第六篇 多元微积分学第九章 多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.第1节 多元函数的基本概念平面点集为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域．1.1.1 邻域设000(,)P x y 是xOy 平面上的一定点，δ是某一正数，与点000(,)P x y 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点000(,)P x y 的δ邻域，记为0(,)δU P ，即{}00(,)U P P P P δδ=<,亦即 {}0(,)(,U P x y δδ=<． 0(,)δU P 在几何上表示以000(,)P x y 为中心，δ为半径的圆的内部(不含圆周)． 上述邻域0(,)δU P 去掉中心000(,)P x y 后，称为000(,)P x y 的去心邻域，记作o0(,)U P δ． {}o0(,)(,)0U P x y δδ=<<.如果不需要强调邻域的半径δ，则用0()U P 表示点000(,)P x y 的邻域，用o 0()U P 表示000(,)P x y 的去心邻域．1.1.2 区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系．设E 是xOy 平面上的一个点集，P 是xOy 平面上的一点，则P 与E 的关系有以下三种情形：(1) 内点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()⊂U P E ，则称点P 为E 的内点．(2) 外点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()=∅U P E ，则称P 为E 的外点．(3) 边界点：如果在点P 的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边界，记作∂E ．例如：点集(){}221,|01=<+<E x y x y ，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是1E 的内点，圆外部的点都是1E 的外点，圆心及圆周上的点为1E 的边界点；又如平面点集(){}2,|1=+≥E x y x y ，直线上方的点都是2E 的内点，直线下方的点都是2E 的外点，直线上的点都是2E 的边界点(图9—1)．图9—1显然，点集E 的内点一定属于E ；点集E 的外点一定不属于E ；E 的边界点可能属于E ，也可能不属于E ．如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集，点集(){}221,|01=<+<E x y x y 是开集，(){}2,|1=+≥E x y x y 不是开集．设E 是开集，如果对于E 中的任何两点，都可用完全含于E 的折线连接起来，则称开集E 是连通集(图9—2) ．点集E 1和E 2都是连通的，点集(){}3,|0=>E x y xy 不是连通的(图9—2)．图9—2连通的开集称为开区域(开域)．从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E 1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．开区域E 连同它的边界E ∂构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E (即=E E E +∂)． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E 2及(){}224,|1=+≤E x y x y 都是闭域，而(){}225,|12=≤+<E x y x y 既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包含边界的平面点集．本书把开区域与闭区域统称为区域．如果区域E 可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数r ，使(),E U O r ⊂，则称E 为有界区域，否则，称E 为无界区域．例如E 1是有界区域，E 2是无界区域．记E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点．如果点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点．显然，E 的内点一定是E 的聚点，此外，E 的边界点也可能是E 的聚点．例如，设(){}226,|01=<+≤E x y x y ，那么点()0,0既是6E 的边界点又是6E 的聚点，但6E 的这个聚点不属于6E ；又如，圆周221x y +=上的每个点既是6E 的边界点，也是6E 的聚点，而这些聚点都属于6E ．由此可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．再如点()7111111=1,1(,)(,),,(),2233，，E n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，原点()0,0是它的聚点，7E 中的每一个点都不是聚点．1.1.3 n 维空间R n一般地，由n 元有序实数组()12,,,n x x x 的全体组成的集合称为n 维空间，记作R n ．即 (){}12,,,|,1,2,,n n i R x x x x R i n =∈=． n 元有序数组()12,,,n x x x 称为n 维空间中的一个点，数x i 称为该点的第i 个坐标．类似地规定，n 维空间中任意两点()12,,,n P x x x 与()12,,,n Q x x x 之间的距离为PQ =前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n 维空间中去，例如，0∈n P R ，δ是某一正数，则点0P 的δ邻域为(){}00|,,n U P P PP P R δδ=<∈．以邻域为基础，还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等一系列概念．多元函数的概念1.2.1 n 元函数的定义定义1 设D 是n R 中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f , 使得对于D 中的每一个点()12,,,n P x x x ，都能由f 唯一地确定一个实数y ，则称f 为定义在D 上的n 元函数，记为 ()()1212,,,,,,,n n y f x x x x x x D =∈． 其中12,,,n x x x 叫做自变量，y 叫做因变量，点集D 叫做函数的定义域，常记作()D f ．取定()12,,,n x x x D ∈，对应的()12,,,n f x x x 叫做()12,,,n x x x 所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f 的值域，常记为()f D ［或()R f ］，即()()()(){}1212|,,,,,,,n n f D y y f x x x x x x D f ==∈．当n =1时，D 为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作(),,y f x x D D R =∈⊂；当n =2时，D 为xOy 平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作()()2,,,,z f x y x y D D R =∈⊂，若记(),P x y =，则也记作()z f P =．二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域．例1 在生产中，设产量Y 与投入资金K 和劳动力L 之间的关系为Y AK L αβ=（其中,,A αβ均为正常数)．这是以K ，L 为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数．该函数的定义域为(){},|0,0K L K L >>．例2 求函数()22ln 1xz y x x y =-+--的定义域D ，并画出D 的图形．解 要使函数的解析式有意义，必须满足220,0,10,y x x x y ->⎧⎪≥⎨⎪-->⎩即(){}22,|0,,1D x y x x y x y =≥<+<,如图9—3划斜线的部分．图9—3 图9—41.2.2. 二元函数的几何表示 设函数(),=z f x y 的定义域为平面区域D ，对于D 中的任意一点(),P x y ，对应一确定的函数值()(),=z z f x y ．这样便得到一个三元有序数组(),,x y z ，相应地在空间可得到一点(),,M x y z ．当点P 在D 内变动时，相应的点M 就在空间中变动，当点P 取遍整个定义域D 时，点M 就在空间描绘出一张曲面S (图9—4)．其中 ()()(){},,|,,,S x y z z f x y x y D ==∈．而函数的定义域D 就是曲面S 在xO y 面上的投影区域．例如z ax by c =++表示一平面；z =表示球心在原点，半径为1的上半球面．二元函数的极限二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广．二元函数的极限可表述为定义1 设二元函数()z f P =的定义域是某平面区域D ，P 0为D 的一个聚点，当D 中的点P 以任何方式无限趋于Ｐ0时，函数值f (P )无限趋于某一常数A ，则称A 是函数()f P 当P 趋于P 0时的(二重)极限．记为0lim ()P P f P A →=或()0()f P A P P →→，此时也称当0→P P 时()f P 的极限存在， 否则称()f P 的极限不存在．若0P 点的坐标为00(,)x y ，P 点的坐标为(),x y ，则上式又可写为()()00,lim (,),→=x y x y f x y A 或 f (x , y )→A （x →x ０，y →y ０）． 类似于一元函数，()f P 无限趋于A 可用()f P A ε-<来刻画，点(),P P x y =无限趋于0000(,)P P x y =可用0P P δ=<刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义．定义2 设二元函数()(,)z f P f x y ==的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数ε，不论ε多小，总存在0δ>，当(,)P x y D ∈，且0P P δ=时，总有(),f P A ε-<则称A 为()z f P =当0P P →时的(二重)极限．注 ①定义中要求0P 是定义域D 的聚点，是为了保证在P 0的任何邻域内都有D 中的点． ②注意到平面上的点P 趋近于0P 的方式可以多种多样：P 可以从四面八方趋于0P ，也可以沿曲线或点列趋于0P ．定义1指出：只有当P 以任何方式趋近于0P ，相应的()f P 都趋近于同一常数A 时，才称A 为()f P 当0P P →时的极限．如果(,)P x y 以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于000(,)P x y 时，即使函数值()f P 趋于同一常数A ，我们也不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，当P 在D 内沿不同的路径趋于0P 时，()f P 趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在．③二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述．例3 设222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩判断极限()(),0,0lim (,)→x y f x y 是否存在 解 当(,)P x y 沿x 轴趋于(0,0)时，有y =0，于是()()22,0,0000lim (,)lim 00→→===+x y x y f x y x ； 当(,)P x y 沿y 轴趋于(0,0)时，有x =0，于是()()22,0,0000lim (,)lim 00→→===+x y y x f x y y ． 但不能因为(,)P x y 以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在．因为当(,)P x y 沿直线()0=≠y kx k )趋于(0,0)时，有()()2222,0,00lim (,)lim (1)1→→===++x y x y kx kx k f x y k x k ， 这个极限值随k 不同而变化，故()(),0,0lim (,)→x y f x y 不存在．例4 求下列函数的极限：(1) ()(,0,0lim →x y (2) ()()222,0,0lim →+x y xy x y ； (3)()(,0,0ln 1lim →+x y xy 解(1)()()()(()(,0,0,0,0,0,01lim lim lim 4→→→==-=-x y x y x y ． (2)当0,0→→x y 时，220x y +≠，有222x y xy +≥． 这时，函数22xy x y +有界，而y 是当x →0且y →0时的无穷小，根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，得()()222,0,0lim 0→=+x y xy x y ． (3) ()(()(()(,0,0,0,0,0,0ln 1lim lim lim 1→→→+===x y x y x y xy ．从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同．二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性． 定义3 设二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义，如果()()()00,0,0lim .(,)→=x y f x y f x y ,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，000(,)P x y 称为(,)f x y 的连续点；否则称(,)f x y 在000(,)P x y 处间断(不连续)，000(,)P x y 称为(,)f x y 的间断点．与一元函数相仿，二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续，必须满足三个条件：①函数在点000(,)P x y 有定义；②函数在000(,)P x y 处的极限存在；③函数在000(,)P x y 处的极限与000(,)P x y 处的函数值相等，只要三条中有一条不满足，函数在000(,)P x y 处就不连续．由例3可知，222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)处间断；函数1z x y =+在直线0x y +=上每一点处间断．如果(,)f x y 在平面区域D 内每一点处都连续，则称(,)f x y 在区域D 内连续，也称(,)f x y 是D 内的连续函数，记为()(,)f x y C D ∈．在区域D 上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面．一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用，故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零)；二元连续函数的复合函数也是连续函数．与一元初等函数类似，二元初等函数是可用含,x y 的一个解析式所表示的函数，而这个式子是由常数、x 的基本初等函数、y 的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的，例如()sin x y +,22xy x y +,arcsin x y 等都是二元初等函数．二元初等函数在其定义域的区域内处处连续．与闭区间上一元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质．性质1(最值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必取得最大值与最小值．推论 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界．性质2 (介值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，M 和m 分别是(,)f x y 在D 上的最大值与最小值，则对于介于M 与m 之间的任意一个数C ，必存在一点00(,)x y D ∈,使得00(,)f x y C =．以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去．习题9—11．判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集并分别指出它们的聚点组成的点集和边界.(1) (){},|0,0≠≠x y x y ； (2) (){}22,|14<+≤x y x y ；(3) (){}2,|>x y y x ． 2．求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)z = (2)1ln()z x y =-；(3)=z(4)=u ．3．设函数()32,23f x y x xy y =-+，求(1)()2,3f -; (2)12,f x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) (),f x y x y +-. 4．讨论下列函数在点()0,0处的极限是否存在： (1) 24xy z x y =+； (2)x y z x y+=-． 5．求下列极限：(1) ()(),0,0sin lim→x y xy x ； (2)()()22,0,11lim →-+x y xy x y ； (3)()(,1,0ln lim →+y x y x e (4)()(),0,0lim →x y ．6．证明：二元函数()22220,,0,0.+≠=+=⎩x y f x y x y 在()0,0点连续．7．设二元函数()()11sin sin ,0,,0,0.⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y xy x y f x y xy ，试判断(),f x y 在点()0,0处的连续性．8．函数2222+=-y x z y x在何处是间断的第2节 偏导数与全微分偏导数的概念 2.1.1 偏导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念．由于二元函数的自变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率．在这一节，我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念．设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某邻域内有定义，x 在0x 有改变量()0x x ∆∆≠，而0y y =保持不变，这时函数的改变量为()()0000,,x z f x x y f x y ∆=+-，x z ∆称为函数(),f x y 在()00,x y 处关于x 的偏改变量(或偏增量)．类似地可定义(),f x y 关于y 的偏增量为()()0000,,y z f x y y f x y ∆=+-．有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义．定义1 设函数(),z f x y =在()00,x y 的某邻域内有定义，如果000000(,)(,)limlimx x x z f x x y f x y x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在，则称此极限值为函数(),z f x y =在()00,x y 处关于x 的偏导数,并称函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于x 可偏导．记作000000,,,(,).======∂∂∂∂x x x x y y y y x x xy y x zf z f x y xx类似地，可定义函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于自变量y 的偏导数为00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy∆→∆→∆+∆-=∆∆，记作000000,,,(,).======∂∂∂∂x x x x y y y y x x yy y y z f z f x y yy如果函数(),z f x y =在区域D 内每一点(),x y 处的偏导数都存在，即(,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x ∆→+∆-=∆(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆存在，则上述两个偏导数还是关于x ，y 的二元函数，分别称为z 对x ，y 的偏导函数(简称为偏导数)．并记作,,,(,)(,)或或或，∂∂∂∂∂∂∂∂x y x y z z f fz z f x y f x y x y x y． 不难看出，(),z f x y =在()00,x y 关于x 的偏导数00(,)x f x y 就是偏导函数(,)x f x y 在()00,x y 处的函数值，而00(,)y f x y 就是偏导函数(,)y f x y 在()00,x y 处的函数值．由于偏导数是将二元函数中的一个自变量固定不变，只让另一个自变量变化，相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极限；因此，求偏导数问题仍然是求一元函数的导数问题．求fx∂∂时，把y 看做常量，将(),z f x y =看做x 的一元函数对x 求导；求f y ∂∂时，把x看做常量，将(),z f x y =看做y 的一元函数对y 求导．三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了． 例1 求函数()sin +xyz x y e =在点()1,1-处的偏导数．解 将y 看成常量，对x 求导得e [cos()sin()]xy zx y y x y x∂=+++∂； 将x 看成常量，对y 求导得e [cos()sin()]xy zx y x x y y∂=+++∂． 再将1,1x y ==-代入上式得111111e ,e x x y y z z xy--===-=-∂∂==∂∂．例2 求函数22ln 4z x y y x =++的偏导数．解22z y xy x x∂=+∂，22ln zx y x y ∂=+∂． 例3 设()0,1yz xx x =>≠，求证：12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂． 证 因为1y zyx x-∂=∂，ln y z x x y ∂=∂，所以111ln 2ln ln y yy y x z z x yx x x x x z y x x y y x-∂∂+=+=+=∂∂． 例4 求函数()2sin x u x y e =+-的偏导数． 解 将y 和z 看做常量，对x 求导得()2cos z ux y e x∂=+-∂， 同样可得()22cos x u y x y e y ∂=+-∂，()2cos z z u e x y e z∂=-+-∂． 2.1.2 二元函数偏导数的几何意义由于偏导数实质上就是一元函数的导数，而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的斜率，因此，二元函数的偏导数也有类似的几何意义．设(),z f x y =在点()00,x y 处的偏导数存在，由于00(,)x f x y 就是一元函数()0,f x y 在0x 处的导数值，即00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故只须弄清楚一元函数()0,f x y 的几何意义，再根据一元函数的导数的几何意义，就可以得到00(,)x f x y 的几何意义．(),z f x y =在几何上表示一曲面，过点()00,x y 作平行于xz 面的平面0y y =，该平面与曲面(),z f x y =相截得到截线1Γ：0(,),.z f x y y y =⎧⎨=⎩若将0y y =代入第一个方程，得()0,z f x y =．可见截线Γ１是平面0y y =上一条平面曲线，1Γ在0y y =上的方程就是()0,z f x y =．从而00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1Γ在点()()000001,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对x 轴的斜率(图9-5)．同理，00(,)y f x y ＝00d (,)d y y f x y y =⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示平面0x x =与(),z f x y =的截线 2Γ：0(,),.z f x y x x =⎧⎨=⎩在()()000002,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对y 轴的斜率(图9—5)．图9—5例5 讨论函数222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处的两个偏导数是否存在．解 0(0,0)(0,0)(0,0)limx x f x f f x∆→+∆-=∆220(0)00(0)0lim 0x x x x ∆→+∆-+∆+==∆． 同样有(0,0)0=y f ．这表明(),f x y 在(0,0)处对x 和对y 的偏导数存在，即在(0,0)处两个偏导数都存在．由上节例3知：该函数在(0,0)处不连续．本例指出，对于二元函数而言，函数在某点的偏导数存在，不能保证函数在该点连续．但在一元函数中，我们有结论：可导必连续．这并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x 轴与y 轴方向的变化率，00(,)x f x y 存在，只能保证一元函数()0,f x y 在x 0处连续，即0y y =与(),z f x y =的截线1Γ在()0000,,M x y z 处连续．同时00(,)y f x y 只能保证2Γ在()0000,,M x y z 处连续，但两曲线1Γ,2Γ在()0000,,M x y z 处连续并不能保证曲面(),z f x y =在()0000,,M x y z 处连续．高阶偏导数设函数(),z f x y =在区域D 内具有偏导数zx∂∂=(,)x f x y ,(,)∂=∂y z f x y y ,那么在D 内(,)x f x y 及(,)y f x y 都是x , y 的二元函数．如果这两个函数的偏导数还存在，则称它们是函数(),z f x y =的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：22()(,)∂∂∂==∂∂∂xx z zf x y x x x，2()(,)∂∂∂==∂∂∂∂xy z z f x y y x x y ，2()(,)∂∂∂==∂∂∂∂yx z z f x y x y y x ，22()(,)∂∂∂==∂∂∂yy z zf x y y y y， 其中xy f (或12f '')与yx f (或21f '')称为(),f x y 的二阶混合偏导数．同样可定义三阶，四阶，…，n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．例6 求函数2sin =+z xy x y 的所有二阶偏导数和32zy x ∂∂∂．解 因为z x∂∂=y +2x sin y , z y ∂∂=x +x 2cos y ,所以 22zx∂∂=2sin y , 2z x y ∂∂∂＝1＋2x cos y ,2z y x ∂∂∂=1+2x cos y , 22z y ∂∂=x 2sin y ， 322cos zy y x∂=∂∂． 从本例我们看到22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂,即两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然． 事实上，有如下定理．定理1 如果函数(),z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂在区域D 内连续，则在该区域内有22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂． 定理1表明：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.对于二元以上的函数，也可以类似的定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关．例7 验证函数22ln z x y =+满足方程22220z zx y∂∂+=∂∂．解 ()22221ln ln 2z x y x y =+=+ 所以2222,,z x z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+ ()()()2222222222222x y x x z y x x x y x y +-⋅∂-==∂++， ()()()2222222222222x y y y z x y y x y x y +-⋅∂-==∂++， 故()()222222222222220z z y x x y x y x y x y ∂∂--+=+=∂∂++． 全微分2.3.1 全微分的概念我们知道，一元函数()y f x =如果可微，则函数的增量Δ y 可用自变量的增量Δx 的线性函数近似求得．在实际问题中，我们会遇到求二元函数(),z f x y =的全增量的问题，一般说来，计算二元函数的全增量Δ z 更为复杂，为了能像一元函数一样，用自变量的增量Δx 与Δ y 的线性函数近似代替全增量，我们引入二元函数的全微分的概念．定义2 设函数(),z f x y =在()000,P x y 的某邻域内有定义，如果函数z 在0P 处的全增量()()0000,,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示成()+ρ∆=∆+∆z A x B y o ，其中A ，B 是与Δx ，Δy 无关，仅与00,x y 有关的常数，ρo （ρ）表示当Δx →0，Δy →0时关于ρ的高阶无穷小量，则称函数(),z f x y =在()000,P x y 处可微，而称∆+∆A x B y 为(),f x y 在点()000,P x y 处的全微分，记作0d x x y y z==或00d x x y y f==，即00d ===∆+∆x x y y zA xB y ．若(),z f x y =在区域D 内处处可微，则称(),f x y 在D 内可微，也称(),f x y 是D 内的可微函数．(),z f x y =在(),x y 处的全微分记作d z ，即d =∆+∆z A x B y ．二元函数(),z f x y =在点P (x ,y )的全微分具有以下两个性质： (1) d z 是,∆∆x y 的线性函数，即d =∆+∆z A x B y ；(2) z d ∆≈z ,()()z d 0ρρ∆-=→z o ，因此，当,∆∆x y 都很小时，可将dz 作为计算Δ z 的近似公式．多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续．但是对于可微函数却有如下结论：定理2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则函数在该点必连续． 这是因为由可微的定义，得()()(),,+ρ∆=+∆+∆-=∆+∆z f x x y y f x y A x B y o()(),0,0lim 0x y z ∆∆→∆=，即()(),0,0lim (,)(,)x y f x x y y f x y ∆∆→+∆+∆=．即函数(),z f x y =在点(),x y 处连续．一元函数可微与可导是等价的，那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢定理3 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则(),z f x y =在该点的两个偏导数,z zx y∂∂∂∂都存在，且有 z zdz x y x y∂∂=∆+∆∂∂． 证 因为函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，故()+ρ∆=∆+∆z A x B y o ， ρ令0y ∆=，于是()(),,x z f x x y f x y A x o ∆=+∆-=∆+．由此得 ()()000(),,limlim lim x x x x x x f x x y f x y zx x x xοA A ∆→∆→∆→∆∆+∆-∆==+=∆∆∆∆，即zA x ∂=∂． 同理可证得zB y∂=∂． 定理3的逆命题是否成立呢 即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢 一般情况下答案是否定的．如函数222222,0,(,)0,0xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在()0,0处两个偏导数都存在，但(),f x y 在()0,0处不连续，由定理2知，该函数在()0,0处不可微．但两个偏导数既存在且连续时，函数就是可微的．我们不加证明地给出如下定理．定理 4 如果函数(),z f x y =在(),x y 处的偏导数,z zx y∂∂∂∂存在且连续，则函数(),z f x y =在该点可微．类似于一元函数微分的情形，规定自变量的微分等于自变量的改变量．即d ,d =∆=∆x x y y ，于是由定理3有d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂． 以上关于二元函数的全微分的概念及结论，可以类推到三元以上的函数中去．比如若三元函数(),,=u f x y z 在点(),,P x y z 处可微，则它的全微分为d d d d u u uu x y z x y z∂∂∂=++∂∂∂． 例8 求下列函数的全微分：(1) 2sin 2=z x y ； (2) =yzu x ．解 (1) 因为2sin 2∂=∂zx y x,22cos 2∂=∂z x y y ，所以22sin 22cos 2=+dz x ydx x ydy ．(2) 因为1-∂=∂yz uyzx x，ln ∂=∂yz u zx x y ln ∂=∂yz uyx x z， 所以 1ln ln -=++yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz ．例9 求xyz xy e =+在点()1,2处的全微分．解 因xy zy ye x ∂=+∂,xy zx xe y ∂=+∂得 11222222e ,1e x x y y z z xy====∂∂=+=+∂∂，于是 ()()1222d 22e d 1e d x y zx y ===+++ ．3.1.2全微分的运算法则类似于一元函数微分的运算法则，有定理5 (全微分四则运算法则) 设(),f x y ，(),g x y 在(),P x y 处可微，则 1) ()()+±+f x y g x y 在(),x y 处可微，且[][][]()()()()+±+=+±+d f x y g x y d f x y d g x y ;2) 若k 为常数，()+kf x y 在点(),x y 处可微，且[][]()()+=+d kf x y kd f x y ；3) ()()+⋅+f x y g x y 在点(),x y 处可微，且[][][]()()()()()()+⋅+=+++++d f x y g x y g x y d f x y f x y d g x y ;4) 当g (x ,y )≠0时，()()f x yg x y ++在点(),x y 处可微，且 2()()d ()()d ()d ()()f x y g x y f x y f x y g x y g x y g x y ⎡⎤++++++=⎢⎥++⎣⎦． 例10 求()22sin z x x y =+的全微分．解()()22222sin 2cos zx y x x y x∂=+++∂，()222cos z xy x y y ∂=+∂，()()()222222sin sin sin dz d x x y xd x y x y dx ⎡⎤⎡⎤=+=+++⎣⎦⎣⎦ ()()()2222222sin 2cos 2cos x y x x y dx xy x y dy ⎡⎤=+++++⎣⎦习题9—21．求下列各函数的偏导数：(1) 22365z x xy y =++; (2) ln y z x=； (3) xyz xye =； (4) y z u x =．2．已知()(),2xf x y x y e =+，求()0,1x f ，()0,1y f ．3．设z x y =+()()3,40,5,zz xy∂∂∂∂．4．设11+=ex y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂． 5．求下列函数的所有二阶偏导数．(1) 44224z x y x y =+-; (2) ()cos sin x z e y x y =+；(3) ()ln z x xy =； (4) arctanxu y=． 6．设()222,,f x y z xy yz zx =++，求()()()0,0,1,1,0,2,0,1,0xx xz yz f f f -及()2,0,1zzx f ．7．验证r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．8．求下列函数的全微分.(1) 32645z xy x y =+； (2) x yz e =；(3 ) xz xyy=+； (4) z =．9．设()1,,zy f x y z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，求()1,1,1|dz ． 10．设,1,1,0.15,0.1,xyz e x y x y ===∆=∆=求dz ．第3节 多元复合函数和隐函数的求导法则复合函数的求导法则 3.1.1 复合函数的求导法则现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用．定理 1 设函数(),z f u v =), 其中()u x ϕ=,()v x ψ=．如果函数()u x ϕ=,()v x ψ=都在x 点可导，函数(),z f u v =在对应的点(),u v 处可微，则复合函数()()(),z fx x ϕψ=在x 处可导，且d d d d d d z z u z vx u x v x∂∂=+∂∂． (9-3-1) 证 设自变量x 的改变量为Δx ，中间变量()u x ϕ=和()v x ψ=的相应的改变量分别为Δu 和Δv ，函数z 的改变量为Δz ．因(),z f u v =在(),u v 处可微，由可微的定义有()()+z zz dz o u v o u vρρ∂∂∆=+=∆+∆∂∂，其中ρ=,()()00o ρρ→→，且0()lim0ρορρ→=，故有()z z u z v x u x v x xορρρ∆∂∆∂∆=++∆∂∆∂∆∆． 因为()u x ϕ=和()v x ψ=在点x 可导，故当0x ∆→时，Δu →0，Δv →0，ρ→0，u x ∆∆→d d u x ，v x ∆∆→d d vx． 在上式中令Δx →0，两边取极限，得d d z z du z dv x u dx v dx∂∂=+∂∂． 注意，当Δx →0时，()xορρρ∆→0．这是由于22220limlim ()()()()x x u v du dvxx x dx dxρ∆→∆→∆∆=+=+∆∆∆， 这说明Δx →0时，xρ∆是有界量，()ορρ为无穷小量．从而()ορρxρ∆→0（Δx →0）． 用同样的方法，可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法则．比如(),,z f u v w =,而()u x ϕ=,()v x ψ=,()w w x =，则d d d d d d d d z z u z v z wx u x v x w x∂∂∂=++∂∂∂． （9-3-2）例1 设2z u v =，cos u t =,sin v t =求.dz dt解 利用公式(9-3-1)求导，因为22,=z zuv u u v ∂∂∂∂=， d sin d u t t =-, d cos d v t t=， 所以 223d d d sin cos 2cos sin cos d d d z z u z vuv t u t t t t t u t v t∂∂=+=-+=-+∂∂．本题也可将cos u t =,sin v t =代入函数2z u v =中，再用一元函数的取对数求导法，求得同样的结果．观察公式(9-3-1) ，(9-3-2)可以知道，若函数z 有2个中间变量，则公式右端是2项之和，若z 有3个中间变量，则公式右端是3项之和，一般地，若z 有几个中间变量，则公式右端是几项之和，且每一项都是两个导数之积，即z 对中间变量的偏导数再乘上该中间变量对x 的导数．公式(9-3-1),(9-3-2)可借助复合关系图来理解和记忆．图9—6公式(9-3-1) ，(9-3-2)称为多元复合函数求导的链式法则．上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x 和y 的情形．关于这种复合函数的求偏导问题，有如下定理：定理 2 设(),=z f u v 在(u ,v )处可微，函数(),=u u x y 及(),=v v x y 在点(),x y 的偏导数存在，则复合函数()()(),,,z f u x y v x y =在(),x y 处的偏导数存在，且有如下的链式法则,.z z u z vx u x v xz z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎩（9-3-3） 可以这样来理解（9-3-3）：求zx∂∂时，将y 看做常量，那么中间变量u 和v 是x 的一元函数，应用定理1即可得zx∂∂．但考虑到复合函数()()(),,,z f u x y v x y =以及(),=u u x y 与(),=v v x y 都是x , y 的二元函数，所以应把（9-3-1）中的全导数符号“d ”改为偏导数符号“∂”．公式（9-3-3）也可以推广到中间变量多于两个的情形．例如，设(),u x y ϕ=,(),v x y ψ=,(),w w x y =的偏导数都存在，函数(),,z f u v w =可微，则复合函数()()()(),,,,,z f u x y v x y w x y =对x 和y 的偏导数都存在，且有如下链式法则,.z z u z v z wx u x v x w xz z u z v z w y u y v y w y ∂∂∂∂∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪=++∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩（9-3-4） 特别对于下述情形：(),,z f u x y =可微，而(),u x y ϕ=的偏导数存在，则复合函数()(),,,z f x y x y ϕ=对x 及y 的偏导数都存在，为了求出这两个偏导数，应将f 中的变量看做中间变量：(),,,u x y v x w y ϕ===．此时，1,=0,0,=1v v w w x y x y∂∂∂∂∂∂∂∂==． 由公式（9-3-4）得,.z f f ux x u xz f f u y y u y∂∂∂∂⎧=+⋅⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂⎪=+⋅∂∂∂∂⎪⎩ （9-3-5）注 这里z x ∂∂与f x ∂∂的意义是不同的．fx ∂∂是把(),,f u x y 中的u 与y 都看做常量对x 的偏导数，而zx∂∂却是把二元复合函数()(),,,f x y x y ϕ中y 看做常量对x 的偏导数．公式（9-3-3），（9-3-4），（9-3-5）可借助图9—7理解．图9—7例2 设sin ,,uz e v u xy v x y ===+, 求,z z x y∂∂∂∂． 解e sin e cos 1u u z z u z v v y v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂ ()()e sin cos xy y x y x y =+++⎡⎤⎣⎦，=e sin e cos 1u u z z u z vv x v y u y v y∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ ()()e sin cos xy x x y x y =+++⎡⎤⎣⎦．例3 设(),z f u v =可微，求()22,xyz f x y e=-对x 及y 的偏导数．解 引入中间变量22u x y =-,xyv e =,由(9-3-3)得2222122e 2(,e )e (,e )xy xy xy xy z f f x y xf x y y f x y x u v∂∂∂''=+=-+-∂∂∂，222212(2)e 2(,e )e (,e )xy xy xy xy z f f y x yf x y x f x y y u v∂∂∂''=-+=--+-∂∂∂． 注 记号221(,e )xy f x y '-与222(,e )xyf x y '-分别表示(),f u v 对第一个变量与第二个变量在(22,e xyx y -）处的偏导数，可简写为1f '与2f '，后面还会用到这种表示方法．例4 设,x y z xyf y x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1221=(,(,)(,)()z x y x y x y y yf xy f f x y x y x yy x x ⎡⎤∂''+⎢⎥∂-⎣⎦)+ 212(,(,)(,)x y x y y x y yf xf f y x y x x y x''=-)+，1221=,,(),+z x y x y xx y xf +xy f f y y x y x y y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂''-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦212,,,x y x x y x y xf f yf y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．下面给出经济学中经常遇到的齐次函数的概念．设函数(),z f x y =的定义域为D ，且当(),x y D ∈时，对任给的t ∈R ，t ＞0，仍有(),tx ty D ∈．如果存在非负常数k ，使对任意的(),x y D ∈，恒有()(),,k f tx ty t f x y =，则称二元函数(),z f x y =为k 次齐次函数．k =1时，称为线性齐次函数．例5 证明k 次齐次函数(),f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y kf x y ''+=．证明 在(),z f tx ty =中，令,u tx v ty ==，当取定一点(),x y 时(),f tx ty 是t 的一元函数，于是有d d d (,)(,)d d d x y z z u z v f tx ty x f tx ty y t u t v t∂∂''=+=+∂∂．又因为(),k z t f x y =，所以有1d (,)d k zkt f x y t-=． 因此，对任意的t ，有1(,)(,)(,)k x y f tx ty x f tx ty y kt f x y -''+=.3.1.2 全微分形式不变性我们知道一元函数的一阶微分形式具有不变性，多元函数的全微分形式也具有不变性．下面以二元函数为例来说明．设(),z f u v =具有连续偏导数，则有全微分d d d z zz u v u v∂∂=+∂∂． 如果u ,v 是中间变量，即(),u x y ϕ=,(),v x y ψ=，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数()()(),,,z fx y x y ϕψ=的全微分为d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂ d d z u z v z u z v x y u x v x u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ d d d d z u u z v v x y x y u x y v x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭d d z zu v u v∂∂=+∂∂． 可见，无论z 是自变量u ,v 的函数还是中间变量u ,v 的函数，它的全微分形式都是一样的，这种性质叫做多元函数的全微分形式的不变性．例6 利用一阶全微分形式的不变性求函数()22,xyz f x y e =-的偏导数与全微分．解 引入中间变量22,xyu x y v e =-=，则(),z f u v =．2212d d d d()d(e )xy z z z u v f x y f u v∂∂''=+=-+∂∂ 2212(d d )e d()xy f x y f xy ''=-+ 12(2d 2d )e (d d )xy f x x y y f y x x y ''=-++1212(2e )d (2e )d xy xy xf y f x yf x f y ''''=++-+．因此12=2e xy zxf y f x∂''+∂，12=2e xy z yf x f y ∂''-+∂．隐函数的偏导数在一元函数的微分学中，我们曾介绍了隐函数的求导方法：方程(),0F x y =两边对x 求导，再解出y ′．现在我们介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式． 3.2.1 一个方程的情形定理3 设函数(),F x y 在点()000,P x y 的某一邻域内有连续的偏导数且()00,0F x y =,()00,0y F x y ≠，则方程(),0F x y =在点()000,P x y 的某邻域内惟一确定一个具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件()00y f x =，并且有d d x y F yx F '=-'． (9-3-6) 公式(9-3-6)就是隐函数的求导公式． 这里仅对公式(9-3-6)进行推导．将函数()y f x =代入方程(),0F x y =得恒等式()(),0F x f x ≡．其左端可以看作是x 的一个复合函数，上式两端对x 求导，得d 0d F F yx y x∂∂+=∂∂． 由于y F 连续，且()00,0y F x y ≠，所以存在点()000,P x y 的一个邻域，在这个邻域内0y F ≠，所以有d d x yF yx F =-．。
