2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义习题新人教A版选修2_2

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第一章 1.1 1.1.3 导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2018·海市校级期末)已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是
y

＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于( C )

A．1 B．52
C．3 D．0
[解析] 由已知点M(1，f(1))在切线上，所以f(1)＝12＋2＝52，

切点处的导数为切线斜率，所以f′(x)＝12，
即f(1)＋f′(1)＝3，故选C．
2．曲线y＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则切线方程为( D )
A．y＝4x B．y＝4x－4
C．y＝4x－8 D．y＝4x或y＝4x－4

[解析] y′＝limΔx→0 ΔyΔx

＝limΔx→0 x＋Δx3＋x＋Δx－2]－x3＋x－Δx
＝limΔx→0[(Δx)2＋3xΔx＋3x2＋1]
＝3x2＋1．
由条件知，3x2＋1＝4，∴x＝±1，
当x＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y＝4(x－1)，
即y＝4x－4．
当x＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y＋4＝4(x＋1)，
即y＝4x．
3．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( D )
A．0 B．2
C．4 D．6

[解析] Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3，limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0[(Δx)2＋
6Δx＋6]＝6，故选D．
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4．(2018·济宁高二检测)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，
则a等于( A )

A．1 B．12

C．－12 D．－1
[解析] ∵y′|x＝1＝limΔx→0 a＋Δx2－a×12Δx
＝limΔx→0 2aΔx＋aΔx2Δx＝limΔx→0 (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1．
5．(2017·汉中高二检测)曲线y＝13x3－2在点1，－53处切线的倾斜角为( B )

A．1 B．π4
C．5π4 D．－π4

[解析] ∵y′＝limΔx→0 [13x＋Δx3－2]－13x3－Δx
＝limΔx→0[x2＋xΔx＋13(Δx)2]＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1．
∴切线的倾斜角为π4，故应选B．
6．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B．
二、填空题
7．已知f(x)＝x2＋3x，则f ′(2)＝7．

[解析] f′(x)＝limΔx→0 x＋Δx2＋x＋Δx－x2＋3xΔx＝limΔx→02x＋Δx＋3＝2
x
＋3，
∴f′(2)＝7．
8．曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为54．

[解析] 因为f ′(3)＝limΔx→0 ＋Δx3－33Δx＝27，
3

所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即y＝27x－54．
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S
＝12×2×54＝54．

三、解答题
9．求曲线y＝1x－x上一点P4，－74处的切线方程．

[解析] ∵y′＝limΔx→0 1x＋Δx－1x－x＋Δx－xΔx
＝limΔx→0 －Δxxx＋Δx－Δxx＋Δx＋xΔx
＝limΔx→0 －1xx＋Δx－1x＋Δx＋x
＝－1x2－12x ．
∴y′|x＝4＝－116－14＝－516，
∴曲线在点P4，－74处的切线方程为：
y＋74＝－516(x
－4)．

即5x＋16y＋8＝0．
10．已知曲线f(x)＝x＋1x上一点A(2，52)，用导数定义求函数f(x)：
(1)在点A处的切线的斜率；
(2)在点A处的切线方程．
[解析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)

＝2＋Δx＋12＋Δx－(2＋12)＝－Δx＋Δx＋Δx，

ΔyΔx＝－Δx＋Δx＋ΔxΔx＝－1
＋Δ
x
＋1，

∴limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0[－1＋Δx＋1]＝34，
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故点A处的切线的斜率为34．
(2)切线方程为y－52＝34(x－2)，
即3x－4y＋4＝0．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·开封高二检测)已知y＝f(x)的图象如图，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关
系是( B )

A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
[解析] 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合
导数的几何意义知f ′(xA)2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为

[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为( A )

A．[－1，－12] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[12，1]
[解析] 考查导数的几何意义．
由导数的定义可得y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－12．
二、填空题
3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，

(6,4)，则limΔx→0 f＋Δx－fΔx＝－2．
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[解析] 由导数的概念和几何意义知，
limΔx→0 f＋Δx－fΔx＝f ′(1)＝kAB＝0－42－0＝－2．
4．(2018·全国卷Ⅱ理，13)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x．
[解析] ∵ y＝2ln(x＋1)，∴ y′＝2x＋1．令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得
切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴ 切线方程为y＝2x．
三、解答题
5．(2016·天津联考)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小
的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解析] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1)
＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，

∴ΔyΔx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2．

当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋2ax0－9．
即f ′(x0)＝3x20＋2ax0－9，
∴f ′(x0)＝3(x0＋a3)2－9－a23．

当x0＝－a3时，f ′(x0)取最小值－9－a23．
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12．

∴－9－a23＝－12．
解得a＝±3．又a<0，∴a＝－3．
6．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
[解析] 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，

∵f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx

＝limΔx→0 x＋Δx3－x＋Δx2＋3－x3－2x2＋Δx
6

＝3x2－4x，
∴k＝f′(x0)＝3x20－4x0．
由题意可知k＝4，即3x20－4x0＝4，

解得x0＝－23或x0＝2，

∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．
当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a，解得a＝12127．
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5．
∴当a＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
C级 能力拔高
已知曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．

[解析] 由 y＝x2＋1，y＝x3＋x，得x3－x2＋x－1＝0，
即(x－1)(x2＋1)＝0，解得x＝1，
所以交点P(1,2)．

因为f′(1)＝limΔx→0 ＋Δx2＋1－2Δx＝2，
所以其切线l1的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．
因为g′(1)＝limΔx→0 ＋Δx3＋1＋Δx－＋Δx＝4，
所以其切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，
即y＝4x－2．
取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为b＝(1,4)，

则cosθ＝a·b|a||b|＝95×17＝985＝98585．