下载文档原格式
基于非对称广义高斯模型的局部优化检测中的应用汪太月1,李志明2, 李宏伟21.黄石理工学院数理学院, 湖北黄石4350032.中国地质大学数理学院, 湖北武汉430074摘要:为了在非高斯的情况下优化信号的检测,我们致力于提供一种通用的噪声概率密度函数的现实模型。
这个模型仅仅依赖于几个容易且能快速估计的参数,还能够适应于诸如对称和非对称,以及带有不同锐利程度的不同噪声。
为了达到这个目的,一种来源于广义高斯函数的高阶统计量的模型被提出,它依赖于三个参数:表示不同锐利程度的峰度参数,以及描写不同于对称函数且联合提供偏斜程度的左右方差参数。
这个模型在局部优化检测的设计中得到很好运用,被水下声学噪声干扰的信号检测证实了这个结果。
关键词:广义高斯函数;高阶统计量;最大相对效率中图分类号:TP391 文献标示码:AApplication to Locally Optimum Detection Based onAsymmetric Generalized Gaussian DistributionLI Zhiming1, WANG Taiyue2, LI Hongwei11.School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China2.School of Mathematics and Physics, Huangshi Institute of Technology, Huangshi 435003, ChinaAbstract:The work is addressed to provide modeling of a generic noise probability function (PDF, in order to optimize signal detection in non-Gaussian environments. Themodel only depends on few parameters which can be estimated easily and quickly, and so general to be describe many kinds of noise such as symmetric or asymmetric or with variable sharpness. To the end, we presented a new high order statistic model, which derives from the generalized Gaussian function, and depends on three parameters: kurtosis, for representing variable, and left and right variance whose combination provides skewness, for describing deviation from symmetry. The model is applied in the design of a Locally Optimum Detection test. Promising experimental results are presented which derive from the application of the test for detecting signals corrupted underwater acoustic ship-traffic-radiated noise.Key words: generalized Gaussian distribution; high order statistic; asymptotic relative efficiency 1引言作者简介:汪太月(1977- ,男,汉族, 湖北阳新人, 应用数学硕士,讲师,研究方向为广义高斯信号处理, 李志明(1976- ,男,汉族, 河南省巩义市人, 应用数学硕士,讲师,研究方向为广义随机信号处理。
GSVM优化问题的一种新的光滑函数法
王若鹏;邢志栋
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2007(29)6
【摘要】提出求解广义支撑向量机(GSVM)优化问题的一种新的光滑函数法,克服了已有算法收敛速度慢且计算结构复杂的缺陷.首先利用最优化理论的KKT互补条件,将GSVM转化为无约束优化问题,然后给出了基于Newton型迭代的光滑函数的迭代方法.给出了这种光滑函数的有关性质、迭代算法的迭代格式及其收敛性.通过理论分析及数值实验证明了该算法对初始点不敏感,且收敛速度快、数值稳定.从而验证了算法的可行性和有效性.
【总页数】4页(P982-985)
【作者】王若鹏;邢志栋
【作者单位】北京石油化工学院数理系,北京,102617;西北大学数学系,陕西,西安,710069
【正文语种】中文
【中图分类】O221;TP181
【相关文献】
1.解互补约束优化问题的一种新的光滑化近似方法 [J], 申婷婷;贺素香
2.等式约束优化问题的一类新的简单光滑精确罚函数 [J], 连淑君;杜爱华;唐加会
3.带等式约束的光滑优化问题的一类新的精确罚函数 [J], 连淑君;唐加会;杜爱华
4.含有不等式约束的全局优化问题的一种新的辅助函数法 [J], 王倩
5.一种新型单层递归神经网络解决非光滑伪凸优化问题 [J], 喻昕;卢惠霞;伍灵贞;徐柳明
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法。
而在回归分析中，广义加法模型（Generalized Additive Model，GAM）作为一种灵活、强大的模型，已经被广泛应用于各个领域。
广义加法模型是一种非参数的回归模型，它能够更好地处理非线性关系和高维数据，因此在实际问题中具有很大的应用潜力。
本文将介绍广义加法模型的基本概念和应用技巧。
1. 广义加法模型的基本概念广义加法模型是由 Hastie和 Tibshirani于1986年提出的，它是一种灵活的非参数回归模型，能够处理各种类型的预测变量，包括定性变量和定量变量。
广义加法模型的基本形式如下：Y = β0 + f1(X1) + f2(X2) + ... + fm(Xm) + ε其中，Y是响应变量，β0是截距，f1(X1)、f2(X2)、...、fm(Xm)是非线性的平滑函数，ε是误差项。
广义加法模型的核心思想是将回归函数分解为多个自变量的非参数平滑函数的和，这样可以更好地拟合非线性关系。
广义加法模型所使用的平滑函数通常是样条函数或局部回归函数，这些函数能够很好地适应数据的非线性特征。
另外，广义加法模型还可以通过交叉验证等方法来确定平滑参数，从而提高模型的拟合效果。
2. 广义加法模型的应用技巧在实际应用中，广义加法模型具有很强的灵活性和适用性，但是也需要注意一些技巧和注意事项。
首先，对于广义加法模型的应用，需要充分理解数据的特点和背景知识。
在构建广义加法模型之前，需要对数据进行充分的探索性分析，了解自变量和响应变量之间的关系，以及可能存在的非线性关系和交互效应。
只有在对数据有深刻理解的基础上，才能更好地构建适合的广义加法模型。
其次，需要注意广义加法模型的平滑函数的选择和参数的确定。
在实际应用中，可以选择样条函数、局部回归函数等作为平滑函数，但是需要注意不同的平滑函数对模型拟合效果的影响。
另外，对于平滑参数的确定，可以采用交叉验证等方法来选择最优的参数，从而提高模型的拟合效果。
ｄｏｉ:１０ １１９２０/ｘｎｍｄｚｋ ２０２４ ０１ ０１３χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题丁可伟１ꎬ刘玲伶２(１.西南民族大学数学学院ꎬ四川成都６１００４１ꎻ２.西南石油大学理学院ꎬ四川成都６１０５００)摘㊀要:讨论了χ２－散度刻画的信息集下的一类分布鲁棒优化问题.利用测度转换技巧及凸分析理论ꎬ得到该分布鲁棒优化问题的确定等价形式ꎬ其结构为经验分布下目标函数的期望添加了关于模糊因子和标准乘积的罚项.发现χ２－散度下的机会约束问题可以转化为经验分布下的更为保守的机会约束问题.最后讨论了一个χ２－散度信息集下的分布鲁棒投资组合问题并得到了其解析解.关键词:分布鲁棒ꎻ机会约束ꎻχ２－散度中图分类号:Ｏ２２１ꎻＯ２２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:２０９５￣４２７１(２０２４)０１￣０１１２￣０７收稿日期:２０２３￣０３￣１８作者简介:丁可伟(１９８６￣)ꎬ男ꎬ博士研究生ꎬ研究方向:金融数学通信作者:刘玲伶(１９８６￣)ꎬ女ꎬ副教授ꎬ研究方向:应用数学.Ｅ￣ｍａｉｌ:ａ６００ａａ＠１６３.ｃｏｍ基金项目:中央高校基本科研业务费专项项目(２０２１１２８)ꎻ四川省自然科学基金青年基金项目(２０２２ＮＳＦＳＣ１８３４)Ａｃｌａｓｓｏｆｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｅｔｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｂｙχ２－ｄｉｓｔａｎｃｅＤＩＮＧＫｅ￣ｗｅｉ１ꎬＬＩＵＬｉｎｇ￣ｌｉｎｇ２(１ ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬＳｏｕｔｈｗｅｓｔＭｉｎｚｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＣｈｅｎｇｄｕ６１００４１Ｃｈｉｎａꎻ２.ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓꎬＳｏｕｔｈｗｅｓｔＰｅｔｒｏｌｅｕｍＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＣｈｅｎｇｄｕ６１０５００Ｃｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｄｉｓｔｒｕｂｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｅｔｗｈｉｃｈｉｓｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｂｙχ２－ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ.Ｂｙｔｈｅｃｈａｎｇｅ￣ｏｆ￣ｍｅａｓｕｒｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｎｄｃｏｎｖｅｘａｎａｌｙｓｉｓꎬｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｆｏｒｍｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｔｈｅｄｉｓ￣ｔｒｕｂｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ.Ｔｈｅｎꎬｉｔｗａｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｐｒｏｂｌｅｍｃｏｕｌｄｂｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｉｎｔｏｔｈｅｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｔｈｅｅｍｐｉｒｉｃａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｅａｓｕｒｅ.Ｆｉｎａｌ￣ｌｙꎬｔｈｅｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｐｏｒｔｆｏｌｉｏｐｒｏｂｌｅｍ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔꎻｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔꎻχ２－ｄｉｓｔａｎｃｅ㊀㊀在经典的数学规划问题中ꎬ通常假设所有的参数都是给定的.而在实际问题中会不可避免地遇到各种各样的不确定性ꎬ如生鲜食品的日销售额是不确定的等等.而不确定因素的完全信息是很难被准确获取的ꎬ如何在不确定环境下做出相应的决策从而提高收益规避风险是非常值得探讨的.分布鲁棒优化是在不确定环境下处理带未知分布的随机变量的优化问题的一个有效方法ꎬ其思想是赋予带有随机变量的函数以期望运算ꎬ寻找对分布不确定集的每一个概率分布都可行的解ꎬ即寻找对不确定性免疫的稳健解.分布鲁棒优化的研究始于１９５８年Ｓｃａｒｆ[１]在研究库存问题时将其转化为精确二阶矩信息下的极大极小的随机问题ꎬ最近几十年ꎬ分布鲁棒优化因为在管理工程及数据科学的应用得到了极大的关注ꎬ具体请见文献[２￣４]及引文.处理分布鲁棒优化问题的一个关键因素是构造分布信息集ꎬ构造分布信息集所用到的度量工具则体现了决策者对概率分布信息的认知程度ꎬ而规模大小反映了决策者所拥有的分布信息的精确性ꎬ这两者直接影㊀３１１第１期丁可伟ꎬ等:χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题响了所建模型求解的难度和解的稳健性.构造分布信息集合主要由两类工具ꎬ一类是统计中的矩信息ꎬ例如二阶矩信息等等.Ｄｅｌａｇｅ和Ｙｅ[５]从数据驱动的角度讨论了椭球矩信息下的分布鲁棒优化问题ꎬ并证明了该问题是多项式时间内可解的.Ｍｅｈｒｏｔｒａ和Ｚｈａｎｇ[６]讨论了几类二阶矩信息下的分布鲁棒最小二乘问题并给出了其确定等价形式.另一类是统计中用来刻画两个概率分布测度之间距离的各类分散度量ꎬ例如Ｋｕｌｌｂａｃｋ￣Ｌｅｉｂｌｅｒ(ＫＬ)￣散度ꎬＷａｓｓｅｒｓｔｅｉｎ￣度量等等.Ｈｕ和Ｈｏｎｇ[７]讨论了ＫＬ￣散度下的分布鲁棒优化问题ꎬ并将其转化为确定的等价形式.Ｅｓｆａｈａｎｉ与Ｋｕｈｎ[８]用Ｗａｓｓｅｒｓｔｅｉｎ度量来刻画分布信息集合ꎬ然后将此分布信息集合下的分布鲁棒问题转化为有限凸规划问题.Ｇａｏ和Ｋｌｅｙｗｅｇｔ[９]讨论了具有更广义结构的Ｗａｓｓｅｒｓｔｅｉｎ度量下的分布鲁棒优化问题ꎬ并得到了对偶确定形式.他们证明了这些分布鲁棒问题可以在任意精度下用可行的鲁棒问题来逼近ꎬ通过这种方式得到了分布鲁棒问题的可行性.Ｊｉａｎｇ与Ｇｕａｎ[１０]研究了φ￣散度下的分布鲁棒机会约束问题ꎬ并将其转化为更为保守的经验分布下的机会约束问题 Ｄｉｎｇ等[１１]研究了Ｒｅｎｙｉ散度下的分布鲁棒投资组合问题并得到三类不确定情形下的解析解.Ｋｌａｂｊａｎ等[１２]考虑了离散χ２－散度下的随机需求库存管理问题并给出了其最优策略.本文研究χ２－散度下的分布鲁棒优化问题并得到了该分布鲁棒优化问题的确定等价形式.发现χ２－散度下的机会约束问题可以转化为经验分布下的更为保守的机会约束问题.最后应用到分布鲁棒投资组合问题并得到了其解析解.１㊀χ２－散度信息集下分布鲁棒优化问题㊀㊀本文讨论如下的分布鲁棒优化问题(ＤＲＯ)ｍｉｎｘɪＸｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]ꎬ(１)其中ꎬｘ是决策变量ꎬＸɪＲｎ是可行集ꎬξ:ΩңΞɪＲｍ是定义在概率空间(ΩꎬＦꎬＰ)上的随机变量ꎬ其中Ｆ是样本空间Ω中所有的子集(包括全集和空集)构成的集族ꎬＨ:ＲｎˑＲｍңＲ是实值函数.在实际问题中ꎬ随机变量ξ的真实概率分布Ｐ是很难被精确获取的.实际上ꎬ利用历史样本信息我们可以得到一个经验概率分布Ｐ０ꎬ虽然不是真实的概率分布ꎬ但真实概率分布应该 距离 经验概率分布不会太远.本文中用χ２－散度来刻画两个概率分布的 距离 ꎬ考虑如下的分布信息集合Δ＝{ＰɪＢꎬｄ(ＰꎬＰ０)£㊀η}ꎬ其中Ｂ表示所有的概率分布测度.η是刻画两个概率分布之间距离的模糊因子ꎬ其大小表示决策者对概率分布信息的认知.Ｄ(ＰꎬＰ０)表示Ｐ和Ｐ０之间的χ２－散度ꎬ其定义如下ｄ(ＰꎬＰ０)＝ʏΞ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ０(ξ)ｄξꎬ其中ꎬｐ(ξ)和ｐ０(ξ)分别是分布Ｐ和Ｐ０的概率密度函数.实际上ꎬ此时概率分布Ｐ关于经验概率分布Ｐ０是绝对连续的ꎬ记为Ｐ<<Ｐ０.如果Ｐ０是离散概率分布ꎬ把上述表达式中的连续状态的概率密度函数(ＰＤＦ)ｐ０(ξ)改写为离散状态下的ＰＭＦꎬ同时将积分改写为和式.如果Ｐ０是混合概率分布ꎬ相应的将积分改成积分与和式的混合即可.容易得到ｄ(ＰꎬＰ０)⩾０ꎬ等式成立当且仅当几乎处处ｐ(ξ)＝ｐ０(ξ).假设１㊀对于任意的ｘɪＸꎬ方差ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))＝ＥＰ０[Ｈ２(ｘꎬξ)]－(ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)])２<＋¥假设１中目标函数关于随机变量ξ的方差是有限的.如果方差Ｄ(Ｈ(ｘꎬξ))是无限的ꎬ意味着此分布下带随机变量的目标函数值是极其不稳定的ꎬ那么在分布鲁棒意义下的内部问题此时也会变得非常保守甚至于无解ꎬ此时用分布鲁棒模型是不合适的.但当Ｐ０是离散分布且对所有的ｘɪＸꎬξɪΞꎬ都有Ｈ(ｘꎬξ)£Ｍꎬ其中Ｍ>０ꎬ此时很容易得到假设１是成立的.在后续的文章中总假设Ｈ(ｘꎬξ)£㊀Ｍꎬａ ｓ定理１㊀在满足假设１的条件下ꎬ分布鲁棒优化问题(１)等价于如下确定的优化问题西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)]＋ηＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ).(２)其中ꎬ概率密度函数的最优解为ｐ∗(ξ)＝ｐ０(ξ)＋ηＨ(ｘꎬξ)－ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)]ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))ｐ０(ξ).证明:问题(１)是极大极小问题ꎬ先讨论其内部问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)](３)ｓ ｔ.ʏΩ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ０(ξ)ｄξ£η上述问题的决策变量是概率分布Ｐꎬ并不是传统意义上的优化问题.采用经典的测度转换技巧ꎬ可以将内部问题转化为一个确定的泛函极值问题.令Ｌ(ξ)＝ｐ(ξ)ｐ０(ξ)ꎬＬ( )通常被称为Ｒａｄｏｎ￣Ｎｉｋｏｄｙｍ导数.容易有Ｌ(ξ)⩾０和ＥＰ０[Ｌ(ξ)]＝１ꎬ由测度转化技巧ꎬ得ＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]＝ʏΩＨ(ｘꎬξ)ｐ(ξ)ｄξ＝ʏΩＨ(ｘꎬξ)ｐ(ξ)ｐ０(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]ꎬʏΩ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ０(ξ)ｄξ＝ʏΩ(ｐ(ξ)－ｐ０(ξ))２ｐ２０(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２] 把真实概率分布下的最大期望问题(３)转化为如下的经验分布下的相应问题:㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘＬ(ξ)ɪΥＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)](４)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｓ ｔ ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２]£㊀η 其中ꎬΥ＝{Ｌ:ＥＰ０[Ｌ(ξ)]＝１ꎬＬ(ξ)⩾０}表示由Ｐ生成的且满足Ｐ<<Ｐ０的所有Ｒａｄｏｎ￣Ｎｉｋｏｄｙｍ导数的集合.下面主要对问题(３)进行求解.首先ꎬ证明问题(４)关于决策变量Ｌ是凸的.对任意的λɪ[０ꎬ１]与Ｌ１ꎬＬ２ɪΥꎬ明显ꎬλＬ１＋(１￣λ)Ｌ２ɪΥ.且由于(ｘ－１)２关于ｘ是凸的ꎬ有(λＬ１(ξ)＋(１￣λ)Ｌ２(ξ)－１)２£㊀λ(Ｌ１(ξ)－１)２＋(１￣λ)(Ｌ２(ξ)－１)２ꎬ∀ξɪΞꎬ由于不等式两边同时进行经验分布Ｐ０下的期望运算并不会改变不等式的符号ꎬ因此ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２]关于决策变量Ｌ是凸的.同时ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]关于Ｌ是线性的ꎬ所以问题(４)是一个凸的泛函极值问题 定义如下的拉格朗日函数:㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｌ０(αꎬＬ)＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]＋α[η－ＥＰ０[(Ｌ(ξ)－１)２]].因此问题(４)等于如下问题ｍａｘＬɪΥｍｉｎα⩾０ｌ０(αꎬＬ).首先分析当α＝０时的最优解.对于任意ｘɪＸꎬ令ＳＨ(ｘ)＝ｉｎｆ{ｔɪＲꎬＰｒＰ０(Ｈ(ｘꎬξ)>ｔ)＝０}ꎬ其为函数Ｈ(ｘꎬξ)在测度Ｐ０下的本质上确界 构造一序列函数ｔｉ(ｘ)ʏＳＨ(ｘ)ꎬ定义如下关于随机变量的集合Ａｉ＝{ξ:ＰｒＰ０(ＳＨ(ｘ)⩾Ｈ(ｘꎬξ)⩾ｔｉ(ｘ))>０}很容易看出Ａｉ不是Ｌｅｂｅｓｇｕｅ零测度集合.构造一系列分布Ｐｉ(Ｌ(ξ))满足如下条件ʏＡｉＬｉ(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝１及ʏΞ/ＡｉＬｉ(ξ)ｐ０(ξ)ｄξ＝０ 那么ＳＨ(ｘ)⩾ʏΞＨ(ｘꎬξ)Ｌｉ(ξ)ｄξ＝ʏＡｉＨ(ｘꎬξ)Ｌｉ(ξ)ｄξ＋ʏΞ/ＡｉＨ(ｘꎬξ)Ｌｉ(ξ)ｄξ⩾ｔｉ(ｘ)ʏＡｉＬｉ(ξ)ｄξ⩾ｔｉ(ｘ)当ｔｉ(ｘ)ʏＳＨ(ｘ)时ꎬＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)]ңＳＨ(ｘ)ꎬ此时整个问题的最优解会变得极为保守ꎬ且分布鲁棒问题(１)变为如下问题ｍｉｎｘɪＸｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]＝ｉｎｆｘɪＸｓｕｐξɪΩ/ＮＨ(ｘꎬξ)ꎬ４１１第１期丁可伟ꎬ等:χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题㊀其中Ｎ表示Ｌｅｂｅｓｇｕｅ零测度集合且有定义Ｎ＝{ξ:Ｈ(ｘꎬξ)ң＋¥}.实际上ꎬα＝０意味着问题(３)的约束是非紧的ꎬ也就是说模糊因子η太大导致约束失效.另一方面η太大分布鲁棒问题(１)也会变得极为保守.接下来证明在η不太大的情况下拉格朗日乘子αʂ０ 交换极大极小两个算子的顺序ꎬ得到如下的朗格拉日对偶问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎα⩾０ｍａｘＬɪΥｌ０(αꎬＬ)(５)先分析(５)的内部最大值问题ꎬ其展开如下㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘＬ(ξ)ɪΥ０ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)－α(Ｌ(ξ)－１)２]＋αηｓ ｔ ＥＰ０[Ｌ(ξ)]＝１ꎬ(６)其中ꎬΥ０＝{Ｌ:Ｌ⩾０ꎬａ ｓ } 定义下列泛函Ｊ(Ｌ(ξ)):＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)－α(Ｌ(ξ)－１)２]＋αηꎬＪｃ(Ｌ(ξ)):＝ＥＰ０[Ｌ(ξ)]－１㊀㊀明显Ｊ(Ｌ(ξ))关于Ｌ是凹的ꎬＪｃ(Ｌ(ξ))关于Ｌ是线性的.现在计算Ｊ(Ｌ(ξ))和Ｊｃ(Ｌ(ξ))的导数ＤＪ(Ｌ(ξ))和ＤＪｃ(Ｌ(ξ)) 对于在Ｌ处的任意的可行方向Ｖ(ξ)ꎬ有ＤＪ(Ｌ(ξ))＝ｌｉｍｔң０Ｊ(Ｌ(ξ)＋ｔＶ(ξ))－Ｊ(Ｌ(ξ))ｔ＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)－２α(Ｌ(ξ)－１)Ｖ(ξ)]ꎬＤＪｃ(Ｌ(ξ))＝ＥＰ０[Ｖ(ξ)].问题(６)的拉格朗日对偶函数为㊀㊀㊀㊀ｌ(Ｌꎬλ)＝ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)Ｌ(ξ)－α(Ｌ(ξ)－１)２]＋λ[ＥＰ０[Ｌ(ξ)]－１]＋αη.㊀㊀由文献[１３]中的定理３ ３可知ꎬ如果存在(Ｌ∗ꎬλ∗)使得Ｌ∗ɪΥ０ꎬＪｃ(Ｌ∗(ξ))＝０且Ｌ∗ɪａｒｇｍａｘＬɪΥ０ｌ(Ｌꎬλ∗)ꎬ那么Ｌ∗是问题(６)的最优解.注意到上述问题是一个无约束的凹规划问题ꎬ那么其最优解应该位于某种意义下的驻点ꎬ即其导数为零的点ꎬ结合前面计算的导数ꎬ得Ｄｌ(Ｌꎬλ)＝ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)－２α(Ｌ(ξ)－１)＋λ∗)Ｖ]为了保证上述算子为零算子ꎬ只需要Ｌ∗满足Ｈ(ｘꎬξ)－２α(Ｌ(ξ)－１)＋λ∗＝０即可.可知Ｌ∗(ξ)＝Ｈ(ｘꎬξ)＋λ∗２α＋１ꎬ进一步由Ｊｃ(Ｌ∗(ξ))＝０可得λ∗＝－ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)].进而可得Ｌ∗(ξ)＝Ｈ(ｘꎬξ)－ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)]２α＋１.由此得到了问题(６)的最优解ꎬ进而问题(５)可转化为ｍｉｎα⩾０ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)]＋ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))４α＋αη＝ＥＰ０[(Ｈ(ｘꎬξ)]＋ηＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))ꎬ其中α∗＝１２ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))η>０ 最后将值进行代入后很容易验证ｌ０(α∗ꎬＬ)£ｌ０(α∗ꎬＬ∗)£ｌ０(αꎬＬ∗)ꎬ故(α∗ꎬＬ∗)是问题(４)的一个鞍点ꎬ即此时强对偶成立ꎬ故得证.当η＝０时ꎬ意味着此时问题(１)关于分布没有不确定性ꎬ由上述表达式容易知道问题(１)退化为原始的随机优化问题ｍｉｎｘɪＸＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)] 其中ꎬ经验分布此时就是精确的概率分布.注意到确定问题(２)尽管不是一个凸规划问题ꎬ但是其结构非常有意思.如果该目标函数在经验分布下的标准差非常大ꎬ意味着目标函数关于随机变量ξ非常敏感时ꎬ即使刻画分布信息集的模糊因子较小ꎬ但χ２－散度下的分布鲁棒优化问题(２)的罚项依然会较大ꎬ导致最优解变得较为保守.在一些特殊情况下ꎬ问题(２)可以是凸规划问题.例如当Ｈ(ｘꎬξ)＝(ｆ(ｘ))Ｔｇ(ξ)ꎬ其中ꎬｆ(ｘ)＝(ｆ１(ｘ)ꎬｆ２(ｘ)ꎬ ｆｍ(ｘ))中每一个ｆｉ(ｘ)都是线性函数.那么问题(１)可转化为如下的凸规划问题５１１西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸ(ｆ(ｘ))ＴＥＰ０[ｇ(ξ)]＋η(ｆ(ｘ))ＴＤＰ０[ｇ(ξ)]ｆ(ｘ)在实际问题中ꎬ不确定性往往也出现在约束当中ꎬ考虑如下的分布鲁棒优化问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸｈ(ｘ)ｓ ｔ ｍａｘＰɪΔＥＰ[Ｈ(ｘꎬξ)]£㊀０由定理１可得㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍｉｎｘɪＸｈ(ｘ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(７)ｓ ｔ ＥＰ０[Ｈ(ｘꎬξ)]＋ηＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ))£㊀０问题(７)中的约束结构表明分布鲁棒约束不等式可以被转化为经验分布下的一个确定不等式ꎬ其中不等式的左侧被约束函数在经验分布下的标准差所惩罚.发现模糊因子η越大ꎬ那么问题(１)越保守.同时ꎬ如果约束函数在经验分布下的标准差越大ꎬ问题也会变得越来越保守.２㊀分布鲁棒机会约束问题２ １㊀极大极小概率问题考虑如下的极大极小概率问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘɪＸｍｉｎＰɪΔＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}.(８)此处把前面的期望问题替换为一个概率问题.记ΙＡ表示集合Ａ的指示函数ꎬ可以把(８)转化为如下的分布鲁棒优化问题ｍａｘｘɪＸｍｉｎＰɪΔＥＰ[ΙＨ(ｘꎬξ)⩾０] 因此可以将(８)看成分布鲁棒优化问题(１)的一个特例.记κ(ｘ)＝ＰｒＰ０{Ｈ(ｘꎬξ)>０}ꎬ简单计算可得ＤＰ０(Ｈ(ｘꎬξ)>０)＝κ(ｘ)－κ２(ｘ).假设２:假设κ(ｘ)⩾ｓꎬ其中ｓ＝１/２－１/４η＋４.当模糊因子ηң０时ꎬ假设２变成κ(ｘ)⩾０.由于κ(ｘ)表示概率ꎬ此时假设２自然成立.另一方面ꎬ当ＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}⩾１２时ꎬ假设２也是自然成立的.实际上ꎬ从表１中也能看到当概率ＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}比较大且同时η比较小时ꎬ假设２是成立的.表１㊀η与ｓ的关系Ｔａｂｌｅ１Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆηａｎｄｓηｓ１０ １４６０ ５０ ０９２０ １０ ０２３０ ０１０ ００２㊀㊀定理２㊀如果假设２成立ꎬ问题(８)的最优解等同于如下经验分布㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘɪＸＰｒＰ０{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}(９)证明:由定理１中的目标函数替换为ΙＨ(ｘꎬξ)⩾０ꎬ那么问题(８)可改写为如下形式㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘɪＸκ(ｘ)－η(κ(ｘ)－κ２(ｘ))令ｔ＝κ(ｘ).那么上述问题的目标函数转化为ｆ(ｔ)＝ｔ－η(ｔ－ｔ２)ꎬ可得ｆᶄ(ｔ)＝１－η(１－２ｔ)２η(ｔ－ｔ２)ꎬ那么当ｔ⩾１２－１２η＋４时ꎬｆᶄ(ｔ)>０.由此可知ꎬ在假设２下ｆ(ｔ)关于ｔ是６１１第１期丁可伟ꎬ等:χ２－散度信息集下的分布鲁棒优化问题㊀严格单调递增的.故得证.由定理２可知ꎬ当分布信息集合是由χ２－散度所控制的时候ꎬ无论控制分布信息集合大小的模糊因子η取多大ꎬ极大极小概率问题(８)的最优解也是经验分布下的原始概率问题(９).因此ꎬ欲求极大极小概率问题(８)的最优解ꎬ只需要求解经验分布下的问题(９)即可.２ ２㊀分布鲁棒机会约束问题讨论如下的分布鲁棒机会约束问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｉｎｆｘɪＸｈ(ｘ)ｓ ｔ ｉｎｆＰɪΔＰｒＰ{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}⩾α(１０)定理３㊀当α>１２时ꎬ分布鲁棒机会约束问题(１０)可以等价地转化为如下的机会约束问题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｉｎｆｘɪＸｈ(ｘ)ｓ ｔ ＰｒＰ０{Ｈ(ｘꎬξ)⩾０}⩾α－㊀㊀其中ꎬα－＝α＋η－２αη＋η２＋４αη(１－α)２(１＋η)证明:当η＝０时ꎬα－＝αꎬ显然成立 下面分析ηʂ０时的情形.将机会约束中的概率问题转化为期望问题ｉｎｆＰɪΔＥＰ[ΙＨ(ｘꎬξ)⩾０]ꎬ跟定理２中类似的分析ꎬ可以得到问题(１０)的机会约束可以转化为κ(ｘ)－η(κ(ｘ)－κ２(ｘ))⩾α很明显ꎬκ(ｘ)⩾αꎬ移项两边同时平方化简可得下式(η＋１)κ２(ｘ)－(２α＋η)κ(ｘ)＋α２⩾０.得κ(ｘ)⩾α＋η－２αη＋η２＋４αη(１－α)２(１＋η)或κ(ｘ)£㊀α＋η－２αη－η２＋４αη(１－α)２(１＋η).由于α>１２且ηʂ０ꎬκ(ｘ)£㊀α－η－２αη－η２＋４αη(１－α)２(１＋η)<αꎬ与κ(ｘ)⩾α矛盾.因此可得ꎬκ(ｘ)⩾α＋η－２αη＋η２＋４αη(１－α)２(１＋η)ꎬ故得证.注意到αɪ[０ꎬ１]及η⩾０ꎬ可以得到η２＋４αη(１－α)⩾(２α－１)ηꎬ即α－⩾αꎬ其中等式在η＝０时取到.３㊀投资组合问题㊀㊀考虑如下的投资组合问题ｓｕｐｘɪＸｉｎｆＰɪΔＥＰ[ｘＴξ]ꎬ其中ξɪＲｎ时ｎ只股票的收益率ꎬｘɪＲｎ是投资策略.Ｘ＝{ｘ:ｘＴｅ＝１}且ｅ代表元素全部为１的向量.假设ｎ只股票的收益率的经验分布的分布为Ｐ０~Ｎ(μ０ꎬΣ０)ꎬ则由定理１可知ꎬ可将上述问题转化为㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｍａｘｘｘＴμ０－ηｘＴΣ０ｘｓ ｔ.ｘＴｅ＝１虽然原始问题似乎并没有考虑风险项ꎬ但实际上分布鲁棒问题本身可以看成一个最小化一个一致风险度量问题ꎬ接下来对上述问题进行求解ꎬ其拉格朗日函数为Ｌ(ｘꎬλ)＝ｘＴμ０－ηｘＴΣ０ｘ＋λ(ｘＴｅ－１).７１１西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷令μＴ０Σ０μ０＝ＡꎬμＴ０Σ０ｅ＝ＢꎬｅＴΣ０ｅ＝Ｃ 对上述拉格朗日函数求偏导等于０ꎬ经过简单分析可得ꎬ当η⩾Ａ－Ｂ２Ｃ时ꎬ该投资组合问题的最优解ｘ∗及最优值ｖ∗分别为ｘ∗＝Σ－１０(Ｃμ０－(Ｂ－Ｂ２－(Ａ－η)Ｃ)ｅ)ＣＢ２－(Ａ－η)Ｃꎬｖ∗＝Ｂ－Ｂ２－(Ａ－η)ＣＣ.从ｖ∗的表达式可知ꎬ如果投资者获取的市场的信息越少ꎬ即模糊因子η的值变大时ꎬ那么在该分布鲁棒模型下投资者会变得相对保守ꎬ投资预期收益将会减少.参考文献[１]ＳＣＡＲＦＨ.Ａｍｉｎ￣ｍａｘｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｎｉｎｖｅｎｔｏｒｙｐｒｏｂｌｅｍ[Ｃ]//ＡＲＲＯＷＫꎬＫＡＲＬＩＮＳꎬＳＣＡＲＦＨ.ＳｔｕｄｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＴｈｅｏｒｙｏｆＩｎｖｅｎｔｏｒｙａｎｄＰｒｏ￣ｄｕｃｔｉｏｎ.Ｓｔａｎｆｏｒｄ:ＳｔａｎｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓꎬ１９５８:２０１￣２０９.[２]ＬＯＮＧＤꎬＳＩＭＭꎬＺＨＯＵＭ.Ｒｏｂｕｓｔｓａｔｉｓｆｉｃｉｎｇ[Ｊ].ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈꎬ２０２２ꎬ７１(１):１￣１２.ＤＯＩ:１０ １２８７/ｏｐｒｅ ２０２１ ２２３８.[３]ＳＡＧＡＷＡＳꎬＫＯＨＰꎬＨＡＳＨＩＭＯＴＯＴＢꎬｅｔａｌ.ＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙＲｏｂｕｓｔＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓｆｏｒＧｒｏｕｐＳｈｉｆｔｓ:ＯｎｔｈｅＩｍｐｏｒｔａｎｃｅｏｆＲｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｏｒＷｏｒｓｔ￣ＣａｓｅＧｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ[Ｊ/ＯＬ].ａｒＸｉｖ:１９１１.０８７３１ｖ２ꎬ２０１９.[４]ＳＵＮＨꎬＳＨＡＰＩＲＯＡꎬＣＨＥＮＸ.Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０２３ꎬ２００:２７９￣３１７. [５]ＤＥＬＡＧＥＥꎬＹＥＹ.Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｍｏｍｅｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｄａｔａ￣ｄｒｉｖｅｎｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈꎬ２０１０ꎬ５８:５９５￣６１２.[６]ＭＥＨＲＯＴＲＡＳꎬＺＨＡＮＧＨ.Ｍｏｄｅｌｓａｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０１４ꎬ１４６:１２３￣１４１. [７]ＨＵＺꎬＨＯＮＧＪ.Ｋｕｌｌｂａｃｋ￣Ｌｅｉｂｌｅｒｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ[Ｊ].ＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＯｎｌｉｎｅꎬ２０１２:３５￣３７.[８]ＥＳＦＡＨＡＮＩＰꎬＫＵＨＮＤ.Ｄａｔａ￣ｄｒｉｖｅｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｔｈｅＷａｓｓｅｒｓｔｅｉｎｍｅｔｒｉｃ:ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｇｕａｒａｎｔｅｅｓａｎｄｔｒａｃｔａｂｌｅｒｅｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０１５ꎬ２４:１￣５２.[９]ＧＡＯＲꎬＫＬＥＹＷＥＧＴＡ.Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｙｒｏｂｕｓｔｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｗｉｔｈｗａｓｓｅｒｓｔｅｉｎｄｉｓｔａｎｃｅ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈꎬ２０２２ꎬ４８(２):６０３￣６１５.ＤＯＩ:１０ １２８７/ｍｏｏｒ ２０２２ １２７５.[１０]ＪＩＡＮＧＲꎬＧＵＡＮＹ.Ｄａｔａ￣ｄｒｉｖｅｎｃｈａｎｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｒｏｇｒａｍ[Ｊ].ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎬ２０１６ꎬ１５８:２９１￣３２７.[１１]ＤＩＮＧＫꎬＣＨＥＮＺꎬＨＵＡＮＧＮ.ＲｏｂｕｓｔｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒＲｅｎｙｉｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ[Ｊ].Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎꎬ２０１８ꎬ６７:２８７￣３０７. [１２]ＫＬＡＢＪＡＮＤꎬＳＩＭＣＨＩ￣ＬＥＶＩＤꎬＳＯＮＧＭ.Ｒｏｂｕｓｔｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｌｏｔ￣ｓｉｚｉｎｇｂｙｍｅａｎｓｏｆｈｉｓｔｏｇｒａｍｓ[Ｊ].ＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＭａｎａｇｅｍｅｎｔꎬ２０１３ꎬ２２:６９１￣７１０.[１３]ＢＯＮＮＡＮＳＪꎬＳＨＡＰＩＲＯＡ.ＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ[Ｍ].ＮｅｗＹｏｒｋ:Ｓｐｒｉｎｇｅｒ￣Ｖｅｒｌａｇꎬ２０００.(责任编辑:张阳ꎬ付强ꎬ和力新ꎬ肖丽ꎻ英文编辑:周序林ꎬ郑玉才)８１１。
第37卷第21期2007年11月数学的实践与认识M A THEM A TICS IN PRAC TICE AND THEO RY V o l.37 No.21 N ov e.,2007 广义Richards -Gilpin -Ayala 模型的捕获优化问题曾有栋(福州大学数学与计算机科学学院,福建 350002)摘要: 在R ichards -Gilpin -Ayala 模型的基础上,提出了一类更广泛的数学模型—广义Rich ards -G ilpin -Ayala 模型.进而讨论该模型单种群生物资源的捕获优化问题,分析了被开发生物种群的动力学性质.在单位捕获努力量假定下,以最大可持续捕获量为管理目标,确定了线性捕获下的最优捕获策略,得到了最优捕获努力量,最大可持续收获及相应的最优种群水平的显式表达式.这些结果推广了相关文献中关于Schaefer 模型、广义Logistic 模型的相应结果.关键词: 广义R ichards -Gilpin -Ayala 模型;可持续捕获;优化1 引 言收稿日期:2007-04-03基金项目:福建省自然科学基金资助项目(2001J 009,Z0511015) 在理论生态学中,已经提出了很多数学模型用以描述单种群的增长规律,如Malthus 模型,Log istic 模型[1]及广义Logistic 模型[2].本文在Richards-Gilpin-Ayala 模型[3—5]的基础上,考虑更广泛的数学模型—广义Richards-Gilpin-Ayala 模型:x =rx 1-x K W 1+x W ≡f (x )(1.1)其中x =x (t )是t 时刻该生物种群的密度,r >0是生物种群的内禀增长率,K >0是环境最大容纳量,W >0为正常数,是种群对环境利用程度的参数.易见模型(1.1)包括了许多描述单种群增长的数学模型作为特例,例如:U =0,W =1时为Log istic 模型[1];U ≠0,W =1时为王寿松提出的广义Lo gistic 模型;U =0,W ≠1时为Richa rds 模型.(1.1)所描述的生物种群的增长曲线与Logistic 模型增长曲线有显著不同,而与广义Logistic 模型增长曲线相类似.可更新资源的开发与可持续发展有着密切联系.我们将使用单位捕获努力量的捕获量假设(Catch-per-unit-effo rt hy po thesis),即单位努力量的捕获量与种群水平成正比:h =qEx 其中E 为捕获努力量,q 为常数,是单位可捕获系数(Catchability coefficient),可令q =1以使单位标准化.因而相应用于(1.1)的被开发生物种群的增长方程为x =rx 1-x K W 1+x W-Ex ≡F (x )(1.2)当U =0时即为Richards-Gilpin-Ayala 模型.本文意在考虑模型(1.2)的最优捕获努力量,最大可持续捕获以及相应的最优种群水平.2 主要结果2.1 系统(1.2)的平衡点的存在性和稳定性系统(1.2)的平衡点是直线l1:y=Ex与曲线l2:y=f(x)的交点,即是方程rx1-xKW1+x W-Ex=0的解.易得F′(x)=r1-xKW1+W-E-rW x W(1+U K W)K W(1+U x W)2由此仿[2]容易证明:定理1 x=0是模型(1.2)的平衡点,且当E>r时是稳定的,当E<r时是不稳定的.定理2 如果下列条件之一成立,则(1.2)存在惟一正平衡点:x*=r-EE U+rK-W1/W (i)U≥0,0≤E<r;(ii)U<0,1+U K W>0,0≤E<r;(iii)U<0,1+U K W>0,E>-rU K W(>r);(iv)U<0,1+U K W<0,0≤E<-rU K W(<r);(v)U<0,1+U K W<0,E>r.而且当1+U K W>0时,x*是稳定的,当1+U K W<0时,x*是不稳定的.定理3 如果U≥0,0≤E<r,则x*是全局稳定的,如果U≥0,E>r,则x=0是全局稳定的.2.2 被开发种群的动力学性质容易知道,当U≥0,0≤E<r时,l1与l2有惟一正交点x*,且当0≤x<x*时,l2位于l1上方,即x>0,当x>x*时,l1位于l2上方,即x<0,故x*是稳定的.种群密度最终维持在x*附近,此时,x=0是不稳定的.当E>r时,x<0,此时x=0是稳定的,种群将会灭绝.当U<0时,令K1={x:0≤x<(-1/U)1/W},K2={x:x≥(-1/U)1/W}.若U<0,1 +U K W>0时,l2由两个分支组成(以x≥(-1/U)1/W为界).当0≤E<r时,l1与l2左半支相交,存在惟一正平衡点x*∈(0,K),且是局部稳定的,K1是其吸引域.当x∈K2时,x>0,生物种群无限增长;当r<E<-rU K W(<r)时,x=0是模型(1.2)的惟一平衡点且是稳定的,K1是其吸引域,K2内种群无限增长;当E>-rU K W(<r)时,l1与l2右半支相交于惟一正平衡点x*,且是局部稳定的,从区域K2内出发的轨线以x*为k极限点,此时区域K1为危险区域.因为x<0,一旦因开发过度使种群位于K1内,种群就要灭绝.若U<0,1+U K W<0,E>r,l2由两个分支组成(以x=(-1/U)1/W为界).当0≤E<-rU K W(<r)时,l1与l2右半支相交于惟一正平衡点x*,此时x*是不稳定的.当7121期曾有栋:广义Richa rds-Gilpin-Aya la模型的捕获优化问题(-1/U )1/W <x <x *时,生物种群密度趋于x =(-1/U )1/W ,当x >x *时,种群无限制增长,此时位于区域K 1的轨线趋于x =(-1/U )1/W ;当-r U K W ≤E <r 时,x =0是模型(1.2)的惟一平衡点,但不稳定,种群最终趋于x =(-1/U )1/W ;当E >r 时,l 1与l 2左半支相交于两个平衡点x =0和x *,此时x =0是稳定的,x *是不稳定的.当0<x <x *时,轨线为x =0所吸引.此时,0<x <x *是危险区域,当x *<x <(-1/U )1/W 时,轨线趋于x =(-1/U )1/W .2.3 生物种群资源的最优捕获策略本节我们考虑生物种群资源的最优捕获问题.对生物种群资源的开发,应追求经济利益和环境利益的统一,过度开发甚至灭绝某种生物种群资源的行为都是不可取的.因此,对于模型(1.2),我们感兴趣的是稳定的可持续的均衡捕获.由问题的实际意义,我们考虑模型(1.2)在1+U K W >0,0≤E <r 时的最优捕获问题,我们以最大可持续捕获量为管理目标.可持续捕获量为Y (E )=Ex *=E r -E E U +rK -W 1/W 令D ={1+U K W >0,0≤E <r },我们称D 为捕获的容许集.我们的目的是寻求E*∈D 使得Y (E )达到最大值,即求解Y *(E *)=max E ∈DY (E ) 对此,我们有下列结论:定理4 在D 中使得Y (E )取得最大值的最优捕获努力量为E *=2r Δ+Δ2+4U KW 相应的最大可持续捕获为Y *(E *)=2Kr Δ+Δ2+4U K W (1/W -1)(1+U K W )+Δ2+4U K W (1/W +1)(1+U K W )+Δ2+4U K W1/W 最优种群水平为x *(E *)=K (1/W -1)(1+U K W )+Δ2+4U K W (1/W +1)(1+U K W )+Δ2+4U KW 1/W 其中Δ=1+1/W -(1-1/W )U K W证明 令Y ′(E )=0得U E 2+r [(1+1/W )K -W -(1-1/W )U ]E -r 2K -W =0.解之得:E *1=2r Δ+Δ2+4U K W E *2=2rΔ-Δ2+4U K W 容易验证:E 1∈D ,E 2 D ,所以E *=E 1.将E *代入Y (E ),即可求得Y *(E *),x *(E *).注 当W =1时,由定理4易得文[2]的结果E *=r 1+1+U K ,Y *(E *)=Kr (1+1+U K )2,x *(E *)=K 1+1+U K72数 学 的 实 践 与 认 识37卷因此本文推广了文献[1,2]中关于Schaefer 模型、广义Logistic 模型的相应结果.参考文献:[1] Clark C W.M ath ematical Bio-economics :The Optimal M anagemen t of Renew able Res ource [M ].2nd ed,NewYork:Wiley,1990.49—55.[2] 李清,王克,范猛.广义Logis tic 模型的捕获最优问题[J].生物数学学报,2000,15(4):408—412.[3] 王寿松.单种群生长的模型[J].生物数学学报,1990,5(1):21—25.[4] 陈兰荪.数学生态学模型与研究方法[M ].北京:科学出版社,1988.58—72.[5] 杨义群,吴良欢,吴其苗.On th e Rich ard s cu rve [J].生物数学学报,2000,15(4):385—387.Optimal Harvesting Problem for GeneralizedRichards -Gilpin -Ayala ModelZEN G You -do ng(Co llege o f M athematics a nd Computer Science,Fuzho u U niv er sity ,Fuzhou Fujiang 350002,China )Abstract : This paper is dev oted to the study o f the o ptimal ha rv esting pr oblem for sing le population based o n the ge ner alized Richards-Gilpin-Ayala model which pro po sed by the autho r .First ,we ana ly ze the dy na mical behav io ur of the ha rv ested po pulatio n .Then under the catch-per-unit-effo rt hy po thesis,w e choo se th e ma ximum sustaina ble yield as the ma nag ement objec tiv e ,a nd inv estig ate the o ptimal harv esting po licies for the g eneralized Richards-Gilpin-Ayala model.Ex plicit expr essions ar e o btained fo r th e o ptimal harv est effo r t tha t max imizes the sustaina ble yield ,the co rr esponding o ptimal popula tion lev el ,a nd the max imum sustainable yield.These results ge ner alize the kno w n results fo r Schaefe r model and genera lized Lo gistic model in renew able r eso urces manag em ent.Keywords : gener alized Richa rds-Gilpin-Aya la mo del;sustainable yield;optimizatio n 7321期曾有栋:广义Richa rds -Gilpin -Aya la 模型的捕获优化问题。
