海南国科园实验学校2015—2016学年度高二第二学期期末考试(理科)(数学)

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

2015-2016学年广东实验中学等高二（下）期末考试数学（理）试题一、选择题1．设集合{|06}A x x =≤≤，集合2{|3280}B x x x =+-≤，则A B = （ ） A ．4[0,]3 B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 【答案】D【解析】试题分析：由于42,3B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故[]2,6A B ⋃=-．【考点】1．集合交集、并集和补集；2．一元二次不等式．【易错点晴】确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系． 2．若12z i =+，则41izz =-（ ） A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i 【答案】B【解析】试题分析：22125z z ⋅=+=，故451ii =-． 【考点】复数运算．3．设随机变量~(2,9)N ζ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：依题意正态分布均值2μ=，故24,3c c c +-==． 【考点】正态分布．4．已知实数,x y 满足1x ya a <<（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y >++B ．22ln(1)ln(1)x y +>+ C ．sin sin x y > D ．22x y > 【答案】A【解析】试题分析：由于1x y a a <<且01a <<，所以222222110,,11,11x y x y x y x y >><+<+>++． 【考点】不等式．5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ）A ．24B ．96C ．144D ．210 【答案】B【解析】试题分析：如果1,2连，方法数有4424A =中，同理其它连的方法也有24种，故中的方法数有24496⋅=种． 【考点】排列组合．6．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A．3-．3+【答案】C【解析】试题分析：因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，即21112a q a a q=+，2210q q --=，1q =，故()278291078783a a qa a q a a a a ++===+++【考点】等差、等比数列的基本概念．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图分析可知，程序框图的作用是计算()333332log 2log 2log log 22n n --+=<+，即21,1428n n <>+，即15n =．由于程序运行时先1n n =+再进行循环的判断，故取16n =． 【考点】算法与程序框图．8．已知函数()sin()f x x ϕ=-且2πϕ<，又230()0,f x d x π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=【答案】A【解析】试题分析：由于()2300f x dx π=⎰，即()f x 图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()sin 0,33f x ππϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，()sin()3f x x π=-，代入选项验证可知A 正确．【考点】1．定积分；2．三角函数图象与性质．9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m ），则该四棱锥的体积为（ ）m 3A ．4B ．73C ．3D ．2 【答案】D【解析】试题分析：底面积为212⋅=，高为3，故体积为12323⋅⋅=． 【考点】三视图．10．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．3 C ．94 D ．53【答案】D【解析】试题分析：设12,PF m PF n ==，依题意有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，前两项平方相减得224949mn b a ab =-=，两边除以2a 得249940,3b b b a a a ⎛⎫-⋅-== ⎪⎝⎭，故53e ==．【考点】双曲线离心率．【思路点晴】求解圆锥曲线的离心率问题，主要考虑方程的思想、圆锥曲线的定义，如椭圆的定义是点到两个定点的距离之和等于常数，并且常数大于两个定点的距离．双曲线是点到两个定点的距离之差的绝对值为常数．本题依题意 有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，由此解方程组求得43b a =，进而求出离心率．有的题目还需要结合222a bc =+，或者222c a b =+来求解．11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ，且((0)0)S =，则导函数'()y S t =的图像大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：五角星向上升起的时候，首先面积缓慢提升，然后突然变大，但是面积提升的速度变换，然后稍微面积提升速度又变快一点，最后面积提升速度变慢．有以上分析过程可知，A 选项正确． 【考点】函数图象与性质．12．设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)2,0(C ．),0(+∞D ．),1(+∞ 【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln .11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭11x >，【考点】1．分段函数；2．函数导数与不等式．【思路点晴】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 的坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，把面积用1x 表示后，可得面积的取值范围．本题的求解是根据题意按部就班一步一步解得结论，这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =-= ；则_____b = ．【答案】【解析】试题分析：2222244410a b a a b b b -=-⋅+=-+= ，解得b =【考点】向量运算．14．72)()(y x y x +-的展开式中63y x 的系数为 (用数字作答)． 【答案】0【解析】试题分析：系数为061524272727742350C C C C C C -⋅+⋅=-+=．【考点】二项式定理．15．记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：画出可行域和直线图象如下图所示，注意到直线过定点()1,0-．由图象可知，斜率的取值范围在,AB AC k k 之间，1,42AB AC k k ==，所以取值范围是1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点】线性规划．【思路点晴】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理．线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有的限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清．16．在平面内，定点A 、B 、C 、D 满足：==，2-=⋅=⋅=⋅，动点P 、M 满足：AP =1，PM =MC ，则BM的最大值是 ． 【答案】72【解析】试题分析：依题意可知，,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，且AOB AOC BOC ∠=∠=∠ 23π=，故222cos 2,4,23R R R π=-==．由题意可知，P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，各点的坐标分别为()2,0A，(1,B -，(C -，依题意P 在圆()2221x y -+=上，设其坐标为()2cos ,sin P θθ+，故1c 3s i n()2M θ+，3cos sin ,22BM θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2223cos sin 22BM θθ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3712sin 49644πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≤，BM 最大值为72．【考点】向量运算．【思路点晴】本题美妙的考查了向量的几何意义、向量的数量积，数形结合的思想、圆的参数方程，中点坐标公式，两点间的距离公式，三角函数求最值．题目的突破口在于三个向量模相等，并且两两的数量积相等，由此可知,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，由此计算出圆的半径．根据1PA =，实际上P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．先设出P 点的参数方程，然后一步一步求出BM的表达式最终求得其最大值．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知c o s (c 3s i n )c o sC A A B +=． （1）求角B 的大小； （2）若1b c ==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3B π=；（2【解析】试题分析：（1）利用sin sin()C A B =+，化简题目给定的已知条件，得到tan B =3B π=；（2）用余弦定理求出2a =，再利用三角形面积公式求得面积． 试题解析：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即sin sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，所以sin 0tan B B B =⇒=因为0B π<< 所以3B π=（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a =所以11sin 212222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【考点】解三角形．18．正项数列{}n a 的前项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明:对于任意的*n N ∈，都有564n T <． 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）对222(1)()0n n S n n S n n -+--+=因式分解得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，20,n n S S n n >=+，再根据公式11,1,1n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩求得2n a n =；（2）将2n a n =代入得222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦，利用裂项求和法求得()()221111511646412n T n n ⎡⎤=+--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦． 试题解析：（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦．由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+． 当1n =时，112a S ==当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=． 综上可知，数列{}n a 的通项公式2n a n =． （2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+． 所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦． 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦． 【考点】1．数列求通项；2．裂项求和法．19．为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望．附:2K ＝2()n ad bc - 【答案】（1）有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，2．【解析】试题分析：（1）利用公式计算得22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，故有99%把握；（2）X 的可能取值为0,1,2,3，且X 满足二项分布2~(3,)3X B ，由此求得分布列和期望． 试题解析：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >= 所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关． （2）X 的可能取值为0，1，2，3 271)31()0(3===X P ，92)31)(32()1(213===C X P94)32)(31()2(223===C X P278)32()3(3===X P所以的分布列为：因为2~(3,)3X B ， 所以2()323E X np ==⨯= 【考点】1．独立性检验；2．二项分布．20．已知梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，12EF DE BD ==，2BD BC CD =====，DE BC ⊥．A BCDEF（1）求证：DE ABCD ⊥平面；（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）第一问利用面面垂直的性质定理来证明，连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD = AC BD ∴⊥，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BD EF ，DE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥，又D E B C ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面A B C D ；（2）以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面AEF 与平面CEF 的法向量来求二面角的余弦值． 试题解析：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD =AC BD ∴⊥因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BDEFDE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面ABCD （2）1//,,2EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形 //,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(1,1),F(0,0,1)A - 设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(1,0,1)m = 设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =， 由00n CF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,0,n =所以cos ,m n m n m n⋅<>==即平面AEF 与平面CEF【考点】空间向量法求面面角的余弦值．21．已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =且其中一个焦点与抛物线214y x=的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）存在一个定点()1,0T 满足条件． 【解析】试题分析：（1）注意到焦点在y 轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，依题意2c a =，焦点为()0,1，求得椭圆方程为2212y x +=；（2）若直线l 与x 轴重合则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，这两个圆都过()1,0T ．当直线l 不垂直于x轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线的方程和椭圆的方程，计算得0TA TB ⋅= ，故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件．试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率2c e a ==，又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ∴椭圆C 的方程是2212y x +=． （2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0． 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0．当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=．设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,=TA TB ∴⊥，即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T ．故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】第一问中，题目给了两个条件，一个是离心率为2c e a ==，另一个条件是过抛物线的焦点．通过分析可以知道，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以椭圆的交点也在在y 轴的正半轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>．在求圆锥曲线方程的时候，要特别注意题目中隐藏的焦点所在位置的条件． 22．已知函数)(,ln )(2R a x x a x f ∈-=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若1>x 时，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x f y =上的两个不同点，满足210x x <<，且),(213x x x ∈∃，使得曲线)(x f y =在3x x =处的切线与直线AB 平行，求证：2213x x x +<． 【答案】（1）当0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；（2）e a 2≤；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）先求得定义域0x >，然后求导xa x x x a x f +-=-=2'22)(，对a 分成两类来讨论()f x 的单调区间；（2）当1x >时，2()ln 0f x a x x =-≤等价于2ln x a x ≤，令()2ln x h x x=，利用到处求得()2h x e ≥，故2a e ≤；（3）先求得直线AB的斜率332AB ak x x =-，∵x x a x f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>，即证2ln 11121212>-+x x x x x x ，令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立，最后通过构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t t F 来证明．试题解析：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xax x x a x f +-=-=2'22)(；当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数；当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a 上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a上是减函数； 综上所得， 0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a ； （2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞， ∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意；当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意； ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ， 即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意； 综上所得，a 的取值范围是e a 2≤；（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>， 即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x 令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立 令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立， 即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证． 【考点】1．函数导数与单调区间；2．函数导数与不等式．【方法点晴】本题第一问考查分类讨论函数的单调性，导数为xax x x a x f +-=-=2'22)(，我们观察它的分子，分子是一个二次函数，且开口向下，那么单调区间只要分成两类就可以解决．分类讨论的问题，关键在于如何得到完整的分类标准．二次函数的分类标准主要在于二次项系数、对称轴、两个根的大小关系．制定分类标准要做到不重不漏．。

海南国科园实验学校2015-2016学年度第二学期期末考试高二物理试卷一、单项选择题：（下列各题所供选项中只有一个是正确的，请将正确选项的序号填在答题卷上指定位置，每题3分，共18分。

）1、如图所示，一个闭合导体圆环固定在水平桌面上，一根条形磁铁沿圆环的轴线运动，使圆环内产生了感应电流。

下列四幅图中，产生的感应电流方向与条形磁铁的运动情况相吻合的是（）2、如图所示，条形磁铁放在水平地面上，两个完全相同的线圈a和b在等高处水平放置，a线圈在N极的正上方，b线圈位于磁铁的正中央，关于它们的磁通量Φa和Φb，下列判断正确的是（）A.Φa＞Φb B．Φa=Φb C．Φa＜Φb D．无法判定3、在如图所示的电路中，L1、L2是两个相同的小灯泡，A、B处的虚线框内各接有一个电学元件。

a、b两端分别与直流电源和交流电源相连接，且直流电源的电压与交流电源电压的有效值相等。

观察两种情况下灯泡的亮度。

当接直流电源时，L1不发光，L2正常发光；当接交流电源时，L1发光，L2明显变暗。

则下列说法正确的是（）A．A中接的是电阻，B中接的是电容器B．A中接的是电感线圈，B中接的是电阻C．A中接的是电感线圈，B中接的是电容器D．A中接的是电容器，B中接的是电感线圈4、一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是（）A．振子在M、N两点受回复力相同B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同C．振子在M、N两点加速度大小相等D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动5．如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，下列说法正确的是（）A．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动B．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动C．摆长约为10 cmD．发生共振时单摆的周期为1 s6.一列沿x轴负方向传播的简谐机械横波，波速为2m/s。

某时刻波形如图所示，下列说法中正确的是( )A．这列波的振幅为4cmB．这列波的周期为2sC．此时x = 4m处质点沿y轴正方向运动D．此时x = 4m处质点的速度为0二、多项选择题（下列各题所供选项中，有多个选项是正确的，全选对得5分，部分选对得3分，有错选或者没选得0分，共20分）7.两列频率相同声波，在空气中相遇发生干涉现象时（）A．振动加强质点的位移总是最大，不随时间改变TB π1=B ．在某一时刻，振动加强质点的位移可能小于振动减弱点的位移C ．振动加强质点的位移随时间不断变化D ．振动减弱质点的振幅一定小于振动加强质点的振幅8.如图所示，平行金属导轨MN 和PQ ，他们的电阻可以忽略不计，在M 和P 之间接有阻值 为R=3.0Ω的定值电阻，导体棒ab 长l=0.5m ，其电阻不计，且与导轨接触良好，整个 装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.4T ，现使ab 以v=10m/s 的速度 向右做匀速运动，则以下判断正确的是( ) A ．导体棒ab 中的感应电动势E=2.0v B ．电路中的电流I=0.5AC ．导体棒ab 所受安培力方向向右D ．导体棒ab 所受合力做功为零9.一列横波在t=0时刻的波形如图中实线所示，在t=1s 时刻 的波形如图中虚线所示，由此可以判定此波的（ ） A ．波长一定是4cm B ．周期一定是4sC ．振幅一定是2cmD ．传播速度一定是1cm/s10.如图所示，先后以速度v 1和v 2匀速把一矩形线圈水平拉出有界匀强磁场区域，且v 1=2v 2，则在先后两种情况下（ ） A 线圈中的感应电动势之比为E 1：E 2=2：1 B 线圈中的感应电流之比为I 1：I 2=1：2 C 线圈中产生的焦耳热之比Q 1：Q 2=1：4 D 通过线圈某截面的电荷量之比q 1：q 2=1：1 三、实验题（8+6=14分）11.（1）如图所示为放大的水波照片，两图比例不同，但水波波长相同，则实际孔的尺寸较大的是 图，而 图中有明显的衍射现象．（2）.如图所示是两个相干波源发出的水波，实线表示波峰，虚线表示波谷．已知两列波的振幅都为10cm ，C 点为AB 连线的中点．图中A 、B 、C 、D 、E 五个点中，振动减弱的点是 ，从图示时刻起经过半个周期后，A 点的位移为 cm ．（规定竖直向上为位移的正方向）12.如图所示，L 1和L 2是远距离输电的两根高压线，在靠近用户端的某处用电压互感器和电流互感器监测输电参数．在用电高峰期，用户接入电路的用电器逐渐增多的时候．甲 （填增大、减小或不变）；乙 （填增大、减小或不变）．四、计算题（10+12+12+14）13.如图所示，线圈abcd 的面积是0.05m 2，共100匝，线圈电阻为r=1Ω，外接电阻R=4Ω，匀强磁场的磁感应强度为 错误！未找到引用源。

2015-2016学年海南省海口市秀英区国科园实验学校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题有12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数（3+2i ）i 等于（）A ．﹣2﹣3i B ．﹣2+3i C ．2﹣3iD ．2+3i2．（5分）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x 的值是（）A ．6B ．21C ．156D ．2313．（5分）对相关系数r ，下列说法正确的是（）A ．r 越大，线性相关程度越大B ．r 越小，线性相关程度越大C ．|r|越大，线性相关程度越小，|r|越接近0，线性相关程度越大D ．|r|≤1且|r|越接近1，线性相关程度越大，|r|越接近0，线性相关程度越小4．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（4）D ．（2）（3）5．（5分）在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，有99.5%的把握认为这两件事情有关，那么K 2的一个可能取值为（）P （k2＞k ）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.83A ．6.785B ．5.802C ．9.697D ．3.9616．（5分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误7．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2 B．8n﹣2 C．6n+2 D．8n+28．（5分）下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；（3）教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形内角和是（n﹣2）?180°．A．（1）（2）B．（1）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）9．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心的极坐标是（）A．（1，）B．（1，）C．（，）D．（2，）10．（5分）在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（）A．B．C． D．11．（5分）定义运算=ad﹣bc，则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（5分）设f0（x）=cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），f n+1（x）=f′n（x）（n∈N），则f2012（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为（2，），直线l过点A且与极轴垂直，则直线l的极坐标方程为．14．（5分）已知复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为，则的最大值是．15．（5分）已知由样本数据点集{（x i，y i）|i=1，2，…，n}求得的回归直线方程为=1.23x+0.08，且=4．若去掉两个数据点（ 4.1，5.7）和（3.9，4.3）后重新求得的回归直线?的斜率估计值为 1.2，则此回归直线?的方程为．16．（5分）若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S=（a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）+a=0相切，求实17．（10分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ数a的值．18．（12分）m为何实数时，复数z=（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）满足下列要求：（1）z是纯虚数；（2）z在复平面内对应的点在第二象限；（3）z在复平面内对应的点在直线x﹣y﹣5=0上．19．（12分）某研究机构对高二文科学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据X681012。

高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。

2015-2016学年海南省海口市国科园实验学校高一（下）期末数学试卷一．选择题（每小题5分，共60分）1．设a＞b＞c，ac＜0，则下列不等式不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜02．不等式2x+3﹣x2＞0的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x＞3或x＜﹣1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＞1或x ＜﹣3}3．若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3 D．44．在等差数列{a n}中，a3+a9=27﹣a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=（）A．18 B．99 C．198 D．2975．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．﹣3 C．D．﹣6．直线x+3y﹣2=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．过A（﹣1，5），B（2，﹣1）两点的直线方程为（）A．2x﹣y+3=0 B．x﹣2y+3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=08．已知直线a，b与平面α，则下列四个命题中假命题是（）A．如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b B．如果a⊥α，a∥b，那么b⊥αC．如果a⊥α，a⊥b，那么b∥αD．如果a⊥α，b∥α，那么a⊥b9．m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．11．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（）A．24πB．32πC．48πD．192π二．填空题（每小题5分，共20分）13．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为_______．14．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为_______．15．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为_______．16．直线y=k（x+2）﹣1恒过定点A，且点A在直线x+y+8=0（m＞0，n＞0）上，则2m+n的最小值为_______．三．解答题（共70分）17．根据所给条件求下列直线的方程：（1）经过点Q（﹣1，3）且与直线x+2y﹣1=0垂直；（2）经过点N（﹣1，3）且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．18．一个几何体的三视图如图所示（单位：m）：（1）该几何体是由那些简单几何体组成的；（2）求该几何体的表面积和体积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．20．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．21．已知各项均不为0的等差数列{a n}前n项和为S n，满足S4=2a5，a1a2=a4，数列{b n}满足b n+1=2b n，b1=2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．22．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求四面体E﹣BGC的体积．2015-2016学年海南省海口市国科园实验学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共60分）1．设a＞b＞c，ac＜0，则下列不等式不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【考点】不等式的基本性质．【分析】首先，分析已知条件，然后，结合不等式的基本性质，逐个进行判断即可．【解答】解：∵a＞b＞c，ac＜0，∴a＞0，c＜0，对于选项A：∵b＞c，a＞0，∴ab＞ac，∴选项A成立，对于选项B，∵a＞b，∴b﹣a＜0，∵c＜0，∴c（b﹣a）＞0成立；对于选项C：∵b=0时则不成立，对于选项D：∵a＞c，∴a﹣c＞0，∵a＞0，c＜0，∴ac（a﹣c）＜0，只有选项C不一定成立，故选：C．2．不等式2x+3﹣x2＞0的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x＞3或x＜﹣1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＞1或x ＜﹣3}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式2x+3﹣x2＞0化为（x+1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．【解答】解：∵不等式2x+3﹣x2＞0可化为x2﹣2x﹣3＜0，即（x+1）（x﹣3）＜0；解得﹣1＜x＜3，∴不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3}．故选：A．3．若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3 D．4【考点】基本不等式．【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C4．在等差数列{a n}中，a3+a9=27﹣a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=（）A．18 B．99 C．198 D．297【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a6，再由等差数列的前n项和公式求出S11．【解答】解：∵a3+a9=27﹣a6，∴3a6=27，a6=9，∴故选B．5．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．﹣3 C．D．﹣【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．【解答】解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选：B．6．直线x+3y﹣2=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角α与斜率k的关系，可以求出α的值．【解答】解：设直线x+3y﹣2=0的倾斜角是α（0≤α＜π），则直线l的方程可化为y=，直线的斜率k=tanα=，∵0≤α＜π，∴α=150°．故选：A．7．过A（﹣1，5），B（2，﹣1）两点的直线方程为（）A．2x﹣y+3=0 B．x﹣2y+3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0【考点】直线的两点式方程．【分析】由两点的坐标求出直线的斜率，然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：过A（﹣1，5），B（2，﹣1）两点的直线的斜率k=，∴过A（﹣1，5），B（2，﹣1）两点的直线方程为y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0．故选：C．8．已知直线a，b与平面α，则下列四个命题中假命题是（）A．如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b B．如果a⊥α，a∥b，那么b⊥αC．如果a⊥α，a⊥b，那么b∥αD．如果a⊥α，b∥α，那么a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答．【解答】解：对于A，如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b正确；对于B，如果a⊥α，a∥b，利用平行线的性质以及线面垂直的性质得到b⊥α；故B 正确；对于C，如果a⊥α，a⊥b，那么b∥α或者b⊂α；故C 错误；对于D，如果a⊥α，b∥α，那么容易得到a垂直于b平行的直线，所以a⊥b；故D正确．故选C．9．m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故错误；m∥α，n∥α，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．故选：D．10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选B．11．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=1，B（1，1，0），A1（1，0，2），A（1，0，0），D1（0，0，2）．=（0，1，﹣2），=（﹣1，0，2），∴===﹣．∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．故选：D．12．已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（）A．24πB．32πC．48πD．192π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由题意判断球心与三棱锥的底面的位置关系，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，即cos∠ABC==，可知底面三角形是直角三角形，斜边中点与球心的连线，就是棱锥的高，所以球的半径为：=2，所以球的表面积为：4=48π．故选C．二．填空题（每小题5分，共20分）13．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为180°．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=2πr=πR，∴n=180°．故答案为：180°．14．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．15．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为﹣1．【考点】两条直线平行的判定．【分析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．【解答】解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴，∴m=﹣1，故答案为﹣1．16．直线y=k（x+2）﹣1恒过定点A，且点A在直线x+y+8=0（m＞0，n＞0）上，则2m+n的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】直线y=k（x+2）﹣1恒过定点A（﹣2，﹣1），把点A代入直线x+y+8=0（m ＞0，n＞0），可得： +=8．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：直线y=k（x+2）﹣1恒过定点A（﹣2，﹣1），把点A代入直线x+y+8=0（m＞0，n＞0），可得：﹣+8=0，化为+=8．则2m+n=（2m+n）×=≥=，当且仅当m=n=时取等号．故答案为：．三．解答题（共70分）17．根据所给条件求下列直线的方程：（1）经过点Q（﹣1，3）且与直线x+2y﹣1=0垂直；（2）经过点N （﹣1，3）且在x 轴的截距与它在y 轴上的截距的和为零． 【考点】待定系数法求直线方程． 【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即得出． （2）对直线的斜率分类讨论，利用截距式即可得出． 【解答】解：（1）∵直线x +2y ﹣1=0的斜率为，∴所求直线的斜率为2，故所求直线的方程为：y ﹣3=2（x +1），化为2x ﹣y +5=0． （2）当直线过原点时，设直线方程为y=kx ， ∵直线过点N （﹣1，3），∴k=﹣3． 此时直线方程为3x +y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为，∵直线过点N （﹣1，3），∴a=﹣4． 此时直线方程为x ﹣y +4=0．综上知，直线的方程为3x +y=0或x ﹣y +4=0．18．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）： （1）该几何体是由那些简单几何体组成的； （2）求该几何体的表面积和体积．【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】（1）由三视图知几何体上面是圆锥，下面是长方体由三视图知几何体； （2）由圆锥的母线长为3，底面圆的半径为1，得：圆锥母线长，长方体的长、宽、高分别为3、2、1；根据表面积S=S 圆锥侧+S 长方体﹣S 圆锥底求几何体的表面积，体积V=V 长方体+V 圆锥求几何体的体积． 【解答】解：（1）由三视图知几何体上面是圆锥，下面是长方体（或直四棱柱）； （2）由圆锥的母线长为3，底面圆的半径为1，得：圆锥母线长，长方体的长、宽、高分别为3、2、1； ∴表面积；体积为V=π×12×3+3×2×1=6+π．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．【解答】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．20．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知条件c﹣b=1，及bc=156求a的值．【解答】解：由cosA=，得sinA==．又sinA=30，∴bc=156．（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，∴a=5．21．已知各项均不为0的等差数列{a n}前n项和为S n，满足S4=2a5，a1a2=a4，数列{b n}满足b n+1=2b n，b1=2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S4=2a5，a1a2=a4，可得4a1+6d=2（a1+4d），a1（a1+d）=a1+3d，解得a1，d，即可得出．利用等比数列的通项公式即可得出b n．（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=2a5，a1a2=a4，∴4a1+6d=2（a1+4d），a1（a1+d）=a1+3d，解得a1=2，d=2．则a n=2+2（n﹣1）=2n．由数列{b n}满足b n+1=2b n，b1=2．∴数列{b n}是等比数列，公比为2．．（2），则，，两式相减得=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，整理得T n=（n﹣1）•2n+1+2．22．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求四面体E﹣BGC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行判断即可．（2）根据二面角的定义，作出二面角的平面角，进行求解即可．（3）根据三棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH∥=ED，∴FH∥=AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD；…（2）将EB，DA分别延长相较于点M，连接MC可证得△DCF，△ECF均为直角三角形，且DC⊥CF，EC⊥CF∴∠ECD即为所求二面角的平面角在Rt△CDE中，∴∠ECD=45°（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C﹣BGE，由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，则．2016年9月8日。

第八周高二数学周清试卷一．基础知识填空（每空3分，共54分）1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中与的差)；(2)决定组距与；(3)将数据；(4)列频率分布表；(5)画．2．茎叶图的优点茎叶图的优点是，而且可以随时记录，方便记录与表示．3．标准差和方差(1)标准差：s＝.(2)方差：s2＝(x n是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．（3）方差描述了数据相对平均数的离散程度，方差越，稳定性越差；方差越，稳定性越好。

4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的5．两个变量的线性相关(1)正相关：在散点图中，点散布在从到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关：在散点图中，点散布在从到的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．二．解答题(11分+14分+21分)1.某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．求这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有多少名？2.某学校两名篮球运动员在五场比赛中成绩甲：8,9,10,13,15，乙：7,7,11,13,17.（1）画出两名运动员成绩的茎叶图。

（2）哪名运动员的成绩稳定些?3．某种产品的广告费支出x 与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：如果y 与x(1)作出这些数据的散点图；(2)求这些数据的线性回归方程；(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额．⎩⎪⎨⎪⎧ b ^＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n (x i －x －)2＝∑i ＝1n x i y i －n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.。

2015-2016学年海南省文昌中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．﹣2 B．1 C．D．32．（5分）原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x≥0，则x＞﹣3 D．若x ＜0，则x≤﹣33．（5分）已知命题p；∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x≤2 B．∃x0∈R，x0＜2 C．∀x∈R，x≤﹣2 D．∃x0∈R，x0＜﹣24．（5分）若平面α、β的法向量分别为=（2，3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均有可能5．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．6．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．8．（5分）已知抛物线x2=2py（p＞0），斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．y=﹣1 B．y=1 C．y=﹣2 D．y=29．（5分）如图所示，点F1（0，﹣），F2（0，），动点M到点F2的距离是4，线段MF1的中垂线交MF2于点P．当点M变化时，则动点P的轨迹方程为（）A．B．+=1 C．x2+y2=1 D．10．（5分）中心在原点，一焦点为F1（0，c）的椭圆被直线y=3x﹣2截得的弦的中点横坐标是，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3 D．912．（5分）设直线x﹣3y+t=0（t≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点M（t，0）满足|MA|=|MB|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上．直线2x﹣y=0与抛物线交于A、B两点，P（1，2）为线段AB的中点，则抛物线的方程为．14．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．15．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点P（，y0）在双曲线上．则•=．16．（5分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆经过点P（3，4），椭圆的两个焦点分别为F1、F2，若PF1⊥PF2，则椭圆的方程为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（Ⅰ）求{a n}的公比q；（Ⅱ）a1﹣a3=3，求S n．18．（12分）在△ABC中，已知，b=1，B=30°，（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．20．（12分）如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q 为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值．21．（12分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的余弦；（3）求点A到平面BDF的距离．22．（12分）已知动点P与双曲线．的两焦点F1，F2的距离之和为大于4的定值，且||•||的最大值为9．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A，B是曲线E上相异两点，点M（0，2）满足=λ，求实数λ的取值范围．2015-2016学年海南省文昌中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．﹣2 B．1 C．D．3【分析】由题意和等差数列的求和公式可得的方程，解方程即可．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式可得S3=3a1+d=3×4+3d=6，解得d=﹣2故选：A【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题．2．（5分）原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x≥0，则x＞﹣3 D．若x ＜0，则x≤﹣3【分析】直接利用四种命题中题设和结论之间的关系求出结果．【解答】解：原命题“若x≤﹣3，则x＜0”则：逆否命题为：若x≥0，则x＞﹣3故选：C【点评】本题考查的知识要点：四种命题的应用转换．属于基础题型．3．（5分）已知命题p；∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x≤2 B．∃x0∈R，x0＜2 C．∀x∈R，x≤﹣2 D．∃x0∈R，x0＜﹣2【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是全称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，x0＜2，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）若平面α、β的法向量分别为=（2，3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均有可能【分析】判定与是否共线，其数量积是否等于0，即可判断出位置关系．【解答】解：∵平面α、β的法向量分别为=（2，3，5），=（﹣3，1，﹣4），可得：=﹣6+3﹣20=﹣23≠0，∴与不垂直，而不存在实数λ使得：=λ，∴与不共线．∴α，β相交但不垂直．故选：C．【点评】本题考查了利用向量判定空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．【分析】将抛物线y=﹣4x2的方程标准化，即可求得其焦点坐标．【解答】解：∵抛物线的方程为y=﹣4x2，∴其标准方程为x2=﹣y，∴其焦点坐标为F（0，﹣）．故选D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．6．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．【解答】解：a＞0，b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示椭圆，如a=b=1；反之，若方程ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0．∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件．故选：C．【点评】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题．7．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦定理求出sinB，再利用同角三角函数的平方关系，可得结论．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=．∵a＞b，A=60°，∴A＞B，∴=．故选C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查同角三角函数的平方关系，属于中档题．8．（5分）已知抛物线x2=2py（p＞0），斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．y=﹣1 B．y=1 C．y=﹣2 D．y=2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可得方程为y=x+t．与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得p，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可得方程为y=x+t，联立，化为x2﹣2px﹣2pt=0，∴x1+x2=2p=2×2，解得p=2．∴抛物线的准线方程为y=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于中档题．9．（5分）如图所示，点F1（0，﹣），F2（0，），动点M到点F2的距离是4，线段MF1的中垂线交MF2于点P．当点M变化时，则动点P的轨迹方程为（）A．B．+=1 C．x2+y2=1 D．【分析】由图形结合椭圆定义可得动点P的轨迹方程．【解答】解：如图，连接PF1，∵P是线段MF1的垂直平分线上的点，∴|PM|=|PF1|，则|PF1|+|PF2|=|MF2|=4，∴当点M变化时，则动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，此时2a=4，a=2，c=，则b2=a2﹣c2=2．∴动点P的轨迹方程为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题．10．（5分）中心在原点，一焦点为F1（0，c）的椭圆被直线y=3x﹣2截得的弦的中点横坐标是，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0）；从而联立方程化简可得（9b2+a2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2=0，从而利用韦达定理及中点坐标公式可得=×2，从而解得．【解答】解：由题意，设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0）；联立方程可得，，消y化简可得，（9b2+a2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2=0，∵截得的弦的两个端点为（x1，y1），（x2，y2）；∴x1+x2=，又∵截得的弦的中点横坐标是，∴x1+x2==×2，即12b2=9b2+a2，即12（a2﹣c2）=9（a2﹣c2）+a2，故2a2=3c2，故e===；故选B．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及待定系数法的应用，同时考查了整体思想的应用．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．∴抛物线y2=16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a=．故选A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．12．（5分）设直线x﹣3y+t=0（t≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点M（t，0）满足|MA|=|MB|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【分析】先求出双曲线的渐近线方程，联立直线x﹣3y+t=0，求得A，B的坐标，可得AB中点坐标，利用点M（t，0）满足|MA|=|MB|，可得=﹣3，化简整理可得a=2b，从而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，与直线x﹣3y+t=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点M（t，0）满足|MA|=|MB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用联立直线方程求交点，运用中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上．直线2x﹣y=0与抛物线交于A、B两点，P（1，2）为线段AB的中点，则抛物线的方程为y2=8x．【分析】先根据题意设出抛物线的标准方程，与直线方程联立消去y，利用韦达定理求得x A+x B的表达式，根据AB中点的坐标可求得x A+x B的，继而p的值可得．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px，直线与抛物线方程联立求得4x2﹣2px=0∴x A+x B=∵x A+x B=2×1=2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系．考查了考生基础知识的理解和熟练应用．14．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．【分析】将椭圆的方程变形为标准形式，利用长轴长是短轴长的两倍建立关于m的方程即可求出m的值．【解答】解：方程x2+my2=1变为x2+=1∵焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴=2，解得m=故应填【点评】考查椭圆的性质，是一个基本题．15．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点P（，y0）在双曲线上．则•=0．【分析】由题设知b=，再根据点在该双曲线上知y 02=1．由此能求出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=，∴．把点代入双曲线，得，解得y 02=1．∴P（），F1（﹣2，0），F2（2，0），=（﹣2﹣，0﹣1）=0，或P（），F1（﹣2，0），F2（2，0），=（﹣2﹣，0+1）=0．故答案为0．【点评】本题考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答．16．（5分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆经过点P（3，4），椭圆的两个焦点分别为F1、F2，若PF1⊥PF2，则椭圆的方程为+=1．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得c=5，再由a，b，c的关系和P满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），PF 1⊥PF2，可得•=﹣1，即有•=﹣1，解得c=5，即a2﹣b2=25，由+=1，解得a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查点在椭圆上满足椭圆方程，考查运算能力，属于基础题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（Ⅰ）求{a n}的公比q；（Ⅱ）a1﹣a3=3，求S n．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出2（a1+a1q+）=a1+a1+a1q，由此能求出{a n}的公比q．（Ⅱ）由a1﹣a3=3，q=﹣，求出a1=4，由此能求出S n．【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S1，S3，S2成等差数列，∴2（a1+a1q+）=a1+a1+a1q，解得q=﹣或q=0（舍）．∴q=﹣．（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，q=﹣，∴，a1=4，∴=[1﹣（﹣）n]．【点评】本题考查数列的公比和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．18．（12分）在△ABC中，已知，b=1，B=30°，（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S．【分析】（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案．【解答】解：（1）由正弦定理可得，∵，b=1，B=30°，∴sinC=∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°；（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．【点评】本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．（5分）∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…（6分）又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…（8分）∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（9分）（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，∴令得…（11分）∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为．…（12分）设二面角的A﹣PB﹣E大小为θ，由图知，，所以θ=60°，即二面角的A﹣PB﹣E大小为60°…（14分）【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．20．（12分）如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q 为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值．【分析】（Ⅰ）直接以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，再根据动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上，可以求得|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4、曲线C 是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆进而求出a，b，c得到曲线C的方程；（Ⅱ）：先设M，N，E点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），E（0，y0），分析出过点B的直线l必与椭圆C相交；再根据，求出点M的坐标代入椭圆方程，同理求出点N的坐标代入椭圆方程，两个方程相结合即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变、且点Q在曲线C上，∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4、∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2，∴a=，c=2，b=1、∴曲线C的方程为+y2=1（5分）（Ⅱ）：设M，N，E点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），E（0，y0），又易知B点的坐标为（2，0）、且点B在椭圆C内，故过点B的直线l必与椭圆C相交、∵，∴（x1，y1﹣y0）=λ1（2﹣x1，﹣y1）、∴，、（7分）将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得λ12+10λ1+5﹣5y02=0、（10分）同理，由可得：λ22+10λ2+5﹣5y02=0、∴λ1，λ2是方程x2+10x+5﹣5y02=0的两个根，∴λ1+λ2=﹣10、（12分）【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题以及向量知识的运用．解决第二问的关键在于根据，求出点M的坐标代入椭圆方程，利用其整理后的结论来解题．21．（12分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的余弦；（3）求点A到平面BDF的距离．【分析】以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，（1）求出=（，，0），=（﹣1，0，1）．利用数量积求解异面直线AE、BF所成的角的余弦值．（2）推出平面AA1B的一个法向量，平面BDF的一个法向量．利用数量积求解平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的余弦值．（3）点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量上的投影的绝对值．代入公式求解即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．…（1分）由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．…（2分）又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA=30°，又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=，从而易得E（，，0），D（0，，0）．…（3分）（1）∵=（，，0），=（﹣1，0，1）．===﹣．即异面直线AE、BF所成的角的余弦为．…（4分）（2）易知平面AA1B的一个法向量=（0，1，0），…（5分）设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．=（﹣2，，0）．由⇒⇒⇒…（6分）取=（1，，1），∴cos＜，＞===．即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的余弦值为．…（8分）（3）点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量上的投影的绝对值．…（9分）所以距离d==||==．所以点A到平面BDF的距离为．…（12分）．【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，平面与平面市场价的求法，异面直线市场价以及点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22．（12分）已知动点P与双曲线．的两焦点F1，F2的距离之和为大于4的定值，且||•||的最大值为9．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A，B是曲线E上相异两点，点M（0，2）满足=λ，求实数λ的取值范围．【分析】（1）先由双曲线的方程得到两焦点，设已知定值为2a，则，因此，动点P的轨迹E是以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点，长轴长为2a的椭圆．利用待定系数法结合基本不等式即可求得椭圆的方程；（2）设所求直线l的方程：y=kx﹣2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得实数λ的取值范围，从而解决问题．【解答】解：（1）双曲线的焦点F1（﹣2，0）．设已知定值为2a，则，因此，动点P的轨迹E是以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点，长轴长为2a的椭圆．设椭圆方程为．（2分）∵=a2，∴a2=9，b2=a2﹣c2=5，∴动点P的轨迹E的方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由点M（0，2）满足=λ，得：且M，A，B三点共线，设直线为l，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx﹣2，则将直线的方程代入椭圆的方程，化简得：（5+9k2）x2﹣36kx﹣9=0，根据根与系数的关系得：x1+x2=，x1x2=，将x1=﹣λx2，代入，消去x2，得：，化得：∴，解之得：实数λ的取值范围为[9﹣4，9+4]．【点评】本小题主要考查圆锥曲线的轨迹问题、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．。