【校级联考】浙江省义乌市稠州中学教育集团2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试卷

2019-2020学年浙教版八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下面的四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，5cm，5cm B．3cm，4cm，5cmC．2cm，4cm，6cm D．1cm，cm，cm3．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS4．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．AC＝DB D．OB＝OC5．（3分）如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（）A．B．C．D．6．（3分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC的度数为（）A．60°B．75°C．80°D．85°7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB ＝130°，则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°8．（3分）把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个多边形，则这个多边形的内角和不可能是（）A．720°B．540°C．360°D．180°9．（3分）已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（）A．（﹣2016，2）B．（﹣2016，一2）C．（﹣2017，﹣2）D．（﹣2017，2）10．（3分）如图，△ABD和△ACE分别是等边三角形，AB≠AC，下列结论中正确有（）个．（1）DC＝BE，（2）∠BOD＝60°，（3）∠BDO＝∠CEO，（4）AO平分∠DOE，（5）AO平分∠BAC．A．2B．3C．4D．5二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形的边数为．12．（3分）已知一个等腰三角形一边长为3，周长为15，则它的腰长等于．13．（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为度．14．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣5，﹣3）向右平移8个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标是．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为cm．16．（3分）如图，∠MON＝30°，点B1、B2、B3…和A1、A2、A3…分别在OM和ON上，且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…分别为等边三角形，已知OA1＝1，则△A2018B2018A2019的边长为．三、解答题（本大题有6小题，第17～20题每题8分，第21，22题每题10分，共52分）17．（8分）如图，点B、C、D在同一直线上，AB＝AD＝CD，∠C＝36°．求∠BAD的度数．18．（8分）（1）在图中作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′三点的坐标；（2）猜想：坐标平面内任意点P（x，y）关于直线m对称点P′的坐标为．19．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使BD＝DE．求证：CD＝CE．20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，△ABD和△ACE分别是以AB、AC为斜边的等腰直角三角形，BE、CD相交于点F．求证：AF⊥BC．21．（10分）如∠MON＝30°、OP＝6，点A、B分别在OM、ON上；（1）请在图中画出周长最小的△PAB（保留画图痕迹）；（2）请求出（1）中△PAB 的周长．22．（10分）将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C ＝90°，∠B ＝∠E ＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，①线段DE 与AC 的位置关系是 ．②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是 ．（2）猜想论证：当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究：已知∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，BD ＝CD ，BE ＝4，DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下面的四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故正确；D、不是轴对称图形，故错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（3分）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，5cm，5cm B．3cm，4cm，5cmC．2cm，4cm，6cm D．1cm，cm，cm【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．【解答】解：A、∵2+5＞5，∴能构成三角形B、∵3+4＞5，∴能构成三角形；C、∵2+4＝6，∴不能构成三角形；D、∵1+，∴能构成三角形．故选：C．【点评】此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【分析】利用作法得到OD＝OC＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，于是可根据“SSS”判定△OCD≌△OC′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′O′B′＝∠AOB．【解答】解：由作法得OD＝OC＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，则可根据“SSS”可判定△OCD≌△OC′D′，所以∠A′O′B′＝∠AOB．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．4．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．AC＝DB D．OB＝OC【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC ≌△DCB，故本选项错误；B、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D、∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB，∵∠ABC＝∠DCB，∵∠AOB＝∠DOC，∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠D+∠DCO+∠DOC＝180°，∴∠A＝∠D，∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，∴能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5．（3分）如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（）A．B．C．D．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：由于得到的图形的中间是正方形，那么它的四分之一为等腰直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查剪纸问题，关键是培养学生的空间想象能力和动手操作能力．6．（3分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC的度数为（）A．60°B．75°C．80°D．85°【分析】根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解答】解：∵∠GFA＝90°，∠A＝45°，∴∠BDC＝∠CGD+∠C＝75°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB ＝130°，则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】设∠BAC＝x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．【解答】解：设∠BAC＝x，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣x），∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，∴∠ABD＝（180°﹣x），∠DAB＝x，∵∠ABD+∠DAB+∠ADB＝180°，∴（180°﹣x）+x+130°＝180°，∴x＝20°．故选：A．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．8．（3分）把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个多边形，则这个多边形的内角和不可能是（）A．720°B．540°C．360°D．180°【分析】把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理判断即可．【解答】解：把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，所以这个多边形的内角和可能是180°或360°或540°，不可能是720°．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角和定理及剪去一个角的方法，得出剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形是解题的关键．9．（3分）已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（）A．（﹣2016，2）B．（﹣2016，一2）C．（﹣2017，﹣2）D．（﹣2017，2）【分析】根据轴对称判断出点M变换后在x轴上方，然后求出点M纵坐标，再根据平移的距离求出点M变换后的横坐标，最后写出坐标即可．【解答】解：由题可得，第2018次变换后的点M在x轴上方，∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2018×1＝﹣2016，∴点M的坐标变为（﹣2016，2），故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，读懂题目信息，确定出连续2018次这样的变换得到点在x轴上方是解题的关键．10．（3分）如图，△ABD和△ACE分别是等边三角形，AB≠AC，下列结论中正确有（）个．（1）DC＝BE，（2）∠BOD＝60°，（3）∠BDO＝∠CEO，（4）AO平分∠DOE，（5）AO平分∠BAC．A．2B．3C．4D．5【分析】根据等边三角形的性质推出AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB ＝∠EAC＝60°，求出∠DAC＝∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE ＝60°，根据等边三角形性质得出∠ADB＝∠AEC＝60°，但∠ADC≠∠AEB，过点A 分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN＝AM，根据角平分线性质求出即可，根据以上推出的结论即可得出答案．【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；如图，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．∵由（1）知：△ABE≌△ADC，∴S△ABE ＝S△ADC∴﹣BE•AM＝CD•AN，∴AM＝AN，∴点A在∠DOE的平分线上，即OA平分∠DOE，故④正确，⑤错误；故选：B．【点评】本题考查了等边三角形性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形的边数为九．【分析】首先求得每个外角的度数，然后利用360度除以外角的底数即可求解．【解答】解：外角的度数是：180﹣140＝40°，则多边形的边数为：360÷40＝9．故答案是：九．【点评】此题比较简单，理解任意多边形的外角和都是360度是关键．12．（3分）已知一个等腰三角形一边长为3，周长为15，则它的腰长等于6．【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．【解答】解：若腰长为3，则底边长为：15﹣3﹣3＝9，∵3+3＜9，∴不能组成三角形，舍去；若底边长为3，则腰长为：＝6；∴该等腰三角形的腰长为：6．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．13．（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为36度．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A ＝180°，求出即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，∴∠A：∠B＝1：2，即5∠A＝180°，∴∠A＝36°，故答案为：36．【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5∠A＝180°是解此题的关键．14．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣5，﹣3）向右平移8个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标是（﹣3，﹣3）．【分析】根据点的平移规律可得点B的坐标，然后再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：根据题意知点B的坐标为（﹣5+8，﹣3），即（3，﹣3），所以点B关于y轴的对称点C的坐标是（﹣3，﹣3），故答案为：（﹣3，﹣3）．【点评】此题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为8cm．【分析】先根据△BCD和△BED关于BD对称，得出△BCD≌△BED，故BE＝BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AE+AC即可得出结论．【解答】解：∵△BCD和△BED关于BD对称，∴△BCD≌△BED，∴BE＝BC＝8cm，∴AE＝10﹣8＝2cm，∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AE+AC＝2+6＝8cm．故答案为：8．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．16．（3分）如图，∠MON＝30°，点B1、B2、B3…和A1、A2、A3…分别在OM和ON上，且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…分别为等边三角形，已知OA1＝1，则△A2018B2018A2019的边长为22017．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推，△A n B n A n+1的边长为2n﹣1，则△A2018B2018A2019的边长为22017，故答案为：22017．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．三、解答题（本大题有6小题，第17～20题每题8分，第21，22题每题10分，共52分）17．（8分）如图，点B、C、D在同一直线上，AB＝AD＝CD，∠C＝36°．求∠BAD的度数．【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数．【解答】解：∵AD＝DC∴∠DAC＝∠C，∵∠C＝36°，∴∠DAC＝36°，∴∠BDA＝∠C+∠DAC═72°，∵AB＝AD∴∠BDA＝∠B＝72°，∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝36°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（8分）（1）在图中作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′三点的坐标；（2）猜想：坐标平面内任意点P（x，y）关于直线m对称点P′的坐标为（2﹣x，y）．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线m对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′三点的坐标；（2）依据对称点的坐标变换规律，即可得到坐标平面内任意点P（x，y）关于直线m对称点P′的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；由图可得，A′（5，5），B′（6，2），C′（4，1）；（2）坐标平面内任意点P（x，y）关于直线m对称点P′的坐标为（2﹣x，y）．故答案为：（2﹣x，y）．【点评】本题考查了轴对称作图的知识，解决问题的关键是掌握轴对称变换的特点，找到各点的对应点．19．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使BD＝DE．求证：CD＝CE．【分析】想办法证明∠E＝∠EDC＝30°即可解决问题；【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝DC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠ACB＝∠CDE+∠E∴∠EDC＝30°，∴∠E＝∠EDC，∴CD＝CE．【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，△ABD和△ACE分别是以AB、AC为斜边的等腰直角三角形，BE、CD相交于点F．求证：AF⊥BC．【分析】通过证明△ADC≌△AEB、△BCD≌△BCE、△AFB≌△AFC，得到∠BAF＝∠CAF即可求解．【解答】解：∵△ABD和△ACE分别是以AB、AC为斜边的等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAC＝45°+∠BAC＝∠EAB，∴△ADC≌△AEB，（SAS），∴BE＝CD，而AB＝AC，BC＝BC，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠DCB，∴BF＝FC，而AB＝AC，AF＝AF，∴△AFB≌△AFC（SSS），∴∠BAF＝∠CAF，∴AF⊥BC．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质求解．21．（10分）如∠MON＝30°、OP＝6，点A、B分别在OM、ON上；（1）请在图中画出周长最小的△PAB（保留画图痕迹）；（2）请求出（1）中△PAB的周长．【分析】（1）分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点，则△PAB即为所求；（2）连接OP′，OP″，由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝6，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，证得△P′OP″是等边三角形，即可得到结论．【解答】解：（1）①分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；②连接P′、P″，分别交OM，ON于点A、点B，则△PAB即为所求．如图所示：（2）连接OP′，OP″，由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝6，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∵∠MON＝30°，∴∠P′OP″＝2∠MON＝60°，∴△P′OP″是等边三角形，∴P′P″＝OP＝6，∴△PAB的周长＝PA+AB+PB＝P'A+AB+P''B＝P'P''＝6．【点评】此题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 22．（10分）将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C ＝90°，∠B ＝∠E ＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，①线段DE 与AC 的位置关系是 DE ∥AC ．②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是 S 1＝S 2 ．（2）猜想论证：当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究：已知∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，BD ＝CD ，BE ＝4，DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC＝CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB 的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE＝DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2＝60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1＝DF2，再求出∠CDF1＝∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，根据菱形和等边三角形的性质可得结论．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；故答案为：①DE∥AC；②S1＝S2；（2）如图3，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，∵，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，；此时＝S△BDE过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC＝60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°，∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝∠ABC ＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1＝DF 2，∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC ＝∠DCB ＝×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°﹣∠BCD ＝180°﹣30°＝150°，∠CDF 2＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF 1＝∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，，∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），∵S △DCF ＝S △BDE ，∴点F 2也是所求的点，∵BE ＝4，∴BF 1＝BE ＝DF 1＝F 1F 2＝4，∴BF 2＝8，综上，BF 的长为4或8．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个．。

2019学年第一学期期中检测八年级数学 出卷人：竹红彩一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列语句是命题的是（ ）A ．作直线AB 的垂线 B ．在线段AB 上取点C C ．同旁内角互补D ．垂线段最短吗？ 2.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是( )3. 根据下列条件判断,以a,b,c 为边的三角形不是．．直角三角形的是 ( ) A. a =32, b =42, c =52 B. a =30, b =40, c =45 C. a =1, b =2, c =3 D. a ：b ：c =5：12：134．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠C O D '''＝∠DOC ，需要证明△C O D '''≌△DOC ，则这两个三角形全等的依据是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o ，则顶角的度数为（ ） （A ）60o ． （B ）120o ． （C ）60o 或150o ． （D ）60o 或120o ． 7. △ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D ，E ，若边BC 长为8cm ，则△ADE 的周长是（ ）A ．8cm B. 16cm C. 4cm D. 不能确定班级 ____________ 姓名 ___________ 学号 ___________┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆密┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆封┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆线┆┆┆┆┆┆┆┆┆8. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ，则∠AOC+∠DOB=（ ）A ．90°B ．120°C ．160°D ．180° 9. 如图，把纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. B. C.D.10．如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于D 1， ∠ABD 1与∠ACD 1的角平分线交于点D 2，依次类推，∠ABD 4与∠ACD 4 的角平分线交于点D 5，则∠BD 5C 的度数是（ ）A ．56° B. 60° C. 68 D. 94°二、填空题（每小题3分，共30分）11．写出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理__________________.12．一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是__________________.13．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是__________14．如图，若//AB CD ，EF 与AB CD 、分别相交于点E F 、,EP 与EFD ∠的平分线相交于点P ，且60EFD ∠=，EP FP BEP ⊥∠=，则 度． 15．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为16、如图，已知AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的斜边，O 是AB 的中点，其中OC 是2cm ，则OD=_____________。

2018－2019学年第一学期八年级期中测试数学试题卷参考答案及评分建议三、简答题（本大题有8小题，共66分） 19．解：(1)2(x +1)－1≥3x +2，2x +2﹣1≥3x +2 2x ﹣3x ≥2﹣2+1 ﹣x ≥1x ≤﹣1 …………2分在数轴上表示不等式的解集为：…………3分(2)()32211163x x x x ⎧+≥-⎪⎨-->⎪⎩①②∵解不等式①得：x ≥﹣4，解不等式②得：73x < …………分 ∴不等式组的解集为：743x -≤<…………2分 ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2． …………3分20．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAB =∠2+∠DAB ，即∠CAB =∠DAE ， …………2分 在△CAB 和△DAE 中24．证明：∵EF ∥BC ，∴∠1=∠3， …………1分 ∵EC 平分∠DEF ，∴∠1=∠2， …………2分 ∴∠2=∠3， …………3分 ∴ED =CD ． …………5分 ∵在△ACD 和△AED 中，AE AC AD AD ED DC ===⎧⎪⎨⎪⎩∴△ACD ≌△AED (SSS ) ， …………8分 ∴∠EAD =∠CAD ，又∵AE =AC …………9分 ∴AD ⊥EC ． …………10分 25．解：(1)△ABP ≌△ACQ ，△ABQ ≌△BCP ． …………1分证明：∵△ABC 是等边三角形∴∠BAP =∠ACQ =∠ABQ ， AB =AC =BC ， ∵在△ABP 和△ACQ 中AB AC BAP ACQ AP CQ =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABP ≌△ACQ (SAS ) ， ∴∠ABP =∠CAQ ， ∴∠BAQ =∠CBP∵在△ABQ 和△BCP 中BAQ CBP AB BCABQ BCP ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABQ ≌△BCP (ASA ) ． …………3分 (2)∵∠ABP =∠CAQ, ∠BAQ+∠CAQ =60°， ∴∠BAQ +∠ABP =60°， ∵∠BOQ =∠BAQ +∠ABP ， ∴∠BOQ =60°． …………6分 (3)过点B 作BD ⊥AQ 交AQ 于点D ∴△ABD ≌△BCO （AAS ) ，DOCBA PQ231DFE CBA。

2021-2022学年浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是()A. 1B. 2C. 3D. 83.下列各图中，正确画出AC边上的高的是()A. B.C. D.4.等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是()A. 70°或55°B. 70°C. 55°D. 40°5.能说明命题“对于任何实数a，|a|>−a”是假命题的一个反例可以是()A. a=−2B. a=13C. a=1D. a=√26.若a>b，则下列式子一定成立的是()A. 3a>−3bB. am2>bm2C. 13a−1>13b−1 D. a−2<−2+b7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。

C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是()A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°8.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是()A. 2√17B. 2√5C. 4√2D. 79.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1−S2+S3+S4等于()A. 4B. 6C. 8D. 1210.如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC.给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2(AD2+AB2)−CD2.其中正确的是()A. ①②③④B. ②④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.用不等式表示：x与3的和大于6，则这个不等式是______．12.已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：，该逆命题是______ 命题(填“真”或“假”)．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD=3cm，则点D到AB边的距离为______．14.已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边为的三边为3、m、n，△DEF的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为______．15.如图，在等腰三角形ABC中，BC=3cm，△ABC的面积是9cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为______．16.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB′是直角三角形时，BP的长=______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）17.解下列不等式：(1)3(1−x)≥2(x+9)；(2)1−2−3x5>1+x2．18.如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D．19.如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上(小正方形的边长为1)．(1)在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；(2)在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．20.如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF=90°，AF=3，AE=4．(1)求边BC的长；(2)求出∠BAC的度数．21.如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．(1)请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．(不写作法，保留作图痕迹)(2)最低费用为多少？22.在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同．(1)求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；(2)现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？23.如图，在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM=10，点Q从M点出发，沿射线MP 方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．(1)当t=2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．(2)求t为何值时，△DCA为等腰三角形．(3)是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由．24.如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．(1)若AP=AB，则点P到直线AB的距离是______；(2)若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；(3)将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2.【答案】C【解析】解：由三角形三边关系定理得：5−3<a<5+3，即2<a<8，即符合的只有3，故选：C．根据三角形三边关系定理得出5−3<a<5+3，求出即可．本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5−3<a<5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．3.【答案】D【解析】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．故选：D．根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：①当这个角是顶角时，底角=(180°−70°)÷2=55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．故选：A．题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．5.【答案】A【解析】解：说明命题“对于任何实数a，|a|>−a”是假命题的一个反例可以是a=−2，故选：A．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6.【答案】C【解析】解：由不等式的性质可作出判断：A：两边同时乘以的不是同一个数，无法作出判断，故A错误；B：当m=0时，两边都得0，故B错误；C：在a>b两边同时乘以1，不等号方向不变，再同时减1不等号仍然不变，故C 一定3成立，故C正确；D：不等式两边都加−2，不等号方向不变，故D错误．故选：C．根据不等式的性质来解即可．本题考查了不等式的性质，熟记不等式性质的内容，并会运用是本题解答的关键．7.【答案】D【解析】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，∴∠ODC=25°，∵∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=105°，∴∠CDE=105°−∠ODC=80°．故选：D．根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知，∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，据三角形的外角性质即可求出∠ODC度数，进而求出∠CDE的度数．本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．8.【答案】A【解析】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，{∠BAD=∠CBE AB=BC∠ADB=∠BEC，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=√25+9=√34，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=√34×√2=2√17；故选：A．过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形．运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2=S Rt△ABC；S3=S△FPT;S1+S3=S Rt△AQF= S Rt△ABC；S4=S Rt△ABC，进而即可求解．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2=S Rt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3=S△FPT，又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3=S Rt△AQF=S Rt△ABC．易证Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4=S Rt△ABC，∴S1−S2+S3+S4=(S1+S3)−S2+S4=S Rt△ABC−S Rt△ABC+S Rt△ABC=6−6+6=6，故选B．10.【答案】A【解析】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2=BC2−EC2=2AB2−(CD2−DE2)=2AB2−CD2+2AD2=2(AD2+AB2)−CD2.故④正确，故选：A．只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11.【答案】x+3>6【解析】解：根据题意知这个不等式为x+3>6，故答案为：x+3>6．x与3的和表示为x+3，大于6即“>6”，据此可得．此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．12.【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假【解析】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．13.【答案】3cm【解析】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)，∵CD=3cm，∴DE=3cm．故答案为3cm．过D点作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理得出CD=DE即可解决问题；本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】22【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，m、n与p、q中剩余两边相等，∵3+5=8，∴两三角形剩余两边最大为7，∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7=22．故答案为：22．根据全等三角形对应边相等可得m、n中有一边为5，p、q有一边为3，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可．本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键．15.【答案】6cm【解析】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×3×AD=9cm2，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴BM+DM的最小值=6(cm)．故答案为：6cm．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16.【答案】1或52【解析】解：如图1中，当∠PCB′=90°时，设PB=PB′=x．∵AC=3，CB=4，∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，由翻折的性质可知，AB=AB′=5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2=PB′2，∴(4−x)2+22=x2，∴x=5，2∴PB=5．2如图2中，当∠CPB′=90°，设PB=y．过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT=AC=3，AT=CP=4−y，在Rt△ATB′中，AB′2=AT2+B′T2，∴52=(4−y)2+(y+3)2，解得y=1或0(0舍弃)，∴PB=1，．综上所述，PB的值为：1或52分两种情形：∠PCB′=90°，∠CPB′=90°，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)去括号得：3−3x≥2x+18，移项得：−3x−2x≥18−3，合并得：−5x≥15，解得：x≤−3；(2)去分母得：10−2(2−3x)>5(1+x)，去括号得：10−4+6x>5+5x，移项得：6x−5x>5−10+4，解得：x>−1．【解析】(1)不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集；(2)不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集．此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．18.【答案】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴∠A=∠D．【解析】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．19.【答案】解：(1)如图甲所示：△ABC即为所求，(2)如图乙所示：△ACD即为所求，【解析】本题考查了作图问题，关键是根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定定理的应用解答．(1)根据等腰三角形的性质画出图形即可；(2)以AC为公共边，利用全等三角形对应边相等，对应角相等，找出点D，连接AD、CD，得出△ACD即可．20.【答案】解：(1)由勾股定理得，EF=√AE2+AF2=√42+32=5，∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，∴EA=EB，FA=FC，∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=12；(2)∵EA=EB，FA=FC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，由三角形内角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C=180°，∴∠B+∠C=45°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=135°．【解析】(1)根据勾股定理求出EF，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，结合图形计算，得到答案；(2)根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21.【答案】解：(1)根据分析，水厂的位置M为：(2)如图2，，在直角三角形BEF中，EF=CD=30(千米)，BF=BD+DF=30+10=40(千米)，∴BE=√EF2+BF2=√302+402=50(千米)，∴铺设水管长度的最小值为50千米，∴铺设水管所需费用的最小值为：50×3=150(万元)．答：最低费用为150万元．【解析】(1)根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M．(2)首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价=单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．此题主要考查了轴对称−最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．22.【答案】解：(1)设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做(100−x)套这种防护服，依题意得：3x=2(100−x)，解得：x=40，∴100−x=100−40=60．答：甲服装厂每天制做40套这种防护服，乙服装厂每天制做60套这种防护服．(2)设甲服装厂每天多做m套，依题意得：10[(40+m)+(60+8)]≥1200，解得：m≥12．答：甲服装厂每天至少多做12套．【解析】(1)设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做(100−x)套这种防护服，根据甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出甲服装厂每天制做防护服的数量，再将其代入(100−x)中即可求出乙服装厂每天制做防护服的数量；(2)设甲服装厂每天多做m套，利用工作总量=工作效率×工作时间，结合两服装厂10天至少生产1200套这种防护服，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出甲服装厂每天至少多做12套．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：(1)当t =2时，DB =6，∵BM =10，∴DM =4，∵△DMQ 是等腰三角形，∠DMQ =90°，∴DM =MQ ，即4=2a ，解得，a =2；(2)①当AC =AD 时，△DCA 为等腰三角形，∵AB ⊥CD ，∴BD =BC =6，∴t =2；②由勾股定理得，AC =√AB 2+BC 2=10，当AC =CD =10时，△DCA 为等腰三角形，∵BC =6，∴BD =4，∴t =43；③当AD =CD =6+3t 时，△DCA 为等腰三角形，∵∠ABD =90°，∴AB 2+BD 2=AD 2，即82+(3t)2=(6+3t)2，解得，t =79，综上所述：t =2或43或79时，△DCA 为等腰三角形；(3)当△DMQ 与△ABC 全等，①△DMQ ≌△ABC ，∴MQ =BC =6，DM =AB =8，∵BM =10，∴BD =2或BD =18，∴t =23或t =6，∴a =9或a =1；②△DMQ ≌△CBA ，∴DM =BC =6，MQ =AB =8，∴BD =4或16，∴t =43或163， ∴a =6或32，综上所述：当△DMQ 与△ABC 全等时，a =9或1或6或32．【解析】(1)根据等腰三角形的概念列式计算即可；(2)分AC =AD 、AC =CD 、AD =CD 三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可；(3)分△DMQ≌△ABC 和△DMQ≌△CBA 两种情况，根据全等三角形的性质列式计算，得到答案．本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．24.【答案】4【解析】解：(1)连接BP ，设点P 到直线AB 的距离为ℎ，Rt △AOB 中，∠AOB =90°，OA =OB =4，∴AB =√OA 2+OB 2=4√2，∵AP =AB ，∴AP =AB =4√2，∴S △ABP =12AB ⋅ℎ=12AP ⋅OB ，∴ℎ=OB =4，即点P 到直线AB 的距离是4，故答案为：4；(2)存在两种情况：①如图1，当P 在x 轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB 上，则OP =O′P ，∠BO′P =∠BOP=90°，∵OB=OA=4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=4√2，∠OAB=45°，由折叠得：∠OBP=∠O′BP，BP=BP，∴△OBP≌△O′BP(AAS)，∴O′B=OB=4，∴AO′=4√2−4，Rt△PO′A中，O′P=AO′=4√2−4=OP，∴S△BOP=12OB⋅OP=12=8√2−8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO′B=∠POB=90°，O′B=OB=4，∵∠BAO=45°，∴PO′=PO=AO′=4√2+4，∴S△BOP=12OB⋅OP=12×4×(4√2+4)=8√2+8；(3)分4种情况：①当BQ=QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP=0；②当BP=PQ时，如图3，∵∠BPC=45°，∴∠PQB=∠PBQ=22.5°，∵∠OAB=45°=∠PBQ+∠APB，∴∠APB=22.5°，∴∠ABP=∠APB，∴AP=AB=4√2，∴OP=4+4√2；③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC=45°，∴∠PBA=∠PCB=67.5°，△PCA中，∠APC=22.5°，∴∠APB=45+22.5°=67.5°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP=4√2，∴OP=4√2−4；④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时OP=4；综上，OP的长是0或4+4√2或4−4√2或4．(1)接BP，设点P到直线AB的距离为ℎ，根据三角形的面积公式即可得到结论；(2)分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP=O′P=AO′=4√2−4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；(3)分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：①当BQ=QP时，如图2，P与O重合，②当BP=PQ时，如图3，③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP的长．此题是几何变换综合题，折叠的性质，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．。

浙江省衢州市2018-2019学年八年级上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，已知BF=CE，∠B=∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )A. AB=DEB. AC∥DFC. ∠A=∠DD. AC=DF【答案】D【考点】三角形全等的判定【解析】【解答】解：A、∵BF=CE，∴BF-CF=CE-CF，即BC=EF，∵∠B=∠E，AB=DE，∴∆ABC≌∆DEF（SAS），故A不符合题意。

B、∵AC∥DF，∴∠ACE=∠DFC，∴∠ACB=∠DFE（等角的补角相等）∵BF=CE，∠B=∠E，∴BF-CF=CE-CF，即BC=EF，∴∆ABC≌∆DEF（ASA），故B不符合题意。

C、∵BF=CE，∴BF-CF=CE-CF，即BC=EF，而∠A=∠D，∠B=∠E，∴∆ABC≌∆DEF（AAS），故C不符合题意。

D、∵BF=CE，∴BF-CF=CE-CF，即BC=EF，而AC=DF，∠B=∠E，三角形中，有两边及其中一边的对角对应相等，不能判断两个三角形全等，故D 符合题意。

答案：D。

【分析】（1）由题意用边角边可判断两个三角形全等；（2）由题意用角边角可判断两个三角形全等；（3）由题意用角角边可判断两个三角形全等；（4）由题意所得的条件是边边角，而边边角不能判断两个三角形全等。

2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°【答案】C【考点】角的平分线，三角形的外角性质【解析】【解答】∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD= ∠ACD=50°，故答案为：C．【分析】△ABC的外角∠ACD等于不相邻两个内角的和，即∠ACD=∠A+∠B=100°，又由CE平分∠ACD，可得∠ECD=∠ACD。

2017-2018学年浙江省金华市义乌市稠州中学八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．（4分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．4.5cm，8.1cm，4.6cmC．8cm，4cm，4cm D．5cm，12cm，6cm3．（4分）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）A．B．C．D．4．（4分）边长为整数，周长为20的三角形个数是（）A．4个B．6个C．8个D．125．（4分）如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（）A．AB=AD，∠2=∠1B．AB=AD，∠3=∠4C．∠2=∠1，∠3=∠4D．∠2=∠1，∠B=∠D6．（4分）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和B．若|a|=|b|，则a=bC．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．对顶角相等7．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A、∠B的角平分线相交于点D．若∠ADB=130°，则∠BAC等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°8．（4分）如图在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面给出四个论断：①AB=DE；②∠ACB=∠F；③∠B=∠DEF；④BE=CF，任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，得到真命题有几个（）A．1B．2C．3D．49．（4分）如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B 两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66°，则∠BPC等于（）A．100°B．120°C．132°D．140°10．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE=AF；②DF=DN；③AE=CN；④△AMD和△DMN的面积相等，其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）在△ABC中，若∠A=35°，∠B=65°，则∠C的度数为．12．（5分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为．13．（5分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需要加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）14．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=cm．15．（5分）等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成18cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为．16．（5分）如图，平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，∠ABC=20°，∠ADC=40°．（1）如图1，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，则∠AMC=度；（2）如图2，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，∠DAE的平分线和∠DCF的平分线交于点P，∠APC=度．三、解答题：本题共8小题，第17题6分，第18，19题各8分，第20，21题各10分，第22，23题各12分，第24题14分，共80分．17．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，则∠B=∠C，请完成下面的说理过程．解：∵AD⊥BC（已知）∴∠ADB==Rt∠（垂线的意义）当把图形沿AD对折时，射线DB与DC∵BD=CD，∴点B与点重合，∴△ABD与△ACD，∴△ABD△ACD（全等三角形的意义），∴∠B=∠C（）18．（8分）在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠BAC=80°，∠C=40°．（1）求∠B的大小；（2）求∠DAE的大小．19．（8分）命题“若n是自然数，则代数式（3n+1）（3n+2）的值是3的倍数”（1）写出命题的条件和结论；（2）是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；如果你认为是真命题，请给出证明．20．（10分）如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，AD=AE，G为AB延长线上一点．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若∠C=42°，求∠EBG的度数；（3）若AB=9，AD=6，求CE的长．21．（10分）如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B=20°，求∠BAE的度数；（2）若∠EAN=40，求∠F的度数；（3）若AB=8，AC=9，求△AEN周长的范围．22．（12分）已知一个三角形的两条边长为1cm和2cm，一个内角为45°．（1）请你利用如图45°角，画出一个满足题设条件的三角形．（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的不全等的三角形？若能，请用“尺规作图”画出，若不能，请说明理由．（3）如果将题设条件改为“一个三角形的两条边长为3cm和4cm，一个内角为45°”，画出满足这一条件的，且彼此不全等的所有三角形．（要求在图中标记3cm和4cm的边长）23．（12分）已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE 的角平分线，∠BAC=α．（1）当α=40°时，∠BPC=°，∠BQC=°；（2）当α=°时，BM∥CN；（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．24．（14分）（1）已知：如图1，∠B=∠D=90°，AE=FC，DE∥BC．求证：△ABC ≌△FDE．（2）把（1）中△ABC与△FDE平移，使得A、E重合，F、C重合得到如图2的图形，且AB=6，BC=8，点M为AB的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ADC边A→D→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．①设△APC的面积为S，求S关于t的关系式；②直接写出t为多少时，△APC的面积大于8；③在点P的运动过程中，是否存在点P，使△AMP是等腰三角形，若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省金华市义乌市稠州中学八年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．（4分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（4分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．4.5cm，8.1cm，4.6cmC．8cm，4cm，4cm D．5cm，12cm，6cm【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；B、4.5+4.6＞8.1，能组成三角形，故此选项正确；C、4+486，不能够组成三角形，故此选项错误；D、6+5＜12，不能组成三角形，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3．（4分）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．4．（4分）边长为整数，周长为20的三角形个数是（）A．4个B．6个C．8个D．12【分析】三角形的周长是20，根据三角形的三边关系可知：三角形的三边都小于10，且都是整数，和是20，即可确定三角形的三边长，从而求解．【解答】解：8个，分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5）．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围，是解题关键．5．（4分）如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（）A．AB=AD，∠2=∠1B．AB=AD，∠3=∠4C．∠2=∠1，∠3=∠4D．∠2=∠1，∠B=∠D【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．【解答】解：A、AB=AD，∠2=∠1，再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意；B、AB=AD，∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；C、∠2=∠1，∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；D、∠2=∠1，∠B=∠D再加上公共边AC=AC可利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（4分）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和B．若|a|=|b|，则a=bC．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．对顶角相等【分析】根据三角形外角的性质，绝对值的性质，线段垂直平分线的性质以及对顶角的性质进行判断．【解答】解：A．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是真命题；B．若|a|=|b|，则a=b不一定成立，故B选项是假命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题；D．对顶角相等，是真命题．故选：B．【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A、∠B的角平分线相交于点D．若∠ADB=130°，则∠BAC等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°【分析】设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．【解答】解：设∠BAC=x，∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣x），∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，∴∠ABD=（180°﹣x），∠DAB=x，∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，∴（180°﹣x）+x+130°=180°，∴x=20°．故选：BD．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．8．（4分）如图在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面给出四个论断：①AB=DE；②∠ACB=∠F；③∠B=∠DEF；④BE=CF，任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，得到真命题有几个（）A．1B．2C．3D．4【分析】任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到4个命题，分别为：（1）①③④为条件，②为结论；（2）①②④为条件，③为结论；（3）①②③为条件，④为结论；（4）②③④为条件，①为结论；对4个命题分别判断即可．【解答】解：（1）①③④为条件，②为结论．依据SAS可得△ABC≌△DEF，即可得到∠ACB=∠F；故为真命题；（2）①②④为条件，③为结论．依据SSA不能判定△ABC≌△DEF，不能得到∠B=∠DEF；故为假命题；（3）①②③为条件，④为结论．依据AAS可得△ABC≌△DEF，即可得到BE=CF，故为真命题；（4）②③④为条件，①为结论．依据ASA可得△ABC≌△DEF，即可得到AB=DE，故为真命题；综上所述，得到真命题有3个，故选：C．【点评】本题主要考查了命题与定理以及全等三角形的判定与性质的运用，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9．（4分）如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B 两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66°，则∠BPC等于（）A．100°B．120°C．132°D．140°【分析】根据基本作图可判断MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，则点P为△ABC的外心，然后根据圆周角定理可得到∠BPC=2∠BAC．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，所以点P为△ABC的外心，所以∠BPC=2∠BAC=2×66°=132°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．10．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE=AF；②DF=DN；③AE=CN；④△AMD和△DMN的面积相等，其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意可得：AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC，即可证AE=AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM=MN；即可得结论．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC∵BE是平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE=22.5°∵AB⊥AC，AD⊥BC∴∠AEB=67.5°，∠AFD=67.5°=∠AFE∴∠AFE=∠AEB∴AF=AE故①正确∵M是EF的中点，AE=AF∴AM⊥BE，∠DAM=∠CAM=22.5°∴∠DAN=∠CBE=22.5°，且∠ADB=∠ADN，AD=BD∴△ADN≌△BDF∴DF=DN故②正确∵AB=AC，∠ACB=∠DAB=45°，∠ABF=∠CAN=22.5°∴△ABF≌△ACN∴AF=CN，且AE=AF∴AE=CN故③正确∵∠BAN=∠BAD=∠DAN=67.5°，∠BNA=∠ACB+∠NAC=67.5°∴∠BAN=∠BNA∴BA=BN且AM⊥BE∴AM=MN∴△AMD和△DMN的面积相等故④正确故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定解决问题是本题的关键．二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）在△ABC中，若∠A=35°，∠B=65°，则∠C的度数为80°．【分析】根据三角形内角和定理得出∠C的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，∴∠C=180°﹣35°﹣65°=80°；故答案为80°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．12．（5分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为20．【分析】根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4=8，故不构成三角形，舍去．②若4是底，则腰是8，8．4+8＞8，符合条件．成立．故周长为：4+8+8=20．故答案为：20．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．13．（5分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需要加一个条件，你添加的条件是AD=CD（答案不唯一）．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB=BC，及公共边BD=BD，添加AD=CD，由SSS证明三角形全等即可．【解答】解：添加AD=CD．理由如下：在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：AD=CD（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．14．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=16cm．【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE；∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，∴AB=40﹣24=16（cm）．故答案为：16．【点评】（1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．15．（5分）等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成18cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为6cm或14cm．【分析】根据题意，已知所给出的两部分哪一部分含有底边不明确，所以分两种情况讨论，还要用三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm，根据题意得或，解得或，经检验，均符合三角形的三边关系．因此三角形的底边是6cm或14cm．故填6cm或14cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．16．（5分）如图，平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，∠ABC=20°，∠ADC=40°．（1）如图1，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，则∠AMC=30度；（2）如图2，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，∠DAE的平分线和∠DCF的平分线交于点P，∠APC=30度．【分析】（1）根据题意，设AD与BC交于点F，BC与AM交于P，∠CFD=x°，根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可以利用x表示出∠BCM的值，以及∠APB的度数，即∠CPM的度数，在△CPM中，利用三角形的内角和定理，即可求∠AMC；（2）类比第一问的方法进行分析即可得到答案．【解答】解：（1）如图1所示，∵∠D﹣∠B=40°﹣20°=20°，∴2x﹣2y=20°∴x﹣y=10°，∴∠M﹣∠B=10°，∴∠M=30°，故答案为30．（2）如图2中所示，由∠1=20°+180°﹣2x=40°+180°﹣2y得y﹣x=10，由∠2=180°﹣（180°﹣x+20°）=180°﹣（180°﹣y+∠P）得y﹣x+20°=∠P，所以解得∠P=30°．故答案为30．【点评】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，关键是学会利用参数解决问题．三、解答题：本题共8小题，第17题6分，第18，19题各8分，第20，21题各10分，第22，23题各12分，第24题14分，共80分．17．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，则∠B=∠C，请完成下面的说理过程．解：∵AD⊥BC（已知）∴∠ADB=∠ADC=Rt∠（垂线的意义）当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合∵BD=CD，∴点B与点C重合，∴△ABD与△ACD重合，∴△ABD≌△ACD（全等三角形的意义），∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）【分析】根据三角形全等的定义即可解决问题．【解答】证明：∵AD⊥BC（已知）∴∠ADB=∠ADC=Rt∠（垂线的意义）当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合∵BD=CD，∴点B与点C重合，∴△ABD与△ACD重合，∴△ABD≌△ACD（全等三角形的意义），∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）．故答案为：∠ADC，重合，C，重合，≌，全等三角形对应角相等．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据全等三角形的定义判断两个三角形全等，属于中考常考题型．18．（8分）在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠BAC=80°，∠C=40°．（1）求∠B的大小；（2）求∠DAE的大小．【分析】（1）先根据三角形内角和定理，计算出∠B，（2）再利用角平分线的定义，得到∠BAE=∠BAC，由AD是△ABC的高，得到∠BAD=90°﹣∠B，然后根据∠DAE=∠BAE﹣∠BAD求解．【解答】解：（1）∵∠BAC=80°，∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=60°，（2）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=40°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°．【点评】本题主要考查了三角形高线、角平分线以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．本题也可以根据∠DAE=∠CAD﹣∠CAE 求解．19．（8分）命题“若n是自然数，则代数式（3n+1）（3n+2）的值是3的倍数”（1）写出命题的条件和结论；（2）是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；如果你认为是真命题，请给出证明．【分析】（1）写出命题的条件和结论即可；（2）判断其真假即可．【解答】解：（1）命题的条件是n是自然数，结论是代数式（3n+1）（3n+2）的值是3的倍数；（2）∵（3n+1）（3n+2）=9n2+6n+3n+2=9n2+9n+3﹣1=3（3n2+3n+1）﹣1，又n为自然数，∴3（3n2+3n+1）﹣1不为3的倍数．所以是假命题．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．20．（10分）如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，AD=AE，G为AB延长线上一点．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若∠C=42°，求∠EBG的度数；（3）若AB=9，AD=6，求CE的长．【分析】（1）根据CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，可以得到∠ADC=∠AEB=90°，然后根据题目中的已知条件，即可证得结论成立；（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质、邻补角互补可以求得∠EBG的度数；（3）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以求得CE的长．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠ADC=∠AEB=90°，在：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA）；（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，∴∠C=∠EBA，∵∠C=42°，∴∠EBA=42°，∴∠EBG=138°；（3）由（1）知，△ABE≌△ACD，∴AB=AC，AD=AE，∵AB=9，AD=6，∴AC=9，AE=6，∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3，即CE的长是3．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质进行解答．21．（10分）如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B=20°，求∠BAE的度数；（2）若∠EAN=40，求∠F的度数；（3）若AB=8，AC=9，求△AEN周长的范围．【分析】（1）由DE是边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，又由等边对等角，即可求得∠BAE的度数；（2）由DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，AN=CN，又由等边对等角，即可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN=70°，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠F的度数；（3）由AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周长等于BC的长，又由三角形三边关系即可求得△AEN周长的范围．【解答】解：（1）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵∠B=20°，∴∠BAE=∠B=20°；（2）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE=BE，AN=CN，∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，∵∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°，∴∠BAE+∠CAN=70°，∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°，∵∠ADF=∠AMF=90°，∴∠F=360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°；（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE=BE，AN=CN，∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN，∵AB=8，AC=9，∴1＜BC＜17，∴△AEN周长的范围为：1＜AE+EN+AN＜17．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、四边形的性质以及三角形三边关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．22．（12分）已知一个三角形的两条边长为1cm和2cm，一个内角为45°．（1）请你利用如图45°角，画出一个满足题设条件的三角形．（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的不全等的三角形？若能，请用“尺规作图”画出，若不能，请说明理由．（3）如果将题设条件改为“一个三角形的两条边长为3cm和4cm，一个内角为45°”，画出满足这一条件的，且彼此不全等的所有三角形．（要求在图中标记3cm和4cm的边长）【分析】（1）利用“SAS”作图；（2）若AB=2，则点B到∠A的另一边的距离为，则可判断BC边不能取1cm，于是可判断所画的三角形只能为1cm和2cm的两边夹45°；（3）把45°所对的边长为3cm，则以B点为圆心，3cm为半径画弧交∠A的另一边有两个交点，则满足条件的三角形有两个，且它们不全等．【解答】解：（1）如图1，△ABC为所作；（2）不能，利用如下：若AB=2，则点B到∠A的另一边的距离为，所以BC边不能取1，所以所画的三角形只能为1cm和2cm的两边夹45°；（3）如图2，【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．23．（12分）已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE 的角平分线，∠BAC=α．（1）当α=40°时，∠BPC=70°，∠BQC=125°；（2）当α=60°时，BM∥CN；（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；（4）分别∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+α）=180°，解得α=60°；（3）∵α=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°；（4）∵α＞60°，∠BPC=90°﹣α、∠BQC=135°﹣α、∠BOC=α﹣45°．∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）=180°．故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．24．（14分）（1）已知：如图1，∠B=∠D=90°，AE=FC，DE∥BC．求证：△ABC ≌△FDE．（2）把（1）中△ABC与△FDE平移，使得A、E重合，F、C重合得到如图2的图形，且AB=6，BC=8，点M为AB的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ADC边A→D→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．①设△APC的面积为S，求S关于t的关系式；②直接写出t为多少时，△APC的面积大于8；③在点P的运动过程中，是否存在点P，使△AMP是等腰三角形，若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先判断出AC=EF，再判断出∠DEF=∠BCA，即可得出结论；（2）①按点P在AD，CD，AC上，三种情况讨论计算即可；②借助①得出S与t的关系即可建立不等式，解不等式即可得出结论；③分三种情况，用两腰相等建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠DEF=∠BCA，∵AE=CF，∴AC=EF，在△ABC和△FDE中，，∴△ABC≌△FDE（AAS）；（2）①由（1）知，△ABC≌△FDE，∴AB=CD=6，AD=BC=8∴四边形ABCD是矩形，Ⅰ、当点P在AD上时，（0＜t≤8）如图1，由运动知，AP=t，=AP×CD=t×6=3t；∴S=S△APCⅡ、如图2，点P在CD上时，AD+DP=t，∴CP=AD+CD﹣t=14﹣t，∴S=S=CP×AD=（14﹣t）×8=4（14﹣t）=﹣4t+56；△ACPⅢ、当点P在AC上时，不能构成三角形ACP；即：S=②由（2）①知，S=当点P在AD上时，∵△APC的面积大于8，∴3t＞8，∴t＞，∴＜t≤8，当点P在CD上时，﹣4t+56＞8，∴t＜12，∴8＜t＜12，即：当＜t＜12时，△APC的面积大于8；③∵△APM是等腰三角形，Ⅰ、当AP1=MP1时，过点P1作P1G⊥AB于G，∴AG=AM，∵M是AB的中点，∴AM=AB=3，∴AG=，∵∠ABC=90°，∴P1G∥BC，∴，由运动知，AD+CD+CP1=t，在Rt△ACD中，AC=10，∴AP1=24﹣t，∴，∴t=，Ⅱ、当AM=AP2时，24﹣t=3，∴t=21，Ⅲ、当AM=MP3时，过点M作MH⊥AC于H，∴AP3=2AH，在Rt△ABC中，cos∠BAC==，在Rt△AMH中，cos∠BAC==，∴AH=AM=，∴AP3=24﹣t=2×，当P在AD上时，AP=AM=3，当P在CD上时，AP=MP，根据勾股定理得，AP==∴t=，即：满足条件的t的值为：或21或或3或．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．。

2019-2020学年浙教新版八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．7.5cm2C．10cm2D．12cm22．（3分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是（）A．，1，B．5，12，18C．1.5，1.4，2D．2，1，3．（3分）三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条中线的交点B．三个内角的角平分线交点C．三条高线的交点D．不能确定4．（3分）能说明命题“若x（x+1）（x﹣2）＝0，则x＝0”是假命题的反例是（）A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．（3分）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别为1，，；（3）三个内角之比为3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；其中直角三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC ＝10，则△EFM的周长是（）A．17B．21C．24D．278．（3分）如图所示，已知D为BC上一点且AB＝AC＝BD，那么∠1与∠2之间满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+3∠2＝180°C．2∠1+∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10．（3分）如图所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，连接CM，BM，DM．下列结论：①S+S△CDE≥S△ACE；②CM＝AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个△ABC数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）如图：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD ＝度．12．（4分）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的底边长为．13．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．14．（4分）命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是．15．（4分）如图，边长为2的等边三角形△ABC，P为边BC上一个动点，PE⊥AB，PD⊥AC，则PE+PD＝．16．（4分）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则AB边上的高CD的长是．三、解答题（共66分）17．（6分）如图，AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB．求证：AC＝BD．18．（8分）（1）如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC 的度数；（2）在等腰三角形△ABC中，若∠A＝4∠B，求∠C的度数．19．（8分）如图，已知线段a．（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝a （要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB＝2cm，求AB边上的高．20．（10分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，且AD＝AC，AG平分∠CAB，过点D作BC的平行线交AG于点F，连接CF并延长交AB于点E．求证：（1）△ACF≌△ADF；（2）CF＝CG；（3）CE⊥AB．21．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，小明用尺规作图的方法在边BC上确定一点P，请你根据如图所示作图方法分别求出图1，图2中线段PC的长．22．（12分）已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点F在射线CA上，延长BC至点D，使CD＝CF，点E是射线BF与射线DA的交点．（1）如图1，若点F在边CA上．①求证：BE⊥AD；②小敏在探究过程中发现∠BEC＝45°，于是她想：若点F在CA的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想∠BEC的度数．（2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．23．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．。