2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5：第一章 章末小结 知识整合与阶段检测

模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“|x－1|＜2”是“x＜3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵|x－1|＜2⇔－2＜x－1＜2⇔－1＜x＜3.∵－1＜x＜3⇒x＜3，反之不成立，∴“|x－1|＜2”是“x<3”的充分不必要条件．2．设a，b∈R，下面的不等式成立的是( )A．a2＋3ab＞b2B．ab＋a＞b＋abC.ab＜a＋1b＋1D．a2＋b2≥2(a－b－1)解析：选D 法一：取a＝0，b＝1验证排除A、B，再取a＝4，b＝3时，可排除C，故选D.法二：a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＝(a－1)2＋(b－1)2≥0.3．已知函数f(x)、g(x)，设不等式|f(x)|＋|g(x)|<a(a>0)的解集是M，不等式|f(x)＋g(x)|<a(a>0)的解集为N，则集合M与N的关系是( )A．N M B．M＝NC．M⊆N D．M N解析：选C 由绝对值不等式的性质知|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，∴集合N与集合M成M⊆N关系．4．若x，y，z是正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)·(y＋z)的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B (x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz≥2xyz x＋y＋z ＝2.5．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝2，则∠C的最大值是( )A.π6B.π2C.π4D.π3解析：选A 设AC ＝b ，则cos C ＝b 2＋22－122×2b ＝b 4＋34b ≥32，因此∠C 的最大值是π6.6．设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝c ＝2时，有1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a＋1b＋1c＝bc ＋ac ＋ababc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋ b ＋c ＋ a ＋c2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．7．不等式|x －1|＋|x －2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－1] B ．∪∪∪解析：选D a ≤x ＋1x －1，由x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，即x ＋1x －1的最小值为3. 9．若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋2 2B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6解析：选B 由题知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y2x2时，等号成立，故选B.10．若a ＞b ＞c ，n ∈N, 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：选C ∵a ＞b ＞c ， 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立， 于是n ≤a －c a －b ＋a －cb －c恒成立．∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴n 的最大值是4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 解析：y ＝5x －1＋10－2x ＝5x －1＋2·5－x≤ [ x －1 ＋ 5－x ]· 25＋2 ＝4×27 ＝6 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2·x －1＝55－x 即x ＝12727时取等号 答案：6 312．集合A ＝{x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：不等式|x －2|≤5等价于－5≤x －2≤5，解得－3≤x ≤7，所以集合A 为{x ∈R|－3≤x ≤7}，集合A 中的最小整数为－3.答案：－313．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．解析：f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6.|2x －1|＋x ＋3≤5⇔|2x －1|≤2－x ⇔x －2≤2x －1≤2－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥x －2，2x －1≤2－x ，∴－1≤x ≤1. 答案：614．下列四个命题中： ①a ＋b ≥2ab ； ②sin 2x ＋4sin 2x≥4；③设x ，y 都是正数，若1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值是12；④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε. 其中所有真命题的序号是________．解析：①不正确，a ，b 符号不定；②不正确，sin 2x ∈(0,1]，利用函数y ＝x ＋4x的单调性可求得sin 2x ＋4sin 2x ≥5；③不正确，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋6＝16；④正确，|x －y |＝|x －2＋2－y |≤|x －2|＋|2－y |＜ε＋ε＝2ε.答案：④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：(1)∵|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1， ∴a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22≥4×x 4＋5×y 5＋2×z 22， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2， ∴5≥|x ＋y ＋z |， ∴－5≤x ＋y ＋z ≤5. 即x ＋y ＋z 的取值范围是．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋m )，且f (0)、f (2)、f (6)成等差数列． (1)求f (30)的值；(2)若a 、b 、c 是两两不相等的正数，且a 、b 、c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：(1)由f (0)、f (2)、f (6)成等差数列，得 2log 2(2＋m )＝log 2m ＋log 2(6＋m )， 即(m ＋2)2＝m (m ＋6)(m ＞0)． ∴m ＝2，∴f (30)＝log 2(30＋2)＝5. (2)f (a )＋f (c )＞2f (b )． 证明如下：2f (b )＝2log 2(b ＋2)＝log 2(b ＋2)2，f (a )＋f (c )＝log 2，又b 2＝ac ，∴(a ＋2)(c ＋2)－(b ＋2)2＝ac ＋2(a ＋c )＋4－b 2－4b －4＝2(a ＋c )－4b . ∵a ＋c ＞2ac ＝2b (a ≠c )， ∴2(a ＋c )－4b >0， ∴log 2＞log 2(b ＋2)2， 即f (a )＋f (c )>2f (b )．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，即|ab －1|>|a －b |. 因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0， 所以|ab －1|>|a －b |. 故所证不等式成立．18．(本小题满分14分)已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝100. (1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b n ，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与12lg b n ＋1的大小，并证明你的结论． 解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，10b 1＋10 10－12d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝2.∴b n ＝2n －1. (2)由b n ＝2n －1，知S n ＝lg(1＋1)＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1，12lg b n ＋1＝lg 2n ＋1， 因此要比较S n 与12lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1与2n ＋1的大小．取n ＝1，有(1＋1)>2×1＋1，取n ＝2，有(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13>2×2＋1，…， 由此推测，(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋1(n ∈N *)，① 若①式成立，则由对数函数性质可以断定：S n >12lg b n ＋1.下面用数学归纳法证明①式． (ⅰ)当n ＝1时，已验证①式成立．(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，①式成立，即 (1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋1. 那么，当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12 k ＋1 －1>2k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1＝2k ＋12k ＋1(2k ＋2)． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋12k ＋1 2k ＋2 2－(2k ＋3)2＝4k 2＋8k ＋4－ 4k 2＋8k ＋3 2k ＋1＝12k ＋1>0，∴2k ＋12k ＋1(2k ＋2)>2k ＋3＝2 k ＋1 ＋1. 因而(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1·[ 1＋⎦⎥⎤12 k ＋1 －1>2 k ＋1 ＋1.这就是说①式当n ＝k ＋1时也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)知①式对任何正整数n 都成立． 由此证得S n >12lg b n ＋1.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.集合{x|0＜|x－3|＜3，x∈Z}的真子集个数为( )A.16B.15C.8D.7【解析】不等式的解集为x＝1,2,4,5，共4个元素，所以真子集个数为24－1＝15.【答案】 B2.不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为( )A.{x|x≤－1或x≥4}B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|x≤1}D.{x|x≥2}【解析】画数轴可得当x＝－1或x＝4时，有|x－1|＋|x－2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2|≥5.【答案】 A3.如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )【导学号：38000011】A.(－∞，3]∪C.D.(－∞，－5]∪.(2)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6≥|(x－3)－(x＋1)|－6＝－2，∴f(x)－g(x)的最小值为－2，要使f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R.应有m＋1≤－2，∴m≤－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3].10.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1时，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ， 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立， 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.1.设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( ) A.1，－1 B.2，－2 C.1，－2D.2，－1【解析】 |x |＋|y |≤1表示的平面区域如图阴影部分所示.设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0，把l 0向右上和左下平移，易知当l 过点(0,1)时，z 有最大值z max ＝0＋2×1＝2；当l 过点(0，－1)时，z 有最小值z min ＝0＋2×(－1)＝－2.【答案】 B2.若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，0] B. C.D..【答案】 C3.已知不等式|ax ＋b |＜2(a ≠0)的解集为{x |1＜x ＜5}，则实数a ，b 的值为________.【导学号：38000012】【解析】 原不等式等价于－2＜ax ＋b ＜2.①当a ＞0时，解得－2＋b a ＜x ＜2－ba，与1＜x ＜5比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋ba＝1，2－b a ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.②当a ＜0时，解得2－b a ＜x ＜－2＋ba ，与1＜x ＜5比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2－ba ＝1，－2＋ba ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.综上所述，a ＝1，b ＝－3或a ＝－1，b ＝3. 【答案】 1，－3或－1,34.已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围. 【解】 (1)∵|x ＋1|≥2|x |⇒x 2＋2x ＋1≥4x 2⇒－13≤x ≤1，∴不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1. (2)若存在x ∈R ，使得|x ＋1|≥2|x |＋a 成立， 即存在x ∈R ，使得|x ＋1|－2|x |≥a 成立， 令φ(x )＝|x ＋1|－2|x |，则a ≤φ(x )max ， 又φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，3x ＋1，－1≤x ＜0，x －1，x ＜－1.当x≥0时，φ(x)≤1；当－1≤x＜0时，－2≤φ(x)＜1；当x＜－1时，φ(x)＜－2.综上可得：φ(x)≤1，∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].。

学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.若a ，b ∈R ，则以下命题正确的是( )A.|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |B.|a |－|b |<|a －b |<|a |＋|b |C.当且仅当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |D.当且仅当ab ≤0时，|a －b |＝|a |－|b |【解析】 由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A 正确；在选项A 中，以－b 代b ，可得|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，所以选项B 不正确；当且仅当a ，b 同号或a ，b 中至少有一个为零，即ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以选项C 不正确；当ab <0，|a －b |>|a |－|b |，所以选项D 不正确.【答案】 A2.已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确．．．的是( ) A.|a ＋b |＞a －b B.2ab ≤|a ＋b | C.|a ＋b |<|a |＋|b | D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 【解析】 当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，C 错.【答案】 C3.以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；②若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；③若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23； ④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋|lg|B |). 其中正确的命题有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】 |a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a |＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确；|y |＞3，∴1|y |＜13.又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23，③正确； ⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |) ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |， ∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确. 【答案】 A4.已知f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为( )A.1B.2C.－4D.－1【解析】 因为不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，即－2,3是方程f (x )＝6的两个根，即|6－a |＋a ＝6，|a ＋4|＋a ＝6，所以|6－a |＝6－a ，|a ＋4|＝6－a ，即|6－a |＝|a ＋4|，解得a ＝1.【答案】 A5.不等式|a ＋b ||a |＋|b |≤1成立的条件是( ) A.ab ≠0B.a 2＋b 2≠0 C.ab ≥0 D.ab ≤0 【解析】 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，当|a |＋|b |≠0时，|a ＋b ||a |＋|b |≤1(*).因此(*)成立的条件是a ≠0且b ≠0，即a 2＋b 2≠0.【答案】 B二、填空题6.若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.【导学号：38000015】【解析】 ∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴3≥a .【答案】 (－∞，3]7.|x ＋1|＋|2－x |的最小值是________.【解析】 ∵|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，当且仅当(x ＋1)(2－x )≥0，即－1≤x ≤2时，取等号.因此|x ＋1|＋|2－x |的最小值为3.【答案】 38.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】 |2x －1|＋|x ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋2|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－x ＋＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 三、解答题9.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.当x ≤－1时，不等式可化为1－x －x －1≥3，即－2x ≥3，其解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32. 当－1＜x ＜1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，其解集为∅；当x ≥1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，其解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 综上所述，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2)∵f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|a －1|，∴要∀x ∈R ，f (x )≥2成立，则|a －1|≥2，∴a ≤－1或a ≥3，即a 的取值范围是(－∞，－1]∪1.“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 ∵|x －a |＜m ，|y －a |＜m ，∴|x －a |＋|y －a |＜2m .又∵|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |，∴|x －y |＜2m ，但反过来不一定成立，如取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x －y |＜2m 不一定有|x －a |＜m 且|y －a |＜m ，故“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的充分不必要条件.【答案】 A2.已知函数f (x )，g (x )(x ∈R )且不等式|f (x )|＋|g (x )|＜a (a ＞0)的解集是M ，不等式|f (x )＋g (x )|＜a 的解集是N ，则M 与N 的关系是( )A.N ⊆MB.M ＝NC.M ⊆ND.以上都不对【解析】 任意x 0∈N 有|f (x 0)＋g (x 0)|＜a ，根据|f (x )|＋|g (x )|≥|f (x )＋g (x )|，因此|f (x 0)|＋|g (x 0)|＜a 是否成立无法判定；任意x 0∈M 有|f (x 0)|＋|g (x 0)|＜a ，根据|f (x )|＋|g (x )|≥|f (x )＋g (x )|有|f (x 0)＋g (x 0)|＜a ，即x 0∈N ，因此M ⊆N .【答案】 C3.不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)＞a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：38000016】【解析】 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)＞a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a ＜2.【答案】 (－∞，2)4.已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为，记|f (x )|的最大值为M .求证：M ≥12. 【证明】 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ， x ∈且|f (x )|≤M ，则M ≥|f (－1)|，M ≥|f (1)|，M ≥|f (0)|，∴2M ≥|f (－1)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝|2＋2b |≥2－2|b |＝2－2|f (0)|≥2－2M ，故M ≥12.。

阶段质量检测（二）B卷(时间90分钟，满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( )A．正向、逆向均可进行正确的推理B．只能进行逆向推理C．只能进行正向推理D．有时能正向推理，有时能逆向推理解析:选B 在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需能进行逆向推理即可．2．使不等式3＋错误!〉1＋错误!成立的正整数a的最大值为( ）A．10 B．11C．12 D．13解析：选C 用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．3．（四川高考)若a>b>0，c＜d＜0，则一定有（）A。

错误!〉错误!B。

错误!<错误!C。

错误!〉错误! D.错误!<错误!解析:选B ∵c＜d＜0,∴错误!＜错误!＜0，∴－错误!＞－错误!＞0，而a＞b＞0，∴－错误!＞－错误!＞0，∴错误!＜错误!，故选B。

4．否定“自然数a，b,c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ）A．a，b，c都是奇数B．a，b,c都是偶数C．a,b,c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶"4种,而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶"的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．5．设m>n，n∈N*，a＝(lg x)m＋(lg x）－m，b＝（lg x）n＋(lg x)－n,x＞1，则a与b的大小关系为( )A．a≥b B．a≤bC．与x值有关，大小不定D．以上都不正确解析：选A 要比较a与b的大小，通常采用比较法,根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．a－b＝lg m x＋lg－m x－lg n x－lg－n x＝(lg m x－lg n x)－（错误!－错误!)＝（lg m x－lg n x）－lg m x－lg n x lg m x lg n x＝（lg m x－lg n x）（1－1lg m x lg n x）＝（lg m x－lg n x）（1－错误!)．∵x＞1，∴lg x＞0.当0＜lg x＜1时，a>b;当lg x＝1时，a＝b；当lg x〉1时,a>b.∴应选A。

课时跟踪检测(一) 不等式的基本性质1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a－c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝ a －b 2 a ＋b ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴a －b 2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围． 解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤a b<4； ②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3<a b<4.∴2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。

第一章推理与证明[对应学生用书P13]一、归纳和类比1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法．(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点．综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻．(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决．2．间接证明主要是反证法．反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤．这两步缺一不可．第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测一 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n－1 D.2n ＋1答案：B2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.答案：B3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋， x >0，0， x ＝0，x x －， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．答案：B4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前 2 014个图形中的“★”的个数是( )A ．60B ．61C ．62D.63解析：第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置，第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n 次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，当n ＝62时，n n ＋2＝＋2＝1 953,2 014－1 953＝61<63，∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62.答案：C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点解析：正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．答案：B6．已知函数f (x )＝5x，则f (2 014)的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D.8 125解析：因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 014＝503×4＋2，因此f (2 014)的末四位数字与f (6)的末四位数字相同，即f (2 014)的末四位数字是5 625.答案：B7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D.1＜12＋1解析：当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.答案：A8．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， 所以，增乘的式子为k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B9．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x，g (x )＝－1x；④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D.①④解析：对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A ，D ；对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B ；同理，可知③④均正确．答案：C10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D.正负都有可能解析：∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋112．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．解析：因为y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0图像是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0图像上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立．答案：tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 2213．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为： 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .解：(1)证明：采用反证法．假设a n ＋1＝a n ， 即2a n1＋a n＝a n ，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而a 1＝0或a 1＝1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．证明：法一(分析法)：要证明B 为锐角，因为B 为三角形的内角，则只需证cos B >0.又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0. ∴即证a 2＋c 2>b 2.∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，∴只需证明b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立． ∴B 为锐角．法二(综合法)：由题意得：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac，则b ＝2ac a ＋c，b (a ＋c )＝2ac >b 2(∵a ＋c >b )． ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac>0，又y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴0<B <π2，即B 为锐角．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)． 求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1,0<c <1， 所以1－a >0.由基本不等式，得 －a ＋b2≥－a b >14＝12. 同理，－b ＋c 2>12， －c ＋a 2>12. 将这三个不等式两边分别相加，得 －a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2>12＋12＋12， 即32>32，这是不成立的， 故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.18．(本小题满分14分)是否存在二次函数f (x )，使得对于任意n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立，若存在，求出f (x )；若不存在，说明理由．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1， ① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222， ②当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323， ③联立①②③式得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k 时，12＋22＋32＋…＋k2k＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋k ＋2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k2k ·kk ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·k k ＋1＋(k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1)＝k ＋k ＋6·kk ＋1＋(k ＋1)＝k k ＋6＋(k ＋1)＝k 23＋76k ＋1 ＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16 ＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k ＋2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)知，对于∀n ∈N ＋，12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n ＝f (n )成立．。

阶段质量检测（三） B卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设M＝a2＋b2＋c2＋d2，N＝ab＋bc＋cd＋da，则M与N的大小关系是( ）A．M≥N B．M＞NC．M≤N D．M＜N解析：选A 取两组数a，b，c，d；b，c,d，a，则由柯西不等式有(a2＋b2＋c2＋d2）（b2＋c2＋d2＋a2）≥（ab＋bc＋cd＋da)2，即（a2＋b2＋c2＋d2)2≥（ab＋bc＋cd＋da）2，∵a2＋b2＋c2＋d2≥0，∴a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.∴M≥N.2．若a，b，c均为正数且a＋b＋c＝6,则错误!＋错误!＋错误!的最小值为（)A．3 B．5C．6 D．12解析:选C 不妨设a〈b〈c，则ab〈ac〈bc,错误!〈错误!<错误!由排序不等式得错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!＝a＋c＋b＝6.3．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x错误!＋2x错误!＋5x错误!＋x错误!的最小值是（）A.错误!B.错误!C．3 D.错误!解析:选B ∵错误!［3x错误!＋2x错误!＋5(－x3）2＋x错误!]≥（5x1＋6x2－7x3＋4x4）2＝1，即3x错误!＋2x错误!＋5x错误!＋x错误!≥错误!.4．设x1，x2，x3取不同的正整数,则m＝错误!＋错误!＋错误!的最小值是( )A．1 B．2C。

错误!D。

错误!解析：选C 设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足a1＜a2＜a3.∴a1≥1，a2≥2，a3≥3,又∵1＞122＞错误!,∴x1＋错误!＋错误!≥1＋错误!＋错误!＝错误!.5．已知(x－1）2＋(y－2)2＝4.则3x＋4y的最大值为( ) A．1 B．10 C．11 D．21解析：选D ∵［（x－1）2＋(y－2）2］（32＋42）≥［3(x－1)＋4(y－2）］2，即（3x＋4y－11)2≤100.∴3x＋4y－11≤10,3x＋4y≤21.当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取等号．6．已知α,β为锐角,且错误!＋错误!＝1，则α＋β等于( )A。

第一讲一一、选择题．若＜＜，则( )＜．＜＜．＞＞解析：因为＜<，所以＞，故错．因为＜＜，所以＞，所以＞，故错．因为＜＜，所以＞·，即＞，故对．因为，同号，＞，所以＞＜＜，故错．答案：．已知三个不等式：＞，－＞，－＞(其中，，，均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )．．．．解析：由＞，－＞可得＞两边同除以得＞，即－＞.由－＞得＞，再由＞，两边同乘以得＞，即－＞.由－＞，－>可得＞，＞，所以可得＞.答案：．若＜＜，则下列不等式：①＋＜；②>；③＜；④＋＞中，正确的不等式有( ) ．个．个．个．个解析：＜＜⇔＜＜，∴＋＜＜，＜，＋＞＝(∵＜＜，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选.(注：本题亦可用特值法，如取＝－，＝－验证得)答案：．已知＜＜＜＜，则有( )．()＜．＜()＜．＜()＜．()＞解析：∵＜＜＜＜，∴＜＜＜，由对数函数的单调性和对数的定义得，()＞＝.答案：二、填空题．若>，则＋的最小值为( )．．．．解析：∵>，∴＋≥＝，当且仅当＝即＝时取等号，所以＋的最小值为.答案：．若＜α－β＜π，－＜α－β＜π，则α＋β的取值范围是．解析：由－＜α－β＜π得－π＜β－α＜，再与＜α－β＜π相加得－π＜α＋β＜答案：－π＜α＋β＜三、解答题．设＞，＞且≠，试比较与的大小．解析：＝－÷－＝－.当＞＞时，＞，－＞，∴－＞，于是＞.当＞＞时，＜＜，－＜，∴－＞，于是＞.综上所述，对于不相等的正数，，都有＞.．已知－＜＜＜＜，分别求＋，－，的取值范围．解析：∵－＜＜，∴－＜＜.又＜＜，∴－＜＋＜，∵＜＜，∴－＜－＜－.又－＜＜，∴－＜－＜.∵＜＜，∴＜＜.①当≤＜时，≤＜；②当－＜＜时，－＜＜.综合①②得－＜＜.．设()＝＋，且≤(－)≤≤()≤，求(－)的取值范围．解析：设(－)＝(－)＋()(，为待定系数)，则－＝(－)＋(＋)，即－＝(＋)－(－).于是，得(\\(＋＝，－＝.))解得(\\(＝，＝.))。

（A卷学业水平达标）(时间：90分钟，满分：120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A．330°B．210°C．150°D．30°答案：B2．若－错误!〈α<0,则点P(tan α，cos α)位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B3．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin 120°，cos 120°）,则α可以是（）A．60°B．330°C．150°D．120°答案：B4．若sin2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝（）A．1 B.错误!C．－错误!D．－1答案：D5．函数f(x)＝tan错误!的单调增区间为( )A.错误!，k∈ZB．(kπ，（k＋1）π）,k∈ZC。

错误!,k∈ZD。

错误!，k∈Z答案：C6．已知sin错误!＝错误!，则sin错误!的值为（)A。

错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!答案：C7．函数y＝cos2x＋sin x错误!的最大值与最小值之和为（)A。

错误!B．2 C．0 D.错误!答案:A8．如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(x∈R）在区间错误!上的图象，为了得到这个函数的图象,只要将y＝sin x（x∈R)的图象上所有的点（）A．向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的错误!倍，纵坐标不变B．向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的错误!倍，纵坐标不变D．向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案:A9．已知函数y＝A sin(ωx＋φ)（A〉0，ω>0，|φ｜〈π）的一段图象如图所示,则函数的解析式为( ）A．y＝2sin错误!B．y＝2sin错误!或y＝2sin错误!C．y＝2sin错误!D．y＝2sin错误!答案:C10．函数f（x)＝A sin ωx(ω>0)，对任意x有f错误!＝f错误!，且f错误!＝－a,那么f错误!等于( ）A ．aB ．2aC ．3aD ．4a答案：A 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分)11．已知sin （π－α）＝－23，且α∈错误!，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin （π－α）＝sin α＝－错误!，∵α∈错误!，∴cos α＝错误!＝错误!,tan （2π－α）＝－tan α＝－错误!＝错误!.答案：错误!12．已知sin θ＋cos θ＝43错误!，则sin θ－cos θ的值为________． 解析：∵sin θ＋cos θ＝错误!，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝错误!，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜错误!,∴sin θ＜cos θ. ∴sin θ－cos θ＝－错误! ＝－1－2sin θcos θ＝－错误!。