高中数学 第三章 独立性检验+同步练测 北师大版选修2-3

学业分层测评(建议用时：分钟)一、选择题．有两个分类变量与的一组数据，由其列联表计算得χ≈，则认为“与有关系”犯错误的概率为( )．．．．【解析】χ≈＞.这表明认为“与有关系”是错误的可能性约为，即认为“与有关系”犯错误的概率为.【答案】．在调查中发现名男人中有名患有色盲，名女人中有名患有色盲．下列说法正确的是( )．男、女患色盲的频率分别为．男、女患色盲的概率分别为，．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【解析】男人中患色盲的比例为，要比女人中患色盲的比例大，其差值为≈ ，差值较大．【答案】．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的名学习时间较长的中学生中有名学习成绩比较好，名学习时间较短的中学生中有名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )．．．．都不正确【解析】计算出χ与两个临界值比较，χ＝－×××)≈ ＞.所以有的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选.【答案】．某卫生机构对人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有人，不发病的有人；阴性家族史者糖尿病发病的有人，不发病的有人，有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )【导学号：】．．．．【解析】可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表χ＝≈＞.故我们有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．【答案】．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为{，}和{，}，其×列联表为：( ) ．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝【解析】比较.选项中，＝；选项中，＝；选项中，＝；选项中，＝.故选.【答案】二、填空题．调查者通过随机询问名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名) 性别与喜欢文科还是理科列联表。

§2 独立性检验课后作业提升1.关于独立性检验下列说法正确的是( ) A.χ2越大,X 与Y 有关联的可信度越小 B.χ2越小,X 与Y 有关联的可信度越小 C.χ2越接近于0,X 与Y 没有关联的可信度越小 D.χ2越大,X 与Y 没有关联的可信度越大 解析:χ2的值越小时,X 与Y 有关联的可信度越小. 答案:B2.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下数据表:根据数据,则( )A.种子经过处理跟是否生病有关B.种子经过处理跟是否生病无关C.种子是否经过处理决定是否生病D.以上都是错误的 解析:由χ2=-≈0.164<2.706,故种子经过处理跟是否生病无关. 答案:B3.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,从某高中随机抽取300名学生,得到如下列联表:根据以上数据,则()A.性别与是否喜欢数学无关B.有95%的把握认为性别与是否喜欢数学有关C.性别与是否喜欢数学关系不确定D.以上说法都错误解析:χ2=-≈4.514>3.841,故选B.答案:B4.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系,你认为应该收集的数据是.答案:男正教授人数,副教授人数;女正教授人数,副教授人数5.对电视节目单上的某一节目,观众的态度如下表:根据以上数据,得χ2≈1.224,则得到的结论是.答案:观众是否认同这一节目与性别无关6.有甲、乙两个班级进行一门课的考试,按照学生的考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下列联表.利用独立性检验估计成绩与班级是否有关联.解:由列联表中所给数据得到,甲班人数为45,乙班人数为45,优秀人数为17,不优秀人数为73, 则χ2=-≈0.653.因为0.653<2.706,所以没有充分的证据认为成绩与班级有关联.7.中国调查网有一项关于午休问题的调查,其结果如下:(单位:人)(1)将题表补充完整,应填入的数据是多少?(2)试分析性别与对午睡的看法是否有关.(3)请再列举一些可能与对午睡看法有关的分类变量(至少两个).解:(1)①69,②446.(2)∵χ2=-≈86.490>6.635,∴至少有99%的把握认为性别与对午睡的看法有关.(3)年龄、职业、季节等.。

第三章§2一、选择题1.独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是( )A．在100 个男性中约有90 个人爱喝酒B．若某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%C．判断出错的可能性为10%D．有90%的把握认为10 个男性中有9 个人爱喝酒[答案] C2.提出统计假设H0，计算出χ2 的值，即拒绝H0的是( )A．χ2＝6.635 B．χ2＝2.63C．χ2＝0.725 D．χ2＝1.832[答案] A[解析] 依据独立性检验的思想及其结论的应用，应选A.3.通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110n(ad－bc)2 110 × (40 × 30－20 × 20)2由K2＝算得，K2＝≈7.8.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) 60 × 50 × 60 × 50 附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[答案] C[解析] 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.二、填空题4.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是．[答案] 男正教授人数，副教授人数；女正教授人数，副教授人数．5.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．能以的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.[答案] 90%[解析] 由列联表可以看出a＝24，b＝31，c＝8，d＝26，a＋b＝55，c＋d＝34，a＋c＝32，b＋d＝57，n＝a＋b＋c＋d＝89，n(ad－bc)2代入公式χ2＝得(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)89 × (24 × 26－31 × 8)2χ2＝55 × 34 × 32 × 57≈3.689，由于χ2≈3.689>2.706，∴我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系．三、解答题6.为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540 名40 岁以上的人的调查结果如下：[分析] 先计算χ2 的数值，然后比较χ2 与3.841 及6.635 的大小，进而得出是否有关的结论．540(60 × 200－260 × 20)2[解析] 由公式得χ2＝320 × 220 × 80 × 460540(12 000－5 200)2 2 496 960＝2 590 720 000 ＝259 072≈9.638.∴9.638>6.635，∴有99%的把握说40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．[点评] 本题利用χ2 公式计算出χ2 的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断.一、选择题1．(2014·江西理，6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4 个变量之间的关系，随机抽查52 名中学生，得到统计数据如表1 至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A．成绩B．视力C．智商D．阅读量[答案] D[解析] 根据χ2 计算公式可知，阅读量与性别相关数据较大，所以选 D.2．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2 的一个可能的值为( )A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841[答案] C[解析] 若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C 满足条件．3.分类变量X 和Y 的列联表如下，则( )Y1Y2总计A.ad－bcB.ad－bc 越大，说明X 与Y 的关系越强C．(ad－bc)2 越大，说明X 与Y 的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强[答案]Cn(ad－bc)2[解析] 由统计量χ2 的计算公式计算χ2＝可知(ad－bc)2 越大，(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad－bc)2 越大，故选C.4.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( )A.90%C．97.5% D．99.9%[答案] D[解析] 由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)得其观测值9 965 × (7 775 × 49－2 099 × 42)2k＝≈56.632>10.828.7 817 × 2 148 × 9 874 × 91故有99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D.5.为了研究性格和血型的关系，抽查80 人实验，血型和性格情况如下：O 型或A 型者是内向型的有18 人，外向型的有22 人，B 型或AB 型是内向型的有12 人，是外向型的有28 人，则有多大的把握认为性格与血型有关系( )A.99.9%B．99%C.没有充分的证据显示有关D.1%[答案] C[解析]n(n11n22)χ2＝50 × 30 × 40 × 40＝的证据显示有关．二、填空题50 × 30 × 40 × 40≈1.92<2.706，∴没有充分6.在一次打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671 人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是的．填(“有关”或“无关”)[答案] 有关[解析] ∵27.63＞6.635∴打鼾与患心脏病有关的可能性很大，我们可以有99%的把握这么认为．7.为了了解小学生是否喜欢吃零食与性别之间的关系，调查者随机调查了89 名小学生的情况，得到的数据如下表(单位：人)：≈.[答案] 3.68989 × (24 × 26－31 × 8)2[解析] χ2＝≈3.689.55 × 34 × 32 × 57三、解答题8.在某医院，因为患心脏病而住院的655 名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175 人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．[解析] 问题是判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．计算得到下表(单位：人)≈16.373.由公式计算得χ2＝389 × 1048 × 665 × 772因为16.373>6.635，所以有99%以上的把握认为男性病人的秃顶与患心脏病有关．9.为检验回答一个问题的对错是否和性别有关，有人作了一个调查，其中女生人数是1 5 2男生人数的，男生答对人数占男生人数的，女生答错人数占女生人数的.2 6 3(1)若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有多少人？ (2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有多少人？ [分析] 若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，说明 χ2>6.635；没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，说明 χ2≤2.706.设出男生人数，并且它分别表示各类别人数，代入 χ2 的计算公式，建立不等式求解即可．[解析] 设男生人数为 x ，依题意可得 2×2 列联表如下：(1) 若有 99%，3x 2 ·( 5x x ·－ x x · )2 由 χ2＝ 6 3 6 6 x x x · · ·x3x＝ 8 >6.635，解得 x >17.693. 2 2x x x因为 ，， 为整数，所以若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至2 63 少有 18 人．(2) 没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则 χ2≤3.841.3x 2 ·( 5x x ·－ x x · )2 由 χ2＝ 6 3 6 6 x x x · · ·x3x＝ 8 ≤2.706， 2 2解得 x ≤7.216.x x x因为 ，， 为整数，所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至2 3 6 多有 6 人．[点评] 本题是逆向型思维问题，即将根据已知数据判断相关性问题变式为了一道由已知相关性求表中的字母数据问题，同时也是一个独立性检验和不等式的综合问题，解答时要注意理解“至少”“至多”的含义，充分建立不等式(组)来解决．10.为了比较注射A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200 只家兔做实验，将这200 只家兔随机地分成两组，每组100 只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(1)甲、乙是200 只家兔中的2 只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1 和表2 分别是注射药物A 和B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65) [65,70) [70,75) [75,80)频数30 40 20 10疱疹面积[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数10 25 20 30 15②完成下面2×2 列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝合计n＝附：χ2＝－(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 [解析] 2×2 列联表等统计学知识．解题思路是(1)古典概型的概率公式的应用，需用到组合数公式．(2)绘制频率分布直方图，并从图中观察出中位数进行比较，(3)从频率分布表中读取数值填制2×2 列联表并计算χ2与临界值比较，说明是否有关．2C19998 100解：(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p＝1200 ＝.C 199(2)①可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65 至70 之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70 至75 之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．②表3：χ2＝≈24.56，100 × 100 × 105 × 95由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．[点评] 本题比较新颖，将统计学与古典概型、组合联系在一起，难度不大，但考查知识全面，而且还需要一定的识图表能力，是今年命题一热点方向．。

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§2独立性检验学习目标重点难点1。

通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想．2．会求χ2，及利用χ2判断两个变量的把握程度(两个变量是否有关系）。

重点:独立性检验的基本思想．难点：利用χ2判断两个变量的关联程度。

独立性检验设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值,变量A：A1，A2＝错误!；变量B:B1,B2＝错误!.其中，a表示变量A取A1,且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据,c表示变量A取A2，变量B取B1时的数据，d表示变量A取A2,变量B取B2时的数据．设n＝a＋b＋c＋d,χ2＝错误!.（1)χ2≤2。

706时，没有充分证据判定变量A，B有关联；(2）χ2＞2。

706时，有90%的把握判定变量A,B有关联；（3）χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；（4）χ2＞6。

635时，有99％的把握判定变量A，B有关联．预习交流独立性检验的基本思想是什么？提示：把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2把两个分类变量的独立性检验的基本思想表述为:χ2＝错误!(n＝a＋b＋c＋d)．独立性检验的基本思想为观察药物A，B治疗某病的疗效,某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人,服用A药;另一组60人，服用B药，结果发现：服用A药的40人中有30人治愈；服用B药的60人中有11人治愈，问A，B两种药对该病的治愈率是否有显著差别?思路分析：首先应考查该资料取自什么样的试验设计，由于100个病人完全随机地被分成两组，而且，事先不知道任何一个病人的治疗结果是治愈还是不能治愈，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求．解：为了便于将数据代入公式计算,先列出2×2列联表：由公式得：χ2＝错误!≈31。

§2独立性检验A组1.提出统计假设H0,计算出χ2的值,即拒绝H0的是()A.χ2=6.635B.χ2=2.63C.χ2=0.725D.χ2=1.832解析:依据独立性检验的思想及其结论的应用,应选A.答案:A2.分类变量X和Y的列联表如下,则()A.ad-bc越小,说明X与Y的关系越弱B.ad-bc越大,说明X与Y的关系越强C.(ad-bc)2越大,说明X与Y的关系越强D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y的关系越强解析:由统计量χ2的计算公式χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)可知(ad-bc)2越大,χ2的值越大,X与Y的关系越强,故选C.答案:C13.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有()A.90%B.95%C.97.5%D.99%解析:由χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)得χ2=9965×(7775×49-2099×42)27817×2148×9874×91≈56.632>6.635.故有99%的把握认为患肝病与嗜酒有关系,答案选D.答案:D4.以下关于独立性检验的说法中,错误的是()A.独立性检验依据小概率原理B.独立性检验得到的结论一定正确C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异D.独立性检验不是判断两个分类变量是否相关的唯一方法解析:独立性检验得到的结论不一定正确,如我们得出有90%的把握认为A与B有关,只是说这种判断的正确性为90%,具体问题中A与B可能有关,也可能无关,故选B.答案:B5.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况,具体数据如下表:非统计专业统计专业23男 13 10 女720则χ2≈ ,有 的把握判定主修统计专业与性别有关.解析:χ2=50×(13×20-10×7)220×30×23×27≈4.844>3.841,故有95%的把握认为主修统计专业与性别有关.答案:4.844 95%6.有两个分类变量X 与Y ,有一组观测的2×2列联表如下,其中,a ,15-a 均为大于5的整数,则a= 时,有90%以上的把握认为“X 与Y 之间有关系”.解析:要有90%以上的把握认为X 与Y 之间有关系,则χ2>2.706,即χ2=65[a (30+a )-(20-a )(15-a )]220×45×15×50=13(13a -60)260×90>2.706,解得a>7.19或a<2.04. 又因为a>5,且15-a>5,a ∈Z ,所以当a 取8或9时,有90%以上的把握认为“X 与Y 之间有关系”. 答案:8或97.两个分类变量X ,Y ,它们的取值分别为x 1,x 2和y 1,y 2,其列联表为:4若两个分类变量X ,Y 独立,则下列结论:①ad ≈bc ;②aa+b ≈cc+d ;③c+da+b+c+d ≈b+da+b+c+d ;④c+aa+b+c+d ≈b+d a+b+c+d ;⑤(a+b+c+d )(ad -bc )(a+b )(b+d )(a+c )(c+d )≈0.其中正确的序号是 .解析:因为分类变量X ,Y 独立,所以aa+b+c+d ≈a+ca+b+c+d ×a+ba+b+c+d ,化简得ad ≈bc ,故①⑤正确;②式化简得ad ≈bc ,故②正确. 答案:①②⑤8.导学号43944055有两个变量x 与y ,其观测值的2×2列联表如下表:其中a ,15-a 均为大于5的整数,则a 取何值时,有90%的把握认为x 与y 之间有关系? 解要有90%的把握认为x 与y 之间有关系,则χ2>2.706,又因为χ2=65[a (30+a )-(20-a )(15-a )]220×45×15×50=65(65a -300)220×45×15×50=13(13a -60)25 400,所以a>7.19或a<2.04.又因为a>5且15-a>5,a∈Z,故a=8或a=9.故当a的取值为8或9时,有90%的把握认为x与y之间有关系.B组1.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表2表356表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量解析:根据χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),代入题中数据计算得D 选项χ2最大.故选D .答案:D2.假设两个变量X 与Y ,它们的取值分别为x 1,x 2和y 1,y 2,其列联表为:以下各组数据中,对于同一样本能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A.a=50,b=40,c=30,d=20 B.a=50,b=30,c=40,d=207C.a=20,b=30,c=40,d=50D.a=20,b=30,c=50,d=40解析:当(ad-bc )2的值越大,χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )的值越大,可知X 与Y 有关系的可能性就越大.显然选项D 中,(ad-bc )2的值最大,故选D . 答案:D3.利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.如果χ2≥5.024,那么就有把握认为“X 与Y 有关系”的百分比为( )A .25%B .75%C .2.5%D .97.5%解析:由表中数据可知,当χ2≥5.024时,P (χ2≥k 0)=97.5%,故选D . 答案:D4.在研究吸烟与患肺病的关系时,通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺病有关”的结论,并且有99%的把握认为这个结论是正确的,下列说法中正确的是( ) A .100个吸烟者中有99人患有肺病B .1个人吸烟,那么这个人有99%的概率患有肺病C .在100个吸烟者中一定有患肺病的人D .在100个吸烟者中可能一个患肺病的人也没有解析:独立性检验的结论是一个数学统计量,它与实际问题的确定性是存在差异的. 答案:D5.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表.能以 的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.8解析:由列联表可以看出a=24,b=31,c=8,d=26,a+b=55,c+d=34,a+c=32,b+d=57,n=a+b+c+d=89,代入公式χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )得 χ2=89×(24×26-31×8)2≈3.689,由于χ2≈3.689>2.706,所以我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系. 答案:90%6.导学号43944056为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做实验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A ,另一组注射药物B. (1)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同组的概率;(2)下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm 2) 表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2:注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表9①完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;图1 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图②完成下面2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”. 表3:附:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ). 解(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为P=2C 19899C 200100=100199.(2)①10图1 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.②表3:χ2=200×(70×65-35×30)2100×100×105×95≈24.56,由于χ2>6.635,所以有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第3章 统计案例 3.2 独立性检验学业分层测评 北师大版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10%【解析】 χ2≈4.523＞3.841.这表明认为“X 与Y 有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为5%.【答案】 C2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是( )A ．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女患色盲的概率分别为19240，3260C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关 【解析】 男人中患色盲的比例为38480，要比女人中患色盲的比例6520大，其差值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪38480－6520≈0.067 6，差值较大．【答案】 C3．为了探究生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的生中有6名学习成绩比较好，那么你认为生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )A ．0B ．95%C ．99%D ．都不正确【解析】 计算出χ2与两个临界值比较， χ2＝－245×955×500×500≈25.340 3＞6.635.所以有99%的把握说生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C. 【答案】 C4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )【导学号：62690057】A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%【解析】 可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表χ2＝－2109×257×33×333≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系． 【答案】 D5．假设有两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：( )A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 【解析】 比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d .选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝245；选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝124；选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝245；选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝745.故选D.【答案】 D 二、填空题6．调查者通过随机询问72名男女生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名) 性别与喜欢文科还是理科列联表【解析】 通过计算χ2＝－236×36×44×28≈8.42＞7.879.故我们有99.5%的把握认为生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 【答案】 有7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：χ2＝－223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．【解析】 ∵χ2＞3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.【答案】 5%8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？【解】根据题意，列出2×2列联表如下：由公式可得χ2＝55×34×32×57≈3.689＞2.706，故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．10．(2016·郑州模拟)有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．参考公式：χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d【解】(2)根据列联表中的数据，得到χ2＝55×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．事件A包含的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝836＝29.能力提升]1．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：A．性别与获取学位类别有关B．性别与获取学位类别无关C．性别决定获取学位的类别D．以上都是错误的【解析】由列联表可得χ2＝－2305×35×189×151≈7.34>6.635，所以有99%的把握认为性别与获取学位的类别有关．【答案】 A2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：( ) A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05【解析】χ2＝－226×24×27×23≈5.059＞5.024，因为P(χ2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.【答案】 B3．某研究小组为了研究生的身体发育情况，在某随机抽出20名15至16周岁的男生将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.【解析】根据公式χ2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d得，χ2＝－25×15×7×13≈5.934，因为χ2>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．【答案】0.0254．(2016·延安二检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图3­2­1为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.图3­2­1(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.(参考公式：χ2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d)【解】(1)记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．“至少有一个87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个，所以P＝710.(2)χ2＝＝6.4＞5.024，20×20×20×20因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．。

独立性检验的应用 同步练习【选择题】A. 317.72≈χB. 689.32≈χC. 706.22≈χD. 879.72≈χ2、统计假设0H ：P(AB)=P(A)P(B)成立时，以下判断：①)()()(B P A P B A P ⋅= ②)()()(B P A P B A P ⋅=③)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.其中正确的命题个数有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3、下列说法正确的个数为（ ）①对事件A 与B 的检验无关时，即两个事件互不影响；②事件A 与B 关系越密切，则2χ就越大；③2χ的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据；④若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生.A 、1B 、2C 、3D 、4【填空题】5、在0H 成立时，若,10.0)(2=≥k P χ则k =______________.【解答题】6、某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历（包括大学专科）和对待教育8、有甲乙两人班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表.立性检验估计断言“成绩与班级有关系”犯错误的概率.参考答案1、B2、D3、A4、99%5、2.7066、78.12≈χ，因为1.78<2.706,所以我们没有充分理由说人具有大学专科以上学历（包括大学专科）和对待教育改革的态度有关。

7、076.02≈χ，因为0.076<2.706,所以我们没有充分的把握认为晕船与否和性别有关系.8、,6257.02≈χ因为0.6257<2.706,所以我们没有充分的证据显示“成绩与班级有关系”.。

§2 独立性检验2．1 独立性检验2．2 独立性检验的基本思想2．3 独立性检验的应用双基达标限时20分钟1．在2×2列联表中，两个变量的取值a，b，c，d应是( )．A．任意实数B．正整数C．不小于5的整数D．非负整数解析若两个变量的取值太小，则增大了统计结论的偶然性，因此规定a，b，c，d 一般都是大于5的整数．答案 C2．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据( )．A．χ2＞3.841 B．χ2＜3.841C．χ2＞6.635 D．χ2＜6.635解析把χ2的值与临界值比较，从而确定A与有关的可信程度，χ2＞3.841有95%的把握认为A与B有关系；χ2＞2.706有90%的把握认为A与B有关系；χ2≤2.706就认为A与B没有关系．答案 A3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X与Y有关系”的可信度，如果χ2＞5.024，那么就推断“X和Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过k( )．A．0.25 B．0.75C．0.025 D．0.975解析通过查表确定临界值k0.χ2＞k0＝5.024时，推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过0.025.答案 C4．在使用独立性检验时，下列说法正确的个数为________．①对事件A与B检验无关联时，即可以认为两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，则χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的根据；④若判定两事件A与B有关，则A发生时B一定发生．解析①正确，A与B无关联即A与B相互独立．②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A 与B 是否相互独立．③不正确．χ2的大小只能说明有多少的把握判定变量A 、B 有关联．④不正确．答案 15．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析．其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据上面的数据，计算χ2的值约为________．(精确到0.001) 解析 由已知数据得到下表合格情况设备是否改造合格品 不合格品 合计 设备改造后 65 30 95 设备改造前 36 49 85 合计10179180根据公式χ2＝180×65×49－36×30295×85×101×79≈12.379.答案 12.3796．若两个分类变量X 和Y 的2×2列联表为：y 1y 2x 1 5 15 x 24010根据上表数据，你能推断“X 和Y 之间有关系”吗？ 解 χ2＝70×5×10－40×15220×50×45×25≈18.8＞10.828，因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下推断“X 与Y 有关系”．综合提高限时25分钟7．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大 ( )． A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c解析aa ＋b 与cc ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个变量有关系的可能性越大．答案 A8．某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表：作业情况是否喜 欢玩电脑游戏 认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总数262450则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )． A ．99% B ．95% C ．90%D ．无充分依据解析 χ2＝50×18×15－8×9227×23×26×24≈5.059＞3.841，故认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握为95%. 答案 B9．下表是2009届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时想学专业的调查表： 是否知道想学专业 性别知道想 学专业不知道想 学专业总计男生 63 117 180 女生 42 82 124 总计105199304根据表中数据，则下列说法正确的是________． ①性别与是否知道想学专业有关 ②性别与是否知道想学专业无关 ③女生比男生更易知道所学专业 解析 由χ2＝304×63×82－42×1172105×199×180×124≈0.04＜2.706.可知没有充分的证据认为性别与是否知道想学专业有关，即可以认为性别与是否知道想学专业无关． 答案 ②10．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生，具体数据如下表所示，为了判断选修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，因为4.844＞3.841.所以选修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.所选专业 性别非统计专业统计专业 男 13 10 女720解析 因为2这种判断出错的可能性为5%. 答案 5%11．在人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据建立2×2的列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关系． 解 (1)2×2的列联表如下：休闲方式性别看电视 运动 总计 女 43 27 70 男 21 33 54 总计6460124(2)根据χ2＝124×43×33－21×27270×54×64×60≈6.201＞3.841，因此有95%的把握说性别与休闲方式有关．12．(创新拓展)有两个变量x 与y ，其一组观测值如下2×2列联表所示：Yxy 1 y 2x 1 a20－a x 215－a30＋a其中a,15－a x 与y 之间有关系？解 由题意χ2＝65[a 30＋a －20－a 15－a ]220×45×15×50＝6565a －300220×45×15×50＝1313a －6025 400.∵有95%的把握认为x 与y 之间有关系， ∴χ2＞3.841， ∴1313a －6025 400＞3.841，a ＞7.7或a ＜1.5，又a ＞5,15－a ＞5， ∴7.7＜a ＜10，又a ∈N ， ∴a ＝8或a ＝9.。

第三章§2一、选择题1．下列说法正确的个数是()①对事件A与B的检验无关时，即两个事件互不影响②事件A与B关系越密切，则χ2就越大③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据④若判定两个事件A与B有关，则A发生B一定发生A．1B．2C．3 D．4解析：对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错；②是正确的；对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用图表，也可以借助于概率运算，故③错；对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错．答案： A2．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是() A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：本题主要考查对独立性检验的结果与实际问题的差异的理解，独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的．答案： D3．下面是一个2×2列联表则表中a、b处的值分别是()A．94,96 B．52,50C ．52,72D ．54,52解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋21＝73b ＋46＝73＋45，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝72.答案： C4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 解析： K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8＞6.635，所以我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 答案： C 二、填空题5．为了考查长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空.则空格中的数据应分别为：①________________；②________________；③______________；④______________.解析： 最右侧的合计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的合计是相应的列上两个数据的和，由①②的结果可求得③④.答案： ①86 ②180 ③229 ④3016．计算得到χ2的值______________时，才能以95%的把握认为两个分类变量之间相关． 解析： 可以查临界值表，1－95%＝0.05，因为0.05对应的值为3.841，所以当χ2的值大于3.841时，才能有95%的把握认为两个分类变量之间相关．答案： 大于3.841 三、解答题7．在大连—烟台的某次航运中，出现了恶劣气候．随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如表所示：据此资料，你能否认为在恶劣气候中航行时，男性比女性更容易晕船？ 解析： χ2＝150×(30×62－18×40)280×70×48×102≈7.110.因为7.110＞6.635，所以有99%的把握说，晕船与否跟男女性别有关，说明在海上旅游中男性比女性更容易晕船．8．为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系调查了228人．其中每天的吸烟支数在10支以上20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人；每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人．试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互独立？解析： 由已知条件可列出2×2列联表：由公式得：χ2＝228×(98×16－89×25)2123×105×187×41≈0.994，由于0.994＜2.706，所以没有理由认为患慢性气管炎与吸烟量有关，即认为患慢性气管炎与吸烟量无关，是相互独立的．。

课时作业13 独立性检验时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下面是2×2列联表：则表中a ，b A ．94、96 B ．52、50 C ．52、54D ．54、52解析：a ＝73－21＝52，b ＝100－46＝54，故选C ．2．高二第二学期期中考试，对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量χ2的值为( A )班级与成绩统计表A.0.600 C ．2.712D ．6.004解析：随机变量χ2＝90×(11×37－34×8)219×71×45×45≈0.600，故选A.3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是(C)A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的思想方法，正确选项为C．4．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2的一个可能的值为(C) A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841解析：若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C满足条件．5．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算k＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过(B)A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%解析：∵k＝7.069>6.635，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.6．假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为(D)A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析：对于同一样本，|ad－bc|的值越小，说明X与Y之间的关系越弱，|ad－bc|的值越大，说明X与Y之间的关系越强．7．分类变量X和Y的列联表如下，则(C)A．ad－bcB．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强 解析：由统计量χ2的计算公式计算χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )可知(ad －bc )2越大，则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad －bc )2越大，故选C ．8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( D )A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 解析：A中，χ2＝52×(6×22－10×14)220×32×16×36＝131440； B 中，χ2＝52×(4×20－12×16)220×32×16×36＝637360；C 中，χ2＝52×(8×24－8×12)220×32×16×36＝1310；。