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混沌摆实验讲义
混沌摆是一种简单、但却富有意义的物理现象，它通过定理,提出了一种完全不同与
以往熟知物理定律的新定律，即混沌定律，它与非线性系统中的现象有关。
混沌摆实验常用一个重力摆，它包括一个盒子、一个挂链、一个圆木块、一个挂杆和
一个尖头山脉。
把这些部件组装在一起，当小心准备完成时，可以开始实验。
实验中，首先要找到一个不受外界影响，有较低噪声环境的地方，如实验室（如果不
是在室内，可能还要考虑应用隔音板）；
然后，要找准摆的受力中心，避免晃动；
当把实验装置稳固了，可以准备木头圆块作为摆子的重徒；
然后，将木头圆块放在摆杆上，利用路径点的原理调节滚轮的位置，使其与受力中心
重合；
接着，开始实验，将木头圆块放在摆杆上，或在受力中心上放一点外力，观察摆子的
运动轨迹；
实验中，当摆子倾斜较大时，它可能会运动出一个紊乱正弦波；假如摆子稍稍倾斜，
它会先变成运动轨迹可以控制好，但最终会变成紊乱波；
另外，如果放在摆杆头上的外力使得摆子偏离了受力中心，则将会出现梅林回归动行
轨迹；
而当摆子平衡后，根据弦的原理，摆子的频率可以改变，此时运动轨迹会发生一些小
的变化；
在混沌摆实验中，应保持实验条件的稳定，如控制摆子的木块的大小、重量、受力中
心的位置等，另外，也要保持实验环境（如地面、实验室等）的稳定，以避免外力的干扰。
以上就是传统的混沌摆实验内容。
混沌摆实验可以用来验证和检测混沌性质，进而帮
助我们更好地理解混沌现象，对科学研究有着重要的意义。
非线性电路振荡周期的分叉与混沌姓名：邵艳艳专业：材料物理91学号：09096001非线性电路振荡周期的分叉与混沌一．实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。
二．实验原理⒈分岔与混沌理论⑴ 逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1 ⑵逻辑斯蒂映射的分岔图以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
0A B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。
k 从2.8增大到4。
从图中可看出周期倍增导致混沌。
混沌区突然又出现周期3，5，7…奇数及其倍周期6，10，14…的循环，混沌产生有序，或秩序从混沌中来。
其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代，不是个别例子特有的，具有一定的普适性。
1非线性电路中的混沌现象（2011修订版）混沌（Chaos ）研究是20世纪物理学的重大事件。
长期以来，物理学用两类体系描述物质世界：以经典力学为核心的完全确定论描述一幅完全确定的物质及其运动图象，过去、现在和未来都按照确定的方式稳定而有序地运行；统计物理和量子力学的创立，揭示了大量微观粒子运动的随机性，它们遵循统计规律，因为大多数的复杂系统是随机和无序的，只能用概率论方法得到某些统计结果。
确定论和随机性作为相互独立的两套体系，分别在各自领域里成功地描述世界。
混沌的研究表明，一个完全确定的系统，即使非常简单，但由于自身的非线性作用，同样具有内在随机性。
绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动。
而混沌既不是具有周期性和对称性的有序，又不是绝对无序，而是可用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌呈现非周期有序性。
混沌研究最先起源于Lorenz 研究天气预报时用到的三个动力学方程。
后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无规，但实际是非周期有序运动，即混沌现象。
现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术等众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响。
混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等。
目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面。
5.20.1实验目的本实验研究一个简单的非线性电路，分析其电路特性和产生周期与非周期振荡的条件，从而对电路中混沌现象的基本性质和混沌产生的方法有初步了解。
有兴趣的同学在实验后可从附录中选择进一步研究的课题做更深入的研究。
5.20.2实验原理 5.20.2.1非线性电路方程 一个简单而典型的非线性电路如图5.20.1，它又称蔡氏电路（Chua’s circuit ），即三阶互易非线性自治电路。
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考一、实验原理表述与探讨非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性的存在构成了多姿多彩的自然界。
从数学上来说，非线性（non-linear），是指输出输入均不是正比例的情形。
宇宙形成初的混沌状态即为非线性。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。
混沌现象则是近年来新出现的一个科学名词。
首先是科学家在对天气预报作计算机模拟时发现的,后来又从数学上和实验上得到证实.混沌来自非线性.由于在自然界和人类社会中绝大多数是非线性系统,所以混沌是一种普遍现象.对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。
目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。
无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等．目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面．本实验电路及原理如下：如图1所示．电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路．方程如下所示：这里，U C1、U C2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G=1/R0是电导，g为R的伏安特性函数．如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数．电阻R0的作用是调节C1和C2的位相差，把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆．如果R是非线性的，则会看到如下现象：电路中的R是非线性元件，它的伏安特性如图2所示，是一个分段线性的电阻，整体呈现出非线性．gUC1是一个分段线性函数．由于g总体是非线性函数，三元非线性方程组没有解析解．若用计算机编程进行数值计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象．除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图3所示．图3中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的．电路中，LC并联构成振荡电路，R0的作用是分相，使A，B两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x，y两个信号的合成图形．双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R3/R0，R6/R0有关，负反馈的强弱与比值R2/R1，R5/R4有关．当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡．若调节R0，正反馈就发生变化，TL082处于振荡状态，表现出非线性，从C，D两点看，TL082与六个电阻等效于一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图（2）所示．混沌现象表现了非周期有序性，看起来似乎是无序状态，但呈现一定的统计规律，其基本判据有：1．频谱分析：R0很小时，系统只有一个稳定的状态（对应一个解），随R0的变化系统由一个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃（两个解），即由一周期变为二周期，进而两个稳定状态分裂为四个稳定状态（四周期，四个解），八个稳定状态（八周期，八个解）………直至分裂进入无穷周期，即为连续频谱，接着进入混沌，系统的状态无法确定；分岔是进入混沌的途径．2．无穷周期后，由于产生轨道排斥，系统出现局部不稳定；3．奇异吸引子（StrangeAttractor）存在．奇异吸引子有一个复杂但明确的边界，这个边界保证了在整体上的稳定，在边界内部具有无穷嵌套的自相似结构，运动是混合和随机的．它对初始条件十分敏感．二、实验操作步骤及流程倍周期现象、周期性窗口、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述将电容C1，C2上的电压输入到示波器的X，Y轴，先把R0调到最小，示波器屏上可观察到一条直线，调节R0，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点．增大示波器的倍率，反向微调R0，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期倍增至四周，……，直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集．再细微调节R0，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在．这一步有助于理解和直观观察到非线性电路中的混沌现象的产生与存在，此步骤要注意细微调节的重要行，示波器的辉度与光的粗细都要适当，因为三倍周期与四倍变化极为细微。
一、实验目的1. 了解混沌现象的基本概念和特性。
2. 掌握混沌系统实验的基本方法和步骤。
3. 通过实验观察混沌现象，验证混沌系统的基本特性。
4. 理解混沌现象在实际应用中的意义。
二、实验原理混沌现象是自然界和人类社会普遍存在的一种复杂现象，具有以下基本特性：1. 敏感性：初始条件的微小差异会导致系统行为的巨大差异。
2. 无序性：混沌系统表现出复杂、不规则的行为，难以预测。
3. 非线性：混沌系统内部存在非线性相互作用，导致系统行为复杂。
4. 吸引子：混沌系统最终会收敛到一个或多个吸引子上，形成稳定的动态行为。
本实验主要研究一个典型的混沌系统——洛伦茨系统，其数学模型如下：\[\begin{cases}\frac{dx}{dt} = \sigma(y - x) \\\frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y \\\frac{dz}{dt} = xy - \beta z\end{cases}\]其中，\(x\)、\(y\)、\(z\) 分别代表洛伦茨系统的三个状态变量，\(\sigma\)、\(\rho\)、\(\beta\) 为系统参数。
三、实验仪器与设备1. 混沌系统实验仪2. 数字示波器3. 计算机及数据采集软件四、实验步骤1. 打开混沌系统实验仪，连接好实验仪器。
2. 设置洛伦茨系统的参数，包括 \(\sigma\)、\(\rho\)、\(\beta\)。
3. 通过实验仪观察洛伦茨系统的动态行为，并记录实验数据。
4. 使用数字示波器观察洛伦茨系统的相图和时序图。
5. 使用数据采集软件记录洛伦茨系统的状态变量随时间的变化曲线。
6. 分析实验数据，验证混沌系统的基本特性。
五、实验结果与分析1. 当 \(\sigma = 10\)、\(\rho = 28\)、\(\beta = 8/3\) 时，洛伦茨系统呈现出典型的混沌现象。
从时序图可以看出，系统状态变量 \(x\)、\(y\)、\(z\) 随时间的变化呈现出无规则、复杂的振荡行为。
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。
本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。
图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图30-1电路的非线性动力学方程为：C1dtdUC1=G(UC2-U C1)-gU C1C2dtdUC2=G(U C1-U C2)+i L （30-1）LdtdiL=-U C2式中，U C1、U C2是C1、、C2上的电压，ｉL是电感L上的电流，G=1/R0是电导，在图5中，ｇ为U的函数，如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R0的作用是调节C1和、C2的位相差，把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。
大学物理实验混沌实验报告大学物理实验混沌实验报告引言：混沌理论是近几十年来在物理学领域中引起了广泛关注的一个重要研究方向。
混沌现象的出现使得我们对于自然界中的复杂系统的行为有了更深入的认识。
本次实验旨在通过具体实例，探索混沌现象的产生和特征，并通过数据分析和模型建立来解释混沌现象的本质。
实验目的：1. 了解混沌现象的基本概念和特征；2. 掌握混沌实验的基本方法和数据处理技巧；3. 通过实验数据分析和模型建立，探索混沌现象的本质。
实验装置和方法：实验装置主要由一个简单的双摆系统组成。
通过调整摆的初始条件和参数，观察双摆系统的运动状态，并记录相应的数据。
实验过程中，我们采用了以下方法：1. 调整初始条件：通过改变摆的初始角度和角速度，探索不同初始条件下双摆系统的运动情况；2. 调整参数：改变摆的长度、质量和重力加速度等参数，观察对双摆系统运动的影响；3. 数据记录：使用传感器记录摆的角度和角速度随时间的变化，并将数据保存下来。
实验结果与数据分析：通过实验观察和数据记录，我们得到了大量的实验数据。
首先，我们通过绘制摆的角度随时间的变化曲线，发现双摆系统呈现出复杂的非周期性运动。
进一步分析数据，我们发现摆的角度随时间的变化呈现出明显的不规则性，即混沌现象。
具体来说，摆的角度在一定范围内波动，但并不呈现出明确的周期性，而是呈现出一种看似无序的、随机的运动状态。
接下来，我们对实验数据进行了进一步的分析。
通过计算摆的角速度随时间的变化率，我们发现角速度也呈现出类似的混沌现象。
摆的角速度在一定范围内变化，但并没有明显的周期性规律，而是表现出一种看似无序的、随机的变化趋势。
模型建立与混沌现象解释：为了解释这种混沌现象，我们引入了混沌理论中的一个重要概念——“敏感依赖于初始条件”。
简单来说，这个概念指的是在某些复杂系统中，微小的初始条件变化可能会导致系统的演化结果产生巨大的差异。
在双摆系统中，由于摆的运动受到多个因素的影响，如摆的长度、质量、重力加速度等，微小的初始条件变化可能会导致摆的运动轨迹发生巨大的变化，从而呈现出混沌现象。
实验十一 非线性混沌实验研究非线性科学和复杂系统的研究是二十一世纪科学研究的一个重要方向。
目前主要的研究方法是在给定的参量和初值后，依照一定的决定性关系用计算机按迭代法对其演变进行数值计算。
其相应的研究结论和成果在电子学、数学、物理学、气象学、生态学、经济学等领域得到了广泛应用。
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界中最常见的运动形式，既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间。
在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年，美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年“混沌”作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
世界是有序的还是无序的？从牛顿到爱因斯坦，他们都认为世界在本质上是有序的，有序等于有规律，无序就是无规律，系统的有序有律和无序无律是截然对立的。
这个单纯由有序构成的世界图象，有序排斥无序的观点，几个世纪来一直为人们所赞同。
但是混沌和分形的发现，向这个单一图象提出了挑战，经典理论所描述的纯粹的有序实际上只是一个数学的抽象，现实世界中被认为有序的事物都包含着无序的因素。
混沌学研究表明，自然界虽然存在一类确定性动力系统，它们只有周期运动，但它们只是测度为零的罕见情形，绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动，虽然并非所有的非线性系统都有混沌运动，但事实表明混沌是非线性系统的普遍行为。
混沌既包含无序又包含有序，混沌既不是具有周期性和其他明显对称性的有序态，也不是绝对的无序，而可以认为是必须用奇怪吸引子来刻划的复杂有序，是一种蕴涵在无序中的有序。
以简单的Logistic 映射为例，系统在混沌区的无序中存在着精细的结构，如倒分岔、周期窗口、周期轨道排序、自相似结构、普适性等，这些都是有序性的标志。
所以，在混沌运动中有序和无序是可以互补的。
混沌学的创立，在确定论和概率论这两大科学体系之间架起桥梁，它将改变人们的自然观。
可以看作是本世纪以来，继相对论和量子力学之后在物理学上的第三次革命，揭示一个形态和结构崭新的物质运动世界。
【实验目的】1.通过研究一简单的非线性电路，了解电路中混沌现象的基本性质和混沌产生的方法。
2.了解混沌效应的内在规律及其演化机制。
3.测量非线性单元电路的伏-安特性。
【实验仪器】实验仪器主要有NCE —1型非线性电路混沌实验仪、示波器、万用表、电阻箱、连接导线若干等。
【实验原理】什么叫做混沌？混沌是有内在规律的随机性，和系统的行为对初值极度敏感的一类问题。
如一根针直立在桌上，则不论多么小的扰动，都会使它向某一方向倒下，而且倾倒的方向对初始扰动是非常敏感的。
在这里我们通过非线性电路用级联倍周期分岔的方式来接近混沌。
1.倍周期分岔到混沌的产生为了说明从分岔到产生混沌，我们举一个简单的例子。
例如，在频率为ω的周期外力作用下的阻尼振子在周期外力的作用下做标准的受迫振动,其微分方程如下，22cos d x dx m b kx F t dt dtω++= (1) 其解是阻尼振动的暂态解和强迫振动的稳定解的叠加。
稳定解为：()cos()x t A t ωϕ=+ (2) 经过一段时间后，它的周期一定（等于振荡源的周期ω）、振幅恒定为0x ，振动如图1。
图1 受迫振动现在改变频率ω，记录下在每个频率下振动稳定后的最大振幅值。
记录频率振幅曲线如下图2：图2 无非线性因素的频率振幅曲线对图2某一条阻尼曲线进行讨论，很明显对应于每一个频率谐振子的振幅是一定的，质点作周期振动，也就是周期没有发生分岔。
我们加入一个非线性因素在振子前放一个质量很大的挡块，以阻止振子做谐振，并设质点与挡块发生弹性碰撞，使质点以原速弹回，这时振子受到的冲击力与它的位移显然是非线性关系。
我们再慢慢改变频率，记录下在每个频率下振动稳定后的最大振幅值。
记录频率振幅曲线如图3：图3 有非线性因素的频率振幅曲线从图上可以看到在ω=1.5rad/s、……、ω=4.3 rad/s附近存在有无数分散的点组成的区间。
因此，在这些频率下，振子每次反弹的高度都不同，没有重复性。
这个区域就是混沌区。
那么周期是怎样分岔而逐步走向无序的呢？我们把ω=1.5rad/s附近的频率振幅曲线图放大来分析。
图4 ω=1.5rad/s附近的频率振幅曲线图由图4中可看出，当ω=1.25 rad/s时振幅只有一个值，表示质点每次反弹的高度都相同，说明质点是在作周期运动。
但注意到从ω=1.325rad/s开始，单一的曲线开始分岔，表示曲线反弹的高度有两个值，可以认为振动的周期为原先的两倍。
这就是周期的第一次分岔。
图5所示当ω=1.35rad/s时的时间振幅曲线（x t-）。
图5 当ω=1.35 rad/s时的时间振幅曲线如图4继续增大频率，当ω=1.362 rad/s时，曲线又开始分岔，振幅变为4个值，相当于周期又增加一倍。
周期进行了第二次分岔。
如频率作更小间隔的增加，振幅将出现8个值，那么周期相当于原先的8倍，进行了第三次分岔。
如此继续下去，当ω=1.37 rad/s左右时，这种分岔已达到无穷多次，质点反弹的高度在不断变化，永不重复，它有无穷多个取值。
因此周期变为无穷大。
如图6所示。
于是，振动系统由周期成倍的增长（分岔）进入了混沌状态。
可以简单的用图7来表示。
图6 ω=1.35 rad/s时（混沌状态）的时间振幅曲线图7 由倍周期分岔到混沌混沌行为也相应的表现为对初值的极度敏感。
图8表示系统在ω=1.5的条件下，相应于5个非常接近的初值的时间振幅（x t-）曲线。
在最初的几个周期里，这些曲线是一致的。
但随着时间的演化，它们变的非常不相同。
图8 在混沌状态下非线性振子x t -曲线敏感地依赖初值 2、非线性电路与非线性动力学实验电路如图9所示，它只有一个非线性元件R ，是一个有源非线性负阻器件（图10）。
电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略谐振回路：可变电阻12V V R R +和电容器1C 串联，将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图9 非线性电路 图10 非线性负阻特性曲线 在此电路中，电感L 和电容器2C 组成的谐振回路可看做是做周期性振荡的振荡源，通电后发生谐振，由于非线性电阻的作用，通过调节电位器12V V R R +可使此振荡进行倍周期分岔，逐步变为非线性振荡（也即产生混沌）。
电路的非线性动力学方程为：1121*)(*1C C C C V g V V G dt dV C --=L C C C i V V G dt dV C --=)(*21222C L V dt di L -= 式中，导纳121V V G R R =+，1C V 和2C V 分别表示加在1C 和2C 上的电压，L i 表示流过电感器L 的电流，G 表示非线性电阻的导纳。
3、有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是Kennedy 于1993年提出的方法：采用两个运算放大器（一个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图11所示，它的伏安特性曲线如图10所示。
由于本实验研究的是该非线性元件中混沌运动对整个电路的影响，只要知道它主要是一个负阻电路（元件），能输出电流维持LC 振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
其实，很难说那一个元件是绝对线性的，我们这里特意做一个非线性的元件只是想让非线性的现象更明显。
图11 非线性负阻实现的原理图实际非线性混沌实验电路如图12所示。
图12 实际非线性混沌实验电路实验中我们就是按照此图连接电路，通过示波器来观察非线性混沌现象，并借助其它器件对有源非线性负阻元件的特性进行测量。
【实验装置】实验装置主要有NCE—1型非线性电路混沌实验仪、示波器、万用表、连接导线若干等。
NCE—1型非线性电路混沌实验仪主要由可插接的仪器面板、两个自制电感线圈组成，面板结构如图12所示，各元件可用插接线连接。
连接CH1与CH2到示波器的X与Y输入，以观测LC振荡器产生的波形周期分岔及混沌现象。
通过万用表可对产生混沌的关键元件有源非线性负阻的特性进行测量。
【实验内容】1.实验现象的观察将示波器调至CH1——CH2波形合成档，调节可变电阻器的阻值，我们可以从示波器上观察到一系列现象。
最初仪器刚打开时，电路中有一个短暂的稳态响应现象。
这个稳态响应被称作系统的吸引子（attractor）参看图13。
这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异，但仍会变化到一个稳态。
在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动，各对应一个正负的稳态。
当电导继续平滑增大时，到达某一值时，我们发现响应部分的电压和电流开始周期性地回到同一个值，产生了振荡。
这时，我们就说，我们观察到一个单周期吸引子（penod-one attractor），如图14。
它的频率决定于电感和非线性电阻组成的回路的特性。
图13 零维吸引子的焦点图14 单周期吸引子（一维极限环）再增加电导时，我们就观察到了一系列非线性的现象，先是电路中产生了一个不连续的变化：电流各电压的振荡周期变成了原来的二倍，也称分岔（bifurcation）。
继续增加电导，我们还会发现二周期倍增到四周期，四周期倍增到八周期。
如果精度足够，当我们连续地，越来越小地调节时就会发现一系列永无止境的周期倍增，最终在有限的范围内会成为无穷周期的循环，从而显示出混沌吸引（chaotic attractor）的特性。
参看图15。
图15 从二周期倍增到四周期，四周期倍增到八周期需要注意的是，对应于前面所述的不同的初始稳态，调节电导会导致两个不同的但却是确定的混沌吸引子，这两个混沌吸引子是关于零电位对称的。
实验中，我们很容易地观察到倍周期和四周期现象，再有一点变化，就会导致一个单旋涡状的混沌吸引子，较明显的是三周期窗口。
观察到这些窗口表明了我们得到的是混沌的解，而不是噪声。
在调节的最后，我们看到吸引子突然充满了原本两个混沌吸引子所占据的空间，形成了双旋涡混沌吸引子（doubulescrollchaotic attractor）如图16。
由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状态，出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时，相应于每一点对应着电路中的每一个状态。
出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时，相应于电路处在最初状态的那个响应状态。
最终会到达哪一个状态完全取决于初始条件。
图16 示波器上所显示的双吸引子在实验中，尤其需要注意的是，由于示波器的扫描频率不符合的原因，当分别观察每个示波器的输入端波形时，可能无法观察到正确的现象。
