高中数学：第2章 函数2.4.1

§2.4 函数与方程

2.4.1 函数的零点

学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．

知识点 函数零点的概念

思考1 函数的“零点”是一个点吗？

答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

思考2 函数一定都有零点吗？

答案 不一定．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点．

梳理 1.函数的零点

如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系

判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－b2a 没有实根

二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点x1，x2 有一个二重零点x1＝x2 没有零点

1．f(x)＝x2的零点是0.( √ )

2．函数的零点是一个点．( × )

类型一 求函数的零点

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋4x－12x－2.

解 (1)存在．因为f(x)＝－8x2＋7x＋1

＝(8x＋1)(－x＋1)，

所以方程－8x2＋7x＋1＝0有两个实根－18和1，

即函数f(x)＝－8x2＋7x＋1的零点是－18和1.

(2)存在．令f(x)＝0，即x2＋4x－12x－2＝0， 解方程得x＝－6(x＝2舍去)，

所以函数f(x)＝x2＋4x－12x－2的零点是－6.

反思与感悟 求函数零点的两种方法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

跟踪训练1 求下列函数的零点．

(1)f(x)＝x2－1x；

(2)y＝(ax－1)(x＋2)．

解 (1)∵f(x)＝x2－1x，

∴x≠0.

令f(x)＝0，即x3－1＝0，∴x＝1，

∴f(x)＝x2－1x的零点为1.

(2)①当a＝0时，令y＝0得x＝－2.

②当a≠0时，令y＝0得x＝1a或x＝－2.

(ⅰ)当a＝－12时，函数的零点为－2；

(ⅱ)当a≠－12时，函数的零点为1a，－2.

综上所述：当a＝0或－12时，零点为－2；

当a≠0且a≠－12时，零点为1a，－2.

类型二 函数零点个数的判断

例2 已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，(1)有两个零点；(2)有三个零点．

解 令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．

(1)若函数有两个零点，则a＝0或a＞4.

(2)若函数有三个零点，则a＝4.

引申探究

若f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围．

解 令f(x)＝0，得a－1＝2|x|－x2.

令y1＝a－1，y2＝2|x|－x2.

∵f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，

∴y1＝a－1，y2＝2|x|－x2的图象有四个不同的交点．

画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示．

观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.

反思与感悟 判断函数零点个数的三种方法

(1)利用方程的根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．

(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．

(3)转化为两个函数图象交点问题． 例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．

跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．

解 令f(x)＝|x2－6x＋8|，在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，

下面对a进行分类讨论，由图象得，

当a<0时，原方程无实数解；

当a＝1时，原方程实数解的个数为3；

当0

当a>1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.

类型三 函数零点性质的应用

例3 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．

解 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.

∴f(x)的大致图象如图所示：

则a应满足 a＞0，f2＜0或 a＜0，f2＞0，

即 a＞0，4a－4a＋1＋a－1＜0，

或 a＜0，4a－4a＋1＋a－1＞0，

解得0＜a＜5，

∴a的取值范围为(0,5)．

反思与感悟 解决函数零点性质的应用问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．

跟踪训练3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．

解 由已知抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得

 f0＝2m＋1＜0，f－1＝2＞0，f1＝4m＋2＜0，f2＝6m＋5＞0⇒ m＜－12，m∈R，m＜－12，m＞－56，

∴－56＜m＜－12，故m的取值范围是－56，－12.

1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )

答案 D

2．函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是( )

A．(0，±2)；±2 B．(±2,0)；±2

C．(0，－2)；－2 D．(－2,0)；2

答案 B

解析 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.

3．如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( )

A．(－2,6)

B．[－2,6]

C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)

D．{－2,6}

答案 C 解析 由题意，得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即m2－4m－12＞0，由二次函数的图象(图略)知m＞6或m＜－2.

4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.

答案 2 －8

解析 ∵2，－4是函数f(x)的零点，

∴f(2)＝0，f(－4)＝0，

即 2a＋b＝－4，－4a＋b＝－16，解得 a＝2，b＝－8.

5．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．

答案 0，－1

解析 ∵3是f(x)＝ax－b的一个零点，

∴3a－b＝0，即b＝3a.

∴g(x)＝bx2＋3ax＝3ax2＋3ax＝3ax(x＋1)，

∴g(x)的零点是0，－1.

1．函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的零点．

2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．

一、选择题

1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )

答案 A

解析 B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．

2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )

A．2 B．－2

C．±2 D．3

答案 C

解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，

所以b＝±2. 3．已知函数f(x)＝ xx＋4，x＜0，xx－4，x≥0，则函数f(x)的零点个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C

解析 当x＜0时，x(x＋4)＝0的解为x＝－4；当x≥0时，x(x－4)＝0的解为x＝0或x＝4.故f(x)有3个零点．

4．下列说法中正确的个数是( )

①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；

②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；

③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；

④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 B

解析 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.

5．若函数f(x)＝x＋ax(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )

A．－2 B．－1 C．0 D．3

答案 A

解析 f(x)＝x＋ax在(1,2)上有零点，即方程x＋ax＝0，亦即x2＝－a在(1,2)上有根．∴－4＜a＜－1，故选A.

6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为( )

A．1 B．2

C．0 D．不能确定

答案 B

解析 由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，

∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0.故方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点．

二、填空题

7．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．

答案 3

解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)

＝(x－1)(x＋5)(x－2)，

∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.