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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年考研数学一真题及答案解析D234(2)设211()23=+-xxy ex e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c(D)3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选5（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为1nn a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。
而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2)。
因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。
(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线6y x=，3y x=围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D) ()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，7所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测试题（全国课标卷一）（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.若全集U=R，集合A={x|x2+x﹣2≤0}，B={y|y=log2（x+3），x∈A}，则集合A∩（∁U B）=（）A． {x|﹣2≤x＜0} B． {x|0≤x≤1} C． {x|﹣3＜x≤﹣2} D． {x|x≤﹣3}1.A【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，根据全集U=R及B，求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．解：A={x|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，∵B={y|y=log2（x+3），x∈A}，由于函数y=log2（x+3）为增函数，∴B={y|0≤y≤2}，∵全集U=R∴∁U B={y|y＜0或y≥2}，∴A∩∁U B={x|﹣2≤x＜0}．故选：A．【点评】：本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.设是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为．．．．答案及解析：2.依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得．故选．3.已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A． [1，3] B． [] C． [，] D． [，3]答案及解析：3.D【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】： 平面向量及应用． 解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x ，y ）， 则=（x ﹣1，y ），=（x ，y ﹣2）， 则，即（x ，y ）到A （1，0）和B （0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段， |+2|=表示（﹣2，0）到线段AB 上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y ﹣2=0的距离所以|+2|min =，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D ． 4．设f(x)是定义在R 上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间[]2,3单调递减，则（ ）(A) f(x)在区间[]3,2--单调递增 (B) f(x)在区间[]2,1--单调递增(C) f(x)在区间[]3,4单调递减 (D) f(x)在区间[]1,2单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合【答案解析】D 解析：由f （x ）=f （x ﹣2），则函数的周期是2，若f （x ）在区间[2，3]单调递减，则f （x ）在区间[0，1]上单调递减，∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （x ）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f （x ）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．5．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 ( )A ．18B ．15C ．12D ．9【知识点】排列组合的应用J2【答案解析】D 解析：可以先排高三年级有233C =种排法，再排高一年级有13C =3种排法，剩余的排在高二，所以一共有3×3=9种排法.【思路点拨】在计算有限制条件的排列问题时，可以从特殊位置出发，先排特殊位置再排一般位置.6.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( ) A. B.100 C.92 D.84答案及解析：6.【知识点】由三视图求面积、体积．G2B 解析：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100．故选B．【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．7.执行右图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7答案及解析：7.【知识点】程序框图．D 解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M= ×2＝2，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M= ×2＝2，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【思路点拨】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．8.已知都是定义在上的函数，，，且，且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（）A．6 B．7 = C．8 D．9答案及解析：8.【知识点】导数的应用A∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴数列为等比数列，∴，∴，即，所以的最小值为6。
2015年中考模拟名校命题研究专家预测数学试题时间120分钟 满分150分 2015.5.19 一、选择题（每小题4分，共40分）1．化简23)a （的结果为（ ▲ ）A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2. 今年五一假期，我市某风景区接待游客约为103000人，这一数据用科学记数法表示为（ ▲ ）A ．10.3×104B ．1.03×104C ．1.03×105D ．1.03×106 3．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．4. 我校10名学生今年二月份参加社会实践活动的时间分别为3，3，6，4，3，7，5，7，4，9（单位：小时），则这组数据的中位数为（ ▲ ） A ．5 B ．4.5 C ．3 D ．75. 若分式21x x -+无意义，则x 的值为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2 6. 如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在 直尺的对边上，并测得∠1=23°，则∠2的度数是（ ▲ ）A ．23°B ．27°C ．30°D ．37°7．若实数,,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式不成立的是（ ▲ ）A ．b a > BC ．+0a b <D 8. 用半径为5cm A ．210cm π B 9. 小颖画了一个函数1ax=的解是（ ▲A ．x =1 B ．10. 如图，90ABC ∠=若点P 到AC 边上的个数为（第6题图A ．0B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题5分，共30分）11. 点P (1,3)-位于第 ▲ 象限．12. 正八边形的每个外角的度数为 ▲ ．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是41，那么袋子中共有球 ▲ 个．14. 请写出一个当0x >时，y 随着x 的增大而增大的反比例函数的解析式 ▲ ． 15. 一个边长为8cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 ▲ cm ．3＝…12x =于点B 1，B 2，P 1，P 2，S n ，则S n= ▲ 、21、22题每18．先化简，再求值：211(1+)x x x -÷其中1x =+19. 已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 中点，连结OE ．过点C 作CF ∥BD 交线段OE 的延长线于点F ，连结DF ． （1）求证：△ODE ≌△FCE ；（2）试判断四边形ODFC 是什么四边形，并说明理由．20. 为推进阳光体育活动的开展，某学校决定开设以下体育课外活动项目：A ．排球；B ．乒乓球；C ．篮球； D ．羽毛球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 ▲ 人； （2）请你将条形统计图补充完整；（3）求喜欢排球人数所占扇形圆心角的大小；（4）若甲、乙、丙、丁四位同学都喜欢乒乓球运动，现从这四名同学中任选两名进行对抗练习，求恰好选中乙、丙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）.图1 图2 第20题图 随机抽取的学生喜欢体育课外 活动项目的人数扇形统计图 随机抽取的学生喜欢体育课外活动项目的人数条形统计图0 第19题图21. 为迎接“六一”，某儿童玩具店计划购进一批甲、乙两种玩具，已知2件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为90元，3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为160 元．（1）求甲乙两种玩具每件进价各多少元？（2）如果该玩具店准备购进甲乙两种玩具共20件，总进价不超过．．．700元，且不低于．．．600元，问有几种进货方案，哪种进货方案总进价最低？22. 如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）第22题图MMA ABOP P D CC E23. 定义：如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”． （1）请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的括号内打“√”，假命题后的括号内打“╳”）①等腰直角三角形一定不存在匀称中线. （ ） ②如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线.（ ） （2）已知：如图1，在Rt ABC ∆中，090C AC BC ∠=>，， 若ABC ∆是“匀称三角形”，求::BC AC AB 的值； （3）拓展应用:如图2，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，AB AC >，045BAC ∠=, 将ABC ∆ 绕点A 逆时针旋转045得ADE ∆，点B 的对应点为D ，连接CD 交⊙O 于M, 连接AM.①请根据题意用实线在图2中补全图形；②若ADC ∆是“匀称三角形”, 求tan AMC ∠图1图2第23题图24. 如图，二次函数22=++的图象与x轴交于点A和点B（1，0），以AB为边在x轴y x x c上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）求点A的坐标；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并若存在，请求出数学参考答案及评分标准11．二 12. 450 13. 12 14. 1y x=-等(答案不唯一，满足(0)k y k x=<均可)15. 6 16. 284n n +三、解答题(本题有8小题，第17～19题每题8分，第20、21、22、每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分)17．解：原式=6431++- …………………………………………………………………4分=12. ………………………………………………………………………8分 18．解：原式=1(1)(1)x xx x x +⋅-+ …………………………………………………………4分=11x - . …………………………………………………………………6分当1x =. ……………………………………………………8分19. 证明：（1）∵CF ∥BD ，∴∠DOE =∠CFE ， ………………………………………………………………1分 ∵E 是CD 中点，∴CE =DE ， …………………………………………………………………………2分 在△ODE 和△FCE 中，，∴△ODE ≌△FCE （ASA ）； …………………………………………………………4分 （2）菱形. ……………………………………………………………………………5分 理由如下：∵△ODE ≌△FCE ，∴OD =FC ， ……………………………………………………………………………6分 ∵CF ∥BD ，∴四边形ODFC 是平行四边形， ………………………………………………………7分 在矩形ABCD 中，OC =OD ，∴四边形ODFC 是菱形． ……………………………………………………………8分20. 解：（1）200 ………………………………………………………………………2分 （2）C 项目对应人数为60（图略） …………………………………………………4分 （3）002036036200⨯= …………………………………………………………………6分（4）画树状图如下：，或列表如下：………………………………………8分共有12种等可能的情况，恰好选中乙、丙两位同学的有2种，则P(选中乙、丙)=21126=． …………………………………………………………………………………10分 21. 解：（1）设甲、乙两种玩具每件进价分别为x 元、y 元，由题意，得32160290x y x y +=⎧⎨+=⎩， ………………………………………………………………………2分 解得：2050x y =⎧⎨=⎩. ………………………………………………………………………3分答：甲、乙两种玩具每件进价分别为20元、50元． ………………………………4分（2）设总进价为W 元，购进甲玩具a 件，由题意得2050(20)100030W a a a =+-=-. …………………………………………………5分 由6002050(20)700a a ≤+-≤，解得40103a ≤≤. ………………………………7分∵ a 为整数，∴ 10,11,12,13a =. …………………………………………………………………8分由一次函数100030W a =-可知，300k =-<，W 随a 增大而减小. ∴当13a =时，W 取得最小值. ………………………………………………………9分 答：有4种进货方案，其中购进甲玩具13件，乙玩具7件的方案总进价最低. ……10分22. 解：（1）在Rt △BOE 中，OE =0tan 55BE ， ………………1分在Rt △BDE 中，DE =0tan 25BE ，……………………………2分则0tan 55BE +0tan 25BE =30， ……………………………… 4分解得BE ≈11cm ． ………………………………………5分故B 点到OP 的距离大约为11cm ；………………………………………………………6分 （2）在Rt △BDE 中，BD =0sin 25BE ≈28cm ． …………………………………………………8分AC=BD ≈28cm ． …………………………………………………………………9分故滑动支架的长28cm ． …………………………………………………………………10分 23. 解：（1）①√；②√. ……………………………………………………………2分 （2）∵090C ∠=，AC BC >，由（1）可知ABC ∆的匀称中线是AC 边上的中线，设D 为AC 中点，则BD 为匀称中线.设2AC a =，则CD a =，2BD a =.∵0BC =， ……………………4分∴AB ==，……………………………5分 ∴BC………………………………6分（3）①如图； (8)分②∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转450得ADE ∆， ∴045,DAE BAC AD AB ∠=∠==. ∴090,DAC ADAC ∠=>. ∵ADC ∆是匀称三角形，∴2AD AC =：，即2AB AC =：. ………………9分过点C 作CH AB ⊥于H ，则090AHC BHC ∠=∠=.设AC，则AH CH ===.∴2BH k =.∴5623646tan +=-==∠BH CH B . （分母不化简不扣分） …11分 在⊙O 中，由AMC B ∠=∠24. 解：（1）把B （1，0 由2230x x +-=得13,x =-∴点A 的坐标为（-3，0…（2）. 如图(2), 由正方形 由DP PE ⊥证得DAP ∆∽∆ ∴AD AP OPOE= 设OE y = ∴213(32)()24y t t t =-⋅=--+∵=-10,a <∴当33042t t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭属于即点P 位于AO 的中点时，线段OE 的长有最大值916（3）①如图①，当302t <<时，DP DCPE CQ∴=.又ADP ∆∽OPE ∆，∴DP AD PE OP =. ∴AD DC OP CQ=.即4432t t =-，解得1t =.经检验：1t =是原方程的解.②如图②，当2723≤<t 时，同理证得ADP ∆∽OPE ∆，∴AD DC OP CQ =. 即4423t t=-，解得3t =.经检验：3t =是原方程的解.③如图③，当742t <≤时，DPE ∆∽QCD ∆，DP QC PE CD∴=.同理得DP AD PE OP=.∴AD QC OP CD =.即4234t t =-，解得1t =2t =2t ）. 综上所述，1t =或3(求出了一个的值给2分，两个的值给4（4）存在t =. 理由如下：如图由DCQ ∆沿DQ 翻折得'DC Q ∆，则DCQ ∆≌'DC Q ∆，∴'CDQ C DQ ∠=∠，'4DC DC ==.设抛物线的对称轴交DC 于G ，则DG ＝2.在'Rt DC G ∆∴'060C DG ∠=. ∴00160302CDQ ∠=⨯=.∴CQ =t =. ………………………………14分。
2015考研数学试题及答案模拟试题：2015考研数学（一）一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 设函数f(x)在点x=a处连续，且lim(x→a) (f(x) - f(a))/x = 3，那么f'(a)等于：A. 0B. 1C. 3D. -33. 曲线y = x^2 在点(1,1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 44. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=1)等于：A. λB. λe^(-λ)C. λ^2e^(-λ)D. e^(-λ)5. 以下哪个选项是矩阵A和B的乘积AB的特征多项式：A. |A| |B|B. |A + B|C. |A||B| - |A B|D. |A + B|6. 设函数f(x)在区间[a,b]上可积，且f(x)≥0，那么定积分∫[a,b] f(x)dx的值：A. 一定大于0B. 一定小于0C. 一定为0D. 可能为正，也可能为负7. 以下哪个选项不是二元函数z = f(x, y)的全微分dz的组成部分：A. ∂f/∂x dxB. ∂f/∂y dyC. ∂f/∂x ∂f/∂y dxdyD. f(x, y)8. 设数列{an}满足an+1 = an + 1/n，且a1 = 1，那么a5等于：A. e - 3B. e - 2C. e - 1D. 29. 对于函数f(x) = x^3 - 3x，其在区间(-2, 2)内的最大值和最小值分别是：A. 1, -1B. 8, -8C. 1, -7D. 7, -110. 设函数f(x)在点x=0处可导，且f'(0) = 2，那么在点x=0处的泰勒展开式为：A. f(0) + 2xB. f(0) + f'(0)xC. f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2D. f(0) + f'(0)x^2/2答案：1. C2. C3. C4. B5. C6. A7. D8. A9. C10. B请注意，这是一个模拟试题，实际的2015年考研数学试题及答案可能会有所不同。
all~ 试题2015 年全国硕士研究生入学一致考试数学（一）试题一、选择题 :1 : 8 小题 ,每题 4 分 ,共 32 分 .以下每题给出的四个选项中 求的 ,请将所选项前的字母填在答题纸 指定地点上 .．．．,只有一个选项切合题目要(1) 设函数 f ( x)在,内连续，此中二阶导数f ( x) 的图形如下图，则曲线yf ( x)的拐点的个数为()(A)(B)1(C)2(D)3【答案】（C ）【分析】拐点出此刻二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右双侧二阶导函数异号。
所以，由 f (x) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点 .应选（ C ） .(2) 设 y1 e2 x ( x 1)e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x 的一2 3个特解，则()(A) a3,b 2, c 1(B) a 3, b 2, c 1(C) a3,b 2, c1(D) a 3, b 2, c1【答案】（A ）【剖析】本题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确立微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，而后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下边演示的解法 .【分析】 由题意可知， 1 e 2x 、1e x 为二阶常系数齐次微分方程 y ayby 0 的解，所以 2,12 3为 特 征 方 程 r 2ar b 0 的 根 ， 从 而 a(1 2) 3 ， b 1 22，进而原方程变成y 3y 2yce x ，再将特解 y xe x 代入得 c1.应选（ A ）(3) 若级数a n条件收敛，则x 3 与x 3 挨次为幂级数na n ( x 1)n的()n 1n 1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】（B ）【剖析】本题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【分析】因为a n条件收敛，即x 2 为幂级数a n ( x 1)n的条件收敛点，所以a n ( x 1)n n 1 n 1 n 1的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故na n (x 1)n的收敛n 1区间仍是(0, 2) 因此 x 3 与x 3 挨次为幂级数na n (x 1) n 的收敛点，发散点应选（）. . B .n 1(4) 设D是第一象限由曲线2xy 1 ， 4 xy 1 与直线y x ，y 3x 围成的平面区域，函数 f x, y 在 D 上连续，则 f x, y dxdy ()D1(A) 3 d sin2 f r cos , r sin rdr14 2sin 21(B) 3 d sin 2 14 2sin 21(C) 3 d sin2 14 2sin 2 f r cos , r sin rdr f r cos , r sin dr1(D) 3 d sin2 f r cos , r sin dr14 2sin 2【答案】（B ）【剖析】本题考察将二重积分化成极坐标系下的累次积分【分析】先画出 D 的图形，y1所以f (x, y) dxdy 3 d sin 2 f (r cos ,r sin )rdr ，应选（B）1D 4 2sin 21 1 1 1(5) 设矩阵A1 2 a ， b d ，若会合1,2 ，则线性方程组Ax b 有1 4 a2 d 2无量多解的充分必需条件为( )(A) a ,d(B) a ,d(C) a ,d(D) a ,d【答案】 D1 1 1 1 1 1 1 1【分析】 ( A, b) 1 2 a d 0 1 a 1 d 11 4 a2 d 2 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2)，由 r ( A) r ( A, b) 3 ，故 a 1 或 a 2 ，同时 d 1 或 d 2。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年考研数学模拟试题（数学一）及答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）(sin )x f t dt ⎰（D ）[sin ()]x t f t dt +⎰解 选择B. 由题设知，sin ()t f t ⋅为偶函数，故sin ()x t f t dt ⋅⎰为奇函数.2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点解 选择B. 1101e lim ()lim 11ex x x xf x --→→+==-，1101e lim ()lim 11ex x x xf x ++→→+==--，故0x =是()f x 的跳跃间断点.3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰解 选择 C. 由函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导知， ()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内连续，0lim ()()x x f x f x →=，00lim ()()x x g x g x →=，而00()()f x g x <，故0lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.4.已知级数11(1)n n n a ∞-=-∑和21n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1n n a ∞=∑（）.【C 】(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +解 选择D. 由级数11(1)n n n a ∞-=-∑收敛知，lim 0n n a →∞=，设11(1)n n n a ∞-=-∑，21n n a ∞=∑1nn a∞=∑的前n 项和分别为,,n n n s S σ，则lim ,lim n n n n s a S b →∞→∞==，2122k k a a a σ=+++1234212242()2()k k k a a a a a a a a a -=-+-++-++++22k k s S =+，故22lim lim(2)2k k k k k s S a b σ→∞→∞=+=+，21221lim lim()2k k k k k a a b σσ++→∞→∞=+=+，所以lim 2n n a b σ→∞=+，级数1nn a∞=∑收敛，和为2a b +.5.设矩阵A 与101020101B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则()(2)r A r A E +-=（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6解 选择A. 矩阵A 与B 相似，则2A E -与2B E -相似， 故()(2)()(2)213r A r A E r B r B E +-=+-=+=.6.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 因为3123,,2ααα分别为A 的对应特征值3,1,2的特征向量，故1P AP -=300010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.7. 设随机变量X 服从[1,1]-上的均匀分布，则X 与eXY -=（）.（A ）不相关 （B ）相关 （C ）独立 （D ）相关且不独立 解 选择A. 经计算得，(,)(,e)(e)e0XXXCov X Y Cov X E X EXE ---==-=，0XY ρ=.8. 设1,,n X X 是取自正态总体(0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A~(0,1)N （B ）22(1)~(1)n S n χ--（C）~(1)t n S-（D ）2121~(1,)ni i nX F n X =∑ 解 选择D. 由一个正态总体的抽样分布知A ，B ，C 都正确，222211~(1),~()ni i X X n χχ=∑，但是它们不独立，不能推出2121~(1,)nii nX F n X=∑.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设函数(,)f x y 具有连续偏导数，且2(,234)f x x x x -+=，(1,3)2x f =，则(1,3)y f = . 解 答案为1-. 方程2(,234)f x x x x -+=两边对x 求导，得22(,234)(,234)(43)1x y f x x x f x x x x -++-+⋅-=，令1x =，得(1,3)(1,3)1x y f f +=，故(1,3)1y f =-. 10.微分方程(e 1)1x y y -'+-=的通解为 . 解 答案为e e (1e )xxy C -=+. (e 1)(e1)e [e ]x xdxdxy dx C -----⎰⎰=+⎰ee ee e e (e e )e (e )e (1e )xxxxxxx xx dx C C C -----+--+-=+=+=+⎰.11.设2cos nn x anx ∞==∑，则2a = .解 答案为1. 2202cos 21a x xdx ππ==⎰12.设S为锥面(01)z z =≤≤外侧，则 Sy dydz =⎰⎰ .解 答案为0. S 关于yoz 面反向对称，y 关于x 为偶函数，故0Sydydz =⎰⎰.13.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 解 答案为T(1,1,,1)k ，k 为任意常数. 由题设知，*()1r A =，()1r A n =-，()1n r A -=且*AA A E O ==，故*A 的列向量T (1,1,,1)是0Ax =的基础解系.14.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布(0,1)N ，则{}max(,)0P X Y ≥= .解 答案为34. {}{}{}max(,)01max(,)010,0P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<< {}{}231001(0)4P X P Y Φ=-<<=-=.三、解答题（本题共9小题，满分94分。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c ===3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr ππθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz=.12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一13、n 阶行列式2002-1202002200-12=14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(0)P XY Y -<=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
2015年考研数学一真题【2015年考研数学一真题】2015年考研数学一真题共有12道选择题，其中有8道单选题和4道多选题。
本文将按照试题的顺序逐题进行详细分析和解答。
第一题：已知方程$2\sqrt{2}\sin x+\cos x=\sqrt{2}$，则$\sin x+\cos x$的最小正周期为____。
解析：将方程两边都除以$\sqrt{2}$，得到$\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cosx=1$。
根据三角函数的性质，$\sin x$和$\cos x$的最小正周期均为$2\pi$，因此$\sin x+\cos x$的最小正周期也为$2\pi$。
第二题：设$a>0$，若函数$f(x)=ax^2+x+\ln x$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，则$a$的取值范围是____。
解析：要判断函数$f(x)=ax^2+x+\ln x$的单调性，可以求导数$f'(x)=2ax+1+\frac{1}{x}$，然后观察导数的符号。
当$x>0$时，$2ax>0$，而$1+\frac{1}{x}>0$，所以$f'(x)>0$。
由此可知，函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，即$a$的取值范围为$a>0$。
第三题：已知二次多项式$f(x)$满足$f(-1)=f(0)=f(1)=2$，则$f(2)$的值为____。
解析：由已知条件可知，二次多项式$f(x)$过三个点$(-1,2)$、$(0,2)$和$(1,2)$。
根据唯一性定理可知，经过任意三个不同点的二次多项式只有一个。
因此，我们可以构造一个满足条件的二次多项式，例如$f(x)=2x^2-2x+2$。
将$x=2$代入该式，可以得到$f(2)=2(2)^2-2(2)+2=6$。
第四题：已知复数$z$满足$|z-1|=2|z-i|$，则$\text{Arg}(z-1)-\text{Arg}(2i+z)$的值是____。
