2020年高考数学复习题：二次函数与幂函数

专题05 二次函数与幂函数一、考纲要求:1. (1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y =，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 二、概念掌握及解题上的注意点：1.幂函数的形式是y ＝x α（α∈R ），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.若幂函数y ＝xαα∈R 是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般先将其化为根式，再判断.3.若幂函数y ＝x α在0，＋∞上单调递增，则α＞0，若在0，＋∞上单调递减，则α＜0. 4.用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：5.二次函数的最值问题的类型及求解方法1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动. 2)求解方法：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思想求解. 6.二次函数中恒成立问题的求解思路由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x) ⇔a ，a ≤f (x)⇔a二、高考考题题例分析：例1(2020·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA 解析： a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523. ∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3， ∴c ＞a ＞b .]例2.【2020高考浙江，理18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1） 证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）3.详细解析：（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时， (,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3..【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注。

幂函数与二次函数目录01考情透视.目标导航 (2)02知识导图.思维引航 (3)03考点突破.题型探究 (4)知识点1：幂函数 (4)知识点2：二次函数 (5)解题方法总结 (7)题型一：幂函数的定义及其图像 (10)题型二：幂函数性质的综合应用 (12)题型三：由幂函数的单调性比较大小 (15)题型四：二次函数的解析式 (18)题型五：二次函数的图象、单调性与最值 (22)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 (24)题型七：二次方程实根的分布及条件 (27)题型八：二次函数最大值的最小值问题 (29)04真题练习.命题洞见 (34)05课本典例.高考素材 (35)06易错分析.答题模板 (38)易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 (38)答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题 (38)考点要求考题统计考情分析（1）幂函数的定义、图像与性质（2）二次函数的图象与性质2020年天津卷第3题，5分2020年江苏卷第7题，5分从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.复习目标：（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).知识点1：幂函数1、幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R {|0}y y ≥R {|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，【诊断自测】若幂函数()y f x =的图象经过点()2，则()16f ＝（）A 2B ．2C ．4D ．12【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，因为()f x 的图象经过点(2，所以22α=12α=，所以()12f x x =，所以()1216164f ==.故选：C 知识点2：二次函数1、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.2、二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a=-，顶点坐标为24(,24b ac b a a --.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||M M x x x x x x a ∆=-=+-=.3、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p q x +=：（1）若2b p a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2b m f M f q a=-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2b m f M f p a =-=；（4）若2b q a-≥，则(),()m f q M f p ==.【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数()()()32214803f x x ax a x a =-+-+≠的导数的图象，则()2f -的值为（）A ．173B ．173-C ．83D ．83-【答案】D【解析】函数3221()(4)83f x x ax a x =-+-+，求导得222()24()4f x x ax a x a '=-+-=--，于是函数()y f x '=的图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线，①②不满足，又0a ≠，即函数()y f x '=的图象对称轴不是y 轴，④不满足，因此符合条件的是③，函数()y f x '=的图象过原点，且0a >，显然(0)0f '=，从而2a =，321()283f x x x =-+，所以3218(2)(2)2(2)833f -=⨯--⨯-+=-.故选：D解题方法总结1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a =<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b x a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x mx x m∆==≤=≥或02()0b m af m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩2()0b naf n∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f mf n≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型一：幂函数的定义及其图像【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点()2,4，则函数的解析式为（）A ．2xy =B ．2y x =C ．2log y x =D ．sin y x =【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数过点()2,4，故42α=，解得2α=，该幂函数的解析式为2y x =；故选：B【典例1-2】已知幂函数pq y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q>B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q>D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q<【答案】D 【解析】因为函数p q y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且在(0,)+∞上单调递减，所以p q <0，因为函数p qy x =的图象关于y 轴对称，所以函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数，又p 、q 互质，所以q 为奇数，所以选项D 正确，故选：D.【方法技巧】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.【变式1-1】已知函数()()11m f x m x +=-为幂函数，则()()2222f a a f a a -+-=（）A ．0B ．1-C ．2aD ．64a a -【答案】A【解析】由题意有11m -=，可得()32,m f x x ==，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则函数()f x 为奇函数，所以()()22220f a a f a a -+-=.故选：A.【变式1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数()231y m m x =--是幂函数，则实数m 的值可能是（）A ．2m =-B ．2m =C ．1m =-D ．1m =【答案】BC【解析】()231y m m x =--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.故选：BC.【变式1-3】给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A题型二：幂函数性质的综合应用【典例2-1】已知幂函数()()21n m x f x =-的图象经过点()2,8，下面给出的四个结论：①()3f x x -=；②()f x 为奇函数；③()f x 在R 上单调递增；④()()211f a f +<，其中所有正确命题的序号为（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③【答案】B【解析】对于①：由幂函数的定义可知211m -=，解得1m =，将点()2,8代入函数()nf x x =得28n =，解得3n =，所以()3f x x =，故①错误；对于②：因为定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 为奇函数，故②正确；对于③：由幂函数的图象可知，()f x 在R 上单调递增，故③正确；对于④：因为211a +≥，且()f x 在R 上单调递增，所以()()211f a f +≥，故④错误，综上可知，②③正确，①④错误.故选：B.【典例2-2】已知幂函数()()212223a a f x a x +-=-在()0,∞+上单调递减，函数()3xh x m =+，对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x h x =，则m 的取值范围为.【答案】268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()()212223a a f x a x+-=-是幂函数，则231a -=，2a =±，()f x 在()0,∞+上单调递减，则21202a a +-<，可得2a =-，()221f x x x -∴==，()f x \在[]1,3上的值域为1,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 在[]1,2上的值域为[]3,9m m ++，根据题意有918126399m m m m +≥≥-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+≤≤-⎪⎪⎩⎩，m ∴的范围为268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【方法技巧】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.【变式2-1】已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=.【答案】1-【解析】因为幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递减，所以12,1,2α=---，又幂函数()f x x α=为奇函数，可知α为奇数，即1α=-.故答案为：1-【变式2-2】已知函数()()3222332ln34ln31x x f x x x --=-+-+-+，则满足()()832f x f x +->的x 的取值范围是．【答案】(),2-∞【解析】由题意得()()()32223322ln 31x x f x x x --=-+-+-+，设()3332ln 3x xg x x x -=+-+，则()()21f x g x =-+，()g x 的定义域为R ，且()()3332ln 3x xg x x x g x --=-+--=-，所以()g x 为奇函数，3,3,3,2ln 3x x y x y y y x -===-=都是增函数，所以()g x 是增函数，()f x 的图象是由()g x 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以()f x 图象的对称中心为()2,1，所以()()42f x f x +-=．易知()f x 在R 上单调递增，因为()()()()8324f x f x f x f x +->=+-，所以()()834f x f x ->-，所以834x x ->-，解得2x <，故答案为：(),2∞-．【变式2-3】已知幂函数()223mm f x x --=（其中，m ∈Z ）为偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，则m的值为.【答案】1【解析】因为函数幂函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，又m ∈Z ，所以0m =或1或2，当0m =或2时，()331f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()3311f x f x x x -==-=--，此时函数()f x 为奇函数，不符合题意；当1m =时，()441f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()4411f x f x x x -===-，此时函数()f x 为偶函数，符合题意；综上所述，1m =.故答案为：1.【变式2-4】已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为.【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知，()f x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()1133f x x x f x -=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数()13f x x =在函数(),-∞+∞上单调递增，由()()222210f t t f t -+-<，得()()22221f t t f t -<--，即()()22212f t t f t -<-，所以22212t t t -<-，即23210t t --<，解得113t -<<，所以关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-5】满足1133(1)(32)m m --+<-的实数m 的取值范围是（）.A ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,1,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】幂函数13y x -=在(0,)+∞为减函数，且函数值为正，在(,0)-∞为减函数，且函数值为负，1133(1)(32)m m --+<-等价于，320132m m m ->⎧⎨+>-⎩或10132m m m +<⎧⎨+>-⎩或32010m m ->⎧⎨+<⎩，解得2332m <<或m ∈∅或1m <-，所以不等式的解集为23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.题型三：由幂函数的单调性比较大小【典例3-1】（2024·天津红桥·二模）若132()3a =，122log 5b =，143c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c<<【答案】C 【解析】112221log log 152b =>=，111121411214321631[()()()818122()()]333c a ==>===，而1312()3a =<，所以a ，b ，c 的大小关系为b a c >>.故选：C【典例3-2】设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,，，则,,a b c 大小关系是.【答案】a c b＞＞【解析】因为()25f x x =在()0,∞+单调增，所以22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >，因为()25xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞单调减，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【方法技巧】在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较．【变式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <，则实数a 的取值范围为（）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,+¥D ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由1log 14a<，得1a >或10a 4<<，由114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，得0a >，由141a <，得01a <<，∴当1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <同时成立时，取交集得10a 4<<，故选：A.【变式3-2】已知πe a =，e πb =，eπc =，则这三个数的大小关系为．（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】由ln πa =，ln eln πb =，令ln ()xf x x=且[e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=≤，所以()f x 在[e,)x ∈+∞上递减，则ln e ln ππeln πe π>⇒>，即ln ln a b >，所以b a <，由e πb =，πe ]c =，只需比较π与π的大小，根据x y =与y x =，相交于(2,2),(4,4)两点，图象如下，由2π4<<，结合图知ππ>，故πe e []πb c ==>，综上，c b a <<.故答案为：c b a<<【变式3-3】已知幂函数()f x的图象过点()()()1122121,,,,,024P x y Q x y x x ⎛<< ⎝⎭是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）A ．()()1122x f x x f x >B ．()()1221x f x x f x <C ．()()1221f x f x x x >D ．()()1212f x f x x x <【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为()f x的图象经过点124⎛ ⎝⎭，则124α⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32α=，所以()32f x x =.因为函数()32f x x =在定义域()0,∞+内单调递增，则当120x x <<时，()()120f x f x <<，所以()()1122x f x x f x <，且()()1221f x f x x x <，故选项A,C 错误；又因为函数()12f x x x=单调递增，则当120x x <<时，()()1212f x f x x x <，且()()2112x f x x f x <，故选项D 正确，选项B 错误.故选：D.【变式3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，若,a b ∈R ，且0,a b a b <<<，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】B【解析】由211m m --=得2m =或1m =-，2m =时，3()f x x =在R 上是增函数，不合题意，1m =-时，3()-=f x x ，在(0,)+∞上是减函数，满足题意，所以3()-=f x x ，0,a b a b <<<，则0b a >->，()()f a f b ->，3()f x x =-是奇函数，因此()()f a f a -=-，所以()()f a f b ->，即()()0f a f b +<，故选：B.题型四：二次函数的解析式【典例4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，则()f x ＝.【答案】243x x -+【解析】因为()()22f x f x -=+对x ∈R 恒成立，所以()y f x =的图象关于2x =对称.又()y f x =的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以()0f x =的两根为211-=或213+=，所以二次函数()f x 与x 轴的两交点坐标为()1,0和()3,0，因此设()()()13f x a x x =--.又点()4,3在()y f x =的图象上，所以33a =，则1a =，故()()()21343f x x x x x =--=-+.故答案为：243x x -+【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数()f x =．①()f x 是二次函数；②(1)xf x +是奇函数；③()f x x在(0,)+∞上是减函数．【答案】22x x-+【解析】因为()f x 是二次函数，所以令2()2f x x x =-+，()0x ≠，令()()()23(1)121g x xf x x x x x x ⎡⎤=+=-+++=-+⎣⎦，()()()3g x x x g x -=---=-，故满足条件②；令()222()x f x h x x x xx+===-+-在(0,)+∞上是减函数，满足条件③，故答案为：22x x-+【方法技巧】求二次函数解析式的三个技巧(1)已知三个点的坐标，选择一般式．(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式．(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，选择零点式．【变式4-1】已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）的图象关于y 轴对称，且与直线y x =相切，写出满足上述条件的一个函数()f x =．【答案】214x +（答案不唯一）【解析】已知()()20f x ax bx c a =++≠，∵()f x 的图象关于y 轴对称，∴对称轴02bx a=-=，∴0b =，∴()2f x ax c =+，联立2y ax c y x⎧=+⎨=⎩，整理得2ax c x +=，即20ax x c -+=，∵()f x 的图象与直线y x =相切，∴140ac ∆=-=，∴14ac =，当1a =时，14c =.∴满足条件的二次函数可以为()214f x x =+．故答案为：214x +.【变式4-2】已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一(利用“一般式”解题)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f （2）＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝21(82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214(82x --+＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【变式4-3】已知函数2()(2)(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，则1=3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】79-【解析】因为当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，所以(0)1(1)1f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即121n n ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，所以1131n n -≤≤⎧⎨-≤≤-⎩，解得1n =-，所以(0)1,(1)1f f =-=，由()f x 图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线x =0，所以20m -=，解得m =2，所以2()21f x x =-，所以117=21399f ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：79-【变式4-4】已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =.【答案】36【解析】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥得()22220ax a b x b ++-+≤，所以0a ≥且2(22)8a b ab +-≤，整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，若210a -=则必有420a b +=，此时与2(22)8a b ab +-≤矛盾，所以210a -≤且()()2(42)42144a b a b +≤--，整理后为2244844a b ab a b +≤--+，与2244844a b ab a b +≤++-相加即得2244a b ab +≤，即2(2)0a b -≤，所以2a b =，所以()()()222(2)f x x ax a a x =++=+，又由于在原不等式中令2x =可得()424f ≤≤，所以()24f =，由此解得14a =.所以()()21(2),10364f x x f =+=.法二：()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，令()()2g x f x x =-，则()()24,20g g -==，设()()()()20g x a x x m a =--≠.若2m ≠，则()()()()'22122202x x g x g a m =⎡⎤--=-'=-≠⎢⎥⎣⎦，于是()20a m ->时，存在02x <使得()()2001202x g x --<，矛盾；()20a m -<时，存在02x >使得()()2001202x g x --<，矛盾；故2m =，令2x =-，则()116244a g a =-=⇒=.于是()()22112(2)2(2)44f xg x x x x x =+=-+=+，进而()1036f =.故答案为：36.题型五：二次函数的图象、单调性与最值【典例5-1】已知()1()()f x x a x b =---，并且m 、n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b<<<【答案】A【解析】设()()()g x x a x b =---，又()1()()f x x a x b =---，分别画出这两个函数的图象，其中()f x 的图象可看成是由()g x 的图象向上平移1个单位得到，如图，由图可知：m a b n <<<．故选：A ．【典例5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【解析】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C【方法技巧】解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数2()(2)1f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则实数m 的取值范围为（）A ．19,13,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．19,23,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．19,23,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C【解析】令()()221g x x m x =--+，则21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,2210,2m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得392m ≤≤或112m -≤≤，即实数m 得取值范围为1[,1][3,]229- .故选：C ．【变式5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y 在定义域上递增，故()f x 3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C【变式5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数()221f x x mx x =+-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是.【答案】[)2,-+∞【解析】二次函数()()221f x x m x =+-+的图象开口向上，对称轴为直线22m x -=-，因为函数()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，则222m --≤，解得2m ≥-.因此，实数m 的取值范围是[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞.【变式5-4】若函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，则实数a 的取值范围是.【答案】[0,1)【解析】令()224g x x x =-+，0x >，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，又(1)2(1)f f ==-，作出函数()f x的大致图象，由于函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，结合图象，由题意可得321111a a ->⎧⎨-≤-<⎩，解得01a ≤<，所以实数a 的取值范围是[0,1)，故答案为：[0,1)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题【典例6-1】已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．【典例6-2】已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．【解析】函数()222211y x ax x a a =++=++-的图象为对称轴为x a =-，开口向上的抛物线，当12a -≤时，即12a ≥-时，此时2x =离对称轴更远，所以当2x =时有最大值，最大值为45a +，由已知454a +=，故14a =-，当12a ->时，即12a <-时，此时=1x -离对称轴更远，所以当=1x -时有最大值，最大值为22a -，由已知224a -=，故1a =-，所以14a =-或1a =-.【方法技巧】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果得到最终答案.【变式6-1】已知函数()2f x x ax =+，其中a 是实数．(1)()f x 在区间[]1,2-上的最大值记为()M a ，求()M a 的表达式；(2)()f x 在区间[]1,2-上的最小值记为()m a ，求()m a 的表达式；(3)若()()3M a m a -=，求实数a 的值．【解析】（1）()222()24a x a f x x ax =+=+-，对称轴为2a x =-，当122a -≤，即1a ≥-时，()(2)42M a f a ==+，当122a ->，即1a <-时，()(1)1M a f a =-=-，综上，()42,11,1a a M a a a +≥-⎧=⎨-<-⎩.（2）当12a-≤-，即2a ≥时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递增，()(1)1m a f a =-=-，当22a-≥，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递减，()(2)42m a f a ==+，当122a -<-<，即42a -<<时，()2()24a a m a f =-=-，综上，()242,4,4241,2a a am a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.（3）当4a ≤-时，()1M a a =-，()42m a a =+，由()()3M a m a -=，得()1423a a --+=，解得2a =-（舍）；当41a -<<-时，()1M a a =-，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得2134a a -+=，即2480a a --=，解得2a =-2=+a ；当12a -≤<时，()42M a a =+，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得()24234aa ++=，即2840a a ++=，解得4a =--4a =-+当2a ≥时，()42M a a =+，()1m a a =-，由()()3M a m a -=，得()()4213a a +--=，解得0a =（舍），综上，2a =-4-+题型七：二次方程实根的分布及条件【典例7-1】若关于x 的一元二次方程()23180x a x a +-++=有两个不相等的实根12,x x ，且121,1x x <>．则实数a 的取值范围为．【答案】2a <-【解析】令函数2()(31)8f x x a x a =+-++，依题意，()0f x =的两个不等实根12,x x 满足121,1x x <>，而函数()f x 图象开口向上，因此(1)0f <，则21(31)180a a +-⨯++<，解得2a <-，所以实数a 的取值范围为2a <-.故答案为：2a <-【典例7-2】方程()2110mx m x --+=在区间()0,1内有两个不同的根，m 则的取值范围为．【答案】3m >+【解析】令()()211f x mx m x =--+，图象恒过点()0,1，方程()211mx m x --+=0在区间()0,1内有两个不同的根，()()2010********Δ0m m m m m f m m >⎧⎧⎪>-⎪⎪<<⎪⎪∴⇒>⎨⎨⎪⎪>-->⎪⎪⎩>⎪⎩，解得3m >+故答案为：3m >+【方法技巧】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.【变式7-1】（2024·四川雅安·模拟预测）已知关于x 的方程()20,x bx c b c R ++=∈在[]1,1-上有实数根，且满足033b c ≤+≤，则b 的取值范围是．【答案】[]0,2【解析】问题等价于()()2,g x bx c h x x =+=-在[]1,1-上有公共点．()[]330,3g b c =+∈ ，设(3,0),(3,3)C D ，(3)3g b c =+，点(3,(3))g 在线段CD 上，()y g x ∴=的图象是过线段CD 和抛物线AB 弧上各一点的直线(如图)，其中()()()()1,1,1,1,3,0,3,3A B C D ---．∴[]max min 2;00,2.BD CO b k b k b ====⇒∈故答案为：[0,2]．【变式7-2】关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤题型八：二次函数最大值的最小值问题【典例8-1】已知函数2()f x x ax b =++在区间[0,4]上的最大值为M ，当实数a ，b 变化时，M 最小值为．【答案】2【解析】22()4(4)4[(4)]f x x x a x b x x a x b =-+++=---+-，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数2()4g x x x =-，[0x ∈,4]与函数()(4)h x a x b =-+-，[0x ∈,4]图象上点的纵向距离，则M 即为函数2()4g x x x =-与函数()(4)h x a x b =-+-图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数(),()g x h x图象，如图，由图象可知，当函数()h x 的图象刚好为=2y -时此时4,2a b =-=，M 取得最小值为2.故答案为：2【典例8-2】已知函数(),,f x ax b a b =-∈R ，若对任意的[]00,4x ∈，使得()0f x M ≥，求实数M 的取值范围是．【答案】1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,t x t ==，则()()[]()2,0,2f x g t at t b t ==-+-∈，取三点控制得()()()012g M g M g M ⎧≥⎪≥⎨⎪≥⎩，进而142b M a b M a b M⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，化简得33444442b Ma b M a b M ⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，可得8344442M b a b a b ≤+-+-+-+-，即()()83444422M b a b a b ≤+-+---+-=，解得14M ≤．故答案为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【方法技巧】解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.【变式8-1】二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且()232f x x x +≤恒成立．(1)求()f x 的解析式；(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．【解析】（1）依题设()2f x ax c =+，由()11f =，得1a c +=，()232f x x x +≤，得()23210a x x a -++-≥恒成立，∴30Δ44(1)(3)0a a a ->⎧⎨=---≤⎩，得()220a -≤，所以2a =，又1a c +=，所以1c =-，∴()221f x x =-；（2）由题意可得：()222h x x ax =-，[]0,1x ∈，若0a ≤，则()222h x x ax =-，则()h x 在[0,1]上单调递增，所以()()122T a h a ==-；若0a >，当12a≥，即2a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，()()122T a h a ==-当12a <，只须比较222a a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()122h a =-的大小，由()22202a a -->，得：21a <<，此时()22a T a =，02a <≤时，2222a a -≤，此时()22T a a =-，综上，()222,2,22222,2a a aT a a a a -≥⎧⎪⎪=<<⎨⎪⎪-<⎩，2a ≥时，()2T a ≥，22a <<时，()62T a -<<，2a ≤时，()6T a -，综上可知：()T a的最小值为6-【变式8-2】已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当1a =-时，函数()(2)|1|f x x x =--，当1x >时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+，此时，函数()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1x ≤时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+-，此时，函数()f x 在(],1-∞上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；因为函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数()f x 在区间[]4,1-上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 3()min (4),()2f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，max 7()max (1),()4f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为(4)(42)(14)30f -=--+=-，1((2)()43331222f -=-=-，(1)(12)(11)0f =--=，3()(2)()167771444f ==---，所以函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]30,0-；（2）由已知可得，()()()()()()()22222,222,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥-⎪=⎨--+=-+-+<-⎪⎩，当3a -≥时，即3a ≤-时，2()(2)2f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥，当232a-≥时，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[3,3]-上单调递增，所以()(3)3g a f a ==--，当52322a -≤<时，即43a -<≤-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以242244()()a a g a f a ++=-=，当2a -≤时，即2a ≥-时，若[3,2]x ∈-，()0f x ≤，若[2,3]x ∈，()0f x >，因为当(]2,3x ∈时，2()(2)2f x x a x a =+--，对称轴为222ax -=≤，所以函数()f x 在区间(]2,3上单调递增，所以()(3)3g a f a ==+，当23a <-<，即32a -<<-时，此时25222a -<<，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(],3a -上单调递增，所以()()2244max 3,max 3,24a a a g x f f a ⎧⎫⎧⎫-++⎛⎫==+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭若24434a a a +++≥，即2a -≤<-时，()3g a a =+，若24434a a a +++<，即3a -≤<-时，244()4a a g a ++=，综上所述，23,44(),443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩，函数()3g a a =--在区间(],4-∞-上单调递减，函数244()4a a g a ++=在区间(4,--上单调递减，函数()3g a a =+在区间)⎡-+∞⎣上单调递增，所以min 33()(g a g -=-=-=【变式8-3】（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数()2f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值为()g a ，则()g a 的最小值为（）A．3-B1-C ．14D ．1【答案】A【解析】以下只分析函数()2f x x ax =-在[]0,1x ∈上的图象及性质，分类讨论如下：①当0a ≤时，函数()22=f x x ax x ax =--在区间[]0,1上单调递增，即()()11g a f a ==-，此时()g a 单调递减，()()min 01g a g ==；②当01a <≤时，()222,1=,0x ax a x f x x ax ax x x a ⎧-<≤=-⎨-≤<⎩，所以()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当0222a <≤-时，()2114a a g a a -≥⇒=-，当221a <≤，()22144a a a g a -<⇒=，此时()()()()2min22222212223224g a g ===--=-③当1a >时，()22=f x x ax ax x =--，即()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当12a <≤时，()22144a a a g a -≤⇒=，当2a <，()2114a a g a a ->⇒=-，此时()()min 114g a g ==；而113224>>-()g a 的最小值为322-.故选：A1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D2．（2023年天津高考数学真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【解析】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数13y x =的图象是A ．B．C ．D ．【答案】B【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），11(,)82，可排除C．故选B．1．画出函数y的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【解析】xyx≥==<y∴=设()f x y==()f x的定义域为R.()()f x f x-===，()y f x∴==.当[0,)x∈+∞时，y=设任意的12,[0,)x x∈+∞，且12x x<，则12y y-= 12,[0,)x x∈+∞，且12,x x≥12120,0,0x x y y>-<∴-<即12y y<. y∴[0,)+∞上为增函数.当(,0]x∈-∞时，y=设任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，则12y y -===12,(,0]x x ∈-∞，且12,0x x <>，21120.0x x y y ->∴->即12y y >.y ∴(,0]-∞上是减函数.2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【解析】（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.（2）将3r =与400v =代入4v kr =中，有44003k =⨯.解得40081k =，所以，气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式为440081v r =.（3）当=5r 时，43400250000530868181/s v cm =⨯=≈.所以，当气体81通过的管道半径为5cm 时，该气体的流量速率约为33086/cm s .3．试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【解析】21()f x x =.列表：x…-3-2-1123…()f x …1914111419…描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则()()()()222121211222222212121211x x x x x x f x f x x x x x x x +---=-==.22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .。

第9讲 二次函数与幂函数夯实基础 【p 22】【学习目标】1．熟练掌握二次函数的概念、图象、性质及其与一元二次方程、一元二次不等式的联系． 2．了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象了解它们的变化情况．【基础检测】1．函数y ＝－12()x ＋12＋2的顶点坐标是( )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(－1，－2)【解析】∵y ＝－12()x ＋12＋2＝－12[]x －()－12＋2，∴顶点坐标是(－1，2)．【答案】C2．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，4)，则该幂函数的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x ＋2D ．y ＝2x【解析】设f (x )＝x α，∵其图象过点(2，4)，∴2α＝4，α＝2，即f (x )＝x 2. 故选B. 【答案】B3．已知函数f ()x ＝x 2－2ax －3在区间[]1，2上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( )A.()－∞，1B.(]－∞，1C.()2，＋∞D.[)2，＋∞【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a ，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上是单调增函数，只需a≤1，从而a∈(－∞，1]．故选B.【答案】B4．若幂函数f ()x ＝()m 2－m －1x m －1在区间()0，＋∞上是增函数，则实数m 的值为________．【解析】由于函数为幂函数，故m 2－m －1＝1，解得m ＝2，m ＝－1，当m ＝－1时，函数在()0，＋∞为减函数，故m ＝2.【答案】2 【知识要点】__{x |x ≥0}___{x |x ≠0}_2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝__ax 2＋bx ＋c(a≠0)__；(2)顶点式：f(x)＝__a(x －m)2＋n(a≠0)__； (3)零点式：f(x)＝__a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)__． a>0a<0x∈R⎝⎭典例剖析 【p 23】考点1 幂函数的图象与性质例1(1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3的图象是( )【解析】函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3可化为y ＝x 3，当x ＝12时，求得y ＝18<12，选项B ，D 不合题意，可排除选项B ，D ；当x ＝2时，求得y ＝8>2，选项A 不合题意，可排除选项A ，故选C.【答案】C(2)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)．若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3B ．±3C ．±9D ．9【解析】依题意有2＝4α，得α＝12，所以f (x )＝x 12，当f (m )＝m 12＝3时，m ＝9. 【答案】D(3)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，且f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，5)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(3，5)【解析】设f ()x ＝x α，∴4α＝12，∴α＝－12，∴函数f ()x ＝x －12为减函数，所求不等式转化为a ＋1>10－2a>0，解不等式得实数a 的取值范围是()3，5.【答案】D(4)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】∵y ＝x 25(x>0)为增函数，∴a>c.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x∈R )为减函数，∴c >b . ∴a >c >b .【答案】a >c >b【小结】(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 考点2 二次函数的解析式的求法例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解析】法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n.∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【小结】求二次函数解析式的方法考点3 二次函数的图象与性质例3已知函数f ()x ＝x 2－2ax ＋5()a>1.(1)若f ()x 的定义域和值域均是[]1，a ，求实数a 的值；(2)若f ()x 在区间(]－∞，2上是减函数，且对任意的x∈[]1，a ＋1，都有f ()x ≤0，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵f ()x ＝x 2－2ax ＋5＝()x －a 2＋()5－a 2，∴f ()x 在(]－∞，a 上单调递减，又a>1， ∴f ()x 在[]1，a 上单调递减，∴⎩⎨⎧f ()1＝a ，f ()a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，∴a ＝2. (2)∵f ()x 在区间(]－∞，2上是减函数， ∴(]－∞，2(]－∞，a ，∴a ≥2.∴||1－a ≥||()a ＋1－a ，f ()1≥f ()a ＋1， ∴x ∈[]1，a ＋1时，f ()x max＝f ()1，又∵对任意的x∈[]1，a ＋1，都有f ()x ≤0， ∴f ()1≤0，即1－2a ＋5≤0，∴a ≥3.【小结】涉及二次函数的图象与性质要抓住开口、对称轴、与坐标轴的交点． 考点4 二次函数的最值求法例4已知函数f ()x ＝x 2＋()2a －1x －3.(1)当a ＝2，x ∈[]－2，3时，求函数f ()x 的值域；(2)若函数f ()x 在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．【解析】(1)当a ＝2时，f ()x ＝x 2＋3x －3，x ∈[]－2，3，对称轴x ＝－32∈[]－2，3，∴f ()x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－214，f ()x max＝f ()3＝15， ∴函数f ()x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数f ()x 的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a≥－12时，f ()x max ＝f ()3＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12>1，即a<－12时，f ()x max ＝f ()－1＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知a ＝－13或a ＝－1.【小结】二次函数最值问题的三种类型及解题思路：(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．考点5 三个二次的综合应用例5已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，且不等式f (x )<2x 的解集为(－1，2)． (1)若方程f (x )＋3a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最小值不大于－3a ，求实数a 的取值范围． 【解析】∵f (x )<2x 的解集为(－1，2)，∴ax 2＋(b －2)x ＋c<0的解集为(－1，2)，∴a>0，且方程ax 2＋(b －2)x ＋c ＝0的两根为－1和2，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＋c ＝0，4a ＋2b －4＋c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2－a ，c ＝－2a ， ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )x －2a (a>0)．(1)∵方程f (x )＋3a ＝0有两个相等的实根，即ax 2＋(2－a )x ＋a ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(2－a )2－4a 2＝03a 2＋4a －4＝0, ∴a ＝－2(舍)或a ＝23，∵a>0，∴a ＝23，∴f (x )＝23x 2＋43x －43.(2)f (x )＝ax 2＋(2－a )x －2a＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－a 2a 2＋－8a 2－（2－a ）24a ，∵a>0，∴f (x )的最小值为－8a 2－（2－a ）24a ，则－8a 2－（2－a ）24a ≤－3a ，3a 2＋4a －4≤0，解得－2≤a≤23，∵a>0，∴0<a ≤23.【小结】(1)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助二次函数的图象、性质来解．(2)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函数的图象来解，一般从以下四个方面分析：①开口方向； ②对称轴位置； ③判别式；④端点函数值符号． 【能力提升】例6已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a|x －1|.(1)若当x∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0，2]上的最大值．【解析】(1)不等式f (x )≥g (x )对任意x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对任意x ∈R 恒成立． ①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－（x ＋1），x <1.因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2，所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a2≤0，即a ≥0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3. 此时，h (x )max ＝a ＋3.②当0<－a2≤1，即－2≤a <0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时h (x )max ＝a ＋3.③当1<－a2≤2，即－4≤a <－2时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0，3＋a }＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.④当－a2>2，即a <－4时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0. 此时h (x )max ＝0.综上，h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.方法总结 【p 24】1．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想、方法将它们进行适当的转化，这是准确迅速解决此类问题的关键．2．对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在[m ，n ]上的最值的研究是本讲内容的重点，对如下结论必须熟练掌握：(1)当x ＝－b 2a ∈[m ，n ]时，4ac －b24a是它的一个最值，另一个最值在区间端点取得．(2)当x ＝－b2a[m ，n ]时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得．(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想．3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当a ＞0且Δ＜0时f (x )＞0恒成立；当a ＜0且Δ＜0时f (x )＜0恒成立．4．二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化．走进高考 【p 24】1．(2017·浙江)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【解析】因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，选B.【答案】B。

2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。

第7讲二次函数与幕函数® ［11•如图K7-1所示给出了4个幕函数的大致图像，则图像与函数对应正确的是()A. ①y= 一，② y=*，③ y=「,④ y=x1B. ①y=x3，② y=*，③ y=-④ y=)x1C. ①y=x2，② y=£，③ y=「，④ y=0D. ① y= ~，② y= 1，③ y=*，④ y=02. 函数f(x)=-x2+2x-3在［0,3］上的最大值、最小值分别为()A.0,-2B.-2，-6C.-2，-3D.-3，-63. ［2018 •茂名联考］已知幕函数f(x)=x a 的图像过点「则函数g(x)=(2x-1)f(x)在区间-上的最小值是()A.-1B.0C.-2 D-4•定义域为R的函数f(x)=ax2+b凶+c(a^ 0)有两个极值，则实数a，b，c满足()A.b2-4ac>0 且a>0B.b2-4ac>0C.-—>0D.-—<05. __________________________________________ 已知幕函数f(x)的图像过点(2, _),则f(9)= .®［能力撮升】6. ［2018 •西安联考］已知函数f(x)=-x2+4x,x€ ［m,5］的值域是［-5,4］,则实数m的取值范围是A.（计）B .（-1,2]C.[-1,2]D.[2,5]7. [2018・合肥三检]已知a€ - _ -，若f(x)=X a为奇函数且在(0,+为上单调递增，则实数a的值是()A.-1,3B._,3C.-1, -,3D.-,-,38•关于x的二次方程(m+3)x2-4mx+2m-仁0的两个根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是()A.-3<m<0B.0<m<3C.mv-3 或m>0D.m<0 或m>39. 若函数f(x)=|-x2+4x-3|的图像与直线y=kx相交于点M(2,1),则函数f(x)的图像与该直线的交点个数为()A.1B.2C.3D.410. [2018 •保定模拟]已知函数f(x)既是二次函数又是幕函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x)= ------ +1, 则h(2018)+h(2017)+h(2016)+ …+h(1)+h(0)+h(-1)+ …+h (-2016 )+h (-2017 )+h (-2018 )=( )A.0B.2018C.4036D.403711. ____________________________________________________ 已知a= -,b= - ,c=-，则a,b,c的大小关系是________________________________________________ .12. [2018岳阳一中模拟]已知f(x)=--若？x € Rf(x)< f(0)恒成立，则实数a 的取值范围为_________ .13. 已知幕函数y= - -(m € N*)的图像关于y 轴对称，且在(0,+于上是减函数，求满足(a+1 -一< - 的a的取值范围.14.已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c € R).(1)若f(x) w 0的解集为{x|-1 w x< 1},求实数b,c的值；⑵若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)上,求实数b的取值范围.@【难点兗确】15.[ 2018 •东北师大附中月考]对于函数f(x),若存在X o € R使得f(X o)=X o成立，则称x o为f(x)的不动点，已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a^ 0).(1)当a=1 ,b=-2时，求f(x)的不动点； (2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

专题07 二次函数与幂函数（押题专练）2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( )A ．a ≥8B ．a ≤8C ．a ≥4D ．a ≥－4 答案 A解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a 2≥4，解得a ≥8. 2．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2 答案 B解析 f (x )＝ (m 2－m －1)x m 是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2.又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.3．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，且f (m )<0，则( )A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0答案 C4．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2 答案 B 5．二次函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，且f ′(x )＝－x －1，则不等式f (10x )>0的解集为( ) A ．(－3,1)B ．(－lg3,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11000，1 D ．(－∞，0) 答案 D解析 由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋32(a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∵f ′(x )＝－x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－1，b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝－1，∴f (x )＝－12x 2－x ＋32， 令f (x )>0，得－3<x <1，∵10x >0，∴不等式f (10x )>0可化为0<10x <1，∴x <0，故选D.6．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，36－45－a a ＋5<0，解得－4<a <4.7．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________． 答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )． (1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在． (2)当－a2∈，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0， 得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4，综上得－7≤a ≤2.11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定答案 B解析 函数的对称轴为x ＝－1，设x 0＝x 1＋x 22，由0<a <3得到－1<1－a 2<12. 又x 1<x 2，用单调性和离对称轴的远近作判断得f (x 1)<f (x 2)．12．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意． 13．已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.14．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2. 15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋＝8.。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习专题10 幂函数与二次函数一、选择题1．（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=- B ．23y x =- C ．13y x =-D ．3y x -=【答案】B【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B.2．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C错误. 故选：C.4.（2019·河北武邑中学高三月考（文））已知幂函数y =f(x)的图象通过点(2,2√2)，则该函数的解析式为（ ）A ．y =2x 12B ．y =x 12C ．y =x 32D ．y =12x 52【答案】C【解析】设幂函数的解析式为y =x a .∵幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2) ∴2√2=2a ∴a =32∴该函数的解析式为y =x 32故选C.5.（2019·福建高三期中（文））已知a =245，b =2515，c =427，则( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <a D ．c <a <b【答案】D【解析】a =245=[(2)4]15=1615，b =2515，y =x 15在(0,+∞)递增，则a <b ，又a =245，c =427=247，y =2x 在R 上递增且45>47，则a >c ，所以c <a <b ，故选D.6．（2019·安徽省合肥一中高三其他（文））已知幂函数()nf x x =的图象过点18,4⎛⎫⎪⎝⎭，且()()13f a f +<，则a 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()(),42,-∞-+∞C ．(),4-∞-D ．2,【答案】B【解析】已知幂函数()n f x x =的图象过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则184n=，则812log 43n ==-，故幂函数()f x 的解析式为()23f x x -=，若()()13f a f +<，则13a +>，解得4a或2a >.故选：B.7．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-， 所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.8．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．12【答案】A【解析】依题意得1()22α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.9.（2019·石嘴山市第三中学高三高考模拟（文））已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 的图象上，设a =f (√33),b =f(lnπ),c =f (√22)，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】D【解析】由题可得：8=2n ，解得：n =3所以f (x )=x 3因为√33<1，√22<1，ln π>lne =1.又√33−√22=2√3−3√26=√12−√186<0，所以√33<√22<lnπ由f (x )=x 3在R 上递增，可得：f (√33)<f (√22)<f (lnπ).所以a <c <b .故选：D10．（2020·上海高三专题练习）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+>【答案】B【解析】令()()f x g x =,可得21ax b x=+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点，不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||x x >，即120x x ->>，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +<故选：B ．二、多选题11．（2019·福建省厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{|,0}y y R y ∈≠且；③在(),0-∞上是减函数.则以下幂函数符合这三个性质的有（ ）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．1()f x x -=D ．13()f x x -=E.23()f x x -= 【答案】CD【解析】A. 2()f x x =，为偶函数，排除；B. ()f x x =，值域为R ，排除；C. 1()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；D. 13()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；E. 23()f x x -=，为偶函数，排除； 故选：CD .12．（2020·全国高一课时练习）已知实数a ，b 满足等式1132a b =，则下列五个关系式中可能成立的是（ ）A ．01b a <<<B ．10a b -<<<C ．1a b <<D ．10b a -<<<E.a b =【答案】ACE【解析】画出12y x =与13y x =的图象（如图），设1132a b m ==，作直线y m =.从图象知，若0m =或1，则a b =；若01m <<，则01b a <<<；若1m ；则1a b <<.故其中可能成立的是ACE .故选：ACE13．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.14．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】BCD【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+,当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选:BCD三、填空题15．（2020·上海高一课时练习）若0,m n k Q <<∈且k 0<，则1km ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1kn ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是_________．【答案】11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】因为0m n <<所以110m n>>由因为函数k y x =，(),0k Q k ∈<在()0,∞+上单调递减，所以11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．（2018·山西康杰中学高考模拟（文））幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_______.【答案】2【解析】函数f （x ）=（m 2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，函数y=x 的图象不关于y 轴对称，舍去；当m=2时，函数y=x 2的图象关于y 轴对称；∴实数m=2．故答案为：2．17.（2020·上海高三二模）已知1112,1,,,,1,2,3232 α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭.若函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，则α=________.【答案】2-【解析】由题可知，1112,1,,,,1,2,3232α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭，且函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，可知0α<，所以α的可能值为2-，1-，12-，当2α=-时，函数()()2210f x x x x-==≠， 由于()()()2211f x f x x x -===-，则()f x 为偶函数，符合题意； 当1α=-时，函数()()110f x x x x-==≠，由于()()()11f x f x x x-==-=--，则()f x 奇函数，不符合题意； 当12α=-时，函数()12f x x -==，此时()f x 的定义域()0,∞+，所以()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；综上可知，满足题意的2α=-. 故答案为：2-.18．（2020·浙江省高三其他）已知幂函数()y f x =的图象过点3,3⎛ ⎝⎭，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．【答案】()12f x x -= (0,)+∞ 【解析】设()f x x α=，代入⎛ ⎝⎭得()33f α==，解得12α=-，所以此函数的解析式为()12f x x -=．函数()y f x =在定义域内单调递减，故单调递减区间为(0,)+∞．故答案为：()12f x x -=；(0,)+∞.19．（2015·浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.20．（2019·北京高三二模（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3- 1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x ＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x ＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-， 即：231a x x ≤--+恒成立， 令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++， 在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤， 即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 在0＜x≤3时，g （x ）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥， 实数a 的取值范围是1[,1]421．已知函数()21f x ax bx =++（a 、b 为实数， 0a ≠， x ∈R ），若()10f -=，且函数()f x 的值域为()0,∞+，则()f x 的表达式=__________．当[]2,2x ∈-时， ()()g x f x kx =-是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．【答案】()221f x x x =++ ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞【解析】∵()()210f x ax bx a =++≠， ()101a b f -+==-，∴1a b =-①，又∵()222122b b b f x a x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22122b b a x a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()2min104b f x a=-=②，联立①②解出1a =， 2b =，∴()221f x x x =++．(2)因为g （x ）=f （x ）-kx=x 2+2x+1-kx=x 2-（k-2）x+1=（()22222)12242k k k x ----+-∴≥或2262k k -≤-∴≥或2k ≤- 故答案为(1). ()221f x x x =++ (2). ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞ 四、解答题22．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知函数f(x)=ax +b(a ≠0)满足3f(x −1)−2f(x +1)=2x −6.（1）求a ，b 的值；（2）求函数g(x)=x[f(x)−6]在区间[0,2]上的最值.【答案】（1）a =2,b =4 ； （2）最小值−12，最大值4． 【解析】（1）因为f(x −1)=a(x −1)+b,f(x +1)=a(x +1)+b ．所以3f(x −1)−2f(x +1)=3[a(x −1)+b]−2[a(x +1)+b] =ax −5a +b =2x −6，所以{a =2 ，−5a +b =−6解得{a =2 ，b =4 （2）由（1）可知：f(x)=2x +4．所以g(x)=x[f(x)−6]=x(2x +4−6)=2(x 2−x)=2[(x −12)2−14]=2(x −12)2−12．当x =12时，g(x)取最小值−12 ； 当x =2时， g(x)取最大值4．23．（2019·河南省高三月考（理））已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x12m-在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t.（1）求实数m的值；（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.【答案】（1）m＝1（2）﹣42≤t≤5【解析】(1)∵f(x)=(3m2﹣2m)x12m-为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;∴232112m mm⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m=1;(2)由(1)可得12()f x x=,当x∈[1,9]时,f(x)值域为:[1,3],g(x)=x2﹣4x+t的值域为:[t﹣4,t+45],∴A=[1,3],B=[t﹣4,t+45];∵命题p:x∈A,命题q:x∈B,且命题q是命题p的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.24．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数()()22kk f x x k N -++=∈满足()()23f f <.（1）求k 的值及()f x 的解析式；（2）试判断是否存在正数q ，使函数()()()121g x qf x q x =-+-在区间[]1,2- 上的取值范围为区间174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ?若存在，求出正数q 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0k =或1k =，()2f x x =；（2）存在2q.【解析】(1)∵()()23f f <，∴22213k k -++⎛⎫< ⎪⎝⎭．故220k k -++>，解得12k -<<. 又∵k Z ∈，∴0k =或1k =.当0k =或1k =时，222k k -++=，∴()2f x x =.(2) 存在2q ，求解如下：假设存在0q >满足题设，由(1)知，()()[]2211,1,2g x qx q x x =-+-+∈-，∵()21g =-，∴两个最值点只能在1x =-和212q x q-=处取得， ()123g q -=-，2214124q q g q q ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 而()()224121411230244q q q g g q q q q -⎛⎫-+--=-+=≥ ⎪⎝⎭， ∴()()min 1234g x g q =-=-=-，即2q ，此时()2max411748q g x q +==，故2q 符合题意．25．（2020·金华市曙光学校高一月考）设函数2()3||()=-+f x ax x a ，其中a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若对任意[,1]∈+x a a ，恒有()1f x ≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[]1,0-. 【解析】（1）当1a =时，()2251,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨-+->⎩，（i ）当0x ≤时，()252124f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，此时()21,4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦， （ii ）当0x >时，()21324f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，此时()3,4f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 由（i ）(ii)得()f x 的值域为21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）因为对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，()()111f a f a ⎧≥-⎪∴⎨+≥-⎪⎩，即()()22234131211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤， 下面证明，当[]1,0a ∈-时，对任意[],1x a a ∈+恒有()1f x ≥-，（i ）当0a x ≤≤时，()()()222,01f x x ax a f a f a =-+-==-≥-，故()()(){}min ,01f x f a f ≥≥-成立；（ii ）当01x a ≤≤+时，()225f x x ax a =---，()()217711,01f a a a f +=---≥-≥-，故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立， 此时，对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-， 所以实数a 的取值范围是[]1,0-.26．（2019·广东省增城中学高二期中）已知113a ≤≤， 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ，最小值为()N a ， 令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩；（2）实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(1)()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1分∵113a ≤≤，∴113a≤≤①当112a ≤≤，即112a ≤≤时，则3x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=196a a+-3分②当123a <≤，即1132a ≤<时，则1x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=12a a+-. 5分综上，得()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩（2）任取，且12a a <()()1212121a a a a a a --=，∵，且12a a <120a a ∴-<，120a a >，1210a a -<；∴()()12121210a a a a a a -->，即()()120g a g a ->∴∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减 ，任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()34343491a a a a a a --=∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <340a a ∴-<，340a a >，34910a a ->；∴()()343434910a a a a a a --<，即()()340g a g a -<∴()()34g a g a <∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ，当12a =时，()g a 取得最小值，其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43，()1g =4 ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解 ∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域，∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2020·全国高一）已知点A （t ，1）为函数y ＝ax 2+bx +4（a ，b 为常数，且a ≠0）与y ＝x 图象的交点．（1）求t ；（2）若函数y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，求a ，b ； （3）若1≤a ≤2，设当12≤x ≤2时，函数y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ，最小值为n ，求m ﹣n 的最小值．【答案】（1）t ＝1；（2）14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩；（3）98．【解析】（1）把A （t ，1）代入y ＝x 得t ＝1；（2）∵y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，∴241160a b b a ++⎧⎨∆-⎩＝＝＝，∴14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩； （3）把A （1，1）代入y ＝ax 2+bx +4得，b ＝﹣3﹣a ，∴y ＝ax 2﹣（a +3）x +4＝a （x ﹣32a a +）2﹣95442a a -+，∴对称轴为直线x ＝32a a+， ∵1≤a ≤2，∴54≤x ＝32a a+≤2， ∵12≤x ≤2，∴当x ＝12时，y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ＝542a -+，当x ＝2时，n ＝﹣95442a a -+，∴m ﹣n ＝94a， ∵1≤a ≤2，∴当a ＝2时，m ﹣n 的值最小， 即m ﹣n 的最小值98．。

考点05二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.掌握幂函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图象和性质.（2）了解幂函数的变化特征.（3）能将一些简单的实际问题转化为二次函数或幂函数问题，并给予解决.一、二次函数 1．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数. 2．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质4．常用结论(1)函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c =0的实根.(2)若x 1，x 2为f (x )=0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1−x 2.(3)当0a >且0∆<(0∆≤)时，恒有f (x )>0(()0f x ≥)；当0a <且0∆<(0∆≤)时，恒有f (x )<0(()0f x ≤).二、幂函数 1．幂函数的概念一般地，形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，α为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质x3．常用结论(1)幂函数在(0,)+∞上都有定义.(2)幂函数的图象均过定点(1,1).(3)当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调递增. (4)当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象.考向一求二次函数的解析式求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：典例1若函数f (f )=(f +f )(ff +2f )（常数f ，f ∈f ）是偶函数，且它的值域为(−∞,4]，则该函数的解析式f (f )=__________． 【答案】f (f )=−2f 2+4【解析】∵函数f (f )=(f +f )(ff +2f )=ff 2+(2f +ff )f +2f 2是偶函数， ∴2f +ff =0，即f (f +2)=0， ∴f =0或f =−2，又∵函数f (f )的值域为(−∞,4]，∴2f2=4，f2=2．故该函数的解析式f(f)=−2f2+4．故答案为：f(f)=−2f2+4.【名师点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.1．已知二次函数f (x)满足f(0)=1,f(f+1)−f(f)=2f+5.（1）求f(x)的解析式；（2）若x∈[-3,1]，求f(x)的值域.考向二幂函数的图象与性质1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.典例2 如图所示的曲线是幂函数y x α=在第一象限的图象，已知11{44}44α∈--,,,，相应曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为A ．114444--，，， B ．114444--，，， C ．114444--，，，D ．114444--，，， 【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为114444--，，，． 故选B ．2．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =A ．−1B ．2C ．3D ．2或−1典例3 设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【解析】因为52x y =在),0(+∞上是增函数，所以,c a >又因为x y )52(=在),(+∞-∞上是减函数，所以b c >.【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.3．已知125a =，259b =，24log e 4c =，则下列结论成立的是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<考向三二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略： 1．图象识别问题辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．2．二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 3．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是2040a b ac >⎧⎨-<⎩.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是2040a b ac <⎧⎨-<⎩.另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，此时就等价于在区间D 上f (x )min >A ，接下来求出函数f (x )的最小值；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ，求出函数f (x )的最大值即可.典例4 若函数2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的最小值为_________.【答案】12【解析】()f x 的定义域为()0,+∞，1()22f 'x mx x=+-，因为()f x 在()0,+∞上为增函数，故1220mx x+-≥在()0,+∞上恒成立，且()f 'x 不恒为零. 1220mx x +-≥在()0,∞+上恒成立等价于22211211m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,+∞上恒成立， 故21m ≥即12m ≥， 而当12m =，当且仅当1x =时有()=0f 'x ，故()f 'x 不恒为零. m 的最小值为12. 故填12.【名师点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()0()0f 'x f 'x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()0()0f 'x f 'x ≥≤且不恒为零．4．“2a =”是“函数()223f x x ax =--在区间[2,)+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件典例5 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为.【答案】2(,0)2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<．5．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若f (0)＝f (4)＞f (1)，则A ．a ＞0，4a ＋b ＝0B ．a ＜0，4a ＋b ＝0C ．a ＞0，2a ＋b ＝0D ．a ＜0，2a ＋b ＝01．若幂函数f (f )的图象过点(2,√2)，则函数f =f (f )+1−f 的最大值为 A ．1B ．54 C ．2D ．732．已知120.2a -=，0.512b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122c -=，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>3．幂函数()af x x =的图象经过点(2,4)，则1()2f -=A ．12 B ．14C ．14-D ．24．函数31y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是A ．B ．C ．D ．5．已知幂函数f （x ）=x a（a 是常数），则 A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 在()0,+∞上单调递增C ．()f x 的图象一定经过点()1,1D ．()f x 的图象有可能经过点()1,1-6．已知p ：幂函数()21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增；:21q m -<则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知幂函数()af x x =的图象过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是A ．1-B ．0C ．2-D ．328．设0.32a =，0.23=b ，0.17c =，则a 、b 、c 的大小关系为 A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<9．已知点(,9)m 在幂函数()(2)nf x m x =-的图象上，设131(),(ln )3a f m b f -==，c f =则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<10．已知函数()()2211f x x a x =---（其中0a >，且1a ≠）在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，则函数()g x =的定义域为A ．(),a -∞B ．()0,aC ．(]0,aD ．(),a +∞11．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-++-+-+-=L L A ．0B ．2018C ．4036D ．403712．已知函数()()()()()2012201420162018,f x x x x x x =++++∈R ，则函数()f x 的最小值是__________． 13．对幂函数32()f x x-=有以下结论（1）()f x 的定义域是{|0,}x x x ≠∈R ； （2）()f x 的值域是(0,)+∞； （3）()f x 的图象只在第一象限； （4）()f x 在(0,)+∞上递减； （5）()f x 是奇函数．则所有正确结论的序号是__________．14．已知二次函数()f x 的最小值为1,且()()()2,03f x f x f =-=．（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上,()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．15．已知函数329()6.2f x x x x a =-+- （1）对任意实数,()x f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若函数()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.1．（2019年高考北京文数）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=2．（2017年高考浙江卷）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关3．（2017年高考山东卷理科）已知当[0,1]x ∈时，函数的图象与的图象有且只()21y mx =-y m =有一个交点，则正实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．4．（2016年高考新课标III 卷理科）已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．（2016年高考浙江卷文科）已知函数f (x )=x 2+bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2019年高考浙江卷）已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.1．【答案】（1）f (f )=f 2+4f +1；（2）[−3,6].【解析】（1）设f (f )=ff 2+ff +f ，因为f (0)=1，所以c =1. 当f =0时，由f (f +1)−f (f )=2f +5，得f (1)=6； 当f =1时，由f (f +1)−f (f )=2f +5，得f (2)=13.由{f (0)=1f (1)=6f (2)=13 ，得{f =1f +f +f =64f +2f +f =13 ，求得{f =1f =4f =1，所以f (f )=f 2+4f +1；（2）∵f (f )=f 2+4f +1在(−∞,−2]上单调递减，在[−2,+∞)上单调递增， 又因为−2∈[−3,1]，所以当f =−2时，f (f )的最小值是f (−2)=−3， 又因为当f =−3时，f (−3)=−2， 当f =1时，f (1)=6， 所以f (f )的值域是[−3,6].m (])0,1⎡+∞⎣U (][)0,13,+∞U ()⎡+∞⎣U ([)3,+∞U【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，当f =2时，5()f x x =，其图象与两坐标轴有交点，不符合题意； 当f =−1时，41()f x x=，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故f =−1. 故选A ． 3．【答案】A【解析】6155264a ==，4155381b ==，6481<Q ，11556481∴<，即a b <，425e 433c b =>>>=，故a b c <<. 选A．【名师点睛】本题主要考查了比较大小问题，其中解答中熟练运用幂函数与指数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.求解时，根据幂函数()15f x x =在()0,+∞上为单调递增函数，得出a b <，再根据指数函数的性质得425e 433c b =>>>=，即可得到结论. 4．【答案】A【解析】因为2a =时，函数()223f x x ax =--在区间[2,)+∞上为增函数；函数()223f x x ax =--在区间[2,)+∞上为增函数时，2a ≤．所以“2a =”是“函数()2f x x =-23ax -在区间[2,)+∞上为增函数”的充分不必要条件．故选A ． 5．【答案】A【解析】由f (0)＝f (4)知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 对称轴为x ＝2，即22ba-=．所以4a ＋b ＝0，又f (0)＞f (1)且f (0)，f (1)在对称轴同侧，故函数f (x )在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口向上，故a ＞0，故选A ．【解析】设()f x x α=（α是常数），∵f （x ）的图象过点（2，√2），∴(2)2f α==√2， 则12α=， 则f （x ）=√f ，f =√f +1−f =−(√f −12)2+54，故其最大值为54. 故选B. 2．【答案】C【解析】易知幂函数12y x-=在()0,+∞上是减函数，0.20.52<<Q ，0.5112210.222---⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即a b c >>.故选C. 3．【答案】B【解析】幂函数()af x x =的图象经过点()2,4，则24a =，解得2a =； ∴()2f x x =，∴2111224f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选B ． 4．【答案】C【解析】函数31y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭可化为3y x =，当12x =时，求得1182y =<，选项B ，D 不合题意，可排除选项B ，D ；当2x =时，求得81y =>，选项A 不合题意，可排除选项A ，故选C ． 5．【答案】C【解析】（1）对于A ，幂函数f （x ）=x a 的定义域与a 有关，不一定为R ，A 错误； （2）对于B ，a ＞0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递增，a ＜0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递减，B 错误；（3）对于C ，幂函数f （x ）=x a的图象过定点（1，1），C 正确； （4）对于D ，幂函数f （x ）=x a 的图象一定不过第四象限，D 错误． 故选：C ． 6．【答案】A【解析】由题意，命题:p 幂函数()21my m m x =--在()0,+∞上单调递增，则211,0m m m ⎧--=⎨>⎩2m ∴=，又:2112113q m m m -<⇔-<-<⇔<<，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A ． 7．【答案】B【解析】由题设得1313a a =⇒=-，故()()11212g x x x x -=-=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时取最小值，最小值为12202g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，应选B. 8．【答案】B【解析】由题意得：0.32a ===0.23b ===，0.17c ==，y =()0,+∞上是增函数且987>>，b ac ∴>>，故选B.【名师点睛】本题主要考查利用幂函数的单调性比较大小问题.比较大小类问题常用的解决方法有构造函数统一的函数模型，利用函数单调性来进行比较. 9．【答案】A【解析】由()()2nf x m x =-为幂函数得21,3m m -==,因为点()3,9在幂函数()f x 上，所以392n n ==，,即()2f x x =，因为()113313ln ln3,3a f m f b f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1331ln3-<<<,所以a c b <<，选A.【名师点睛】本题考查幂函数定义以及奇偶性与单调性，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 10．【答案】B【解析】因为函数()()2211f x x a x =---（其中0a >，且1a ≠）在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所0,1,0 1.a a a >≠∴<<令log 10,0,a x x a ->∴<<故选B ． 11．【答案】D【解析】因为函数()f x因此()()()()()()220112,0111101g x g x g h x h x h x x -+-=+++==+=+++，因此()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-++-+-+-L L 20182+1=4037=⨯，故选D ． 12．【答案】16-【解析】设2015,t x t =+∈R ，则()()()()()2012201420162018,f x x x x x x =++++∈R 可化为()()()()()3113g t t t t t =--++()()224219109t t t t =--=-+()22516,t =--当25t =时，()g t有最小值16-，即2015x =-()f x 的最小值是16-，故答案为16-. 【名师点睛】求函数最值的常见方法有：①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值；⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值. 13．【答案】（2）（3）（4）【解析】对幂函数()32f x x-=，以下结论（1）()f x 的定义域是{}|0,x x x >∈R ，因此不正确； （2）()f x 的值域是()0,+∞，正确；（3）()f x 的图象只在第一象限，正确； （4）()f x 在()0,+∞上单调递减，正确； （5）()f x 是非奇非偶函数，因此不正确． 则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）． 故答案为：（2）（3）（4）．【名师点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．【答案】（1）f (f )=2f 2−4f +3；（2）(−∞,−1).【解析】（1）根据题意，f (f )是二次函数，且f (f )=f (2−f )， 可得函数f (f )的对称轴为f =1，又其最小值为1，可设f (f )=f (f −1)2+1， 又因为f (0)=3,则f +1=3,解可得f =2, 则f (f )=2(f −1)2+1=2f 2−4f +3.（2）根据题意，2f 2−4f +3>2f +2f +1在[−1,1]上恒成立，化简得f <f 2−3f +1, 设f (f )=f 2−3f +1,则f (f )在区间[−1,1]上单调递减， 则f (f )在区间[−1,1]上的最小值为f (1)=−1,则有f <−1, 故f 的取值范围为(−∞,−1)． 15．【答案】（1）34-；（2）522a a <>或. 【解析】（1）22333()3963()244f x x x x '=-+=--≥-， ()f x m '≥恒成立，故34m ≤-，即m 的最大值为34-.（2）2()3963(2)(1)f x x x x x '=-+=--，()02f x x '>⇒>或1x <；()012f x x '<⇒<<，()f x ∴在(,1)-∞和(2,)+∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，5()(1),()(2)22f x f a f x f a ∴==-==-极大极小， ()f x Q 恰有一个零点，502a ∴-<或20a ->即2a <或52a >. 故a 的取值范围是5(,2)(,)2-∞+∞U .1．【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减， 函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 2．【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 3．【答案】B【解析】当时，，在[0,1]x ∈时单调递减，且，在[0,1]x ∈时单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需，选B. 4．【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑01m <≤11m≥2(1)y mx =-22(1)[(1),1]y mx m =-∈-y m =[,1]y m m m =∈+1m >101m <<2(1)y mx =-1[,1]m2(1)13m m m -≥+⇒≥指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决． 5．【答案】A【解析】由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -.令2t x bx =+，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b -，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())f f x x =的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A. 6．【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.。

2020届高中数学第 1 页共 4 页2020届高中数学：二次函数与幂函数练习题解析1．函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，5]D ．[5，＋∞)解：函数f(x)图象的对称轴方程是x ＝1－a ，要使函数f(x)在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，即a ≤－3.故选 A.2．已知幂函数f(x)＝(n 2＋2n －2)x n 2- 3n(n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解：因为幂函数f(x)＝(n 2＋2n －2)x n 2- 3n在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2＋2n －2＝1，n 2－3n ＜0，所以n ＝1.故选B.3．(2016·成都模拟)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，则m的取值范围是()A ．(0，4] B.32，3C.32，4 D.32，＋∞解：二次函数y ＝x 2－3x －4图象的对称轴是x ＝32，开口向上，最小值是y min ＝－254，在x ＝32处取得，所以由函数的值域是－254，－4，可知m 应该在对称轴的右边，当函数值是－4时，对应的自变量的值是x ＝0或x ＝3，如果m 比3大，那么函数值就超出－254，－4这个范围，所以m 的取值范围是32，3.故选B.4．(2016·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为()A.－235，＋∞B ．(1，＋∞) C.－235，1D ．－∞，－235解法一：令f(x)＝x 2＋ax －2，而f(0)＝－2，故只要f （1）≤0，f （5）≥0，解得－235≤a ≤1.解法二：由a ＝2x－x 在区间[1，5]上单调递减知a ∈－235，1.故选C.5．函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′（x)在同一坐标系内的图象可能是()A B C D解：若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f ′（x)为增函数，排除A ；同理排除D ；若f ′（x)＝2ax ＋b 过原点，则b ＝0，则y ＝f(x)的对称轴为y 轴，排除 B.故选C.6．(2016·揭阳测试)已知f(x)＝2x 2＋px ＋q ，g(x)＝x ＋4x 是定义在集合M ＝x|1≤x ≤52上的两个函数．对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f(x)≥f(x 0)，g(x)≥g(x 0)，且f(x 0)＝g(x 0)．则。