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沪教版(上海)九年级上学期25.4第4课时解直角三角形的应用(4)

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沪教版（上海）九年级上学期25.4第4课时解直角三角形的应用（4） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题 1．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能

射入窗户，则AB的长度是______m．（假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60）

2．如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面CD和

地面BC上，量得4mCD，10mBC，CD与地面成30角，且此时测得1m高的杆的影长为2m，则电线杆的高度约为______m．（结果精确到0.1m，21.41，31.73）

二、解答题 3．如图，登山缆车行驶路线与水平线间的夹角30，47．小明乘缆车上山，

从点A到点B，再从点B到点D都走了200m（即200mABBD）．请根据所给数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果精确到1m，以下数据供选用：sin470.7314，cos470.6820，tan471.0724）． 4．如图，两条笔直的公路𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，∠𝐴𝑂𝐶为36°，指挥中心𝑀设在𝑂𝐴路段上，

与𝑂地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从𝑂地出发，沿𝑂𝐶方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．（参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73．）

5．如图，河流的两岸MN、PQ互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50m的电线杆C、

D、E某人在河岸MN的A处测得38DAN，然后沿河岸走了120m到达B处，

测得70CBN．求河流的宽度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin380.62，cos380.79，tan380.78，sin700.94，cos700.34，tan702.75）

6．如图，MN表示A市至B市的一段高速公路设计路线图.在点M测得点N在它的南

偏东30°的方向.测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向.以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区.已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？ 7．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图（图中1:3i是指坡面的铅直高度DE与

水平宽度CE的比），60B，6AB，4AD，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果精确到1，参考数据：31.732，21.414）

8．如图，在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为10m（10mAB），坡

角为2030（2030BAC）的斜坡通道改造成坡角为1230（1230BDC）的斜坡通道，使坡的起点从点A处向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin12300.21，sin20300.35，sin69300.94）

9．在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西

19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30，

且与A相距40km的B处；经过1h20min，又测得该轮船位于A的北偏东60，且与A相距83km的C处．

（1）求该轮船航行的速度． （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由． 10．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）

如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且30BDN，假设汽

车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．

（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米） （参考数据：31.7）

三、单选题 11．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=α，彩电后

背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（ ）cm

A．（60+100sinα）cm B．（60+100cosα）cm C．（60+100tanα）cm D．都不对 参考答案 1．3

【解析】 【分析】 要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则阳光沿着B点照射时，刚好射到D点上，除此之外的光线均被伸缩式的遮阳棚AB给遮挡住了或照射到D点之外的墙面上，不会照射到窗户CD上，根据夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60，构建直角三角形，由于30°对应的直角边等于斜边的一半，可设AB的长度为x，然后根据勾股定理，可求得AB的值. 【详解】 解：如图，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则阳光沿着B点照射时，刚好射到D点上，除此之外的光线均被伸缩式的遮阳棚AB给遮挡住了或照射到D点之外的墙面上，不会照射到窗户CD上，此时由于夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60， ∴60,30ABDADB，在RT△ADB中，设ABx，则2BDx，根据勾股定理， 222(2)ADxx，因为AD=3，故2229(2)xx，解得：3x，故当3AB时，在

夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户.

【点睛】 本题属于实际应用题，掌握勾股定理及学会分析题目找出临界点是解本题的关键. 2．8.7 【分析】 作DE⊥BC于E．则旗杆的高度分三部分进行求解：①BC对应的旗杆的高度；② DE对应的旗杆高度和DE相等；③ CE对应的旗杆高度. 【详解】 解：作DE⊥BC于E．则旗杆的高度分三部分进行求解．

BC对应的旗杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2=5；

在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE=2． 再根据勾股定理，得CE=23； 因为DE⊥BC，则DE对应的旗杆高度和DE相等， CE对应的旗杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，

是2323 故旗杆的高度是5+2+3≈8.7． 【点睛】 本题属于实际应用题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题.利用坡度的概念，直角三角形的性质求解． 3．约246m

【分析】 作BF⊥DE于点F，缆车垂直上升的距离应该是BC加上DF，根据三角函数的性质，分别求出BC和DF的长度，然后求和即可. 【详解】 如图所示：作BF⊥DE于点F，则

Rt△ABC中，斜边AB=200米，∠=30°，sinBCAB=200×sin30°=100（米）， Rt△BDF中，斜边BD=200米，∠=47°，

DF=BDsin∠=200×sin47°≈146（米），

因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF=246（米）． 答：缆车垂直上升了246米． 【点睛】 本题考查正弦函数的性质，学会如何在直角三角形中利用三角函数的性质求解直角三角形的边是本题的关键. 4．王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话,理由见解析

【解析】 【分析】 过点M作MH⊥OC于点H，在直角△MOH中已知一角，以及一条边OM，根据三角函数就可以求出MH，然后比较MH和10的大小即可。 【详解】 解：过点𝑀作𝑀𝐻⊥𝑂𝐶于点𝐻．

在Rt

△𝑀𝑂𝐻中，

sin∠𝑀𝑂𝐻=𝑀𝐻𝑂𝑀

∵𝑂𝑀=18，∠𝑀𝑂𝐻=36°，

∴𝑀𝐻=18×sin36°=18×0.59=10.62>10．

即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话． 【点睛】 本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 5．76.2m 【分析】 过点C作CG∥DA交AB于点G，先求出GB的长，在RT△CGF中，tan380.7870CFBF，在Rt△BFC中，tan70CFBF=2.75，得到BF=2.75CF，0.7870702.75CFCFCFBF，故可求出CF的长度. 【详解】 过点C作CG∥DA交AB于点G．

∵MN∥PQ，CG∥DA， ∴四边形AGCD是平行四边形． ∴AG=CD=50m，∠CGB=38°． ∴GB=AB-AG=120-50=70（m）． ∴tan380.7870CFBF， 在Rt△BFC中， tan70CFBF=2.75，

∴BF=2.75CF，

∴0.7870702.75CFCFCFBF， 解得：CF≈76.2（m）． 答：河流的宽是76.2米． 【点睛】 本题关键在于利用辅助线，构建平行四边形和直角三角形.利用直角三角形的正切值求解是本题的关键. 6．不会穿过居民区 【解析】 试题分析：作AC⊥MN于点C. 设AC为xm，在Rt△ACM中，利用tan∠AMC求出x的值，然后半径x的值与500的大小关系即可. 试题解析：作AC⊥MN于点C.

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《25.4解直角三角形的应用》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期

《25.4解直角三角形的应用》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期

《解直角三角形的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解直角三角形的概念和性质，能正确识别直角三角形及其三边关系。

2. 掌握解直角三角形的基本方法，如使用勾股定理计算直角三角形的边长或角度。

3. 通过实际问题的应用，提高解决生活中与直角三角形相关问题的能力。

二、作业内容作业内容主要包括三个部分：1. 基础练习学生需完成一系列关于直角三角形基本概念和性质的练习题，包括但不限于：- 判断给定的三角形是否为直角三角形。

- 利用勾股定理计算直角三角形的未知边长。

- 识别并应用直角三角形的特殊性质（如30-60-90三角形）。

2. 实际应用题设计几个与实际生活相关的应用题，要求学生运用所学知识解决。

例如：- 建筑物的影子长度与太阳高度角的关系。

- 已知梯子长度和倾斜角度，计算梯子顶端到地面的垂直高度。

- 根据声音传播速度和听到回声的时间差，计算距离。

3. 探究性任务引导学生进行一些探究性学习活动，如：- 让学生自行设计一个实验，验证勾股定理的正确性。

- 收集生活中与直角三角形相关的实例，并分析其应用场景。

三、作业要求1. 作业需在规定时间内独立完成，不得抄袭他人作业或利用外部资源。

2. 解题过程中要明确写出每一步的思路和依据，确保过程清晰可查。

3. 应用题需附上详细的分析过程和结果，用文字描述出实际问题的解决方案。

4. 探究性任务需提交详细的实验报告或实例分析报告，包括实验设计、实验过程、实验结果及分析。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生作业的准确性、解题思路的清晰度、解题过程的完整性以及探究性任务的深度进行评价。

2. 评价方式：教师批改作业时需给出详细的评语，指出学生的优点和不足，并给出改进建议。

同时，可采取学生互评的方式，提高学生的自我反思和批判性思维能力。

五、作业反馈1. 教师需在批改完成后，对全班学生的作业情况进行总结，并针对共性问题进行讲解。

2. 对于优秀作业和进步明显的学生，应在课堂上进行表扬和展示，激发学生的学习积极性。

九年级数学上册25.4解直角三角形的应用3教案沪教版五四制

九年级数学上册25.4解直角三角形的应用3教案沪教版五四制

学生画图存在困难，教师要帮助学生画图
知识呈现：
新课探索一
请在图中作出表示北偏东30°方向的射线OA;南偏西50°方向的射线OB;西北方向的射线OC.
新课探索二
例一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行,一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01的海里)?
课堂小结：利用解直角三角形解决实际问题.；
课外
作业
练习册
预习
要求
教学后记与反思
1、课堂时间消耗：教师活动分钟；学生活动分钟）
2、本课时实际教学效果自评（满分10分）：分
3、本课成功与不足及其改进措施：
难点
掌握坡度的意义，强调坡度i的表示形式1∶m．
教学
准备
多媒体
学生活动形式
讲练结合
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习二
2.一架战斗机从3500米高空B处以每秒150米的速度向目标A俯冲,俯角α=41°20',在离地面1400米时投弹击中目标A,问飞机从开始俯冲到投弹共用几秒钟(精确到1秒).
利用设k的方法解决问题较好
课内练习一
1.在港口A测得灯塔B在南偏东60°的方向上,货轮从港口出发以每小时40海里的速度沿南偏东30°的方向航行半小时到达C处,在C处测得灯塔B在北偏东60°的方向上,求货轮到达C处时与灯塔B的距离.
课内练习二
2.海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上.航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?
九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第4课时坡度问题及一次函数k的几何意义课件新版沪科版

九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第4课时坡度问题及一次函数k的几何意义课件新版沪科版


解：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
在 Rt△ABE 中，sin∠ABE＝AAEB， ∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin74°≈5.77.
cos∠ABE＝BAEB， ∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos74°≈1.65.
∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77.
解：过点作CF⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵ BE=5.8 m BE 1 , CF 1 ,
BC
AE 1.6 DF 2.5 i=1:1.6
∴ AE=9.28 m ，DF=14.5 m. A α E F
∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6 m.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
6
B
C
i=1:3 A
E
i=1:2.5 23 α FD
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
i BE 1，AE 3BE 323 69m.
AE 3
h 水平面
2. 坡度 (或坡比) 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比 叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l . 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
3. 坡度与坡角的关系
i h tan
l
即坡度等于坡角的正切值.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
在 Rt△BDF 中，tan∠DBF＝DBFF，
∴BF＝tan∠DFDBF≈ta5n.5757°≈4.04.
沪教版(上海)九年级第一学期 教案设计 25.4解直角三角形的应用(3)

沪教版(上海)九年级第一学期 教案设计 25.4解直角三角形的应用(3)

§25.4 解直角三角形的应用（3）普陀区课题组 教学目标：1． 理解坡度（坡比）、坡角的概念，并会初步应用；2. 经历解决实际问题的过程，提高把实际问题转化为数学问题的能力，感受化归，数形结合的数学思想.教学重点：坡度（坡比）、坡角知识的运用； 教学难点：实际问题转化为解直角三角形问题. 教师活动 学生活动 教学设计意图 一、情景引入：学生感受生活中的斜坡平坦与陡峭，它与斜坡的倾斜程度有关，这个倾斜程度可以用坡面的垂直高度与水平宽度的比来刻画，揭示课题. 二、新授部分： 1.定义： 如图，坡面的铅垂高度（h ）和水平宽度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即i =lh. 坡度通常写成1:m 的形式，如i =1∶1.5． 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系: i =lh= tan α. 【适时小结】求坡度，坡角的实际问题，可以利用直角三角形解决.2.练习：（1）如果一斜坡的坡比是1∶0.8，那么tan α= .（2）如果一斜坡的坡比是1∶0.8，斜坡高为5米，那么斜坡的水平宽度为 米，那么斜坡的长为 米.（3）如果一斜坡的坡比是1∶0.8，斜坡 水平宽度为5米，那么斜坡的高 为 米.师生互动完成 (1)45. （2） 4 ；41.(3)425.生活中的实例，感悟数学来源于生活，激发学生兴趣，揭示课题.明确“坡度”“坡角”概念的含义.对概念进行简单运用，熟悉概念.三、新知应用1.例1 如图：大楼前残疾人通道是斜坡，若用AB 表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？（角度精确到1’，其他近似数取四位有效数字）根据所给的实际问题，我们可以画出它的数学图形为：问1：AB 表示什么？问2：题中数据3.2米、0.4米各表示什么量？问3：如何求i ？教师板书：解 过点A 作水平线l ，再作BC ⊥l ,垂足为点C .根据题意，可知AB=3.2米，BC=0.4米.在Rt △ABC 中,AC=22BC AB -=224.02.3-≈3.175(米) .∴i=175.34.0=AC BC ≈1:7.938. ∴tan A=175.34.0=AC BC ≈0.1260. ∴∠A≈7°11’ .答:残疾人通道的坡度约为1:7.938，坡角约为7°11’. 2.练习1 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:2，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，求物体所经过师生共同分析题意.1.斜坡，相当于直角三角形中的斜边.2.斜坡的长和高，相当于知道了直角三角形中的斜边和一条直角边.3.可以先通过勾股定理计算出水平宽度，再求出坡度和坡角的正切值，最后求出角度.答：即求线段AB 的长，可以此题为斜坡中有关的计算问题，一方面让学生熟悉坡度，坡角的概念，一方面让他们了解社会对残疾人的关爱.通过教师的板演，规范学生新学知识的表述.对坡度问题的有关计算，进一步巩固前一节课中关于构A B C 9传送带1:2B AC9传送带1:2BA的路程（精确到0.1米）.问：求物体所经过的路程，即求图形中哪一段的长？可以如何构建直角三角形？3.例题2 如图(图中单位:米)，一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，路基顶宽BC 为2.8米，路基高为1.2米，斜坡AB 的坡度i =1:1.6.(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米)； (2)求坡角(精确到1°) .根据所给的实际问题，我们可以画出它的数学图形为：1.22.8DCBA问：在等腰梯形中，一般有哪些常添辅助线？问：此题中，可以怎样添线？FE1.22.8DCBA问：作高的目的是什么？ 解： 分别过点B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足分别为点E 、F .根据题意，可知BE=1.2 (米)，AE=DF ，EF=BC=2.8(米). 在Rt △ABE 中， ∵6.11=AE BE ， ∴AE =1.过B 点作水平地面. 解：过点B ，向水平线作垂线，垂足为C ，据题意，可知：BC=9米，ACBC i =,2:1=i ， ∴1:2=9:AC ， ∴AC=18. 在Rt △ABC 中， 米）(1.20591892222≈=+=+=BC AC AB 答：物体所经过的路程约为20.1米. 答：作高、平移腰、延长两腰交于一点，将等腰梯形转化为特殊的三角形和特殊四边形. 答：可以过B ，C 点，分别作此等腰梯形的两条高. 答：构建直角三角形，将这个问题转化为解直角三角形的问题. 请一位学生回答，其他同学模仿老师的板书共同完成. 建直角三角形解决实际问题.本题也是斜坡中有关计算问题，其实际背景是铁路路基，抽象为一个等腰梯形. 由于坡度问题计算过程很繁琐，可以通过展示学生解题6BE=1.6×1.2=1.92（米）. (1)AD=AE+EF+DF=2AE+EF =2×1.92+2.8=6.64≈6.6(米) (2)设坡角为α，则i=tan α=6.11=0.625， ∴α≈32°.答:路基下底宽约为6.6米,坡角约为32°. 【小结】：遇到坡度问题，一般作高，构建直角三角形,通过解直角三角形来解决.4.练习2 如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽AD 是6米，坝高是23米，背水坡AB 的坡度为1:3，迎水坡CD 的坡度为1:2.5，求（1）背水坡AB 与坝底BC 的长度（精确到0.1米）（2）迎水坡CD 的坡角α（精确到1°） DCA2361:2.51:3B四、课堂小结： 1 通过本堂课的学习，你有什么收获？教师补充： 在解决实际问题时，通常先将实际模型，转化为数学图形.四、布置作业：练习册：习题25.4（3）解：（1）如图，分别过A ，D 作BC 的垂线，垂足为E ，F ，AD=EF=6 在Rt △ABE 中， ∵3:11=i ,AE =23米， ∴AE:BE =1:3，BE =69米；7.7222≈+=BE AE AB 米在Rt △DCF 中，∵5.2:12=i ,DF =23米， ∴DF :FC =1:2.5,CF =57.5米； ∵BC=BE+EF+CF=69+6+57.5=132.5 米.（2）CD 的坡角为α则4.05.21tan ===αi ∴022≈α. 答：背水坡AB 为72.7米，坝底BC 的长度为132.5米.迎水坡CD 的坡角为22度.（1）认识了坡度（坡比）、坡角的概念.坡面的铅垂高度（h ）和水平宽度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i . 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α. i =lh=tan α （2）解决实际问题时，通过作高，构造直角三角形，运用新知，解决实际问题.过程,师生共同点评分析,然后教师再示范，并严格要求学生.巩固所学的知识，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力.E F。

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