【2013考研】2012考研数学模拟题带答案数学三

【解析】由 C AB 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有 A CB1 ，从而
A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
1 a 1 2 0 0
（6）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（B） o(x) o(x2 ) o(x3 )
（C） o(x2 ) o(x2 ) o(x2 )
（D） o(x) o(x2 ) o(x2 )
（2）函数 f (x) | x |x 1 的可去间断点的个数为（ ） x(x 1) ln | x |
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（3）设 Dk 是圆域 D {(x, y) | x2 y2 1}位于第 k 象限的部分，记 Ik ( y x)dxdy k 1, 2,3, 4
（10）设函数 z z(x, y) 由方程 (z y) x
xy 确定，则 z x
(1, 2 )
________。
ln x
（11）求
dx ________。
1 (1 x)2
（12）微分方程 y y 1 y 0 通解为 y ________。 4
（13）设 A (aij ) 是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， Aij 为 aij 的代数余子式，若
a 1
与
0 0
b 0
0 0
相似
1 a 1
的充分必要条件为
a
b
a
的特征值为
2,
b,0
。
1 a 1
1 a 1 又 E A a b a [( b)( 2) 2a2 ] ，从而 a 0,b为任意常数 。

a 0
0
,
B
1
1 b
，当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC
CA
B
，并求所有矩阵
C
。
（21）（本题满分 11 分）
a1 b1
设二次型
f
x1, x2, x3
2 a1x1
a2x2
a3x3 2
b1x1
b2x2
b3x3 2 ，记
a2
,
b2
。
a3
b3
（I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；
1 a 1 2 0 0
（6）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（A） a 0, b 2
（B） a 0,b为任意常数
（C） a 2,b 0
（D） a 2,b为任意常数
（7）设 X1，X2，X3 是随机变量，且 X1~N(0,1)，X2 ~N(0,22），X3 ~ N(5,32 ) , Pj P{2 X j 2}( j 1, 2,3), 则（ ） （A） P1 P2 P3 （B） P2 P1 P3 （C） P3 P1 P2 （D） P1 P3 P2
aij Aij 0(i, j 1, 2,3),则 A ____
（14）设随机变量 X 服从标准正态分布 X ~N(0,1) ,则 E( Xe2X ) = ________。
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
（10）设函数 z z(x, y) 由方程 (z y) x

12013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>2（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )3（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。

2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。

【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx 2-1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→-1y=limx→-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数fx=(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n),其中n为正整数，则f'0=(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!(C)-1n-1n! (D) -1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)⋯(e nx-n),则fx=(ex-1)gxf'(x)=exgx+(ex-1)g'xf'0=g0=-1-2⋯(-(n-1))=-1n-1n-1!故应选A.【方法2】由于f0=0,由导数定义知f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n)x=limx→0(ex-1)x∙limx→0(e2x-2)⋯(enx-n)=-1-2⋯-n-1=-1n-1n-1!.【方法3】排除法，令n=2,则fx=(ex-1)(e2x-2)f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1)f'0=1-2=-1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B。