高一数学必修4《三角函数》章末综合检测卷

高中数学人教a高一必修4章末综合测评(第三章)_word版含解析章末综合测评(三)三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为()A．12B．13C．14D．16【解析】由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝1 3，所以cos αcos β＝1 6.【答案】 D2．已知tan(π＋α)＝2，则1sin αcos α等于()A．52B．75C．－52D．－75【解析】由tan(π＋α)＝2，得tan α＝2，∴1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝52.【答案】 A3．若tan α＝2tan π5，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝()【导学号：00680080】A．1 B．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5，∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsinπ5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tanπ5＋tan π52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C 4．2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】 原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A 5．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B ．22C ．1D ．－22【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ的值可以是( ) A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】 由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ， 当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．【答案】 A7．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A ．32 B ．－32C ．±32D ．±12【解析】 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π， 因此，cos 2θ＝－32，故选B ．【答案】 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝45，则sin 2x 的值为( ) A ．1925B ．725C ．1425D ．－725【解析】 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725.【答案】 D9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32【解析】 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1【解析】 由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【解析】 由曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫w x ＋π6与y ＝1交点中相邻交点最小值为π3正好等于f (x )的周期的13倍，设f (x )的最小正周期为T ，则13T ＝π3，故有T ＝π.【答案】 C12．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1，3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．17B ．－17C ．27D ．－27【解析】 因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________．【解析】 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2.【答案】 2π 2 14．tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值是________． 【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ.【答案】 315．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.【答案】 316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________．【解析】 因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，② 由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan （A ＋B ）＋tan C 1－tan （A ＋B ）tan C ＝－3＋31－（－3）×3＝0，又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π， ∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值． 【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】 因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21.(本小题满分12分)陵中学第四次模拟)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3，4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值； (2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β. 【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210，∵β为第一象限角，∴tan β＝17，∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 法一：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4第11页 共11页 ＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。

高中数学苏教版高一必修4章末综合检测03 含解析章末综合测评(三) 三角恒等变换 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos 2α＝________.【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.【答案】 －7252．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 【答案】 13．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________. 【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47° ＝sin(47°－17°) ＝sin 30° ＝12 【答案】124．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.【解析】 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.【答案】 tan 2α5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________.【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，∴cos α＝－255，∴tan α＝－12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.【答案】 －436．化简：cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝________.【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π42＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(cos x －sin x )＋22(cos x ＋sin x ) ＝22cos x . 【答案】22cos x 7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.【解析】 已知等式两边平方得sin α＝45，450°＜α＜540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝2.【答案】 28．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________． 【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°) ＝3－3tan 19°tan 41°∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】39．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°， 所以a ＜c ＜b . 【答案】 a ＜c ＜b10．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4 ＝2cos 3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象． 【答案】 右 π1211．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________． 【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．【答案】 x ＝k π2＋π12，k ∈Z12．已知点P sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________．【解析】 由题意知，点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.【答案】 2－ 313．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________．【解析】 由tan α2＝12，得sin α＝2tanα21＋tan 2 α2＝11＋14＝45，∵α∈(0，π)，∴cos α＝35，由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos(α＋β)＝－1213.cos β＝cos(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665. 【答案】 －166514．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为2，则常数a 的值为________．【解析】 f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ，又－π3≤x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴a ＋2＝2，则a ＝0. 【答案】 0二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α.【解】 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝32.16．(本小题满分14分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°的值．【解】原式＝2cos210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan25°2tan 5°＝cos210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝32.17．(本小题满分14分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝413 13.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－45，求sin α的值．【解】(1)a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝5 13.(2)由0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，可知cos β＝35，且0＜α－β＜π，∵cos(α－β)＝5 13，∴sin(α－β)＝12 13.∴sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝1213×35＋513×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝1665. 18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)． 【解】 (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β2 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－277＋217×12＝－2114.(2)又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，且cos α＋β2＜0，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＜0，∴tanα＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan 2α＋β2＝5311.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值．(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.图1(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． 【解】 (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2.(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12＝52×⎝⎛⎭⎪⎫255sin 2θ－55cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12)当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S最大．即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积52－12.。

第一章 三角函数(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390° B．420° C．450° D．480° 2．若sin x ·cos x <0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．函数y ＝tan x2是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数4．已知tan(－α－43π)＝－5，则tan(π3＋α)的值为( )A ．－5B ．5C ．±5D ．不确定5．已知函数y ＝2sin (ωx ＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A ．1B ．2 C.12 D.136．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( )A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310 B.310 C ．±310 D.348．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π209．将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移π3个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝π4，则θ的一个可能取值是( )A.5π12 B ．－5π12 C.11π12 D ．－11π1210．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )11．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．412．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <b 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cos(α＋π2)＝________.14．设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________． 15.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________. 16．给出下列命题：(1)函数y ＝sin |x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内为增函数；(3)函数y ＝|cos 2x ＋12|的最小正周期为π2；(4)函数y ＝4sin(2x ＋π3)，x ∈R 的一个对称中心为(－π6，0)．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知α是第三象限角，f (α)＝α－π23π2＋απ－α－α－π－π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．18．(12分)已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.19．(12分)已知sin α＋cos α＝15.求：(1)sin α－cos α；(2)sin 3α＋cos 3α.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．21．(12分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤π2)在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π，y min ＝－3. (1)求出此函数的解析式； (2)求该函数的单调递增区间；(3)是否存在实数m ，满足不等式A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)？若存在，求出m 的范围(或值)，若不存在，请说明理由．22．(12分)已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？第一章 三角函数(B)答案1．B 2.C 3.A 4.A5．B [由图象知2T ＝2π，T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2.]6．D [若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2，(k ∈Z )．]7．B [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.]8．C [函数y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.]9．A [将y ＝sin(x －θ)向右平移π3个单位长度得到的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－θ＝sin(x －π3－θ)．其对称轴是x ＝π4，则π4－π3－θ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴θ＝－k π－7π12(k ∈Z )．当k ＝－1时，θ＝5π12.]10．D [图A 中函数的最大值小于2，故0<a <1，而其周期大于2π.故A 中图象可以是函数f (x )的图象．图B 中，函数的最大值大于2，故a 应大于1，其周期小于2π，故B 中图象可以是函数f (x )的图象．当a ＝0时，f (x )＝1，此时对应C 中图象，对于D 可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D 中图象不可能为函数f (x )的图象．]11．C [函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2＝sin x 2，x ∈[0,2π]，图象如图所示，直线y ＝12与该图象有两个交点．]12．D [∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7.2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin α>cos α. ∴a ＝sin 2π7>cos 2π7＝b .又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<tan α.∴c ＝tan 2π7>sin 2π7＝a .∴c >a .∴c >a >b .] 13.265解析 ∵α是第四象限的角且cos α＝15.∴sin α＝ －1－cos 2α＝－265，∴cos(α＋π2)＝－sin α＝265.14.23解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x 消去y 得6cos x ＝5tan x .整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)．点P 2的纵坐标y 2＝23，所以|P 1P 2|＝23.15．3解析 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知： T 2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝23π. ∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.16．(1)(4)解析 本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y ＝sin |x |是偶函数，作出y 轴右侧的图象，再关于y 轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f (x ＋π2)＝|－cos 2x ＋12|≠f (x )，∴π2不是函数的周期；(4)由于f (－π6)＝0，故根据对称中心的意义可知(－π6，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．17．解 (1)f (α)＝sin α－π23π2＋απ－α－α－π－π－α＝－π2－αα－tan α－tan αα＝cos αsin αtan α－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝15.∴sin α＝－15.∵α是第三象限角，∴cos α＝－265.∴f (α)＝－cos α＝265.18．解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611. 解得：tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 19．解 (1)由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±75.(2)sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，由(1)知sin αcos α＝－1225且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1225＝37125.20．解 (1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π6)＝π，故ω＝2πT ＝2.将点(π6，2)代入f (x )的解析式得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)变换过程如下：y ＝2sin x 6π−−−−−−−→图像向左平移个单位y ＝2sin(x ＋π6)12−−−−−−−−−→所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变y ＝2sin(2x ＋π6)． 21．解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π⇒T ＝10π，∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin(15x ＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(π5＋φ)＝3，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π2－π5＝3π10.∴y ＝3sin(15x ＋3π10)．(2)当2k π－π2≤15x ＋3π10≤2k π＋π2时，即10k π－4π≤x ≤10k π＋π时，原函数单调递增．∴原函数的单调递增区间为[10k π－4π，10k π＋π](k ∈Z )．(3)m 满足⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m ＋3≥0，－m 2＋4≥0，解得－1≤m ≤2. ∵－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4≤4，∴0≤－m 2＋2m ＋3≤2，同理0≤－m 2＋4≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有： A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)，只需要：－m 2＋2m ＋3>－m 2＋4，即m >12成立即可，所以存在m ∈(12，2]，使A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)成立．22．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放，∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，即12k －3<t <12k ＋3.①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。

《三角函数》测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.与457- 角终边相同的角的集合为（ ）A.{}360457,k k Z αα=⋅+∈B.{}36097,k k Z αα=⋅+∈ C.{}360263,k k Z αα=⋅+∈ D.{}360263,k k Z αα=⋅-∈ 2.若α是第一象限的角，则2α-在（ ）A.第一象限B.第一象限或第四象限C.第二象限或第三象限 D .第二象限或第四象限3.若点(,9)a 在函数3x y =的图像上，则tan 6a π的值为（ ）A.0B.33C.1D.34.已知函数sin 2xy =，则此函数是（ ）A.周期为4π的奇函数B.周期为2π的奇函数 C.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数5.函数sin 1()3x y =的单调递减区间为（ ）A.2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.[]2,2()k k k Z πππ-∈D.[]2,2()k k k Z πππ+∈6.若()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，且(2012)3f =，则(2013)f 的值为（ ） A.1B.1-C.2-D.3-7.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）A.向左平移4π个单位长度B.向右平移4π个单位长度C.向左平移2π个单位长度 D.向右平移2π个单位长度 8.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）9.如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，则ϕ的最小值为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π10.与函数tan(2)4y x π=+的图像不相交的一条直线是（ ）A.2x π=B.2x π=-C.4x π=D.8x π=11.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得到的图像与原图像重合，则ω的最小值为（ ） A.13B.3C.6D.9 12.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,ωπϕπ>-<<.若()f x 的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A.()f x 在区间[]2,0π-上是增函数B.()f x 在区间[]3,ππ--上是增函数C.()f x 在区间[]3,5ππ上是减函数D.()f x 在区间[]4,6ππ上是减函数二.填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.2013cot4π的值为 . 14.函数1()lg(sin )cos 2f x x x =+-的定义域为 （用区间表示）. 15.令tan1a =,tan 2b =,tan3c =,tan 4d =.则,,,a b c d 按由大到小的顺序排列为 .16.关于函数()sin(2)4f x x π=+，有下列说法：①其表达式可改写成()cos(2)4f x x π=+；②直线8x π=-是()f x 的一条对称轴；③()f x 的图像可由()sin 2g x x =的图像向右平移4π个单位长度得到； ④存在(0,)απ∈，使()(3)f x f x αα+=+恒成立. 请把你认为正确结论的序号填写在横线上 .三.解答题.（本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）17.已知函数2sin cos ,y x x x R =-∈，求该函数的值域.18.已知10sin cos 5θθ+=-，求11sin cos θθ+和tan θ的值.19.下图表示电流强度()I 安与时间()t 秒的关系式sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（1）根据图像计算sin()I A t ωϕ=+的解析式；（2）该图像可由cos I t =的图像经过怎样的变换得到？写出详细的变换步骤.20.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离()s cm 和时间()t s 的函数关系式为6sin(2)(0)6s t t ππ=+≥.（1）作出该函数的图像；（2）单摆开始摆动(0)t =时,离开平衡位置多少cm ； （3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少cm ； （4）单摆1s 内来回摆动多少次.21.已知函数1()sin(2)26f x x π=-.（1）求出()f x 的最小正周期和最值，及取得最值时x 的集合； （2）当[]0,x π∈时，求函数()f x 的单调递增区间.22.已知函数()sin(),(0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<其中的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为2(,2)3M π-.（1）求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.《三角函数》答案解析一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)CDDAA D B D A D CA二．填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.1 14.2,2()3k k k Z πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦15.a d c b >>> 16. ②④ 三．解答题.（本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）2222min max sin cos sin (1sin )sin sin 1sin ,11,(1)15,241,1514y x x x x x x t x t y t t t t y t y =-=--=+-=≤≤∴=+-≤≤∴=-=-==⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦17.解: 令则-1 -1 时 时 函数的值域为，222221018.sin cos 52(sin cos )12sin cos 53sin cos 1011sin cos 210sin cos sin cos 3sin cos 10sin cos 3tan 10,3tan 10tan 30tan 3tan 3tan θθθθθθθθθ+θθθθθθ+θθθθ+1θθθθ+=-∴+=+=∴=-∴+===-∴=-++=∴=- 解: 即 或13θ=-3211119.(1)300,()603005021001100()23002303300sin(100)3(2)cos sin s A T Tk k k I x I t I t I πππωππϕππϕππϕππ==--=∴==⨯-+=∴=+∴=∴=+=−−−−−−−→=−−−−−−−→= 向左平移个单位长度向右平移个单位长度解：由图知 时，可取1100300in()sin(100)33300sin(100)3x x x ππππππ+−−−−−−−−→+−−−−−−−−→+横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变20.解:(1)找出曲线上的六个特殊点，列表如下：t112- 016 51223 111226t ππ+0 6π 2π π32π 2πs36 0 6- 0图像如下：(2)0sin3()63.(3)66.1(4)1,111.t s cm cm A cm T f Ts π===∴=∴===∴ 时， 单摆开始摆动时，离开平衡位置 振幅 单摆摆到最右边时，离开平衡位置 单摆内来回摆动次max min 1121.(1)()sin(2)sin(2)26262222626226231,,621,,32(2)2f x x x T x k x k x k x k x x x k k Z y x x x k k Z y πππππππππππππππππππ=-=--∴==-=-+=-+-=+=+⎧⎫∴∈=-+∈=⎨⎬⎩⎭⎧⎫∈=+∈=-⎨⎬⎩⎭解: 由得 由得 当 当 由[][]3222625360,5()0,36k x k k x k x f x ππππππππππππ+≤-≤++≤≤+∈⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦得在上的单调递增区间为，(1)2,22222(,2)323223226026()2sin(2)6(2),12272,636A T TM k k f x x x x πππωπππϕππϕππϕπϕππππππ==⨯=∴==-∴⨯+=+∴=+<<∴=∴=+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 22.解:由题意得 图像过 又 []max min 2,()/262672,()/1662()1,2x x f x x x f x f x ππππππ∴+===+===-∴- 当即时， 当即时， 的值域为。

必修4三角函数综合测试题及答案详解一、选择题1 •下列说法中，正确的是（）A. 第二象限的角是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. —831 °是第二象限角D. —95° 20', 984° 40', 264° 40'是终边相同的角a n2.若点（a, 9）在函数y = 3x的图象上，贝U tang的值为（）A. 0B. -3 C . 1 D. 33g3 .若|cos g | = cos g , |tan g | = —tan B ,则㊁的终边在（）A. 第一、三象限B. 第二、四象限C•第一、三象限或x轴上D.第二、四象限或x轴上4 .如果函数f（x）= sin（n x + B ）（0< B <2n ）的最小正周期是T,且当x = 2时取得最大值，那么（）A. T= 2, n 十g= ~ B . T= 1, g = nC. T= 2,n g = n D . T= 1, g=5 .若sin—x =—于，且n<xv2n,则x 等于（）4 A.§n7 B・6nc.)小11 D.§n6 .已知a是实数，而函数f （x）= 1 + asin ax的图象不可能是（）7.将函数y = sin x的图象向左平移© (0 < © <2n )个单位长度后，得到yn=sin x-~6的图象，贝U ©=( )7n 11 n8.若tan 9 = 2,则2sin B —cosBsin 9 + 2cos 9的值为(A. 0B. 1D.5tan x9.函数f(x)= 的奇偶性是()1 + cosx ' /A. 奇函数B. 偶函数C•既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数10.函数f(x) = x —cosx 在(0,+x)内()A.没有零点B•有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点11 _ cosA = n 贝U igsin A 的值是( B. m- n 1D ・2(m- n)n12. 函数f (x) = 3sin 2x -空 的图象为C,n 5 n② 函数f (x )在区间—12,刁2内是增函数;n③由y 二3sin2x 的图象向右平移 ㊁个单位长度可以得到图象C,其中正确命 题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上)- n 1 n ,13. ___________________________________________________ 已知 sin a +~2 = 3， a € —-^, 0，则 tan a = ________________________________ .14. 函数y = 3cosx(0 <x <n )的图象与直线y = — 3及y 轴围成的图形的面 积为 ________ .15 .已知函数f (x) = sin( 3x + © )( 3 >0)的图象如图所示，贝U 3 =16. 给出下列命题:① 函数y = cos / +专 是奇函数;11.已知 A 为锐角,lg(1 + cosA) = m ig 1A. RH-①图象C 关于直线x =11n 12 对称;②存在实数x,使sinx + cosx = 2；③若a , B是第一象限角且a <B ,贝U tan a <tan B ;④ X = nn 是函数y = sin 2X + 5n 的一条对称轴;nn⑤ 函数y = sin 2X + -3的图象关于点12， 0成中心对称.其中正确命题的序号为 __________ . 三、解答题17. (10 分)已知方程 sin( a -3n ) = 2cos( a -4n ),n 32sinn —a 3n+ 5cos 2 n — a的18.a — sin（12 分）在^ ABC 中, sin A + cosA = _22求tan A 的值.19. （12 分）已知f（x）= sin 2X+6 + 2, x€ R.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)的单调减区间；(3) 函数f (x)的图象可以由函数y= sin2x(x € R的图象经过怎样变换得到？n20. (12 分)已知函数y = Asi n( ”+© )( A>0, co >0)的图象过点P^, 0 ,n图象与P点最近的一个最高点坐标为nn, 5 .(1)求函数解析式；⑵求函数的最大值，并写出相应的x的值;(3)求使y W0时，x的取值范围.21. （12 分）已知cos nn —a = 2cos 3 n+B , 3sin —an=—• 2s in — + B，且0< a <n, 0< B <n,求a , B 的值.22. (12 分)已知函数f(x) = x2+ 2xtan 9 —1, x € ［—1, 3］，其中n n-T , y.n(1)当9 =——时，求函数的最大值和最小值；⑵求9的取值范围，使y = f(x)在区间［—1, .3］上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数).必修4三角函数综合测试题答案可知 COS aM 0. sin a + 5cos a•原式—一2C0S a + Sin a—2cos a + 5cos a 3COS a——2cos a — 2cos a — — 4COS a — x/2 18 .解 I sin A + cosA =-^，①1两边平方，得2sinAcosA = — 2,n 从而知 cosAvO,'./ A € —, n••• si nA — cosA = ,： sin A + cosA 2— 4s in AcosA 由①②，得 sinA -cosA — — 6+，2,sin A厂、 选择题1. D;2.；3. D;4. A ;5.6.D 7. D ;8.C ; 9.A ; 10.11. D; 12. C二_ 填空题13. —2.2 1 4. 33n; 15.2；三、 解答题17. 解 T sin( a — 3 n ) — 2cos( a — 4• — sin(3 n 一 a ) — 2cos(4 n —a•• — sin( n- —a)—2cos( — a ).①④3 4. BB 16.n )• • sin a —•tanA二cosA—2- 3.小n21.解cos ——a = 2cos 3n+ B ,即sin a = 2sin B ①3sin 3n— a=—2sin ,即，3cos a = 2cos B ②22 2 2n19. 解(1)T=_y 二n.n n 3 n(2)由2k n + — <2x + — <2 k 冗+, k € Z,n , 2 n ,得k n + x < k n + , k € Z.6 3所以所求的单调减区间为, n , 2 nk 冗+石,k n+~^(k€ Z).n3⑶把y二sin2x的图象上所有点向左平移厉个单位，再向上平移3个单位，即得n3函数f (x) = sin 2x +石+ 2的图象.T n n n20. 解(1)由题意知4="3—12="4，••• T=n.2 n . n /口n —"•①=~T = 2，由3 • 12+ © = 0，得© = —"6，又A= 5，n•y = 5sin 2x —百.n n⑵函数的最大值为5,此时2x —石=2k n+ y(k € Z).・ n .•x = k n+"3(k € Z).n ■n . .(3) - 5sin 2x —< 0,・• 2k n — n<2 x —<2 k n( k € Z)., 5 n , n ,• k n-在 < x< k n+/(k € Z).9=-_6 时， 2 2 ； 3 , 3 2 4 =x -亍-1= x -§ - v x € [ - 1, .3],二当 x = f 时，f(x)的最小值为一3 ,⑵f (x) = (x + tan 9 )2-1-tan 2 9是关于x 的二次函数.它的图象的对称轴为x =—tan 9 .又 v a € (0 ,n ) , — a n、 =N , 或 a 3 =—n 4n ■n f, 当 a ==时，COS a 4€ (0 ,n ), 5 n ，宀「 :B = -y.综上， ~6，或a 3n ， 5 n B =〒 22. f(x) 当x =- 1时，f(x)的最大值为 2,3 3 . ¥，COS ⑵ cos B COS a =当v y= f(x)在区间［-1, 3］上是单调函数,/• —tan 9 <—1,或一tan 9 > _ 3,即卩tan 9 > 1,或tan 9<-,3.nnn，二9的取值范围是n n 2，一3。

章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－6，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵－2π<－6<－3π2， ∴角α在第一象限，故选A ． 【答案】 A2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由条件可知，tan α<0且cos α<0， ∴α是第二象限角． 【答案】 B3．已知角α的终边经过点(3a ，－4a )(a <0)，则sin α＋cos α等于( ) A ．15 B ．75 C ．－15D ．－75【解析】 r ＝a2＋－4a2＝－5a ，∴sin a ＝－4a －5a ＝45，cos a ＝3a －5a ＝－35，∴sin a ＋cos a ＝45－35＝15.【答案】 A4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )【导学号：66470036】A ．π3B ．1 C.2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ，所以圆心角α＝l r＝1. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，则下列不等式中正确的是( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (1)<f (3)【解析】 ∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，∴f (1)＝3sin 5π6＝32， f (2)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－3sin π3＝－332， f (3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋π3＝－3cos π3＝－32.∴f (2)<f (3)<f (1)． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f (x )的解析式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4 【解析】 由图像知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋π2＝4π，∴ω＝2π4π＝12.∵函数在x ＝－π2时取到最大值，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝π2，即φ＝34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34π. 【答案】 B7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2所示，则( )图2A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)， 代入点⎝⎛⎭⎪⎫π3，1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.【答案】 D8．(2016·宿州高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4且x ≠0，∴π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2，即π2－x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2时，y ≥1；当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1，∴函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【答案】 B9．(2016·蜀山高一检测)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13 B ．3 C ．6D ．9【解析】 由题可知π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 【答案】 C10．(2016·合肥高一检测)函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0【解析】 函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图像，它的一个对称中心是(π，0)． 【答案】 B11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数【解析】 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ， 所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图像知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D.【答案】 D12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列说法正确的是( )A ．该函数值域为[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当π＋2k π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0【解析】 画出函数y ＝f (x )图像如图：由图像可知，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，A 错；当x ＝2k π或x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，f (x )取最大值1，B 错；周期T ＝5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝2π，C 错．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π14．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为________.【导学号：66470037】【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2， ∴f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上为增函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3ω＝2，∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 3415．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 16．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．【解析】 由题意得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3 ＝2sin ωx (ω>0)．∵y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上递增，且ω>0，∴－ω6π≤ωx ≤ωπ4且有⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ω6π，ωπ4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ω6π≥－π2，ω4π≤π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤3，ω≤2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角x 的终边过点P (1，3)．求：(1)sin(π－x )－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的值；(2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2，∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.20．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．图3(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【解】 (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2·π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．【解】 (1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)列表：(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝95⇒cos α＝35.22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C 到25°C 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C，当x ＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C，所以最大温差为30 °C－10°C＝20°C.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x ＝343.故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．。

章末综合测试一 三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－25π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( ) A ．90°－α B ．90°＋α C ．360°－α D ．180°＋α3．为了得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈R 的图像，只需把曲线y ＝cos x 上所有的点( )A ．向上平移π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向下平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度4．已知扇形OAB 的圆心角为4 rad ，面积为8，则该扇形的周长为( ) A ．12 B ．10 C ．8 2 D ．4 25．已知角α的终边过点(12，－5)，则sin α＋12cos α＝( )A ．－113 B.113 C.112 D ．－1126．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π4x ，x >0f x ＋2，x ≤0，则f (－5)的值为( )A ．0 B.22C ．1 D. 2 7．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4，c ＝sin 25π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．a >c >b8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 9．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π310.已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫M >0，ω>0，|φ|<π2在半个周期内的图像如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－m2在[0，π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3，2]B ．[3，2)C ．(－3，2]D ．[3，2]12．某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (单位：元/平方米)与第x 季度之间近似满足关系式：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0). x 一 二 y10 0009 500则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000 B ．9 500 C ．9 000 D ．8 500第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.终边落在如图所示的阴影部分(包括边界)的角α的集合是________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________________．15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________.16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )，有下列命题：①y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43π为偶函数 ②要得到函数g (x )＝－4sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像向右平移π3个单位长度 ③y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π12对称 ④y ＝f (x )在[0,2π]内的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，2π.其中真命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2x ＋y ＝0(x ≥0)上．(1)求2sin α＋cos α的值；(2)求1＋2sin π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin 2α－cos 2α的值．18．(10分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．19．(12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)，其中0<φ<π，x ∈R ，其图像经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12. (1)求f (x )的解析式；(2)作出函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的简图，并指出函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的单调递减区间．20.(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的部分图像如图所示，且f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式，并写出它的单调递增区间．21．(12分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系式：f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？22．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图像两相邻对称轴之间的距离是π2. 若将f (x )的图像先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数g (x )为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围．章末综合测试一 三角函数1．解析：∵－25π6＝－4π－π6，∴－25π6的终边和角－π6的终边相同，∴－25π6是第四象限角．故选D.答案：D2．解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，∴360°－α为第四象限角，故选C.答案：C3．解析：将曲线y ＝cos x 上所有的点向右平移π3个单位长度得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像. 故选D.答案：D4．解析：设扇形的半径为r ，因为扇形OAB 的圆心角为4 rad ，所以根据扇形的面积公式可得S ＝12×4 r 2＝8，解得r ＝2，所以扇形的周长是2r ＋r ×4＝12，故选A.答案：A5．解析：点(12，－5)到原点的距离r ＝122＋－52＝13，结合三角函数的定义可知sin α＝－5r ＝－513， cos α＝12r ＝1213，则sin α＋12cos α＝－513＋12×1213＝113. 故选B.答案：B6．解析：由题意得f (－5)＝f (－3)＝f (－1)＝f (1)＝sin π4＝22，故选B.答案：B7．解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33，b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＝cos 23π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin 25π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32，所以c >b >a ，故选C. 答案：C8．解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1 ＝－13.故选B.答案：B9．解析：∵f (x )是偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z ). 又φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2. 故选C.答案：C10．解析：由图像知M ＝2. 设函数f (x )的最小正周期为T ，则14T ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，可知T ＝2π，ω＝2πT ＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故选A.答案：A 11.解析：由f (x )＝0得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝m 2，作出函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在[0，π]上的图像，如图．由图像可知当x ＝0时，g (0)＝sin π3＝32，函数g (x )的最大值为1，所以要使g (x )在[0，π]上有两个零点，则32≤m2<1，即3≤m <2.故选B. 答案：B12．解析：把x ＝1，y ＝10 000及x ＝2，y ＝9 500分别代入y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，得sin(ω＋φ)＝1，sin(2ω＋φ)＝0. ∵ω>0，∴设ω＋φ＝2k 1π＋π2，k 1∈N,2ω＋φ＝2k 2π＋π，k 2∈N ，k 2≥k 1或2ω＋φ＝2k 3π，k 3∈N ，k 3>k 1. 则ω＝2(k 2－k 1)π＋π2或ω＝2(k 3－1－k 1)π＋32π，k 1，k 2，k 3∈N ，k 2≥k 1，k 3>k 1. ∴3ω＋φ＝2(2k 2－k 1)π＋32π或3ω＋φ＝2(2k 3－1－k 1)π＋32π，k 1，k 2，k 3∈N ，k 2≥k 1，k 3>k 1，∴sin(3ω＋φ)＝－1.∴y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500＝9 000. 故此楼盘在第三季度的平均单价大约是9 000元/平方米．故选C.答案：C13．解析：在－90°～90°范围内，阴影部分表示的角的范围是－40°≤α≤50°，所以终边落在阴影部分的角α的集合是{α|－40°＋k ·360°≤α≤50°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|－40°＋k ·360°≤α≤50°＋k ·360°，k ∈Z }14．解析：由题意，知2sin x －1≥0，即sin x ≥12，结合正弦函数的图像与性质有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 15．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225，由0<α<π4，可得0<sin α<cos α，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝1225sin 2 α＋cos 2 α＝1，可得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4516．解析：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43π＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋83π－π3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋73π，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43π不是偶函数，所以①错误；②把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数f 1(x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－π3＝4sin(2x －π)＝－4sin 2x ＝g (x )的图像，所以②正确；③当x ＝－π12时，f (x )取得最小值，所以③正确；④由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，代入k ＝0,1，可知④错误．所以真命题为②③. 答案：②③17．解析：(1)因为角α的终边在射线2x ＋y ＝0(x ≥0)上，所以可设终边上一点P (a ，－2a )(a >0)，则tan α＝－2，sin α＝－255， cos α＝55，所以2sin α＋cos α＝－355. (2)1＋2sin π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin 2α－cos 2α＝1－2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝sin α－cos αsin α＋cos α ＝tan α－1tan α＋1， 因为tan α＝－2，所以原式＝－2－1－2＋1＝3.18．解析：(1)f (x )的最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π.由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以f (x )max ＝2，此时2x －π4＝0，即x ＝π8；f (x )min ＝－1，此时2x －π4＝3π4，即x＝π2. 19．解析：(1)∵函数f (x )的图像经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12，∵0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)x 0 π2 π 3π22π1－2cos x －1 1 3 1 －1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，由图像可知函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的单调递减区间为[π，2π]．20．解析：(1)由题意知，函数图像的一条对称轴为直线x ＝0＋5π62＝5π12，则T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝π. 所以函数f (x )的最小正周期是π.(2)由图可知，A ＝2. 因为T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝－1.所以5π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－4π3，k ∈Z .因为0<φ<2π，所以φ＝2π3.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 由2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 21．解析：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1，故当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天的最大温差为12－8＝4 (℃)．(2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温，由10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，所以7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18，故在10时至18时实验室需要降温．22．解析：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3.(2)对称轴：直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π (k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )． (3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1fx －1＋f (x )－1≤－433，故m ≤－1－332， 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与角－π6的终边相同的角是( )A.5π6 B.π3 C.11π6D.2π3解析：选C.与角－π6的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.2．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k 2π＋3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k 2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k2π，k ∈Z 解析：选C.令2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k 2π＋π8，k ∈Z ，所以函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z . 3．已知sin(π＋α)＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．－13B.13 C ．－33D.33解析：选B.由sin(π＋α)＝－sin α＝13，得sin α＝－13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝13，故选B.4．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B.32C ．－12＋ 3D.12＋ 3 解析：选B.sin 600°＝sin (360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 5．已知函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)，则( ) A ．当φ＝－π4时，f (x )为奇函数B ．当φ＝0时，f (x )为偶函数C ．当φ＝－π2时，f (x )为奇函数D ．当φ＝－π时，f (x )为偶函数解析：选C.对于A ，f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，则f (x )是偶函数，A 错误；对于B ，f (x )＝sin 2(x －0)＝sin 2x ，则f (x )是奇函数，B 错误；对于C ，f (x )＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin(2x －π)＝－sin 2x ，则f (x )是奇函数，C 正确；对于D ，f (x )＝sin 2(x －π)＝sin(2x －2π)＝sin 2x ，则f (x )是奇函数，D 错误．故选C.6．已知1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝－3，则tan θ＝( ) A ．－1 B ．－1或2 C ．1或－2D ．2解析：选D.由1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝－3， 可得sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝tan 2θ＋1＋2tan θ1－tan 2θ＝－3，解得tan θ＝2.故选D.7．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：选A.将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象，故x ＝－π2是所得图象的一条对称轴方程．8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－8解析：选 D.由题意可得(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝54，故sin αcos α＝－18，切化弦可得tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α＝－8.9．若将函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选A.将函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝12sin(2x ＋π)＝－12sin 2x 的图象，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，因此函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )，故选A.10．函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( ) A ．f (φ)＝2 B.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心C ．φ＝π3D ．x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴解析：选A.由f (0)＝1且0<φ<π2，可得φ＝π6，故选项C 错误；可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把x ＝φ＝π6代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得f (φ)＝2，选项A 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f (x )取得最大值，选项B 错误；而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1，非最值，选项D 错误，故选A.11．将函数y ＝sin(x ＋φ)(0<φ<π)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向左平移π3个单位，可以得到一个奇函数的图象，则φ的值为( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：选A.由图象变换得所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋φ，由该函数是奇函数得sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝0，所以φ＋π6＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )．又0<φ<π，所以φ＝5π6，故选A.12．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)的值等于( )A.22B. 2C.2＋2D ．1解析：选C.由图象知T ＝2×(6－2)＝8，A ＝2. 由T ＝8＝2πω⇒ω＝π4，又当x ＝2时，f (2)＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝2，则π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝2k π(k ∈Z )，取φ＝0， 因此f (x )＝2sin π4x .所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)＝f (1)＋f (2)＋2×0＝2＋2，故选C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________cm. 解析：因为圆心角α＝54°＝3π10，所以l ＝|α|·r ＝6π，所以周长为(6π＋40)cm. 答案：6π＋4014．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则f (x )的值域为________．解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，所以3<2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤2，所以f (x )∈(3，2]． 答案：(3，2]15．若f (x ＋2)＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0，lg （－x ），x <0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2·f (－98)＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2＝tan π4＝1，f (－98)＝f (－100＋2)＝lg 100＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2·f (－98)＝2.答案：216．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值为________．解析：因为0≤x ≤2，所以π4≤ωx ＋π4≤2ω＋π4，要使函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得2ω＋π4≥92π，解得ω≥178π，即ω的最小值为178π.答案：178π三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝55，且α是第一象限角．(1)求cos(3π－α)的值；(2)求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （π－α）的值．解：(1)由cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝55，得sin α＝55. 因为α是第一象限角，所以cos α>0. 因为sin α＝55，所以cos(3π－α)＝－cos α ＝－1－sin 2α＝－255.(2)因为tan α＝sin αcos α＝12，所以tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （π－α）＝tan α＋－cos α－cos α＝tan α＋1＝32.18．(本小题满分12分)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2x ＋y ＝0(x ≥0)上．(1)求2sin α＋cos α的值；(2)求1＋2sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin 2α－cos 2α的值．解：(1)由于角α终边在射线2x ＋y ＝0(x ≥0)上，可设终边上一点P (a ，－2a )(a >0)，则tan α＝－2，sin α＝－255，cos α＝55，此时2sin α＋cos α＝－355.(2)1＋2sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin 2α－cos 2α＝1－2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1，由(1)知tan α＝－2，所以原式＝－2－1－2＋1＝3.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上的值域．解：(1)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6的最小正周期为π，得2π|2ω|＝π，因为ω>0，所以ω＝1，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)由0≤x ≤5π12得－π6≤2x －π6≤2π3，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，因此－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤2， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上的值域为[－1，2]． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标差的绝对值是3π，且图象过点(0，1)，求：(1)函数f (x )的解析式；(2)函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，0上的最值．解：(1)因为T 2＝3π，所以T ＝6π，所以ω＝2πT ＝2π6π＝13.由题意，知A ＝2，则f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.又图象过点(0，1)，所以2cos φ＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3.(2)因为－3π2≤x ≤0，所以－π6≤13x ＋π3≤π3，所以当13x ＋π3＝0，即x ＝－π时f (x )max ＝2；当13x ＋π3＝π3，即x ＝0时，f (x )min ＝1. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在[0，π]上取得最小值时对应的角为θ，求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积．解：(1)因为A >0，所以A ＝2，又周期T 满足T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4，ω>0，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2.当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)因为函数f (x )的周期为π，所以f (x )在[0，π]上的最小值为－2， 由题意，角θ(0≤θ≤π)满足f (θ)＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－1，解得θ＝2π3， 所以半径为2，圆心角为θ的扇形面积S ＝12θr 2＝12×2π3×4＝4π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2π＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3.又k >0，所以k ＝3. 令t ＝3x －π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π 3)上恰好有两个不同的解时，实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。

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第1章三角函数（A）(时间：120分钟满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分)1．sin 600°＋tan 240°的值是________．2．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________cm。

3．已知点P错误!落在角θ的终边上，且θ∈［0,2π），则θ的值为________．4．已知tan α＝错误!,α∈错误!,则cos α的值是________．5．已知sin（2π－α）＝错误!，α∈(错误!，2π)，则错误!＝________。

6．已知a是实数，则函数f（x)＝1＋a sin ax的图象可能是________．（填图象对应的序号)7．为了得到函数y＝sin错误!的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象向________平移______个单位长度得到．（答案不唯一)8．若点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π)内α的取值范围是________．9．方程sin πx＝错误!x的解的个数是________．10．已知函数f(x）＝2sin（ωx＋φ)的图象如图所示，则f(错误!）＝________。

11．已知函数y＝sin错误!在区间［0,t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．12．已知函数y＝2sin(ωx＋θ）（0〈θ<π)为偶函数,其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若｜x2－x1｜的最小值为π，则ω＝________，θ＝________。