课件4：3.1 导数的概念及运算

高二数学组 选修2-2学案

1.2.2~1.2.3导数公示表及四则运算法则

【学习目标】

1.记忆基本初等函数的导数公式表；2.掌握导数四则运算法则及复合函数的导数。

【昨日重现】

1.曲线4yx在点P（1,1）处的切线方程是__________;

2.曲线3yx过点(1,0)P的切线方程是____________和________________.

【概念形成】

1.基本初等函数的导数公式表：

()yfx ``()yfx ()yfx ``()yfx

yC(C是常数)

log(0,1,0)ayxaax

()nyxnN lnyx

(0,0,)yxxQ sinyx

(0,1)xyaaa cosyx

xye

2.导数的四则运算法则：

（1）函数和（或差）的求导法则：

(()())`______________fxgx

（2）函数积的求导法则：

(()())`______________fxgx 特别地，(())`______________Cfx(C是常数)

（3）函数的商的求导法则：

()[]`______________(()0)()fxgxgx

*（4）复合函数的求导法则：

函数(),()yfttux都是可导函数，则(())yfux的求导法则是：```xuxyyu

【例题选讲】

例1.求下列函数的导数：

（1）5432yxxx （2）3lnxyx （3）cossinyxx

高二数学组 选修2-2学案

例2.求下列函数的导数：

（1）sinyxx （2）tanyx （3）lnyxx （4）lnxyx

例3.求下列函数的导数：

（1）2(35)yx （2）8(57)yx （3）sin2yx （4）cos2yx

贾老师数学

第三章 导数及其应用

第一节 导数的概念与运算

基础知识

1．导数的概念

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔ0xΔyΔx＝limΔ0x fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔ0xΔyΔx＝limΔ0x fx0＋Δx－fx0Δx.

f′(x)与f′(x0)的区别与联系f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.

2．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

曲线y＝fx在点Px0，fx0处的切线是指以P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线.

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔ0x fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．

4．导数的运算

(1)几种常见函数的导数

①(C)′＝0(C为常数)；②(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；

③(sin x)′＝cos_x；④(cos x)′＝－sin_x；⑤(ex)′＝ex；

⑥(ax)′＝axln_a(a>0，a≠1)；⑦(ln x)′＝1x；

⑧(logax)′＝1xln a(a>0，a≠1)．

(2)导数的四则运算法则

①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；

②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)； 贾老师数学

③uxvx′＝u′xvx－uxv′x[vx]2(v(x)≠0)．

熟记以下结论：

(1)1x′＝－1x2；

(2)1fx′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)；

2014年高二下学期数学学案 制作人： 编号：8

（共4页） 1 1.3.3 导数的实际应用

一、学习目标：1、了解利用导数解决最优化问题的步骤；

2、会利用导数求解有关函数的最值的实际问题。

二、知识梳理

1、最优化问题

在经济生活中，为使经营利润 、生产效率 ，或为使用力 、用料 、消耗 等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．

2.解决实际应用问题的步骤： 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.

三、典型例题

题型一 面积、体积的最值问题

例1：有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板

的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个

长方体形的无盖容器。为使其容积最大，截下的

小正方形边长应为多少？

跟踪训练1：等腰三角形的周长是2p,它围绕底边旋转一周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少时，几何体的体积最大？

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（共4页） 2 题型二 强度最大、用料最省、费用最低问题

例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽

的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断

面的宽度和高度应是多少？

题型三 利润最大问题

例3 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

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第三篇导数及其应用

专题3.1导数的概念及运算

【考试要求】

1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于

瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；

2.体会极限思想；

3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1

x，y＝x的导数；

5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数

(限于形如f(ax＋b))的导数；

6.会使用导数公式表.

【知识梳理】

1.函数y＝f(x)在x＝x

0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x

0处的瞬时变化率

0lim

x^

Δx→0f(x

0＋Δx)－f(x

0)

Δx＝

0lim

x^

Δx→0Δy

Δx为函数y＝f(x)在x

＝x0处的导数，记作f′(x

0)或y′|x＝x

0，即f′(x

0)＝

0limxΔy

Δx＝

0lim

xf(x

0＋Δx)－f(x

0)

Δx.

(2)几何意义：函数f(x)在点x

0处的导数f′(x

0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x

0，f(x

0))处的切线的斜率.相应

地，切线方程为y－y0＝f′(x

0)(x－x

0).

2.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝

limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)

Δx称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.

3.导数公式表

基本初等函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinxf′(x)＝cosx

f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx

f(x)＝exf′(x)＝ex

f(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlna

f(x)＝lnxf′(x)＝1

x

f(x)＝log

ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝1

xlna

4.导数的运算法则