圆锥曲线与方程【PPT】50页PPT

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知识点二 双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式 下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双 曲线顶点.
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思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在 实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
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学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚 轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
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内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为 答案 解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
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类型四 直线与双曲线位置关系 命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题 例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围； 解答
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跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案 解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14， 所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.

数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
合作探究 课堂互动
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程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|

x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
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【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
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【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.

4 1+
1+4
= 5 .
整理得 32k4-9k2-23=0,即(k2-1)(32k2+23)=0.
由|AB|=
π
4
解得 k=±1.则直线 l 的倾斜角为 或
3π
.
4
2
.
专题1
专题2
专题3
②设线段 AB 的中点为 M,由①得点 M 的坐标为
8 2
2
,
.
2
2
1 + 4 1 + 4
以下分两种情况:
6
令 x=0,解得 y0=− 1+4 2 .
由 = (−2, −0), = (1, 1 − 0),
· = −21 − 0(1 − 0)
-2(2-8 2 )
6
4
6
=
+
+
2
2
2
1 + 4
1 + 4 1 + 4
1 + 4 2
4(16 4 + 15 2 -1)
16
2
1+4
, 12 =
12
2,
1+4
Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,
=
= 4,
2
2
(1 + 4 )
整理得 7k2=2.故 k=±
所以 y0=±
2 14
5
14
7
,
.
综上可知,y0=±2 2或y0=±
2 14
5
.
专题1
专题2
专题3
专题2 动点的轨迹方程
1.求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

答案 解析
13
反思与感悟
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的 方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性” 是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判 断点的坐标是否适合曲线的方程.
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跟踪训练1 设方程 f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距
离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标
轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
17
反思与感悟
解答
∵12＋(－2－1)2＝10，( )22＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，32)不在此曲线 上.
10
梳理
(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的 两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系， 曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数 对(x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研 究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的 解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备 性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线 的方程.

d＝
|16－8| 32＋－22＝
813＝81313，切点为 P32，－74.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－
d＝
|16－8| 32＋－22＝
813＝81313，切点为 P32，－74.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－
y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
联立方程xx－2＋y8＋y2a＝＝80，， 得 9y2－2ay＋a2－8＝0，
自主学习
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立yax＝22＋kbyx2＋ 2＝m1，. 消去y得到一个关于x的一元二次方程.
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 _两__解 _一__解 _无__解
Δ的取值 Δ_>_0 Δ＝__0 Δ_<_0
① ②
则①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0，∴k＝xy11－－xy22＝－12， ∴以点 A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为
y－2＝－12(x－4)，
整理得，x＋2y－8＝0.
解析答案
12345
5.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，满足M→F1·M→F2＝0 的点 M 总在椭圆内部， 则椭圆离心率的取值范围是_0_<_e_<__22__. 解析 设点 M(x，y)，∵M→F1·M→F2＝0，

(1)曲线上_点__的__坐__标__都是这个方程的解 (2)以这个方程的_解_为_坐__标__的__点_都是曲线上的点
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]

常数（小于
F
1
F
）的点的轨迹叫做双曲线，两个定
2
点 F 1 ，F 2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫
做双曲线的焦距。
双曲线形成演示
双曲线的定义性
质.gsp
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有 M F1M F2 2a
（0<2a< F1 F 2 的常数）
2020/12/10
拉链画双曲线7.gsp
纸 片 ， 折 痕 为 CD ， 设 CD 与 OM 交 于 P ， 则 点 P 的 轨 迹 是
（A ）
D M
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
OLeabharlann CF为20什20/1么2/10.gsp
11
例3．一动圆过定点A(-4,0) ，且与定圆 B：（x-4）2+y2=16相外切，则动圆的圆 心轨迹为（ 双曲线右支 ）
思考：平面内到两个定点 Ｆ１，Ｆ２的距离的差的等于常数
(小于F1F2)的点的轨迹是什么？
• 是双曲线的一支。 问题２：怎样确定是哪一支？
看ＰＦ１和ＰＦ２谁大，偏向小 的一边。
2020/12/10
8
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做
圆锥曲线与方程
§2.1圆锥曲线
2020/12/10
1
用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面
的顶点时，可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面 的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个 圆当．改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线 的变化情况，并思考： ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有 哪些几何特征？

2 2
x2 b2
1(a＞b＞0)
的右顶点为A1, 0，过C1的焦点且垂直
长轴的弦长为1.
1 求椭圆C1的方程；
2设点P在抛物线C2：y x2 h(h R)上，C2在点P处的切
线与C1交于点M、N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标 相等时，求h的最小值.
(1)利用过焦点的垂直于长轴的弦长为 2b2 ； (2)写出过点P的切线方程，与椭圆联立，利用韦a达定 理及中点的横坐标相等，列出一个一元二次方程，用
直线的斜率k

b2 x0 a2 y0
；
在抛物线y2 2 px( p 0)中，以P(x0，y0 )为中点的弦所
在直线的斜率k p .
y0
以上公式均可由点差法可得．
5．解析几何与向量综合的有关结论
1给出直线的方向向量u (1，k)或u (m，n)，等价
于已知直线的斜率k或 n .
将上式代入椭圆C1的方程中， 得4x2 (2tx t2 h)2 4 0.
即4(1 t2 )x2 4t(t2 h)x (t2 h)2 4 0.①
因为直线MN
与椭圆C
有两个不同的交点，
1
所以①式中的1 16[t4 2(h 2)t2 h2 4]＞0.②

0)；
焦点在y轴上：ay22

x2 b2
1(a

0，b
0)．
3抛物线：开口向右时，y2 2 px( p 0)，开口向左
时，y2 2 px( p 0)，开口向上时x2 2 py( p 0)，开
口向下时x2 2 py( p 0)．
2．常用曲线方程设法技巧

1
1
(1)由椭圆的离心率e＝＝ 2 ，可知 2 ＝4，∴ ＝2，故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

(2)由题意可得 ＝ 2，即c＝ 2a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)．
y−0 +
4
＝ ，化简即得y＝ x＋4.
4−0 0+

则直线PF的方程为

结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行，
1
S＝2|PF1|·|PF2|＝24.
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以
9
其横坐标为8，即点P的坐标是
[答案] (1)B (2)4
9
,3
8
9
,3
8
.
)
典型例题
2.求圆锥曲线方程
1
【例2】 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于2，则C的方程是(
A.
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求 · 的值；
(2)如果· ＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
[解析] (1)解：由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
64−λ 3
2 y2
故所求双曲线方程为36－12＝1.
典型例题
3.圆锥曲线的性质及应用
【例3】(1)若椭圆
1
A．y＝±2x
(2)已知双曲线
2 y2
3
2 y2
＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 2 ，则双曲线 2－2＝1的渐近线方程为(
2 2
B．y＝±2x

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第二章 § 2.1 椭 圆
2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)
学习 目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形. 2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质， 并能画出图象.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
图形
自主学习
焦点在y轴上
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 －__a_≤__x_≤__a_，－__b_≤__y_≤__b_ －__b_≤__x_≤__b_，－__a_≤__y_≤__a_
顶点
_A_1_(－__a_,_0_)，__A__2(_a_,0_)_， _A_1_(_0_，__－__a_)，__A__2(_0_，__a_)_， _B_1_(0_，__－__b_)_，__B_2_(0_，__b_)_ _B_1_(_－__b_,0_)_，__B_2_(_b_,0_)__
1
2
A.5
B.5
C.
5 5
D.2 5 5
解析 ∵x－2y＋2＝0，∴y＝12x＋1，而bc＝12，
即
a2－c2 c2＝12，∴ac22＝54，ac＝2
5
5 .
解析答案
12345
3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的
离心率是( B )
4
3
2
1
A.5
B.5
C.5
D.5
解析 由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b， 又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac， 即 5e2＋2e－3＝0，∴e＝35或 e＝－1(舍去).

（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5