2012届广东省实验中学高三阶段检测(理数)

2012届广东省高考数学模拟试题〔理科〕本试卷共4页，21小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知a ∈、b 、c R ，则命题“假设a>b,则ac>bc 恒成立”的否认是 A ，假设a ≤b,则ac>bc 恒成立 B, 假设a ≤b,则ac ≤bc 恒成立 C 假设a>b,则ac>bc 恒成立 D,假设a>b,则ac>bc 恒成立2，设a,b 为两条直线，βα，为两个平面，以下四个命题，正确的命题是〔 〕A,假设a,b 与α所成的角相等，则a ∥b B,假设a ∥，αb ∥β，α∥β则a ∥b C,假设βα⊂⊂b a ，，a ∥b 则α∥β D,假设a ⊥α,b ⊥β,α⊥β则a ⊥b ３．数列}{n a 的通项公式是)(11+∈++=N n n n a n ，假设前n 项和为10，则项数n为〔 〕A ，121B ，120C ，99D ，114，如果一个空间几何体的正视图和侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为〔 〕A ，π3B ，π3C ，π39 D,π33 5．函数1log 1log )(22+-=x x x f 假设1)2()(21=+x f x f (其中21,x x 均大于2)，则)(21x x f 的最小值 ( ) A, 53 B, 32 C,54 D,455-6,假设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则yx z 23+=的最大值为〔 〕A,9 B,1 C, 3 D,07，设函数2()(21)||1f x x a x =+++的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围〔 〕。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（理科）解析【试卷总评】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第１６、17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查；第14题和第15题考查选修中的坐标系与参数方程、几何证明选讲.试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i2 设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4 }则UC M= A .U B {1,3,5} C {3,5,6}D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln（x+2）C.y=（12）x D.y=x+1x5.已知变量x，y满足约束条件241yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y的最大值为A.12B.11C.3D.-16,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. 49B.13C.29D.19【答案】D8. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @sina ）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、 考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( ) 【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i--==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( ) 【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC =( )【解析】选A (2,4)BC BA CA =-=--4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，1y x =-+区间(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数 5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为2222135353573V πππ=⨯⨯+⨯⨯-= 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) 【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459= 8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )【解析】选C,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

绝密★使用前试卷类型：A20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕本试卷共4页,21题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的##和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型〔B〕填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处〞。

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高。

锥体的体积公式为V=1/3Sh其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。

第I卷选择题〔共40分〕一、选择题：本大题共8小题,满分40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设i为虚数单位,则复数56i i-=〔〕A．65i+B．65i-C．65i-+D．65i--2．设集合{1,2,3,4,5,6}U=,{1,2,4}M=,则UM =〔〕A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC =〔〕A．(2,4)--B．(2,4)C．(6,10)D．(6,10)-4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是〔〕A．ln(2)y x=+B．y=．12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．1y xx=+5．已知变量x,y满足约束条件211yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩；则3z x y=+的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．1-6．某几何体的三视图如图1所示,它的体积为〔 〕A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是 〔 〕A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβ=ββ。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程$$y bx a =+$中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.把复数的共轭复数记作z ，设（1+2i ）z =4+3i ，其中i 为虚数单位，则z i = A ． 2- i B. 2+ i C.1+2 i Ｄ．-1+2i 2．已知集合A={x ∣f(x)=3+x +21+x }，B={x ∣3x-7≤8-2x}，则A B ⋂为 Ａ．[3,-3] Ｂ．[3,-2）U （-2，-3] Ｃ．[3,-2) Ｄ．[-2，-3] 3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于Ａ．直线x=a 对称 Ｂ．点（a ，0）对称 Ｃ．原点对称 Ｄ．Y 轴对称4.已知{}n a 是等比数列，且,20252,0645342=++>a a a a a a a n 那么，53a a +的值为Ａ．45 Ｂ．35 Ｃ．25 Ｄ．155. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，E 是BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F 。

已知→→→→==b AD a AB ,,则=→OFA ．→→+b a 6131B ．)(41→→+b aC ．)(61→→+b aD ．→→+b a 41616. 对于命题p 、q ，有p ∧q 是假命题，下面说法正确的是 A ．p ∨q 是真命题 B ．p ⌝是真命题 C ．q p ⌝⌝∧是真命题 D. q p ⌝⌝∨是真命题7. 如图是某几何体三视图的斜二测画法，正视图（主视图）是等腰三角形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A.316B.16C.8D. 48.设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},从X 到Y 的映射f 满足条件：对于每个x ∈X ，恒有x+f(x)是奇函数，这样的映射一共有A.12个B.6个C.18个D.24个16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。

锥体的体积公式为13V sh=，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设i为虚数单位，则复数56ii-=A．65i+B．65i-C．65i-+D．65i--2．设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4 } 则UC M=A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}3．若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A．（-2,-4）B．(2,4) C．(6,10) D．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A．ln(2)y x=+B．y=C．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D．1y xx=+25．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）2012．4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或0 2．设集合()}{()}{,26,,324,A x y x y B x y x y =+==+=满足()C A B ⊆ 的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4- 4．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ C ．//m l ，m α⊥，l β⊥ D ．//m l ，l β⊥，m α⊂6．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数A B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，2x x ++D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题7．阅读图1的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ， 则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户， 为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中等 收入家庭应抽取的户数是 .10．6⎛⎝展开式中的常数项是 （用数字作答）.11. 已知不等式21x ->的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等,则a b +的值为 . 12．在平行四边形ABCD 中, 点E 是AD 的中点, BE 与AC 相交于点F ,若(,EF mAB nAD m n =+∈ R ), 则mn的值为 .13. 已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =（点O 为坐标原点）， 点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时 针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标 为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是圆O 的直径，延长AB 至使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD 则ADBD的值为 .图4NM D CBAB 1C 1D 1A1图5侧（左）视图正（主）视图图3BA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1) 求A 和ω的值; (2) 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且4sin 5α=, 求()f α的值. 17．（本小题满分12分）如图3，,A B 两点之间有6条网线连接，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ. (1) 当6ξ≥时,则保证线路信息畅通,(2) 求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）.某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A BC D -（如图4）. 该建筑物的正视图和侧视图如图5, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求直线AM 与平面1111A B C D 所成角的正弦值； （2）求二面角A MN C --的余弦值； （3）求该建筑物的体积.19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ，直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的的离心率取得最大值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.20．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，,求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，对任意(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，数列{}n a 满足11221,(21n n n a a a n a +==∈+N *). (1) 证明函数()f x 是奇函数; (2) 求数列(){}n f a 的通项公式;(3) 令12(nn a a a A n n+++=∈ N *), 证明:当2n ≥时,1112n ni i i i n a A ==--<∑∑.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．60 10．160- 11．1- 12．2- 13．⎤⎥⎣⎦14．23π⎛⎫⎪⎝⎭15说明：第14题的答案可以是22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：16．（ 12分） (本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解:∵函数()f x 的图象的最高点坐标为5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴2A =. … 1分 依题意,得函数()f x 的周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，…… 2分∴22T πω==. …… 3分(2)解:由(1)得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. … 4分∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且4sin 5α=,∴3cos 5α==. …… 5分 ∴24sin 22sin cos 25ααα==, …… 7分 27cos 212sin 25αα=-=-.… 9分 ∴()2sin 23f παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭… 10分2sin 2cos cos 2sin 33ππαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭…… 11分=… 12分 17. （12分）(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1） 解: 从6条网线中随机任取三条网线共有3620C =种情况. ……… 1分∵1141236++=++=, ∴()1122361164C C P C ξ+===.…… 2分Q 1P 1QPO N M D CBA∵1242237++=++=∴()1122361174C C P C ξ+===.…… 3分∵1342248++=++=,∴()123613820C P C ξ+===.…… 4分∵2349++=, ∴()12361910C P C ξ===.……… 5分 ∴P ()()()()()66789P P P P ξξξξξ≥==+=+=+= 113134420104=+++=. 答: 线路信息畅通的概率为34.…… 6分 (2)解:ξ的取值为4,5,6,7,8,9.…… 7分 ∵1124++=, ∴()12361410C P C ξ===.… 8分∵1131225++=++=,∴()123613520C P C ξ+===. …… 9分∴ξ的的分布列为:…… 10分∴1311314567891020442010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ … 11分 6.5=.…… 12分 18.（14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解法1：（1）作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，则MA O ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角. …… 1分 由于平面ABCD //平面1111ABCD ，故MAO ∠是直线AM 与平面1111A B C D 所成的角.… 2分作MP AB ⊥，垂足为P ，连接PO ， ∵AB ⊂平面ABCD ，∴MO AB ⊥. ∵,MO MP M MO =⊂ 平面MOP ，MP ⊂平面MOP ，∴AB ⊥平面MOP . …… 3分由题意知1,MO PO AP ===12,4AD AA ==，在R t △POM 中，PM 在R t △APM 中，AM R t △AOM 中，sin MO MAO AM ∠==∴直线AM 与平面1111A B C D …… 5分（2）延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面MOP ∵MQ ⊂平面MOP ， ∴AB ⊥MQ .∵//MN AB ，11∴,MN MP MN MQ ⊥⊥. …………… 6分∴PMQ ∠是二面角A MN C --的平面角. …… 7分在△PMQ中，2MQ MP PQ ===，∵2224MP MQ PQ +==， ∴90PMQ ︒∠=. ……… 8分∴二面角A MN C --的余弦值为0. … 9分（3）作1//NP MP 交AB 于点1P ，作1//NQ MQ 交CD 于点1Q ， 由题意知多面体MN ABCD -可分割为两个等体积的四棱锥M APQD -和 11N PBCQ -和一个直三棱柱11MPQ NPQ -. 四棱锥M APQD -的体积为113V AP AD MO = 1212133=⨯⨯⨯=， ………… 10分 直三棱柱11MPQ NPQ -的体积为2112222V MP MQ MN === ，…11分 ∴多面体MN ABCD -的体积为122V V V =+2102233=⨯+=. …………… 12分长方体1111ABCD A BC D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯= . ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. …………… 14分 解法2：（1）以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1D D 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -（如图），作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ， 作OP AB ⊥，垂足为P ，依题意知1MO OP AP ===，12,4AD AA ==,则()()0,0,0,2,0,0,D A ()()1,1,1,1,3,1M N ，()12,0,4A -. …………… 1分∴()1,1,1AM =-. … 2分∵1AA ⊥平面1111A B C D ， ∴平面1111A B C D 的一个法向量为()10,0,4AA =-.……… 3分设直线AM 与平面1111A B C D 所成角为θ，则sin θ=11AM AA AM AA == …… 4分 ∴直线AM 与平面1111A B C D.…………（2）由(1)知()()0,2,0,1,1,1MN DM ==,设平面ABNM 的法向量为1n (),,x y z =，由1n 0MN = ，1n 0AM = ，得0,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y ==.∴平面ABNM 的一个法向量为1n ()1,0,1=. …… 6分设平面CDMN 的法向量为2n (),,x y z =，由2n 0DM = ，2n 0MN = ，得0,20.x y z y ++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y =-=. ∴平面CDMN 的一个法向量为2n ()1,0,1=-.… 7分 ∵1n 2n ()110110=⨯++⨯-=，∴平面ABNM ⊥平面CDMN .…… 8分∴二面角A MN C --的余弦值为0. ……… 9分 （3）如图将多面体MN ABCD -补成一个直三棱柱1ADQ BCQ -，依题意知1111AQ DQ BQ CQ MQ NQ ======，2AD =,14AA =, 多面体MN ABCD -的体积等于直三棱柱1ADQ BCQ -的体积减去两个等体积的三 棱锥M ADQ -和1N BCQ -的体积.∵2224AQ DQ AD +==，∴90AQD ︒∠=. ∴直三棱柱1ADQ BCQ -的体积为1114422V AQ DQ AB === ，……… 10分三棱锥M ADQ -的体积为2V =11111132323AQ DQ MQ =⨯= .…… 11分∴多面体MN ABCD -的体积为V =122102433V V -=-=. …… 12分长方体1111ABCD A BC D -的体积为3142432V AB CD AA ==⨯⨯= . … 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. …… 14分19. （14分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由22,4y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2840x x m --=. …… 1分 ∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共 ∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-. …… 3分 ∴直线l 的方程为24y x =-.…… 4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,x y ， 由214y x =，得'12y x =， ∴直线l 的斜率0'012x x k y x ===. …… 1分 依题意得0122x =，解得04x =.… 2分把04x =代入抛物线2C 的方程，得04y =. ∵点()00,x y 在直线l 上，∴424m =⨯+，解得4m =-. …… 3分 ∴直线l （2）解法1：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F -. 设点()10,1F 关于直线l 的对称点为()'100,Fx y ， 则0000121,12 4.22y x y x -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩…… 7分解得004,1.x y =⎧⎨=-⎩∴点()'14,1F -. ……… 8分∴直线l 与直线'12:1F F y =-的交点为03,12P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长'12122a PF PF PF PF =+=+'1F ≥ 其中当点P 与点0P 重合时，上面不等式取等号. ∴2a ≥. ∴112e a =≤. 故当2a =时，max 12e =… 12分此时椭圆1C 的方程为22143y x +=，点P 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.… 14分解法2：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F - 5分设椭圆1C 的方程为()2222111y x a a a +=>-， … 6分 由222224,11y x y x aa =-⎧⎪⎨+=⎪-⎩消去y ，得()()()()22222541611160a x a x a a ---+--=.（*） … 7分 由()()()()222221614541160a a a a ⎡⎤∆=-----≥⎣⎦， …… 8分得425200a a -≥. ……… 9分 解得24a ≥.∴2a ≥. …………… 10分 ∴112e a =≤. …………… 11分 当2a =时，max12e =，此时椭圆1C 的方程为22143y x +=. …………… 12分把2a =代入方程（*），解得32x =，1y =-. …………… 13分 ∴点P 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. …………… 14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞. …………… 1分()2111ax x f x ax x x--'=-+=-. …………… 2分① 当0a =时，()1xf x x+'=，∵0,x > ∴()'0f x > ∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞. …………… 3分② 当0a ≠时，令()0f x '=得210ax x x---=， ∵0,x >∴210ax x --=. ∴14a ∆=+. （ⅰ）当0∆≤，即14a ≤-时，得210ax x --≤，故()0f x '≥， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞. …………… 4分 （ⅱ）当0∆>，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为1x =2x =. …………… 5分若104a -<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>. ∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞， …………… 6分 若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0,f x '<∴函数()f x 的单调递增区间为0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.…………… 7分综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭； 当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间. ………… 8分（2）解：由(1)得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；…………… 9分当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；则()f x 有极大值，其值为222221()ln 2f x x ax x =-+，其中212x a=. … 10分 而22210ax x --=，即2221ax x =+，∴2221()ln 2x f x x -=+. …………… 11分 设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11()02h x x =+>， …………… 12分 则1()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数.又(1)0h =，则()0h x >等价于1x >. ∴2()f x =221ln 2x x -+0>等价于21x >. …………… 13分 即在0a >时，方程210ax x --=的大根大于1，设2()1x ax x ϕ=--，由于()x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)-，对称 轴102x a=>，则只需(1)0ϕ<，即110a --<，解得2a <，而0a >， 故实数a 的取值范围为()0,2. ……………… 14分说明:若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分.1.1122a a =++()0,+∞是减函数，而112a +=时，2a =，故112a>的解集为()0,2，从而实数a 的取值范围为()0,2．2.直接解不等式112a>，而0a >，通过分类讨论得出实数a 的取值范围为()0,2.21. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于对任意(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭， 令0x y ==，得()()()00000100f f f f -⎛⎫-==⎪-⨯⎝⎭，解得()00f =. …………… 1分 令0x =，得()()()0010y f f y f f y y ⎛⎫--==- ⎪-⨯⎝⎭，∵()00f =，∴()()0f y f y -=-，即()()f y f y -=-. …………… 2分 ∴函数()f x 是奇函数. …………… 3分 （2）解：先用数学归纳法证明01n a <<.① 当1n =时，112a =，得101a <<, 结论成立. ② 假设n k =时, 结论成立, 即01k a <<, 当1n k =+时, 由于01k a <<, 12201kk ka a a +=>+,又1222121k kk kk a a a a a +=<==+. ∴101k a +<<.即1n k =+时, 结论也成立.由①②知对任意n ∈N *, 01n a <<. …………… 4分 求数列(){}n f a 的通项公式提供下面两种方法.法1:()()()12211n n n n n n n a a a f a f f a a a +⎛⎫--⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()()n n f a f a =--.…………… 5分 ∵函数()f x 是奇函数， ∴()()n n f a f a -=-.∴()1n f a +()2n f a =. …………… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，公比为2的等比数列. ∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分法2: ∵()()1111n n n n n n a a f a f a f a a +++⎛⎫--=⎪-⎝⎭…………… 5分22221211n n n n n a a a f a a ⎛⎫- ⎪+ ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭321n n n a a f a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭ =()n f a , ∴()1n f a +()2n f a =. …………… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，公比为2的等比数列. ∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分（3）证法1：由（2）知01n a <<，∵1221nn n n na a a a a +-=-+()22101n n n a a a -=>+， ∴1n n a a +>. …………… 8分∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴10(,2n m a a n m <-<∈N *,且)n m >. …………… 9分当2k ≥且k ∈ N *时,12kk k k a a a a A a k+++-=-()()()121k k k k a a a a a a k--+-++-= …………… 10分12k k -<…………… 11分 1122k =-12<.∴102k k a A <-<. …………… 12分∵110a A -=, ∴当2n ≥时,11102n niii i n a A ==-<-<∑∑. …………… 13分 ∴当2n ≥时,1112nni i i i n a A ==--<∑∑. …………… 14分 证法2：由（2）知01n a <<，∵1221nn n n na a a a a +-=-+()22101n n n a a a -=>+， ∴1n n a a +>. …………… 8分∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴1(,2n m a a n m -<∈N *). …………… 9分下面用数学归纳法证明不等式1112n ni i i i n a A ==--<∑∑成立. ①当2n =时，左边1212121122a a a a a a a +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭111222<⨯<=右边. ∴2n =时，不等式成立. …………… 10分 ②假设(2,n k k k =≥∈N *)时，不等式成立，即1112k ki i i i k a A ==--<∑∑， 则1n k =+时， 左边=1111k k i i i i a A ++==-∑∑1211111k kk i k i i i a a a a a A k ++==+++=+--+∑∑ …………… 11分()()1121111k kk k i i i i k a a a a a A k +==+-+++⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑()()()111211111kki i k k k k i i a A a a a a a a k +++==≤-+-+-++-+∑∑ ………… 12分 ()111211121k k k k k a a a a a a k +++-<+-+-++-+ 1111121222k k -⎛⎫<++++ ⎪+⎝⎭ 11212k k k -=+⨯+ ()1112221k k -=+-+ 1122k -<+ ()112k +-==右边. …………… 13分∴1n k =+时，不等式也成立. 由①②知，当2n ≥时,1112n ni ii i n a A==--<∑∑成立. …………… 14分 证法3：由（2）知()011,2,3,,k a k n <<= ，故对11k n ≤≤-，有 110,0kniii i k ak an k ==+<<<<-∑∑. …………… 8分由于对任意0,0x y >>，有{}max ,x y x y -<，其中{}max ,x y 表示x 与y 的较大值. 于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑ …………… 9分11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ …………… 10分()111max ,n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1(1,2,3,,1)kk n n=-=- . …………… 11分 故111n nni in i i i i a AnA A ===-=-∑∑∑()()()121n n n n A A A A A A -=-+-++- …… 12分121n n n n A A A A A A -≤-+-++- 121111n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………… 13分 ()()12311n n n++++-=--()()121n n n n -=--12n -=. …………… 14分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数56ii-= A. 65i + B. 65i - C. 65i -+ D. 65i --2.设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =A. UB. {}1,3,5C. {}3,5,6D. {}2,4,6 3.若向量(2,3),(4,7)B A C A ==，则BC =A. (2,4)--B. (2,4)C. (6,10)D. (6,10)--4.下列函数中，在区间0+∞（，）上为增函数的是A. ln(2)y x =+B. 1y x =-+C. 1()2x y = D. 1y x x =+5.已知变量,x y 满足约束条件211x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A.12B.11C.3D. 1- 6.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 12πB. 45πC. 57πD. 81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.49B. 13C. 29D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅*=⋅。