4.备课资料(1.1.3 解三角形的进一步讨论)

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1.1。

3 解三角形的进一步讨论一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2。

三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;重、难点2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;2。

三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学准备投影仪、幻灯片第一张：课题引入图片（记作1．1．3A）正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin===；余弦定理:a2=b2+c2—2bcco s A，b2=c2+a2—2caco s B，c2=a2+b2-2abco s C, bcacbA2cos222-+=，cabacB2cos222-+= ,abcbaC2cos222-+=.第二张:例3、例4(记作1．1．3B）[例3］已知△ABC, BD为角B的平分线，求证: AB∶BC＝AD∶DC。

解三角形的进一步讨论——教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）第一章第一节第三课（1.1.3）《正、余弦定理及其应用》。

根据我所任教的学生的实际情况，我将《正、余弦定理及其应用》划分为三节课（正弦定理、余弦定理、解三角形的进一步讨论），这是第三节课“解三角形的进一步讨论”。

正余弦定理是解三角形的重要工具，是三角函数的重要应用，是在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以正余弦定理应重点研究。

二、学生学习况情分析解三角形是在学生系统学习了正余弦定理，基本掌握了正余弦定理的各种变型形式的基础上进行研究的，是学生对正余弦定理的第一次应用。

教材在之前的学习中给出了实际例子，已经让学生感受到正余弦定理的实际背景。

本节课先设计一个看似简单的问题，通过不同的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想1. 正余弦定理在解三角形中占有很重要的位置。

如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。

从实际实例出发，逐步体会不同情形下产生的不同结果，从看似杂乱的现象中发现规律、总结规律，形成直观、快速、准确的判断方法。

本节课，力图让学生从不同的角度去研究解三角形，对解三角形进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到一般规律，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他现象的研究中去。

2.在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过恰当的游戏式引入，让学生快速进入情景，迅速进入节奏。

（2）在教学过程中努力做到知识节点环环相扣、逐步深入，注重生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

页 1 第四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：知过程与方法：正余弦定理在解三角形中的应用讨论；识与技能：讨论总结，讲练结合；让学生体会数学中多角度看问题的思维，情感态度与价值观：使学同时通过本节课的学习，在数学活动中感受数学思想方法之美；合作交流的培养学生主动学习、生获得研究数学问题的规律和方法；意识。

1．1．3 解三角形的进一步讨论三维目标一、知识与技能1．掌握已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2．三角形各种形状的判定方法；3．三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程一、情境导入1、回顾一下正、余弦定理的内容正弦定理：；余弦定理：2、正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换．这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用．二、新课探究1、思考在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm，A=133°，解三角形．阅读课本第9页解答过程并思考．从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．2、探究分析探究一在△ABC中，已知A，B，a，讨论三角形解的情况．师：分析：先由可进一步求出；则，从而．一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1．当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a＞bsinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若a＜bsinA，则无解．注意：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角探究二在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c A是锐角△ABC是锐角三角形。

1．1．3解三角形的進一步討論（一）教學目標1．知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

2. 過程與方法:通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式及三角形有關性質求解三角形問題。

3.情態與價值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關係，反映了事物之間的必然聯繫及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯繫。

（二）教學重、難點重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

難點：正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。

（三）學法與教學用具學法：通過一些典型的實例來拓展關於解三角形的各種題型及其解決方法。

教學用具：教學多媒體設備（四）教學設想[創設情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發現，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現無解的情形。

下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。

[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，討論三角形解的情況 分析：先由sin sin b A B a =可進一步求出B ； 則0180()C A B =-+ 從而sin a C c A= 1．當A 為鈍角或直角時，必須a b >才能有且只有一解；否則無解。

2．當A 為銳角時，如果a ≥b ，那麼只有一解；如果a b <，那麼可以分下面三種情況來討論：（1）若sin a b A >，則有兩解；（2）若sin a b A =，則只有一解；（3）若sin a b A <，則無解。

（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A 為銳角且 sin b A a b <<時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

解三角形的进一步讨论教学设计一、教学内容剖析本节课是«普通高中课程规范实验教科书·数学〔5〕»〔人教A 版〕第一章第一节第三课〔1.1.3〕«正、余弦定理及其运用»。

依据我所任教的先生的实践状况，我将«正、余弦定理及其运用»划分为三节课〔正弦定理、余弦定理、解三角形的进一步讨论〕，这是第三节课〝解三角形的进一步讨论〞。

正余弦定理是解三角形的重要工具，是三角函数的重要运用，是在生活及消费实践中有着普遍的运用，所以正余弦定理应重点研讨。

二、先生学习况情剖析解三角形是在先生系统学习了正余弦定理，基本掌握了正余弦定理的各种变型方式的基础上停止研讨的，是先生对正余弦定理的第一次运用。

教材在之前的学习中给出了实践例子，曾经让先生感遭到正余弦定理的实践背景。

本节课先设计一个看似复杂的效果，经过不同的结果来激起先生学习新知的兴味和愿望。

三、设计思想1. 正余弦定理在解三角形中占有很重要的位置。

如何打破这个即重要又笼统的内容，其实质就是将笼统的符号言语与直观的图象言语无机的结合起来，经过具有一定思索价值的效果，激起先生的求知愿望――耐久的猎奇心。

从实践实例动身，逐渐体会不同情形下发生的不同结果，从看似杂乱的现象中发现规律、总结规律，构成直观、快速、准确的判别方法。

本节课，力图让先生从不同的角度去研讨解三角形，对解三角形停止一个全方位的研讨，并经过对比总结失掉普通规律，让先生去体会这种的研讨方法,以便能将其迁移到其他现象的研讨中去。

2.在本课的教学中我努力实际以下两点：〔1〕在课堂活动中经过恰当的游戏式引入，让先生快速进入情形，迅速进入节拍。

〔2〕在教学进程中努力做到知识节点环环相扣、逐渐深化，注重生生对话、师生对话，并且在对话之后注重体会、总结、反思，力图在培育和开展先生数学素养的同时让先生掌握一些学习、研讨数学的方法。

〔3〕经过课堂教学活意向先生浸透数学思想方法。

1.1.3 解三角形的進一步討論從容說課本節課中，應先通過分析典型例題，幫助學生理解並掌握正弦定理和余弦定理；應指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解題的時候，應有最佳選擇．教學過程中，我們應指導學生對利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問題進行歸類，列表如下： 解斜三角形時可用的定理和公式 適用類型 備註 余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bcco s Ab 2=a 2+c 2-2acco s Bc 2=b 2+a 2-2baco s C（1）已知三邊 （2）已知兩邊及其夾角 類型（1）（2）有解時只有一解 正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin === （3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對角 類型（3）在有解時只有一解，類型（4）可有兩解、一解或無解 三角形面積公式 ==A bc S sin 21 =B ac sin 21 C ab sin 21 （5）已知兩邊及其夾角同時應指出，在解斜三角形問題時，經常要利用正弦、余弦定理實施邊角轉換，轉化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然後通過三角變換找出角與角之間的關係，進而解決問題；（2）化角為邊，將三角問題轉化為代數問題加以解決．一般地，當已知三角形三邊或三邊數量關係時，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關係，利用三角函數公式求解較為簡便．總之，關鍵在於靈活運用定理及公式．教學重點1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用．教學難點1.利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉化方向;2.三角恒等式證明中結論與條件之間的內在聯繫的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用．教具準備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作1．1．3A)正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=.第二張:例3、例4(記作1．1．3B )[例3]已知△ABC , BD 為角B 的平分線,求證: AB ∶BC ＝AD ∶DC .[例4]在△ABC 中,求證:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C .第三張:例5(記作1．1．3C)[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,試判斷三角形的形狀.三維目標 一、知識與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用． 二、過程與方法通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式及三角形有關性質求解三角形問題． 三、情感態度與價值觀通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關係，反映了事物之間的必然聯繫及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯繫．教學過程 導入新課師 前面兩節課,我們一起學習了正弦定理、余弦定理的內容,並且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關題型.下面,我們先來回顧一下正、余弦定理的內容 (給出幻燈片 1.1.3A ).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實質上反映了三角形內的邊角關係,運用定理可以進行邊與角之間的轉換,這一節,我們將通過例題分析來學習正、余弦定理的邊角轉換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時的應用.推進新課思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發現，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現無解的情形．下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，討論三角形解的情況.師 分析：先由a A b B sin sin =可進一步求出B ；則C =180°-(A +B ),從而A C a c sin sin =. 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況． 1.當A 為鈍角或直角時，必須a ＞b 才能有且只有一解；否則無解．2.當A 為銳角時，如果a ≥b ，那麼只有一解； 如果a ＜b ，那麼可以分下面三種情況來討論：（1）若a ＞b sin A ，則有兩解；（2）若a =b sin A ，則只有一解；（3）若a＜b sin A，則無解．（以上解答過程詳見課本第9到第10頁）師注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且b sin A＜a＜b時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解．（1）A為直角或鈍角（2）A為銳角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判斷△ABC的類型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是鈍角⇔△ABC是鈍角三角形，a2＜b2+c⇔A是銳角/△ABC是銳角三角形。

课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论教材分析：本课是人教A 版数学必修5第一章解三角形中学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用的延续。

对于解三角形问题中已知两边和其中一边的对角(SSA)的情况,解的个数往往是不确定的。

在人教版的第一章"解三角形"的探究与发现"解三角形的进一步讨论"一文中,编者通过正弦定理讨论解的情况,但是在教学中学生用此法来判断三角形解的个数,感觉很抽象很难入手。

本人在教学过程不断实践和反馈中,总结了比较直观易懂的讨论三角形解的情况的方法:利用尺规作图,观察交点情况;利用SSA 解个数总结口诀解题;利用大边对大角，大角对大边辅助判断。

学情分析 ：学生已经学习了正弦定理和余弦定理,在知识上具备研究问题的基础。

对于本节课内容很多学生对教材的解法感到生疏，觉得很抽象。

本节课利用几何画板探讨解决问题的学习过程,通过数与形的结合，让学生对三角形解的个数问题进一步掌握，在知识的学习过程中,由数到形,再由形到数的学习过程,也实践了由具体到抽象,由特殊到一般的研究问题的方法,对数形结合思想和由具体到抽象的研究方法有一定的认识和体会。

教学目标:知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形。

过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例子，使学生学会数形结合求解三角形问题。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，同时培养学生应用数形结合思想解决数学问题的能力 重点：掌握判断解三角形问题解的个数的方法,能够熟练运用此方法判断解三角形的个数问题。

难点：利用画图来表示三角形解的个数。

教学过程：一、复习准备：正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===公式特征：对边对角（解决对边对角问题）SinA=20015030==⇒A A 或 SinA=220013545==⇒A A 或 SinA=230012060==⇒A A 或 二、讲授新课：[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

《解三角形的进一步讨论》教学设计一、教学目标〔一〕知识与技能：正余弦定理在解三角形中的应用争论〔二〕过程与方法：争论总结，讲练结合〔三〕情感立场与价值观：体会数学中多角度看问题的思维，让同学在数学活动中感受数学思想方法之美;使同学获得讨论数学问题的规律和方法;培育同学主动学习、合作沟通的意识。

二、教学重点与难点教学重点：正余弦定理的应用教学难点：判断三角形解的个数三、教学过程：〔一〕课前游戏导入师：第一组快速回答非常角的正弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让同学快速回答;第二组快速回答非常角的余弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让同学快速回;第三组快速回答非常角的正弦或余弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让同学快速回答;师：大家回忆下三角形中的边角关系：生：A+B+C=180?师：〔2〕边与边之间的关系：生：a+bc;a-bc师：〔3〕边与角之间的关系：生：大边对大角，正弦定理，余弦定理。

〔二〕师生互动、探究新知正弦定理的其他表示形式：师：从方程的思想看，四个量的方程中可以“知三解一”，从而求出B。

让同学思索以下问题：在直角三角形ABC中，已知a=3，b=3，A=30°，求角B？师：sinB等于多少？那么B等于多少？满意题目要求的三角形有几个？练习1：在三角形ABC中，b=20，A=60°，a=20，求B师：这两个解都对吗？为什么？怎样才能避开出错呢？生：解出答案后要记得验证。

师：在上例中，将已知条件改为以下几种状况，再求角B，结果如何？〔1〕a=15，b=20，A=60°〔2〕a=10，b=20，A=60°师：思索：已知两边和其中一边所对的角，争论求三角形的解的状况？师：判断在以下条件下，三角形解的个数：〔1〕.a=20，b=25，A=120 〔2〕a=20，b=12，A=135°〔3〕.a=20，b=25，A=90°〔4〕.a=20，b=12，A=90°师、生：当A为直角或钝角时，分析如上。

解三角形的进一步讨论●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第9 10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。