 1𝑥ln𝑎 1𝑥

5.(1)f'(x)±g'(x) (2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 6 6.y'u·u'x y对u u对x

考点自诊

1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

2.D ∵s=13t3-32t2+2t,∴v=s'=t2-3t+2.令v=0,则t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.故选D.

3.B 对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.

4.2x+y-3=0 由已知,f'(x)=-1𝑥2−1𝑥,所以f'(1)=-2.又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.

5.1 对函数f(x)=e𝑥𝑥+𝑎求导得f'(x)=e𝑥(𝑥+𝑎-1)(𝑥+𝑎)2,由题意得f'(1)=e·𝑎(1+𝑎)2=e4,解得a=1.

关键能力·学案突破

例1解(1)y'=(ex)'cosx+ex(cosx)'

=excosx-exsinx.

(2)∵y=x3+1+1𝑥2,∴y'=3x2-2𝑥3.

(3)∵y=x-sin𝑥2cos𝑥2=x-12sinx,

∴y'=(𝑥-12sin𝑥)'=1-12cosx.

(4)y=ln√1+𝑥2=12ln(1+x2),

∴y'=12·11+𝑥2(1+x2)'=12·11+𝑥2·2x=𝑥1+𝑥2.

对点训练1解(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'

=2xsinx+x2cosx.

(2)y'=lnx+1𝑥'=(lnx)'+1𝑥'=1𝑥−1𝑥2.

(3)y'=cos𝑥e𝑥'

=(cos𝑥)'e𝑥-cos𝑥(e𝑥)'(e𝑥)2

=-sin𝑥+cos𝑥e𝑥.

(4)令u=2x-5,y=lnu,则y'=(lnu)'u'=12𝑥-5·2=22𝑥-5,即y'=22𝑥-5.

例2解(1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1,又f(2)=-2,

∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.

(2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0,𝑥03-4𝑥02+5x0-4).

∵f'(x0)=3𝑥02-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3𝑥02-8x0+5)(x-2).

又切线过点P(x0,𝑥03-4𝑥02+5x0-4),