九年级数学上册24.4解直角三角形专题3直角三角形边角关系的应用华东师大版

• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午6时6分53秒18:06:5322.4.12
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午6时6分22.4.1218:06April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二6时6分53秒18:06:5312 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
AB AD sin 60 10 （3 米
答：塔高为10 3米
练习1.某飞机与空中A处探测到目标 C，此时飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制点B的 俯角α=16°31′，求飞机A到 控制点B的距离。
分析：解决此类实际问题的关键是画出正 确的示意图，能说出 题目中每句话对 应图中哪个角或边，将实际问题转化 直角三角形的问题来解决。
24.4 解直角三角形
在RtABC中，C 90
A
1.三边关系 a2 b2 c2 (勾股定理 ) b c
2.锐角关系 A B 90
3. 边角关系
90度
C
a
B
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b
c
c
b
a
sin B b , cos A a , tan B b , cot B a
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
练习3 . 如图,沿AC方向开山修渠．为了加
快施工进度，要在小山的另一边同时施 工．从AC上的一点B取∠ABD=140°， BD=520米，∠D=50°．那么开挖点E离D多 远(精确到0.1米)，正好能使A，C，E成一直 线？

“有斜求对乘正弦”的意思是在一个直角三角形中，对一
个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么
就用斜边长乘该锐角的正弦，其余的口诀意思可类推.
知1－练
例 1 根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2. 解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择 合适的关系式求解.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
1 课时讲解 解直角三角形
解直角三角形在实际问题中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 解直角三角形
知1－讲
1. 一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其 中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个 未知元素(知二求三). (2) 一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直 角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
找未知角的某一个锐角三角函数.
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵ tan A＝ab，∴ 33＝1a2， ∴ a＝4 3，∴ c＝2a＝8 3.
知1－练
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°.
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；

第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）教学目标1.理解仰角、俯角的含义，能准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学重难点重点：理解解直角三角形的含义.难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学过程复习巩固1.锐角三角函数：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则 两锐角关系：∠A+∠B ＝90°. 三边关系：a 2+b 2＝c 2. 边角关系：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sin A ＝∠A 的对边斜边；(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cos A ＝∠A 的邻边斜边；(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.教学反思导入新课我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解关于仰角与俯角的问题.教师引出课题：24.4解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）探究新知探究点一仰角、俯角的概念活动1（学生交流，教师点评）阅读教材第113页读一读【总结】在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.典例讲解（师生互动）例1如图，为了测量电线杆的高度BC，在离电线杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得电线杆顶端C的仰角a＝52°，求电线杆BC的高.（精确到0.1米）【探索思路】(引发学生思考)本题要求BC，由图示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE问题就解决了.【解】在Rt△CDE中，∵CE＝DE tan α＝AB tanα＝10 tan 52°≈12.80（米），∴BC＝BE+CE＝DA+CE＝1.50+12.80＝14.3（米）.答：电线杆BC的高为14.3米.探究点二利用三角函数解实际问题的一般步骤活动2（学生交流，教师点评）【总结】利用三角函数解实际问题的一般步骤：（1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论；（2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案. 教学反思例2 如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC .【探索思路】分析法：要求BC ，先求出BD 与CD ，只要解Rt △ADB 、Rt △ADC .【解】由题意，得α＝30°，β＝60°，AD ＝100米，∠ADC ＝∠ADB ＝90°. ∴在Rt △ADB 中，α＝30°，AD ＝100米，∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33，∴BD ＝10033米.在Rt △ADC 中，β＝60°，AD ＝100米，∴tan β＝CD AD ＝CD100＝3，∴CD ＝1003米.∴BC ＝BD +CD ＝10033+1003＝40033 (米)，即这栋楼的高度BC 是40033米.【题后总结】(学生总结，老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADB 、△ADC ，利用BC ＝BD +CD 可求出答案. 【归纳】仰角、俯角问题的常见基本模型：模型一 模型二模型三 模型四 模型五【即学即练】如图，某大楼顶部有一旗杆AB ，甲乙两人分别在相距6米的C ，D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°，且C ，D ，E 在一条直线上.如果DE ＝15米，求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)教学反思【解】在Rt △ADE 中，∠ADE ＝65°，DE ＝15米，则tan ∠ADE ＝AEDE ，即tan 65°＝15AE≈2.1，解得 AE ≈31.5米.在Rt △BCE 中，∠BCE ＝42°，CE ＝CD +DE ＝21米，则tan ∠BCE ＝BECE ，即tan 42°＝21BE≈0.9，解得 BE ≈18.9米.则AB ＝AE -BE ＝31.5-18.9≈13(米). 即旗杆AB 的长大约是13米. 【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.课堂练习1.如图所示，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30 m 的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为( )A.30tan m B.30sin α m C.30tan α m D.30cos α m2.如图所示，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞机的飞行高度AC ＝1 200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1 200 mB.1 200√2 mC.1 200√3 mD.2 400 m 3.如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8 m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA ＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB ＝45°，那么，旗杆AB 的高度是( )教学反思A.(C.⎛⎝⎭m D.8⎛⎝⎭m4.如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时热气球高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，则建筑物A，B间的距离为( )A.150√3mB.180√3mC.200√3mD.220√3m5.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为多少米.参考答案1.C【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∵BO＝30 m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝AOBO，∴AO＝BO tan α＝30tan α m.故选C.2.D【解析】由题意，得∠B＝30°，所以sin B＝12ACAB＝.又AC＝1 200 m，所以AB＝2AC＝2 400 m.3.D【解析】由题意，得AE＝CE tan∠ECA＝(m)，教学反思BE ＝CE tan ∠ECB ＝8(m).∴AB ＝BE +AE＝8⎛ ⎝m.4.C 【解析】∵ ∠A ＝30°，∠B ＝60°，在Rt △ACD 中，tan A ＝CDAD， ∴AD tan CD A ＝150√3（m ）.在Rt △BCD 中，tan B CDBD ＝， ∴BD tan CD B ＝＝50m ）， ∴ AB ＝AD +BD ＝m ）.5.【解】设楼高AB 为x m.在Rt △ADB 中，DB tan30x︒＝＝.∵ ∠ACB ＝45°，∴ BC ＝AB ＝x .∴ CD ＝BD −BC ＝(√3−1)x ＝60，解得x ≈82. 故高楼的高度大约为82米.6.【解】如图，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G .由题意知C ，E ，G 三点共线.设AG ＝x m.由题意可知AB ⊥DB ，CG ∥DB ，∠AGE ＝90°.在Rt △AEG 中，∵ ∠AEG ＝60°，tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝tan 60AG ︒＝(m). 在Rt △ACG 中，∵ ∠ACG ＝30°，tan ∠ACG ＝AGCG，∴CG ＝tan30tan30AG x︒︒＝＝√3x (m). ∵CE ＝DF ＝100 m ，而CG −EG ＝CE x ＝100，解得x ＝50√3.∴AB ＝AG +GB ＝(50√3+1) m.课堂小结(学生总结，老师点评) 仰角、俯角的概念：在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 利用三角函数解实际问题的一般步骤： （1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论； （2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.教学反思【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.布置作业教材第114页练习题第1，2题.板书设计课题 24.4 解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形 （第2课时）一、仰角、俯角的概念 例1 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.二、解直角三角形的基本模型 例2模型一 模型二模型三 模型四模型五教学反思。

∴sinC＝BBDC＝BD2＝
2 2，
tanC＝CBDD＝1，
∴BD＝CD＝1， 在Rt△ABD中，∠A＝30°，
∴AD＝tBanDA＝ 13＝ 3， 3
∴AC＝AD＋CD＝ 3＋1.
展示提升
1．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝
(D)
A.
5 2
B.12
C.2 5 5
D.
5 5
解直角三角形及其简单应用
【学习目标】 1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目 中的已知条件解直角三角形； 2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三 角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力； 3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的 能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 【学习重点】 根据条件解直角三角形． 【学习难点】
3．边角关系：(锐角三角函数_
b
cosA＝__c __
a
cosB＝__c__
a
tanA＝__b__
b
tanB＝__a__
自学互研
知识模块 解直角三角形 (一)自主探究
1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知两直角 边长分别为a，b，如何求斜边c和锐角∠A，∠B? 2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知一直角 边a，锐角A，如何求b，c和∠B?
(二)合作探究 典例 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B 处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它 的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的 正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)
解：在Rt△ABC中， ∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
BACB＝tan∠CAB，
范例 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则 大树在折断之前高多少？