2015年考研数学命题人终极预测8套卷1试卷

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2015年考研数学一真题及答案解析D234(2)设211()23=+-xxy ex e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c(D)3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选5（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

【解析】因为1nn a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。

而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2)。

因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。

(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线6y x=，3y x=围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D) ()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，7所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测试题（全国课标卷一）（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.若全集U=R，集合A={x|x2+x﹣2≤0}，B={y|y=log2（x+3），x∈A}，则集合A∩（∁U B）=（）A． {x|﹣2≤x＜0} B． {x|0≤x≤1} C． {x|﹣3＜x≤﹣2} D． {x|x≤﹣3}1.A【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，根据全集U=R及B，求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．解：A={x|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，∵B={y|y=log2（x+3），x∈A}，由于函数y=log2（x+3）为增函数，∴B={y|0≤y≤2}，∵全集U=R∴∁U B={y|y＜0或y≥2}，∴A∩∁U B={x|﹣2≤x＜0}．故选：A．【点评】：本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.设是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为．．．．答案及解析：2.依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得．故选．3.已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A． [1，3] B． [] C． [，] D． [，3]答案及解析：3.D【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】： 平面向量及应用． 解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x ，y ）， 则=（x ﹣1，y ），=（x ，y ﹣2）， 则，即（x ，y ）到A （1，0）和B （0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段， |+2|=表示（﹣2，0）到线段AB 上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y ﹣2=0的距离所以|+2|min =，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D ． 4．设f(x)是定义在R 上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间[]2,3单调递减，则（ ）(A) f(x)在区间[]3,2--单调递增 (B) f(x)在区间[]2,1--单调递增(C) f(x)在区间[]3,4单调递减 (D) f(x)在区间[]1,2单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合【答案解析】D 解析：由f （x ）=f （x ﹣2），则函数的周期是2，若f （x ）在区间[2，3]单调递减，则f （x ）在区间[0，1]上单调递减，∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （x ）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f （x ）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．5．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 ( )A ．18B ．15C ．12D ．9【知识点】排列组合的应用J2【答案解析】D 解析：可以先排高三年级有233C =种排法，再排高一年级有13C =3种排法，剩余的排在高二，所以一共有3×3=9种排法.【思路点拨】在计算有限制条件的排列问题时，可以从特殊位置出发，先排特殊位置再排一般位置.6.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( ) A. B.100 C.92 D.84答案及解析：6.【知识点】由三视图求面积、体积．G2B 解析：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100．故选B．【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．7.执行右图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7答案及解析：7.【知识点】程序框图．D 解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M= ×2＝2，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M= ×2＝2，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【思路点拨】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．8.已知都是定义在上的函数，，，且，且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（）A．6 B．7 = C．8 D．9答案及解析：8.【知识点】导数的应用A∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴数列为等比数列，∴，∴，即，所以的最小值为6。

2015年中考模拟名校命题研究专家预测数学试题时间120分钟 满分150分 2015.5.19 一、选择题（每小题4分，共40分）1．化简23)a （的结果为（ ▲ ）A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2. 今年五一假期，我市某风景区接待游客约为103000人，这一数据用科学记数法表示为（ ▲ ）A ．10.3×104B ．1.03×104C ．1.03×105D ．1.03×106 3．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．4. 我校10名学生今年二月份参加社会实践活动的时间分别为3，3，6，4，3，7，5，7，4，9（单位：小时），则这组数据的中位数为（ ▲ ） A ．5 B ．4.5 C ．3 D ．75. 若分式21x x -+无意义，则x 的值为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2 6. 如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在 直尺的对边上，并测得∠1=23°，则∠2的度数是（ ▲ ）A ．23°B ．27°C ．30°D ．37°7．若实数,,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式不成立的是（ ▲ ）A ．b a > BC ．+0a b <D 8. 用半径为5cm A ．210cm π B 9. 小颖画了一个函数1ax=的解是（ ▲A ．x =1 B ．10. 如图，90ABC ∠=若点P 到AC 边上的个数为（第6题图A ．0B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题5分，共30分）11. 点P (1,3)-位于第 ▲ 象限．12. 正八边形的每个外角的度数为 ▲ ．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是41，那么袋子中共有球 ▲ 个．14. 请写出一个当0x >时，y 随着x 的增大而增大的反比例函数的解析式 ▲ ． 15. 一个边长为8cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 ▲ cm ．3＝…12x =于点B 1，B 2，P 1，P 2，S n ，则S n= ▲ 、21、22题每18．先化简，再求值：211(1+)x x x -÷其中1x =+19. 已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 中点，连结OE ．过点C 作CF ∥BD 交线段OE 的延长线于点F ，连结DF ． （1）求证：△ODE ≌△FCE ；（2）试判断四边形ODFC 是什么四边形，并说明理由．20. 为推进阳光体育活动的开展，某学校决定开设以下体育课外活动项目：A ．排球；B ．乒乓球；C ．篮球； D ．羽毛球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 ▲ 人； （2）请你将条形统计图补充完整；（3）求喜欢排球人数所占扇形圆心角的大小；（4）若甲、乙、丙、丁四位同学都喜欢乒乓球运动，现从这四名同学中任选两名进行对抗练习，求恰好选中乙、丙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）.图1 图2 第20题图 随机抽取的学生喜欢体育课外 活动项目的人数扇形统计图 随机抽取的学生喜欢体育课外活动项目的人数条形统计图0 第19题图21. 为迎接“六一”，某儿童玩具店计划购进一批甲、乙两种玩具，已知2件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为90元，3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为160 元．（1）求甲乙两种玩具每件进价各多少元？（2）如果该玩具店准备购进甲乙两种玩具共20件，总进价不超过．．．700元，且不低于．．．600元，问有几种进货方案，哪种进货方案总进价最低？22. 如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）第22题图MMA ABOP P D CC E23. 定义：如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”． （1）请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的括号内打“√”，假命题后的括号内打“╳”）①等腰直角三角形一定不存在匀称中线. （ ） ②如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线.（ ） （2）已知：如图1，在Rt ABC ∆中，090C AC BC ∠=>，， 若ABC ∆是“匀称三角形”，求::BC AC AB 的值； （3）拓展应用:如图2，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，AB AC >，045BAC ∠=, 将ABC ∆ 绕点A 逆时针旋转045得ADE ∆，点B 的对应点为D ，连接CD 交⊙O 于M, 连接AM.①请根据题意用实线在图2中补全图形；②若ADC ∆是“匀称三角形”, 求tan AMC ∠图1图2第23题图24. 如图，二次函数22=++的图象与x轴交于点A和点B（1，0），以AB为边在x轴y x x c上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）求点A的坐标；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并若存在，请求出数学参考答案及评分标准11．二 12. 450 13. 12 14. 1y x=-等(答案不唯一，满足(0)k y k x=<均可)15. 6 16. 284n n +三、解答题(本题有8小题，第17～19题每题8分，第20、21、22、每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分)17．解：原式=6431++- …………………………………………………………………4分=12. ………………………………………………………………………8分 18．解：原式=1(1)(1)x xx x x +⋅-+ …………………………………………………………4分=11x - . …………………………………………………………………6分当1x =. ……………………………………………………8分19. 证明：（1）∵CF ∥BD ，∴∠DOE =∠CFE ， ………………………………………………………………1分 ∵E 是CD 中点，∴CE =DE ， …………………………………………………………………………2分 在△ODE 和△FCE 中，，∴△ODE ≌△FCE （ASA ）； …………………………………………………………4分 （2）菱形. ……………………………………………………………………………5分 理由如下：∵△ODE ≌△FCE ，∴OD =FC ， ……………………………………………………………………………6分 ∵CF ∥BD ，∴四边形ODFC 是平行四边形， ………………………………………………………7分 在矩形ABCD 中，OC =OD ，∴四边形ODFC 是菱形． ……………………………………………………………8分20. 解：（1）200 ………………………………………………………………………2分 （2）C 项目对应人数为60（图略） …………………………………………………4分 （3）002036036200⨯= …………………………………………………………………6分（4）画树状图如下：，或列表如下：………………………………………8分共有12种等可能的情况，恰好选中乙、丙两位同学的有2种，则P(选中乙、丙)=21126=． …………………………………………………………………………………10分 21. 解：（1）设甲、乙两种玩具每件进价分别为x 元、y 元，由题意，得32160290x y x y +=⎧⎨+=⎩， ………………………………………………………………………2分 解得：2050x y =⎧⎨=⎩. ………………………………………………………………………3分答：甲、乙两种玩具每件进价分别为20元、50元． ………………………………4分（2）设总进价为W 元，购进甲玩具a 件，由题意得2050(20)100030W a a a =+-=-. …………………………………………………5分 由6002050(20)700a a ≤+-≤，解得40103a ≤≤. ………………………………7分∵ a 为整数，∴ 10,11,12,13a =. …………………………………………………………………8分由一次函数100030W a =-可知，300k =-<，W 随a 增大而减小. ∴当13a =时，W 取得最小值. ………………………………………………………9分 答：有4种进货方案，其中购进甲玩具13件，乙玩具7件的方案总进价最低. ……10分22. 解：（1）在Rt △BOE 中，OE =0tan 55BE ， ………………1分在Rt △BDE 中，DE =0tan 25BE ，……………………………2分则0tan 55BE +0tan 25BE =30， ……………………………… 4分解得BE ≈11cm ． ………………………………………5分故B 点到OP 的距离大约为11cm ；………………………………………………………6分 （2）在Rt △BDE 中，BD =0sin 25BE ≈28cm ． …………………………………………………8分AC=BD ≈28cm ． …………………………………………………………………9分故滑动支架的长28cm ． …………………………………………………………………10分 23. 解：（1）①√；②√. ……………………………………………………………2分 （2）∵090C ∠=，AC BC >，由（1）可知ABC ∆的匀称中线是AC 边上的中线，设D 为AC 中点，则BD 为匀称中线.设2AC a =，则CD a =，2BD a =.∵0BC =， ……………………4分∴AB ==，……………………………5分 ∴BC………………………………6分（3）①如图； (8)分②∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转450得ADE ∆， ∴045,DAE BAC AD AB ∠=∠==. ∴090,DAC ADAC ∠=>. ∵ADC ∆是匀称三角形，∴2AD AC =：，即2AB AC =：. ………………9分过点C 作CH AB ⊥于H ，则090AHC BHC ∠=∠=.设AC，则AH CH ===.∴2BH k =.∴5623646tan +=-==∠BH CH B . （分母不化简不扣分） …11分 在⊙O 中，由AMC B ∠=∠24. 解：（1）把B （1，0 由2230x x +-=得13,x =-∴点A 的坐标为（-3，0…（2）. 如图(2), 由正方形 由DP PE ⊥证得DAP ∆∽∆ ∴AD AP OPOE= 设OE y = ∴213(32)()24y t t t =-⋅=--+∵=-10,a <∴当33042t t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭属于即点P 位于AO 的中点时，线段OE 的长有最大值916（3）①如图①，当302t <<时，DP DCPE CQ∴=.又ADP ∆∽OPE ∆，∴DP AD PE OP =. ∴AD DC OP CQ=.即4432t t =-，解得1t =.经检验：1t =是原方程的解.②如图②，当2723≤<t 时，同理证得ADP ∆∽OPE ∆，∴AD DC OP CQ =. 即4423t t=-，解得3t =.经检验：3t =是原方程的解.③如图③，当742t <≤时，DPE ∆∽QCD ∆，DP QC PE CD∴=.同理得DP AD PE OP=.∴AD QC OP CD =.即4234t t =-，解得1t =2t =2t ）. 综上所述，1t =或3(求出了一个的值给2分，两个的值给4（4）存在t =. 理由如下：如图由DCQ ∆沿DQ 翻折得'DC Q ∆，则DCQ ∆≌'DC Q ∆，∴'CDQ C DQ ∠=∠，'4DC DC ==.设抛物线的对称轴交DC 于G ，则DG ＝2.在'Rt DC G ∆∴'060C DG ∠=. ∴00160302CDQ ∠=⨯=.∴CQ =t =. ………………………………14分。

2015考研数学试题及答案模拟试题：2015考研数学（一）一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 设函数f(x)在点x=a处连续，且lim(x→a) (f(x) - f(a))/x = 3，那么f'(a)等于：A. 0B. 1C. 3D. -33. 曲线y = x^2 在点(1,1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 44. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=1)等于：A. λB. λe^(-λ)C. λ^2e^(-λ)D. e^(-λ)5. 以下哪个选项是矩阵A和B的乘积AB的特征多项式：A. |A| |B|B. |A + B|C. |A||B| - |A B|D. |A + B|6. 设函数f(x)在区间[a,b]上可积，且f(x)≥0，那么定积分∫[a,b] f(x)dx的值：A. 一定大于0B. 一定小于0C. 一定为0D. 可能为正，也可能为负7. 以下哪个选项不是二元函数z = f(x, y)的全微分dz的组成部分：A. ∂f/∂x dxB. ∂f/∂y dyC. ∂f/∂x ∂f/∂y dxdyD. f(x, y)8. 设数列{an}满足an+1 = an + 1/n，且a1 = 1，那么a5等于：A. e - 3B. e - 2C. e - 1D. 29. 对于函数f(x) = x^3 - 3x，其在区间(-2, 2)内的最大值和最小值分别是：A. 1, -1B. 8, -8C. 1, -7D. 7, -110. 设函数f(x)在点x=0处可导，且f'(0) = 2，那么在点x=0处的泰勒展开式为：A. f(0) + 2xB. f(0) + f'(0)xC. f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2D. f(0) + f'(0)x^2/2答案：1. C2. C3. C4. B5. C6. A7. D8. A9. C10. B请注意，这是一个模拟试题，实际的2015年考研数学试题及答案可能会有所不同。