2017中考复习《图形的初步认识与三角形》单元测试(四)含答案

第17讲 全等三角形重难点 全等三角形的性质与判定如图，已知AC ＝BD ，AB ＝DC ，求证：△ABO≌△DCO.【思路点拨】 先由“SSS ”证△ABC≌△DCB，再由“AAS ”证△ABO≌△DCO. 【自主解答】 证明：∵AB＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC≌△DCB(SSS )． ∴∠A＝∠D.又∵∠AO B ＝∠DOC，AB ＝DC, ∴△ABO≌△DCO(AAS )． 方法指导1．三角形全等的证明思路：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一角的对边→AAS2．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．3．证明两条线段相等或两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的两个三角形全等．当所证的线段或角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解．4．探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相等，进而利用平行线的判定和直角的定义来判断线段的位置关系．易错提示“SSA ”和“AAA ”不能判定三角形全等．【变式1】 如图，已知AB ＝CD ，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DCB.【思路点拨】 先证△AEB≌△DEC，再根据全等三角形的性质得到相等的边和角，从而使问题得证． 【自主解答】 证明：∵AB＝CD ，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB≌△DEC(AAS )． ∴BE＝CE ，∠ABE＝∠DCE.∴∠EBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠DCB. 又∵BC＝CB ，∴△ABC≌△DCB(ASA )．【变式2】 如图，已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，OB ＝OC ，∠ABE＝∠ACD.求证：△ABE≌△ACD.【思路点拨】 已知△ABE 和△ACD 的两组对应角相等，则只需找到一组对应边相等即可． 【自主解答】 证明：∵OB＝OC ， ∴∠OBC＝∠OCB. 又∵∠ABE＝∠ACD， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC.在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠A，AB ＝AC ，∠ABE＝∠ACD， ∴△ABE≌△ACD(ASA )．【变式3】 如图，已知AC ，BD 相交于点O ，∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：∠CDA＝∠DCB.【思路点拨】 要证∠CDA＝∠DCB，观察发现∠CDA 与∠CAB 分别在△ADC 与△BCD 中，故只需证明△ADC≌△BCD，由全等三角形的性质即可使问题得证．【自主解答】 证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，AB ＝BA ， ∴△DAB≌△CBA(AAS )． ∴AC＝BD ，AD ＝BC. 又∵CD＝DC ，∴△ADC≌△BCD(SSS )． ∴∠CDA＝∠DCB.考点1 全等三角形的概念及性质1．(2016·厦门)如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应点，AF 与DE 相交于点M ，则∠DCE＝(A )A ．∠B B ．∠AC ．∠EMFD ．∠AFB2．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．考点2 全等三角形的判定3．(2018·成都)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是(C )A ．∠A＝∠DB ．∠ACB＝∠DBC C ．AC ＝DBD ．AB ＝DC4．(2018·黔东南)在下列各图中，a ，b ，c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是(B )A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙5．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC ＝BC ，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D ，E ，AD ＝3，BE ＝1.则DE 的长是(B )A .32B ．2C ．2 2D .106．如图，在等边△ABC 中，M ，N 分别在BC ，AC 上移动，且BM ＝CN ，AM 与BN 相交于点Q ，则∠BAM＋∠ABN 的度数是(A )A ．60°B ．55°C ．45°D ．不能确定7．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为(D )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c8．(2018·衢州)如图，在△ABC 和△DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF ＝CE ，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是答案不唯一，如：AB ＝DE 或∠A＝∠D 或∠ACB＝∠DFE(或AC∥DF)．(只需写一个，不添加辅助线)9．(2018·荆州)已知：∠AOB ，求作：∠AOB 的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C ；③画射线OC.射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS ．10．(2018·娄底)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝6__cm ．11．(2018·南充)如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE. ∴∠BAC＝∠DAE. 在△AB C 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC＝∠DAE，AC ＝AE ，∴△ABC≌△ADE(SAS )． ∴∠C＝∠E.12．(2018·桂林)如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF.(1)求证：△ABC ≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F 的度数．解：(1)证明：∵AD＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS )．(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB . ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝37°. ∴∠F＝∠ACB＝37°.13．(2018·泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC ＝DB ，AC ，DB 相交于点O ，求证：OB ＝OC.证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴Rt △ABC≌Rt △DCB(HL )． ∴∠ACB＝∠DBC. ∴OB＝OC.14．(2018·怀化T 19，10分)如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB∥CD，AB ＝CD ，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG ＝5，求AB 的长．解：(1)证明：∵AB∥DC， ∴∠A＝∠C.2分在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，AB ＝CD ，∠B＝∠D，∴△ABE≌△CDF(ASA ).4分(2)∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点， ∴EG＝12CD.6分∵EG＝5， ∴CD＝10.8分 ∵△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD ＝10.10分15．(2017·哈尔滨)已知△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE ，BD 相交于点O.AE 与DC 相交于点M ，BD 与AC 相交于点N.(1)如图1，求证：AE ＝BD ；(2)如图2，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．图1 图2解：(1)证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(SAS )． ∴AE＝BD.(2)答案不唯一，如：△ACB ≌△DCE，△EMC≌△BNC，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE.16．(2017·滨州)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变．其中正确的个数为(B )A ．4B ．3C ．2D ．117．(2018·青岛)如图，正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 218．(2018·滨州)在△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点．(1)如图1，若点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE ＝AF ；(2)若点E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE ＝AF 吗？请利用图2说明理由．图1 图2解：(1)证明：连接AD. ∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD＝45°. ∵点D 为BC 的中点， ∴AD＝12BC ＝BD ，∠FAD＝45°.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA )．∴BE＝AF.(2)BE ＝AF.理由如下：连接AD.由(1)知，∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA. 在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠EDB＝∠FDA，∴△EDB≌△FDA(ASA )．∴BE＝AF.。

第16讲等腰三角形与直角三角形1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B )A．4，5，6 B．1.5，2，2.5C．2，3，4 D．1，2，32．(2016·广安岳池县一诊)在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( C )A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80°3．(2015·北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( D )A．0.5 km B．0.6 kmC．0.9 km D．1.2 km4．(2016·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为( D ) A．6 B．5 C．4 D．35．(2016·邵阳)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( A ) A．AC＞BC B．AC＝BCC．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC6．(2016·荆州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC＝3，则DE的长为( A )A．1 B．2 C．3 D．47．(2016·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝C D＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( D )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°8．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M9．(2016·龙岩)如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC ＝2．10．(2016·西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝2．11．(2016·宁夏)在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC＝2.∵EF⊥DE，∴∠F＝30°.∠在Rt△DEF中，∵∠DEC＝90°，DE＝2，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.∴EF＝DF2－DE2＝42－22＝2 3.12．(2016·雅安)如图所示，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为( A )A．2＋2 3 B．2＋ 3 C．4 D．3 313．(2016·达州)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( B )A ．2B ．3C ．4D ．514．(2015·泸州)在平面直角坐标系中，点A(2，2)，B(32，32)，动点C 在x 轴上，若以A ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为( B )A ．2B ．3C ．4D ．515．(2016·广安)在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD 网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB 或AD 都不平行．画四种图形，并直接写出其周长(所画图象相似的只算一种)．解：如图1，三角形的周长为25＋10； 如图2，三角形的周长为42＋25； 如图3，三角形的周长为52＋34； 如图4，三角形的周长为32＋10.16．(2016·淄博)如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.(1)求证：AE ＝AF ； (2)求证：BE ＝12(AB ＋AC)．证明：(1)∵DA 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAD. ∵AD ∥EM ，∴∠BAD ＝∠A EF ，∠CAD ＝∠AFE. ∴∠AEF ＝∠AFE. ∴AE ＝AF.(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G. ∵EF ∥CG ，∴∠G ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE. ∵∠AEF ＝∠AFE， ∴∠G ＝∠ACG. ∴AG ＝AC.∵BM ＝CM ，EM ∥CG ， ∴BE ＝EG.∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．17．(2016·鄂州)如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP。

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第16讲全等三角形1．(2016·厦门）如图,点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D,点B与点C 是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（ A )A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB2．(2016·永州）如图,点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD3．如图，用尺规作∠AOB的平分线的方法如下:以点O为圆心,任意长为半径画弧交OA，OB于C,D两点，再分别以点C，D为圆心,大于12CD的长为半径画弧,两弧交于点P，作射线OP。

由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ D )A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．(2016·怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D,则下列结论错误的是（ B ）A。

PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD5．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( B ）A．40° B．50° C．60° D．75°6．(2014·长沙）如图，点B，E,C，F在一条直线上,AB∥DE，AB＝DE,BE＝CF，AC＝6,则DF ＝6．7．(2016·济宁)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E,AD与CE交于点H，请你添加一个适当条件答案不唯一,如:A H＝BC或AE＝CE或EH＝EB等_，使△AEH≌△CEB.8．(2016·泉州)如图,△ABC,△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴CE＝CD，BC＝AC.∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，即∠ECB＝∠DCA.在△CEB和△CDA中，错误!∴△CDA≌△CEB（SAS)．9．如图，已知∠ABO＝∠DCO，OB＝OC，求证：△ABC≌△DCB。

第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线1．(2017常德中考)若一个角为75°，则它的余角的度数为( D)A．285°B．105°C．75°D．15°2．(2017自贡中考)如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝( C)A．45°B．50°C．55°D．60°(第2题图)(第3题图)3．(2017百色中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是( B)A．∠1＝∠6 B．∠2＝∠6C．∠1＝∠3 D．∠5＝∠74．(东营中考)如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( C)A．30°B．35°C．40°D．50°(第4题图)(第5题图)5．(襄阳中考)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C的度数为( C)A．50°B．40°C．30°D．20°6．(2017福州中考)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( B),A),B),C),D)7．(湘西中考)如图，直线CD∥EF，直线AB与CD，EF分别相交于点M，N，若∠1＝30°，则∠2＝__30°__．8．(2017荆州中考)一把直尺和一块三角板ABC(含30°，60°角)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为( D)A．40°B．45°C．50°D．10°(第8题图)(第9题图)9．(2017宁波中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( D)A．20°B．30°C．45°D．50°10．(枣庄中考)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( B)A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′(第10题图)(第11题图)11．(昆明中考)如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__40°__．12．(宜宾中考)如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝__75°__．(第12题图)(第13题图)13．(2017德州中考)如图，利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l平行线的方法，其理由是__同位角相等，两直线平行__．。

图形初步与三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知线段AB=16 cm,O是线段AB上一点,M是AO的中点,N是BO的中点,则MN=()A.10 cmB.6 cmC.8 cmD.9 cm解析:∵M是AO的中点,N是BO的中点,∴MN=MO+ON=AO+OB=AB=8 cm.答案:C2.已知∠1=1°30',∠2=1°18',则∠1与∠2的数量关系为()A.∠1=∠2B.∠1-∠2=12'C.∠1-∠2=22'D.∠2-∠1=12'解析:∠1-∠2=1°30'-1°18'=12'.答案:B3.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4∥l1,若∠1=124°,∠2=88°,则∠3的度数为()A.26°B.36°C.46°D.56°解析:∵∠1=∠2+∠4,∠1=124°,∠2=88°,∴∠4=36°.∵l1∥l2,∴∠3=∠4=36°.故选B.答案:B4.现有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数有()解析:四条木棒的所有组合:3,4,7;3,4,9;3,7,9;4,7,9,只有3,7,9和4,7,9能组成三角形.故选B. 答案:B5.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为()答案:A6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为()解析:过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BD于点F,∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,∴∠ABD=∠ADB=45°.∴∠CD F=90°-∠ADB=45°.∵sin ∠ABD=,∴AE=AB·sin ∠ABD=2·sin 45°=2=2>,∴在AB和AD边上符合P到BD的距离为的点有2个.答案:A7.如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD 与下列哪一个三角形全等?()A.△ACFB.△AEDC.△ABCD.△BCF解析:∵根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,∴△ACD≌△AED.答案:B8.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B的仰角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1 200 mB.1 200 mC.1 200 mD.2 400 m解析:∵∠ABC=∠α=30°,∴AB==2 400(m).答案:D9.如图,若正方形网格中每个小方格的边长为1,则△ABC是()解析:根据勾股定理计算出BC2,AB2,AC2,再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形.答案:A10.如图,点A,C都在直线l上,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,三点E,B,D到直线l的距离分别是6,3,4,计算图中由线段AB,BC,CD,DE,EA所围成的图形的面积是()解析:如图,过点E,B,D分别作EF⊥l,BG⊥l,DH⊥l,点F,G,H分别为垂足.易得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,从而AF=BG,AG=EF;GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,则所求面积为(6+4)×16-3×4-6×3=50.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件,使得△ABO≌△CDO.解析:由题意可知∠AOB=∠COD,AB=CD,∵AB是∠AOB的对边,CD是∠COD的对边,∴只能添加角相等,故可添加∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD.答案:∠A=∠C (或AB∥CD 或∠B=∠D)12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,CD=2,则点D到AB的距离是.解析:由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD,也是2.答案:213.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为.解析:如图,分三种情况讨论:(1)(2)(3)图(1)中,∠APB=90°,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO=BO=2,又∠AOC=60°,∴△APO是等边三角形,∴AP=2.图(2)中,∠APB=90°,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO=BO=2,又∠AOC=60°,∴∠BAP=30°,在Rt△ABP中,AP=cos 30°×4=2.图(3)中,∠ABP=90°,∵BO=AO=2 ,∠BOP=∠AOC=60°,∴PB=2.∴AP==2.答案:2,2或214.已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.解析:反复运用勾股定理,得AC=,AD=()2,AE=()3,…,所以第n个等腰直角三角形的斜边长是()n.答案:()n三、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)15.如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的中垂线,直线m为∠∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度数. 解:∵直线m为∠ABC的角平分线,∴∠ABP=∠CBP.∵直线l为BC的中垂线,∴BP=CP,∴∠CBP=∠BCP,∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,即3∠ABP+60°+24°=180°,解得∠ABP=32°.16.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.(1)求证:BE=AD.(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线.(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.(1)证明:∵∠ABC=90°,BD⊥EC,∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余.∴∠1=∠2.∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=BC,∴△BAD≌△CBE(ASA).∴AD=BE.(2)证明:∵E是AB中点,∴EB=EA.由(1)AD=BE得AE=AD.∵AD∥BC,∴∠7=∠ACB=45°.∵∠6=45°,∴∠6=∠7.由等腰三角形的性质,得EM=MD,AM⊥DE.∴AC是线段ED的垂直平分线.(3)解:△DBC是等腰三角形(CD=BD).理由:由(2),得CD=CE.由(1),得CE=BD.∴CD=BD.∴△DBC是等腰三角形.四、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)17.如图,已知∠DAB+∠D=180°,AC平分∠A,且∠CAD=25°,∠B=95°.(1)求∠DCA的度数;(2)求∠ACE的度数.解:(1)∵∠DAB+∠D=180°,∴AB∥CD.∵∠CAD=∠CAB=25°,∴∠DCA=∠CA B=25°.(2)∵∠CAD=∠CAB=25°,∠B=95°,∠ACE是△ABC的外角,∴∠ACE=∠B+∠CAB=95°+25°=120°.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB'C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B'C相交于点O,连接BB'.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);(2)求证:△AB'O≌△CDO.(1)解:△ABB',△AOC和△BB'C;(2)证明:在▱ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D,由轴对称知AB'=AB,∠ABC=∠AB'C,∴AB'=CD,∠AB'O=∠D.在△AB'O和△CDO中,∴△AB'O≌△CDO.五、(本大题共2小题,每小题10分,共20分)19.2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20 km.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A,B,AB相距2 m,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73)解:过点C作CD⊥AB,设CD=x m,∵∠ABE=45°,∴∠CBD=45°,∴DB=CD=x m,∵∠CAD=30°,∴AD=CD=x m.∵AB相距2米,∴x-x=2,解得x=.答:生命所在点C与探测面的距离是 m.20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=,BE=2.(1)求CD的长;(2)求四边形ABCD的面积.解:(1)如图,过点D作DH⊥AC,∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE=,∴EH=DH,∵EH2+DH2=ED2,∴EH2=1,∴EH=DH=1.又∵∠DCE=30°,∴DC=2.(2)由(1)知HC=,∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=2,∴AB=AE=2,∴AC=2+1+=3+,∴×2×(3+)+×1×(3+)=.六、(本题满分12分)21.如图,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.(1)求证:AD=AE;(2)连接BC,DE,试判断BC与DE的位置关系,并说明理由.证明:(1)在△ACD与△ABE中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,A B=AC,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相平行.在△ADE与△ABC中,∵AD=AE,AB=AC,∴∠ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB,且∠ADE==∠ABC.∴DE∥BC.七、(本题满分12分)22.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且∠B=∠ADB,过点C作CM垂直于AD的延长线,垂足为M.(1)若∠DCM=α,试用α表示∠BAD;(2)求证:AB+AC=2AM.解:(1)∵CM⊥AM,∠DCM=α,∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°-α,∴∠BAD=180°-2∠ABD=180°-2(90°-α)=2α.(2)证明:如图,延长AM到F使MF=AM,连接CF,则有AC=CF.∵AD平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF=∠F.∴CF∥AB.∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF.∴CF=DF.∵AD+DF=2MA,∴AB+AC=2MA.八、(本题满分14分)23.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC 的中线,AF⊥△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a= ,b=;如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=,b=;图1图2图3归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,利用图3证明你发现的关系式;拓展应用(3)如图4,在▱ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长.图4解:(1)如图1,连接EF,则EF是△ABC的中位线,∴EF=AB=.∵∠ABE=45°,AF⊥BE,∴△ABP是等腰直角三角形.∵EF∥AB ,∴△EFP也是等腰直角三角形.∴AP=BP=2 ,EP=FP=1.∴AE=BF=.∴a=b=2.图1图2图3图4 如图2,连接EF,则EF是△ABC的中位线.∵∠ABE=30°,AF⊥BE,AB=4,∴AP=2,BP=2.∵EF AB,∴PE=,PF=1.∴AE=,BF=.∴a=2 ,b=2.(2)a2+b2=5c2.如图3,连接EF,设AP=m ,BP=n,则c2=AB2=m2+n2,∵EF AB,∴PE=BP=n,PF=AP=m.∴AE2=m2+n2,BF2=n2+m2.∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2,a2=BC2=4BF2=4n2+m2.∴a2+b2=5(m2+n2)=5c2.(3)如图4,延长EG,BC交于点Q,延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB,PQ于点M,N,连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD BC,AB CD.∵E,G分别是AD,CD的中点,∴△EDG≌△QCG≌△EAM,∴CQ=DE=,DG=AM=1.5,∴BM=4.5.∵,∴.∴BP=9.∴M是BP的中点.∵AD FQ,∴四边形ADQF是平行四边形.∴AF∥PQ.∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE BF. ∴四边形ABFE是平行四边形,∴OA=OF.由AF∥PQ得:,,∴.∴PN=QN.∴N是PQ的中点.∴△BQP是“中垂三角形”,∴PQ2=5BQ2-BP2=5×(3)2-92=144,∴PQ=12.∴AF=PQ=4.。

单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．若∠α＝32°，则∠α的补角为( C )A．58° B．68° C．148° D．168°2．(2016·长沙)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )3．(2016·毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点4．如图，字母B所代表的正方形的面积是( B )A．12 B．144 C．13 D．1945．(2016·河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( D )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对7．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是( B )A．10° B．15° C．20° D．25°8．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A )A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ∥AB ，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数为50°．10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE 为5 m ，小明的眼睛距地面的距离AB 为1.5 m ，那么这棵树高是4.39m(可用计算器，精确到0.01)．11．若a 、b 、c 为三角形的三边，且a ，b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值范围是1<c<5． 12．(2016·南京)如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为83．13．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为3．14．(2016·临沂)一般地，当α、β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝s in α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得4三、解答题(共44分)15．(10分)已知：如图，△ABC 中，AD ＝DB ，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.证明：∵AD ＝DB ， ∴∠B ＝∠BAD.∵∠BDA ＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，∠1＝∠2， ∴∠C ＝∠ADE. ∴△ABC ∽△EAD.16．(10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC.(1)作∠BAC 的平分线，交BC 于点D(尺规作图，保留痕迹)；(2)在AD 的延长线上任取一点E ，连接BE 、CE.求证：△BDE≌△CDE.解：(1)如图．(2)证明：∵AB＝AC ，AD 平分∠BAC， ∴BD ＝CD ，AD ⊥BC. ∴∠BDE ＝∠CDE＝90°. 在△BDE 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠BDE ＝∠CDE，DE ＝DE ，∴△BDE ≌△CDE.17．(12分)如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF ≌△DFC ；②四边形AEFD 为平行四边形；③当AB ＝AC ，∠BAC ＝120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是哪几个？并说明理由．解：正确的结论有：①②.理由：①∵△BCF 和△ACD 为等边三角形， ∴∠FCB ＝60°，∠DCA ＝60°. ∴∠FCB －∠FCA＝∠DCA－∠FCA， 即∠ACB＝∠DCF. 在△ABC 和△DFC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝FC ，∠ACB ＝∠DCF，AC ＝DC ，∴△ABC ≌△DFC(SAS)．∴AB ＝DF.同理可证：AC ＝EF. 又∵AB＝AE ＝BE ，AD ＝DC ＝AC ， ∴BE ＝FD ＝AE ，EF ＝DC ＝AD. 可知在△EBF 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝FD ，BF ＝FC ，EF ＝DC ，∴△EBF ≌△DFC(SSS)．②由EF ＝AD ，AE ＝DF 可知四边形AEFD 为平行四边形．18．(12分)如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km/h 的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO ＝60°， ∴∠BCO ＝90°.∴BC ＝OB·cos60°＝120×12＝60(km)．∴快艇从港口B 到小岛C 需要的时间为6060＝1(小时)．答：快艇从港口B 到小岛C 需要1小时． (2)作CD⊥OA，设相交处为点E ，连接CE.∴OC ＝OB·cos30°＝60 3 km ，CD ＝12OC ＝30 3 km ，OD ＝OC·cos30°＝90 km.∴DE ＝90－3v(km)． ∵CE ＝60 km ，∴CD 2＋DE 2＝CE 2，即(303)2＋(90－3v)2＝602. 解得v ＝20或v ＝40.当v ＝20 km/h 时，OE ＝3×20＝60(km)； 当v ＝40 km/h 时，OE ＝3×40＝120(km)．答：v 的值为20 km/h 或40 km/h ，相遇处与港口O 的距离分别为60 km 或120 km.。

1 第四章 图形的初步认识与三角形自我测试 一、选择题 1．(2016·南平)如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若∠1＝46°，则∠2＝( B ) A．44° B．46° C．134° D．54°

,第1题图) ,第2题图)

2．(2016·东营)如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( C ) A．30° B．35° C．40° D．50° 3．(2016·长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( A ) A．6 B．3 C．2 D．11 4．(2016·莆田)如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( D ) A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD

,第4题图) ,第5题图)

5．(2016·雅安)如图所示，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于点D，则△ACE的周长为( A ) A．2＋23 B．2＋3 C．4 D．33 二、填空题 6．(2016·茂名)已知∠A＝100°，那么∠A补角为__80__度． 7．如图，∠1，∠2是△ABC的外角，已知∠1＋∠2＝260°，求∠A的度数是__80°__．

,第7题图) ,第8题图) 8.(2016·南京)如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中

位线，且EF＝2，则AC的长为__83__．

9．(2016·自贡)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方 2

形的顶点上，AB，CD相交于点P，则APBP的值＝__3__，tan∠APD的值＝__2__． 10．(2016·宿迁)如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为__23或4__.

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第17讲 全等三角形重难点 全等三角形的性质与判定如图，已知AC ＝BD ，AB ＝DC ，求证：△ABO≌△DCO.【思路点拨】 先由“SSS ”证△ABC≌△DCB，再由“AAS ”证△ABO≌△DCO. 【自主解答】 证明：∵AB＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC≌△DCB(SSS )． ∴∠A＝∠D.又∵∠AOB＝∠DOC，AB ＝DC, ∴△ABO≌△DCO(AAS )． 方法指导1．三角形全等的证明思路：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一角的对边→AAS2．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．3．证明两条线段相等或两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的两个三角形全等．当所证的线段或角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解．4．探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相等，进而利用平行线的判定和直角的定义来判断线段的位置关系．易错提示“SSA ”和“AAA ”不能判定三角形全等．【变式1】 如图，已知AB ＝CD ，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DCB.【思路点拨】 先证△AEB≌△DE C ，再根据全等三角形的性质得到相等的边和角，从而使问题得证． 【自主解答】 证明：∵AB＝CD ，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB≌△DEC(AAS )． ∴BE＝CE ，∠ABE＝∠DCE.∴∠EBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠DCB. 又∵BC＝CB ，∴△ABC≌△DCB(ASA )．【变式2】 如图，已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，OB ＝OC ，∠ABE＝∠ACD.求证：△ABE≌△ACD.【思路点拨】 已知△ABE 和△ACD 的两组对应角相等，则只需找到一组对应边相等即可． 【自主解答】 证明：∵OB＝OC ， ∴∠OBC＝∠OCB. 又∵∠ABE＝∠ACD， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC.在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠A，AB ＝AC ，∠ABE＝∠ACD， ∴△ABE≌△ACD(ASA )．【变式3】 如图，已知AC ，BD 相交于点O ，∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：∠CDA＝∠DCB.【思路点拨】 要证∠CDA＝∠DCB，观察发现∠CDA 与∠CAB 分别在△ADC 与△BCD 中，故只需证明△ADC≌△BCD，由全等三角形的性质即可使问题得证．【自主解答】 证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，AB ＝BA ， ∴△DAB≌△CBA(AAS )． ∴AC＝BD ，AD ＝BC. 又∵CD＝DC ，∴△ADC≌△BCD(SSS )． ∴∠CDA＝∠DCB.考点1 全等三角形的概念及性质1．(2016·厦门)如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应点，AF 与DE 相交于点M ，则∠DCE＝(A )A ．∠B B ．∠AC ．∠EMFD ．∠AFB2．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．考点2 全等三角形的判定3．(2018·成都)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是(C )A ．∠A＝∠DB ．∠ACB＝∠DBC C ．AC ＝DBD ．AB ＝DC4．(2018·黔东南)在下列各图中，a ，b ，c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是(B )A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙5．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC ＝BC ，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D ，E ，AD ＝3，BE ＝1.则DE 的长是(B )A .32B ．2C ．2 2D .106．如图，在等边△ABC 中，M ，N 分别在BC ，AC 上移动，且BM ＝CN ，AM 与BN 相交于点Q ，则∠BAM＋∠ABN 的度数是(A )A ．60°B ．55°C ．45°D ．不能确定7．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为(D )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c8．(2018·衢州)如图，在△ABC 和△DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF ＝CE ，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是答案不唯一，如：AB ＝DE 或∠A＝∠D 或∠ACB＝∠DFE(或AC∥DF)．(只需写一个，不添加辅助线)9．(2018·荆州)已知：∠AOB ，求作：∠AOB 的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C ；③画射线OC.射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS ．10．(2018·娄底)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝6__cm ．11．(2018·南充)如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE. ∴∠BAC＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC＝∠DAE，AC ＝AE ，∴△ABC≌△ADE(SAS )． ∴∠C＝∠E.12．(2018·桂林)如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF.(1)求证：△ABC ≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F 的度数．解：(1)证明：∵AD＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS )．(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB . ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝37°. ∴∠F＝∠ACB＝37°.13．(2018·泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC ＝DB ，AC ，DB 相交于点O ，求证：OB ＝OC.证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴Rt △ABC≌Rt △DCB(HL )． ∴∠ACB＝∠DBC. ∴OB＝OC.14．(2018·怀化T 19，10分)如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB∥CD，AB ＝CD ，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG ＝5，求AB 的长．解：(1)证明：∵AB∥DC， ∴∠A＝∠C .2分在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，AB ＝CD ，∠B＝∠D，∴△ABE≌△CDF(ASA ).4分(2)∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点， ∴EG＝12CD.6分∵EG＝5， ∴CD＝10.8分 ∵△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD ＝10.10分15．(2017·哈尔滨)已知△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE ，BD 相交于点O.AE 与DC 相交于点M ，BD 与AC 相交于点N.(1)如图1，求证：AE ＝BD ；(2)如图2，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．图1 图2解：(1)证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ，∴△ACE≌△B CD(SAS )． ∴AE＝BD.(2)答案不唯一，如：△ACB ≌△DCE，△EMC≌△BNC，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE.16．(2017·滨州)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变．其中正确的个数为(B )A ．4B ．3C ．2D ．117．(2018·青岛)如图，正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 218．(2018·滨州)在△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点．(1)如图1，若点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE ＝AF ；(2)若点E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE ＝AF 吗？请利用图2说明理由．图1 图2解：(1)证明：连接AD. ∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD＝45°. ∵点D 为BC 的中点，∴AD＝12BC ＝BD ，∠FAD＝45°.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA )．∴BE＝AF.(2)BE ＝AF.理由如下： 连接AD.由(1)知，∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA. 在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠EDB＝∠FDA，∴△EDB≌△FDA(ASA )．∴BE＝AF.。