3.1 导数的概念及其运算
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实用文档 3.1 导数的概念及其运算
一、填空题
1．若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．
解析 f′(x)＝excos x－exsin x，
因为函数图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝e(cos 1－sin 1)＜0，
所以切线的倾斜角是钝角．
答案 钝角
2．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(an，a2n)处的切线与x轴交点的横坐标为an＋1，
n∈N*，若a1＝16，则a3＋a5＝________，数列{an}的通项公式为________．
解析 k＝f′(an)＝2an，切线方程为y－a2n＝2an(x－an)，令y＝0，
得－a2n＝2an(an＋1－an)，即an＋1an＝12.所以{an}是首项为16，公比为12的等比数列，
所以an＝16·12n－1＝25－n，a3＋a5＝5.
答案 5 25－n
3．曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程是________．
解析 y′＝3x2－2，k＝3－2＝1，所以切线方程为y＋1＝x－1，
即x－y－2＝0.
答案 x－y－2＝0 精品文档
实用文档 4.若42()fxaxbxc满足f′(1)=2,则f′(-1)等于_______．
解析 求导后导函数为奇函数,所以选择B.
答案-2
5．点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
解析 设P(t，t2－ln t)，由y′＝2x－1x，得k＝2t－1t＝1(t＞0)，解得t＝1.所以过点P(1,1)的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝22＝2即为所求．
答案 2
6．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为________．
解析 y′＝(x3)′＝3x2，k＝3，由题意，3×ab＝－1，所以ab＝－13.
答案 －13
7．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列ann＋1的前n项和为________．
解析 由y＝xn－xn＋1，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，k＝n·2n－1－(n＋1)·2n
＝－(n＋2)·2n－1，切线方程为y＋2n＝－(n＋2)·2n－1(x－2)， 精品文档
实用文档 所以ann＋1＝2n,2＋22＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.
答案 2n＋1－2
8．若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝________.
解析 设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，
由题意得： y0＝kx0－3，y0＝2lnx0，k＝2x0，解得y0＝－1，x0＝1e，k＝2e.
答案 2e
9．已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝______；函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．
解析 f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，∴f′(0)＝1，f(0)＝0，故函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.
答案 (x＋1)ex x－y＝0
10．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．
解析 k＝f′(2)＝1，切线方程为y＝x－2. 精品文档
实用文档 答案
x－y－2＝0 11．等比数列{}an中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝__________.
解析 函数f(x) 的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212＝4 096.
答案 4 096
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导函数为f′(x)，且f′(0)＞0，对于任意实数x有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．
解析 f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0，
又 Δ＝b2－4ac≤0，a＞0所以ac≥b24，所以c＞0，
所以f1f′0＝a＋b＋cb≥b＋2acb≥2bb＝2.
答案 2
13．已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝ 2－12x，x≤0，12x2＋1，x＞0的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．
解析 如图，可求得直线y＝2x与y＝12x2＋1(x＞0)的图象相切时恰有两个不精品文档
实用文档 同
的公共点，当m＞2时，直线y＝mx与y＝f(x)的图象恰有三个不同的公共点．
答案 (2，＋∞)
二、解答题
14．曲线y＝x2＋1上过点P的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解析 方法一：设P(x0，y0)，由题意知曲线y＝x2＋1在P点的切线斜率为k＝2x0，切线方程为y＝2x0x＋1－x20，而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
∴切线与曲线只有一个交点，
即方程2x2＋2x0x＋2－x20＝0的判别式Δ＝4x20－2×4×(2－x20)＝0，
解得x0＝±233，y0＝73.
∴P点的坐标为233，73或－233，73.
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)分别为切线与曲线y＝x2＋1和y＝－2x2－1的切点． 精品文档
实用文档 则 y1＝x21＋1，y2＝－2x22－1，k切＝2x1，k切＝－4x2，k切＝y1－y2x1－x2，∴x21＋2x22＋2x1－x2＝2x1＝－4x2，
∴ x21＋2x22＋2x1－x2＝2x1，x1＝－2x2，
消去x1，得x2＝±33，则x1＝±233，
则P点的坐标为233，73或－233，73.
15．已知函数y＝f(x)＝ln xx.
(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1e处的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)的最大值．
解析 (1)因为f′(x)＝1－ln xx2，
所以k＝f′1e＝2e2.又f1e＝－e，
所以y＝f(x)在x＝1e处的切线方程为
y＋e＝2e2x－1e，即2e2x－y－3e＝0. 精品文档
实用文档 (2)令f′(x)＝0，得x＝e.
因为当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，
所以f(x)max＝f(e)＝1e.
16．已知：在函数的图象上，f(x)＝mx3－x以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为π4.
(1)求m，n的值；
(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－2 013对于x∈[－1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．
解析 (1)依题意，得f′(1)＝tanπ4，即3m－1＝1，m＝23.
因为f(1)＝n，所以n＝－13.
(2)令f′(x)＝2x2－1＝0，得x＝±22.
当－1＜x＜－22时，f′(x)＝2x2－1＞0；
当－22＜x＜22时，f′(x)＝2x2－1＜0； 精品文档
实用文档 当22＜x＜3时，f′(x)＝2x2－1＞0.
又f(－1)＝13，f－22＝23，f22＝－23，f(3)＝15，
因此，当x∈[－1,3]时，－23≤f(x)≤15.
要使得不等式f(x)≤k－2 013对于x∈[－1,3]恒成立，则k≥15＋2 013＝2 028.
所以，存在最小的正整数k＝2 028，使得不等式f(x)≤k－2 013对于x∈[－1,3]恒成立．
17.对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f″(x)=0有实数解0x则称点0(x0())fx为函数y=f(x)的”拐点”.现已知32()322fxxxx请解答下列问题:
(1)求函数f(x)的”拐点”A的坐标;
(2)求证f(x)的图象关于”拐点”A对称.
解析 (1)f′2()362xxxf″(x)=6x-6.
令f″(x)=6x-6=0,得x=1,
3(1)1322f2.
∴拐点A坐标为(1,-2).
(2)证明:设00()Pxy是y=f(x)图象上任意一点,则320000322yxxx
因为00()Pxy关于A(1,-2)的对称点为P′0(2x04)y 精品文档
实用文档 把P′代入y=f(x)得 左边3200004322yxxx
右边=0(2)x330(2)x202(2)x2=32000322xxx.
∴左边=右边.
∴P′00(24)xy在y=f(x)图象上.
∴y=f(x)的图象关于点A对称.
18．已知函数f(x)＝13x3＋2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C，试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
解析 设存在过切点A(x1，y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为
B(x2，y2)(x2≠x1)，则切线方程为y－13x31＋2x21＋3x1＝(x21＋4x1＋3)(x－x1)，
即为y＝(x21＋4x1＋3)x－23x31＋2x21.
同理，过点B(x2，y2)的切线方程是
y＝(x22＋4x2＋3)x－23x32＋2x22.
由于两切线是同一切线，所以有
x21＋4x1＋3＝x22＋4x2＋3，23x31＋2x21＝23x32＋2x22，
