83全微分61205

其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
A f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， x By 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
而 f ( x, y ) 在点 (0,0) 可微 .
证: 利用定义有： f x (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
当( x, y ) (0,0)时 , f x ( x, y )
sin 1 x y
2 2

x y (x y )
2 2 3
2
( x , x ) ( 0, 0 )
z z 的偏导数 , x y 在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分.
定理2 (充分条件)若函数
重要关系:
函数连续
函数可微 偏导数连续
函数可导
例1. 计算函数 z ye x y , 解: x
在点 (2,1) 处的全微分. z xe x y y
z e2 , x (2,1)
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y )在点 M 处的切线 是曲线 0 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
z 2e 2 y (2,1)
例2. 计算函数 解: d u
1 cos y (2 2
的全微分.

习惯上，全微 分记为：
z z dz dx dy x y
【叠加原理】
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通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和, 称为二元函数的微分符合叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数：
若u f ( x, y, z), 则
2 (数 u x sin e yz 的全微分. 2
解
u 1; x
u 1 y yz cos ze ; y 2 2
所求全微分
u yz ye . z
1 y yz yz du dx ( cos ze )dy ye dz . 2 2
A,B是什么呢？
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*
函数若在某区域 D 内各点处都可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
定理： 如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可 微分, 则函数在该点连续. 可微 ==> 连续，反之不可
证明：设z=f(x,y)在点（x,y）处可微，由定义得
z Ax By o( ),
lim z 0,
0
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ] f ( x , y )
dy A( x ) dx
dy dy x f '( x)x dx
dy f '( x)dx
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一、全微分的定义

第三节 全微分
一、全微分
1.全微分的定义 实例 设有一圆柱体,受压后发生变形,它的底面半径 由 r 变化到r r ,高由 h 变化到h h ,试问圆柱体的体积 改变了多少？ 圆柱体的体积V πr2h 的改变量 V V (r r, h h) V (r, h) π(r+r)2 (r h) πr2h
定理 1 如果函数z f (x, y) 在点(x, y)处可微,则它在
点(x, y)处连续,且两个偏导数z 和 z 都存在，并有计算 x y
公式
dz z x z y. x y
证 （1）按可微的定义, 有
z Ax By () ,
故
lim z lim f (x x, y y) f (x, y) 0,
其中 A、B 仅与 x、y 有关,与x 、y 无关, ( ) 是当 Vx2 Vy2 0 时,比 高阶的无穷小,那么称函数
z f (x, y) 在点 (x, y) 处可微, Ax By 称为z f (x, y) 在点(x, y)处的全微分,记作 dz,
即 dz Ax By .
2.全微分的计算公式
du u dx u dy u dz. x y z
例例12 求函数z x 在点(2,1) 处的全微分.
解 因为
z x
y
|x2
y1
1 y
|x2
y y2
|x2
y1
2,
所以
dz |x2 dx 2dy.
y1
例23 求函数z xy2 tan(2x y) 的全微分.
穷小，关于r 和h的线性部分称为函数 V 的全微分.
定义 设函数z f (x, y) 在点(x, y)的某个邻域内有定
义,点(x x, y y) 在该邻域内.如果函数z f (x, y) 在

微积分
谢谢
THANK YOU
二元函数
x 对 和对y的偏微
增量
分
微积分
经济数学
全增量的概念
内有如定果义函，数并？设=P(f(xx,y)+在A点xP(,xy,y)的+某A邻F域)
畐这邻域内 的任意一点，则称这两点的函数
值之差
+ Ap) f(x + P Ax, 为函数在点 对应于自变量增量
一 f (x^y)
AF的
全增 量，记为
艮卩 Az=f(x+y+Av)—f(x^ T)・
微积分
经济数学
全微分的定义
(A以 其 x(点 称 的x,Ax表中畐(全,8p,x示4函如微y)有,为数果分j)2y关8z函,，A的)不，数z记+全可依p=z则为增微赖d称=zdA量=分f于==(函Azp，xAAA数,A,)x^Ay/z/xx7)即+/在(A,+-B(点xA=x颂=BAyA(,.而fyxxjf+f仅(+)((,x)xx与,o2,j在y(B+y)p))点可)颂+在,
全微分定义
3 第八章多元函数微分
学 第 节全微分及 其应用
主讲 韩华
= 复习设函数y
f (x)在某区间内有定
+ A 义, x0及x0
x在这区间内，如果
A = + A y
f (x 0
x) 一 f (x
= -A + A 0) A
x
o( x) 成立(其
A 中A是与 x无关的常数)，则称函数 y =
-A A f记y (作=x)df在y (点xx=x)0x或在0可d点f 微(xx00，)相,并即应且d于y称自x=Ax变0 =量A增x-为Ax量.函数x的微分,