学高中数学第二章2.1.1指数与指数幂的运算练习导学案新人教版必修1

§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）班级 姓名 学号1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备（预习教材P 50~ P 53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的 ，其中1n >,n *∈N .简记为： .的式子就叫做 ，具有如下运算性质：n = ；= ；= .复习2：整数指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务：分数指数幂引例：a >01025a a ==，则类似可得= ；23a == .新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mn a a m n N n =>∈>；*1(0,,,1)mnm n a a m n N n a -==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：= ；= ；= (0,)a m N *>∈.（2）求值：238； 255； 436-； 52a-.反思：① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 .② 分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质： （0,0,,a b r s Q >>∈）r a ·r r s a a +=； ()r s rs a a =； ()r r s ab a a =． ※ 典型例题例1 求值：2327；4316-； 33()5-；2325()49-.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：（1）2b b ； （2）533b b ； （3.例3 计算（式中字母均正）： （1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-； （2）311684()m n .例4 计算：（1334a a(0)a >； （2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；（3）小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？三、总结提升※ 学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.※ 知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（）. A. mm n n a a a ÷= B. m n mn a a a ⋅=C. ()n m m n a a +=D. 01n n a a -÷=2. 化简3225的结果是（ ）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）.A ．．4. 化简2327-= .5. 若102,104m n ==，则3210m n -= .1. 化简下列各式：（1）3236()49； （2.2. 1⎛÷- ⎝.。

2.1.1指数与指数幂的运算课前预习· 预习案【自主学习】1．次方根定义表示两个结论2．根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，其中①根指数为：；②被开方数为： .(2)性质：① (且)；②3．分数指数幂的概念分数指数幂4．无理数指数幂(1)无理数指数幂，是无理数)是一个确定的 .(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.5．有理数指数幂的运算性质(1) (，，).(2) (，，).(3) (，，). 【预习评价】1．9的平方根为A.±3B.±9C.3D.92．是实数，则下列式子中可能没有意义的是A. B. C. D.3．化为分数指数幂为A. B. C. D.4．已知，则 .5．计算： .6．计算： .知识拓展· 探究案【合作探究】1．次方根的定义定义中的取值范围是 .2．次方根的定义当为奇数时，在“且)”中，的实数值有几个？3．次方根的定义当为偶数时，在“且，)”中，的实数值有几个？4．根式的性质求值与化简中常用到与，那么它们的含义是什么？5．根式的性质成立吗？呢？6．根式的性质成立的条件是什么？7．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)观察互化公式，指出根式的根指数与被开方数分别对应分数指数幂的什么位置？8．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)请你根据所学知识思考上述互化公式是否适用于或?9．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？10．有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质是否适用于或?11．有理数指数幂的运算性质公式，，)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制?【教师点拨】1．对与的两点说明(1)已暗含有意义，根据是奇数还是偶数可知的取值范围.(2)中的可以是全体实数，的值取决于是奇数还是偶数.2．对次方根的两点说明(l)次方根的存在：任何实数都存在奇次方根；负数没有偶次方根，非负数才存在偶次方根.(2)次方根的个数：任何实数的奇次方根只有一个；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；零的次方根只有一个零.3．对有理数指数幂运算性质的两点说明(1)用分数指数幂进行根式运算，顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算.(2)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.4．对分数指数幂与根式互化的两点说明(1)分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新写法.(2)根式与分数指数幂本质上是具有相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算.【交流展示】1．已知，则的四次方根可表示为 .2．-2013的五次方根是 .3．若，则化简的结果是 .4．化简：.5．设，将表示成分数指数幂，其结果是 .6．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1). (2).7．化简的结果是A. B. C. D.8．化简： . 【学习小结】1．求解次方根的注意事项(l)当为大于1的奇数时，对任意有意义，它表示在实数范围内唯一的一个次方根.(2)当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个次方根，另一个是.2．根式化简的依据及应遵循的三个原则(1)化简依据：①且)；②(2)遵循原则：①被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.②被开方数是带分数的要化成假分数.③被开方数中不能含有分母；使用化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.3．有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.4．根式与分数指数幂互化的关键与技巧(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用公式，，，).(2)技巧：当表达武中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简，提醒：对含有多个根式的化简，要注意每一步的等价性，特别要注意字母的取值范围.5．利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的.(2)无括号先做指数运算.(3)负指数幂化为正指数幂的倒数.(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.【当堂检测】1．设，,，则，，的大小关系是A. B. C. D.2．若，则是 .3．计算下列各式：(1) .(2).(3) .4．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1).(2).(3).(4).5．已知，求的值.答案课前预习· 预习案【自主学习】1．x(1)R(2)a≥0(1)负数(2)02．（1）①n②a(2)①a②a|a|3．(2)①②(3)①0 ②负4．(1)实数5．(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r【预习评价】1．A2．C3．A4．5．6．－1知识拓展· 探究案【合作探究】1．定义中的n必须是大于1的正整数，即n＞1且n∈N*.答案n＞1且n∈N*2．因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的奇次方不同，所以当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，故x的实数值只有一个.3．因为两个相反数的偶次方相等，所以当n为偶数时，正数的n次方根有两个，故x的实数值有两个.4．(1)表示实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，a∈R.(2)表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定. 5．不一定成立，如，而成立.6．等式成立的条件是n为奇数，或n为偶数且a≥0.7．根式的根指数与被开方数指数分别对应分数指数幂的分母与分子.8．均不适用，原因如下：(1)若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即无研究的价值.(2)若a＜0，不一定成立.如＝意义，故为了避免上述情况规定了a＞0.9．引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即(a＞0，m，n∈N*且n＞1).10．(1)若a＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a≠0.(2)若a＜0，(a r)s＝a rs，也不一定成立，如，所以a＜0不成立.因此不适用于a＝0或a＜0的情况.11．成立，且不需要限制m＞n.证明如下：.【交流展示】1．2．3．1－2a4．＝2+.5．6．(1). (2).7．C8．x z－2【当堂检测】1．D2．3．(1)－3 (2)π－3 (3)2.4 4．(1).(2).(3).(4)5．因为，所以。

《集合与函数概念》达标检测1.集合}{N x x x A ∈≤≤=且30的真子集的个数是（ ）A.16 B.8 C.7 D.4 2.若xx f 1)(=的定义域为M ，x x g =)(的定义域为N ，令全集R U =，则N M ⋂等于（ ） A.M B.N C. M C U D.N C U3.集合}{52≤≤-=x x A ,}{121-≤≤+=m x m x B ,若A B ⊆，求实数m 的取值范围.4.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围.《2.1.1 指数与指数幂的运算(1)》预习学案【学习目标】理解n 次方根的意义，会进行简单的求n 次方根的运算.【预习目标】 知道n 次方根的的定义及几个重要的等式.【预习指导】1. n 次方根如果a x n =,则称x 为a 的n 次方根，其中1>n ,且*N n ∈.当n 为奇数时，a 的n 次方根为n a ;当n 为偶数时，整数a 的n 次方根有两个，记为n a ±,负数则没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .2.n 次方根的性质（1）()=n n a (1>n ,且*N n ∈)；（2）n na = .3.根式的定义： . 【知识链接】初中我们已经学习了正整数指数幂的概念及运算法则，并在正整数指数幂的基础上进一步学习了整数指数幂，正整数指数幂的概念是 ，正整数指数幂的运算法则： .【典型例题】例1求下列各式的值：（1）()338-；（2）()210-；（3）()443π-；（4）()2b a -(b a >).例2下列各式中正确的是 （ ） （1）a a =44（2）3622)2(-=-（3）0=a （4）)12()12(105-=-例3 求223223-++的值《2.1.1 指数与指数幂的运算(1)》达标检测1．求出下列各式的值（1）772）（-；（2）)1()33(33≤-a a ；（3）44)33(-a .2.以下说法正确的是 （ ）A.正数的n 次方根是一个正数B.负数的n 次方根是一个负数C.0的任何次方根都是零D. a 的n 次方根用n a 表示（以上1>n ,且*N n ∈）.3. 计算407407-++4.若1122-=+-a a a ，求a 的取值范围.《2.1.1 指数与指数幂的运算(2)》预习学案【学习目标】理解有理数指数幂及无理数指数幂的含义，掌握分数指数幂与根式的互化.【预习目标】知道分数指数幂以及无理数指数幂的意义.【预习指导】 1. 分数指数幂的意义.（1）=n m a (2)=-n ma (3)0的正分数指数幂等于0；0的正分数指数幂2.有理数指数幂的运算性质（1） （2） （3）3.无理数指数幂含义【知识链接】1.对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的任意形式，但不能同时出现根式或分数指数幂的形式，也不能既含有分母，又含有负指数.2. 根式n m a 化成分数指数幂n m a 的形式，若对nm 约分，有时会改变a 的范围.【典型例题】例1求值：3227；219-；331-⎪⎭⎫ ⎝⎛；438116-⎪⎭⎫ ⎝⎛.例2用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0>a ）；a a ⋅3；322a a ⋅；3a a .例3计算下列各式：（1）432512525÷-）（； （2）)0(322>⋅a a a a .例4比较5，311，6123的大小.。

方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根．，记法： a , 3 a
【学习过程】
1. 指数函数模型应用背景： ①探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性． 实例 1：某市人口平均年增长率为 1．25℅，1990 年 人 口 数 为 a 万，则 x 年后人口数为多少万？
实例 2： 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8 次） ②小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银 行 存 款 、生物变化、自然科学． 2. 根式的概念及运算： ① (2)2 4 ， 2 就叫 4 的平方根； 33 27 ，3 就叫 27 的立方根．
强调：负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是 0， 即． n 0 0
④练习： b4 a ，则 a 的 4 次方根为
； b3 a ，则 a 的 3 次方根为
．
⑤ 定义根式：像 n a 的式子就叫做根式， 这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
⑥ 计算( 2 3)2 、 3 43 、 n (2)n → 探究： ( n a )n 、 n an 的意义及结果？ （特殊到一般）
结论：
1 ( n a )n a ．当 n 是奇数时，
2 n an a ；当 n 是偶数时
n an
|
a
|
a a
(a 0) (a 0)
【例题分析】
例 1：求下列各式的值：
(1) 3 (8)3 ； (2) (10)2 ； (3) 4 (3 )4 ； (4)
(a b)2 ．
学海无涯
【基础达标】 1．计 算 或 化 简 ： 5 32 ； 3 a6 （推广： np amp n am ， a 0）．
n 为偶数时， x n a ；
2．掌握两个公式： n为奇数时,(n a )n, n为偶数时,nan