2016高中人教B版数学必修四1.2.2《单位圆与三角函数线》教学设计

利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。

《单位圆与三角函数线》教学目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、掌握正弦线、余弦线和正切线的准确作法3、能利用三角函数线解决简单的三角问题教学重点：三角函数线的准确作法教学难点：三角函数线的应用教学过程：一、复习引入对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切的另一种表示方法——几何表示法。

1、角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？cos sin tan .r y r y x ααα===，，2、角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P 点的位置是否有关？所以x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。

当r=1时，x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。

y)二、新课讲授探究点1：单位圆的定义从定义看出：，为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以分别令每个式子中的分母为1。

问题1：当r=1时，即P 点到原点的距离为1。

所有满足条件的点P 构成什么图形？定义：单位圆 __________________________________________________ 探究点2: 正弦线、余弦线 利用几何画板引导学生思考、观察给出正弦线、余弦线的定义问题2：随着α的变化，请同学们观察 sinα,cosα 的变化规律问题3：试比较sin π6 ,cos π6,sin π12 的大小。

总结1：探究点3：类比正弦线、余弦线给出正切线的定义问题4：类比正余弦的三角函数线定义，要探究正切线，应该令哪个量为1呢?(同学们探究讨论，合作研究) 问题:5：随着α的变化，请同学们观察 tanα 的变化规律问题6:试比较 sin π4 ,cos π4 ,tan π4 的大小。

总结2：()终边上异于原点的任意一点P ,,sin ,cos y x x y r r r ααα===当角的终边不在轴上时，tan yy x αα= oy三、例题精讲例1、作出5π6和π4的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切.例2、（参见教科书）四、课堂练习（课后练习A组：1、3、4、）五、探索与研究尝试利用三角函数线研究：0<α<π2, sinα ,α ,tanα的大小关系六、课堂小结。

单位圆与三角函数线
教学目标：
1．知识与技能: 使学⊥轴交轴于点M，那么请学生观察，
〔1〕inα等于什么？
〔2〕随着α在第一象限内转动，M⊥轴于M，那么有向线段是正弦线。

C：有向线段是余弦线。

D：设单位圆与轴的正半轴交于点A，过点A作垂线与角α的终边〔或其反向延长线〕交于点T，那么有向线段就是正切线。

简单介绍: “有向线段〞〔带有方向的线段〕的数量：绝对值等于有向线段的长度，方向与坐标轴方向相同时为正，反之为负。

那么有向线段、、的数量等于角的正弦、余弦和正切的值
5、视情形可补充余切线、正割线和余割线〔动态演示，在不同象限的角的三角函数线〕。

三、例题讲解：
例1 分别作出的正弦线、余弦线和正切线
例2 解不等式
例3 求函数的定义域。

思考：当∈〔0，〕时，有 in＜＜tan
四：稳固练习：
练习1画出角的正弦线，余弦线，正切线。

练习2在上，满足的的取值范围是〔〕
A B C D
练习3 假设，那么的取值范围______。

练习4 假设-1＜tan＜1，那么的范围_______。

四、本节小结：
本节课我们学习了
1单位圆:
把半径为1的圆叫做单位圆。

2三角函数线：
〔1〕余弦线OM，正弦线ON，正切线AT
〔2〕其中余弦线，正弦线的起点是O，终点是，ON，AT数量OM，ON，AT 是可正、可负、可零。

三角函数线与坐标轴方向一致为正，相反为负，起点与终点重合为零。

六、课堂练习：第22页练习A、B
七、课后作业：第35页习题1-1A：4、1-1B：5。

人教B版数学必修4 第一章基本初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。

（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。

因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。

（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。

研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。

因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。

（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。

3、本单元教学内容总体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。

理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。

课堂探究探究一 作出三角函数线作三角函数线的题型主要有两种：(1)已知角的大小，作三角函数线，此类题型只需按步骤进行即可； (2)已知函数值的大小找角，先找出相应y 或x 的值，再找出相应的角． 【例1】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝23； (2)cos α＝－35； (3)tan α＝2．分析：对于(1)设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ．所以，要作出满足sin α＝23的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为23的点P ，则OP 即为α的终边，对于(2)，(3)可采用同样的方法予以处理．解：(1)作直线y ＝23交单位圆于点P ，Q ，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①． (2)作直线x ＝－35交单位圆于点M ，N ，则OM 与ON 为角α的终边，如图②． (3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于点C ，D ，则OC 与OD 为角α的终边，如图③．评注 三角函数线可以用来求出满足形如f (a )＝m 的三角函数的角α的终边，体现了对三角函数线的深刻理解，同时这也是利用三角函数解决问题的关键． 探究二 利用三角函数线比较大小利用三角函数线比较大小，先要作出相应的三角函数线，然后观察三角函数线的大小和方向．【例2】 若θ∈3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列各式错误的是________．(填序号) ①sin θ＋cos θ<0； ②sin θ－cos θ>0； ③|sin θ|<|cos θ|； ④sin θ＋cos θ>0． 解析：画出单位圆如图所示，借助三角函数线进行判断．由图可观察出，当θ∈3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭时， sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|． 所以①②③正确，④错误． 答案：④反思 通过此题，我们发现三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式、比较大小等问题时十分快捷有效，所以我们要熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论．这也是数形结合思想的很好体现． 探究三 利用三角函数线解不等式用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：【例3】 求函数f (α)的定义域． 分析：要使函数f (α)有意义，则sin α≥12．利用三角函数线可得α的范围，即为函数f (α)的定义域．解：要使函数f (α)有意义，必须使2sin α－1≥0，则sin α≥12，如图所示，画出单位圆，作x 轴的平行直线y ＝12，交单位圆于两点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，分别过点P 1，P 2作x 轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于12．在[0,2π)内，sin6π＝sin 56π＝12．由于sin α≥12，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分， 所以函数f (α)的定义域为522,66a k a k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 反思 求此类三角函数定义域的本质是求三角不等式(组)的解集，其方法是首先作出单位圆，然后根据约束条件利用三角函数线画出角α终边所在的区域(可用阴影部分表示)，然后写出该区域内角的集合即可．【例4】 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π]内求α的取值范围．解：由题意，知sin cos ,tan 0a a a >⎧⎨>⎩如图所示，由三角函数线可得5,4430,22a a a πππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<<<⎪⎩或故4π<α<2π或π<α<54π．反思 根据三角函数线可以判断sin α，cos α，tan α的符号，推出三角函数的定义域，比较三角函数值的大小等，更重要的是，由于给出了三角函数的几何定义，可以直观地研究三角函数，运用数形结合思想解决某些实际问题，还可以沟通三角函数与几何等其他内容的联系．探究四 三角函数值与角的关系由三角函数定义知：－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1，即三角函数值是一个数值，而由弧度制知，数值与角也是一一对应的，如1 rad ＝180π︒．【例5】 (1)若角θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号． (2)若tan(cos θ)·cot(sin θ)>0，试指出θ所在象限．分析：本题主要考查正弦、余弦函数的定义和取值范围，以及它们在各象限函数值的符号，关键将角α，cos α，sin α看作弧度制下的角．解：(1)因为角θ在第四象限， 所以0<cos θ<1<2π，－2π<－1<sin θ<0． 所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0． 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0． (2)由题意，知tan(cos )0,cot(sin )0,θθ>⎧⎨>⎩或tan(cos )0,cot(sin )0,θθ<⎧⎨<⎩所以0cos 1,0sin 1;θθ<<⎧⎨<<⎩或1cos 0,1sin 0;θθ-<<⎧⎨-<<⎩即θ在第一或第三象限． 探究五 易错辨析易错点：因忽视角的终边在坐标轴上而致误 【例6】 利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1．错解：证明：如图所示，MP ＝|sin α|，OM ＝|cos α|． 根据三角形中两边之和大于第三边，易知|sin α|＋|cos α|≥1．错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线、余弦线是有方向的，不能写成MP ＝|sin α|和OM ＝|cos α|．正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin α|+|cos α|=1．当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|＞1．综上，有|sin α|+|cos α|≥1．。

《1.2.2同角三角函数的基本关系（第一课时）》教学设计一、指导思想与理论依据以学生为本，学生是学习的主体。

核心素养就是一个人在复杂情境中解决问题的能力和品质，是学习个体在与情境的互动中不断解决问题、产生新问题的过程中逐步养成的，在教学中以知识为载体，以学生发展为目标，精心设计系列探究活动，给学生更多尝试、探究发现机会，从学生数学知识发生发展过程的合理性，从学生思维过程的合理性上思考，从学生已有的知识出发，以新旧知识的连接点为教学起点，感受学习数学的乐趣，落实学科素养。

二、教学背景分析1.本课在教材中的地位本课是《普通高中课程标准实验教材A版▪必修4》第一章第二节的内容。

同角三角函数是学生学习了任意角和弧度值，任意角的三角函数后，继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起着承上启下的作用。

同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中都有着重要的作用。

所以本节课的重点是同角三角函数基本关系式及在求值、证明中的应用上。

2.学生学情学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了三角函数定义的两种推导方法，从方法上看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解。

从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。

从能力上看，学生主动学习能力、合作探究的能力较弱。

三、教学目标的确定及依据1.知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：（1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；（2）证明简单的三角恒等式。

2.过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

3.情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

人大附中分校高一数学导学学案1．单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.．分别作出和例2．利用单位圆和三角函数线比较大小：(1> sin1和sin1.5。

(2> cos1和cos1.5。

(3> tan2和tan3.(1> sin1<sin1.5。

(2> cos1>cos1.5。

(3> tan2<tan3.例3. 已知sinx=0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小.(0º<x<360º> 30°和150°随堂练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( >A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解读：选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．b5E2RGbCAP2．角α(0<α<2π>的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( >A.错误!或错误!πB.错误!或错误!πC.错误!或错误!πD.错误!或错误!πp1EanqFDPw解读：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，∴α＝错误!或错误!.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( >A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限解读：选 D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cosα≤错误!的解集为____________________________．DXDiTa9E3d解读：画出单位圆，然后画出直线x＝错误!，从图形中可以看出．答案：{α|2kπ＋错误!≤α≤2kπ＋错误!，k∈Z}申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。