高等数学二次曲面ppt

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九节二次曲面-PPT课件

单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合，虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节二次曲面一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．

03曲面及其方程、二次曲面27851 共34页PPT文档

（2）
x2 a2

z2 c2

1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
曲面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角。
12.08.2019
7
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:

面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
高等数学（下）主讲杨益民
第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？

高等数学常用二次曲面图形.ppt

围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3）曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：

《I二次曲面介绍》PPT课件_OK

z' 1 (x'2- 2x') 1 y'2-2
2
2
O' =O
= 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3.
2
2
这仍不是标准方程，它在新的坐标系中
所表示的曲面仍不显然.
e1
e2'
e2
e1'
18
z' = 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3. 这是从[O', e1' , e2' , e3' ]到[O'', e1'', e2'' , e3'' ]
x 0.
椭圆抛物面可以看成是一个顶点x在两条抛物线上的
椭圆运动产生。
y
13
5 双曲抛物面（马鞍面）
z
x2 a2
y2 b2
所表示的曲面.
对称性：对称于 xz, yz
平面和 z轴.
z
用z = h截曲面得
到
x2 a2
y2 b2
h,
z h.
用y = 0截曲面得到
x2 a2z,
y 0.
用x = k截曲面得到
y
2
b2 (z
k2 a2
)
x k
x
0
y
双曲抛物面可以看成是顶点在 14 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做
无心二次曲面
z z
x y
0
0
.
y
x
椭圆抛物面
双曲抛物面 15
§3 二次方程的化简
二次曲面：三元二次方程所表示的曲面.

7-8二次曲面M-PPT精选文档

（熟知这几个常见曲面的特性）
2 2 2 思考题方程 x 4y z 25 表示怎样的曲线？ 3 x
思考题解答
2 2 4 y z 16 x 4y z 25 . 3 3 x x
2
2
2
表示双曲线.
第八节二次曲面
一、基本内容二、小结思考题
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 2 2 2 方程可写为 x y z a .
(2)双曲面
1). 单叶双曲面 2 2 2 x y z 1 方程 2 2 2 a b c 所确定的曲面称为单叶双曲面． x
z
o
y
x2 y2 z2 2 1 特别地，当 a b 时，曲面 2 a c
为单叶旋转双曲面．
2). 双叶双曲面
x y z 1 方程 2 2 2 a b c双曲面． x
2 2 2 x y z 特别地当 a b 时，曲面 2 1 2 a c
o
y
为双叶旋转双曲面．
(3)抛物面
1). 椭圆抛物面方程
z
x2 y2 z （ p与 q 同号） 2 p 2q
x
所确定的曲面称为椭圆抛物面．
x2 y2 特别地当 p q 时，曲面 z 2p
o
y
为旋转抛物面．
2). 双曲抛物面（马鞍面）
z
x2 y2 方程 z 2 p 2q

二次曲面【高等数学PPT课件】

（一）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：

x
2

a
2

y2 b2

1,
z 0
z

x2 a2
y
0
z2 c2

1,
z

y2 b2

z2 c2

1.
x 0
z

o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节二次曲面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z

曲面及其方程、二次曲面-PPT

8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的形成过程:
播放

高等数学课件D853二次曲面

(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为
椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)

b2 c2
y2 (c2
z12
)

1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c时为球面.
11/24/2019
高等数学课件
若p a2 0, q b2 0
x2 ay2 (bz 1 )2 2b

1 4b2
是单叶双曲面;
11/24/2019
高等数学课件
机动目录上页下页返回结束
例2 设空间曲面由双参数
x a(u )

y

b(u

)
u, R, a,b 0
z 2u
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
11/24/2019
高等数学课件
机动目录上页下页返回结束
1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
当q 0, p 0时，
若p 0 z x2 py2 是椭圆抛物面;
若p 0 z x2 py2 是双曲抛物面;
当p 0, q 0时，
若q a2 0
x2

(az

1 )2 2a

高数课件30空间几何5二次曲面

聚焦和散射：二次曲面可以用于聚焦和散
射光线
成像和投影：二次曲面可以用于成像和投
影
光学器件设计：二次曲面可以用于设计光学器件，如透镜、
反射镜等
二次曲面在其他领域的应用
建筑设计：二次曲面在建筑设计中的应用广泛，如悉尼歌剧院、北京鸟巢等工业设计：二次曲面在工业设计中的应用，如汽车车身设计、飞机机翼设计等
二次曲面在微分几何对象的
微分性质
二次曲面：在空间中具有二次方程的曲面
应用：二次曲面在微分几何中常用于描述曲面的性质，如曲率、挠率
等
例子：二次曲面在微分几何中的应用包括球面、椭球面、
抛物面等。
二次曲面在几何光学中的应用
反射和折射：二次曲面可以模拟光线的反射和折射现象
二次曲面的投影作图法
投影法：将二次曲面投影到平面上，得到投影曲线
投影曲线：二次曲面的投影曲线是二次曲线
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了二次曲面的性质
投影曲线的作图方法：根据二次曲线的性质，选择合适的作图方法
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了二次曲面的性质
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了二次曲面的性质
机遇：二次曲面在数学建模中的广泛应用
机遇：二次曲面在数学建模中的创新和优化
二次曲面与其他数学知识的联系
第五章
二次曲面与线性代数的联系
二次曲面的方程可以表示为线性代数中的二次型二次曲面的切平面可以用线性代数中的向量和矩阵来表示二次曲面的曲率可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算二次曲面的投影可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算
二次曲面的几何变换作图法
平移变换：将二次曲面沿某个方向移动一定距离旋转变换：将二次曲面绕某个点旋转一定角度缩放变换：改变二次曲面的大小和形状反射变换：将二次曲面沿某个轴线进行反射复合变换：将上述几种变换组合使用，实现更复杂的作图效果

《I二次曲面介绍》课件

二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域的重要研究对象，对未来科学教育的贡献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新的医学成像方法。它可以为医师提供三维数据，从而进行更高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许

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截得抛物线
x2 2 pz
y 0
•8
与平面 y y1 的交线为抛物线.

x
2

2
p
z

y12 2q

y y1
它的轴平行于 z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
•4
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2

z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1
的交线为圆.
•5
截面上圆的方程

x
2

y2

a c
2 2
（熟知这几个常见曲面的特性）
• 17
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2

y2

2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆的中心都在 z 轴上.
• 11
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
•9
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
• 10
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕它的轴
o y
x
• 12
（三）双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
• 13
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2

a
2

y2 b2

1
z12 c2
z z1
当 z1变动时，这种椭圆的中心都在 z 轴上.
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
•7
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2

2
pz1

y2 2qz1

1
z z1
当 z1变动时，这种椭圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
二次曲面
椭球面抛物面双曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
•2
（一）椭球面
(c
2
z12 ).
z z1
(2) a b c,
x2 a2

y2 a2

z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
•6
（二）抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
实轴与 x 轴相合，虚轴与 z 轴相合.
• 14
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
• 15
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
双叶双曲面
o
yxLeabharlann • 16二、小结椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
椭球面与三个坐标面的交线：
z
o
x
y
•3
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆

a 2

c
2
x2 (c2
z12
)

b2 c2
y2 (c2
z12
)

1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.