【数学】3.1.2《导数的概念》

1 习题3.1

1. 一物体从400

m的高空下落，它下落t

时刻(单位：s)时距地面的高度是

2

16400ht

(m).

(1) 求在前4 s内物体下落的平均速度；(2) 求在第4 s时物体下落的瞬时速度.

2. 一直圆锥体因受热膨胀，在膨胀过程中，其高与底的直径保持相等(单位：cm).

(1) 求体积关于半径的变化率？(2) 当半径为

cm时，体积关于半径的变化率是多少？

3. 设函数)(xf在上可导，利用导数的定义求下列各式的值：

(1)

0()

lim

xfx

x

，其中(0)0f

；

(2) 00

0()()

lim

xfxxfx

x



；

(3) 00

0()()

lim

hfxhfxh

h



；

(4) 22

00

0(3)()

lim

hfxhfxh

h



；

(5)

000

0()()

lim

xxxfxxfx

xx



.

4. 按定义求下列函数的导数（其中a

、b

为常数）：

(1) 

xxxf)(

； (2)()eax

fx

；

(3) )cos()(baxxf

； (4)xxxfsin)(

.

5. 设()fx

是定义在(1,1)

上的连续正值函数，且(0)1f

，'(0)2f

.

求1

0lim(()).x

xfx



6. 设()fx

为偶函数，且'(0)f

存在. 证明：'(0)0f

.

7. 按定义证明：

(1) 可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数；

(2) 可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变.

8. 设在上定义的函数()fx

分别满足：

(1) 对,xy

有)()()(yfxfyxf

，且)('f

，求)('xf

.

(2) 对,xy

有xyyfxfyxf)()()(

，且)('f

存在，求)('xf

.

(3) 对x

有)()(xafxf

，且bf)('

，求)('f

.

9. 在抛物线

xy

上求一点P

，使得抛物线在P

点的切线分别满足：

1 §1.1.2 导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

（一）、情景引入，激发兴趣

【教师引入】 ：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

(二)、探究新知，揭示概念

教学环节 内 容 师生活动 设计意图

复

习

引

入

提

出

问

题

【回顾1】

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：105.69.4)(2tttH，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？

【回顾2】

已知曲线C是函数105.69.4)(2xxxf的图象,求曲线上点P),(00yx处的切线斜率.

【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？

学生相互交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.

针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.

2

类

比

探

索

形

成

概

念

①归纳共性 揭示本质

研究

对象 求解问题 求解方法 本质 思想

具体例子 物体运动规律

H=h(t) 物体在0t时

的瞬时速度 求时间

增量t 求位移

增量h 求平均

速度th 求瞬时速度

vtht0lim 平均速度

的极限 极限

思想

曲线

y=f(x) 曲线上P),(00yx

§导数的概念

【运用课时】：1课时

【学习目标】：1.驾驭用极限给瞬时速度下的精确的定义；

2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.

【学习重点》导数概念的形成，导数内涵的理解

【学习方法】：分组探讨学习法、探究式.

【学习过程》

一、课前打算

(预习教材月J月6,找出怀疑之处)

复习1：气球的体积V与半径r之间的关系是“V)=括，求当空气容量V从O增加到1时，气球的平均膨胀率.

复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度。与起跳后的时间，的关系为：

∕z⑺=-4.9/+6.5/+10.求在l≤f<2这段时间里，运动员的平均速度.

二、新课导学

学习探究

探究任务一：瞬时速度

问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为.一般地，若物体的运动规律为S=/(/),则物

体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t至M+∆Λ这段时间内，当 ____________ 时平均速度的极限，即

1. ∆5 V=Iun—= _________________ - . As。Δ/

∆rvθ时，在［2+zV,2］这段时间内 ∆r>θ时，在［2,2+△力这段时间内

•

探究任务二：导数

Ac 问题2：瞬时速度是平均速度空当，趋近于0时的

得导数的定义：函数y=/(尢)在4=%处的瞬时改变率是Iim八"。+AV)-D=Iim包,我们称它z→o∆x A"→o∆r 为函数y=/(x)在X=Xo处的导数，记作∕,(⅞)或y,∖x,xn即Γ(Λ0)=Iim.(少〜(.)’" ∆v→o∆Λ,

留意：(1)函数应在点与的旁边有定义，否则导数不存在.

.(2)在定义导数的极限式中，AX趋近于O可正、可负、但不为0,而Ay可以为0・

(3)”是函数y=/(x)对自变量X在&范围内的平均改变率，它的几何意义是过曲线∆x

y=/(尢)上点(冗OJ(XO))及点(XO+∆xj&o+∆x))的割,线斜率♦

(4)导数f7(x0)=Iim/3，+AVUo)是函数y=f(x)在点X0的处瞬时改变率，它反映—∆x

课题：导数的概念

一． 教学目标

1、 知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、 过程与方法：

① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力

② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、 情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.

二、 重点、难点

 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

四、 教学设想（具体如下表）

教学环节 教学内容 师生互动 设计思路

创设情景

、

引入新课

幻灯片

 回顾上节课留下的思考题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在65049t这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

首先回顾上节课留下的思考题：

在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出 ：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况

呢？

引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲

初

步

探

索

、

展

示

内

涵

根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：

 结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？