初中奥数系列：.梯形 A级.第01讲.学生版

MSDC模块化分级讲义体系 五年级奥数.几何.勾股定理与弦图（C级）.学生版 Page 1 of 18

华盛顿的傍晚

亲爱的小朋友们：

“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下：

两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，

则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即

（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2

（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2

化简整理得a2＋b2＝c2

课前预习 勾股定理与弦图

MSDC模块化分级讲义体系 五年级奥数.几何.勾股定理与弦图（C级）.学生版 Page 2 of 18 点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．

例1．如图，两个半径为1的14圆扇形¼''AOB与¼AOB叠放在一起，

POQO'是正方形，求整个阴影图形的面积。

例2．如图，四边形ABCD被AC与BD分成甲、乙、丙、丁4个三角形。已知BE=80厘米，AE=30厘米，CE=60厘米，DE=40厘米，问丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？

例3．如图，△ABC中，点P在边AB上，AP=13AB；点Q在边BC上，BQ=14BC；点R在边AC上，CR=15AC。已知阴影△PQR的面积是19平方厘米，求△ABC的面积。

例4．将任意三角形分成面积相等的五个小三角形，你能给出几种不同的分法？

例5．如图，平行四边形ABCD的面积为64cm2，E、F分别为AB、AD的中点，求△CEF的面积。

例6．如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，且AD:DC=2:3。BD与CE交于F，S△ABC=40，求S△AEFD。

例7．如图，在△ABC中，P是∠BAC平分线上一点，BE∥CP交AC于点E，CF∥BP交AB于点F。求证：BF=CE。

例8．如图，P为△ABC内一点，AP、BP、CP分别交对边于D、E、F。记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2、S3、S4、S5、S6，求证：135246111111SSSSSS。

A卷

一、填空题

01．若长方形的长增加了a％以后，为了使长方形的面积保持不变，则这个长方形的宽应该减少________。

02．已知凸四边形ABC D的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且EG，HF交于点O，四边形AEOH与OFCG面积和是________。

03．如图1，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形。已知A的面积是2平方厘米，B的面积是4平方厘米，C的面积是6平方厘米，原来矩形的面积是________平方厘米。

学科培优 数学

等积变换、切割、平移、旋转

学生姓名 授课日期

教师姓名 授课时长

知识定位

本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：

1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线

4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围

主要考点：

1. 面积和边的比例关系

2. 利用平移、旋转解复杂问题

知识梳理

常见图形面积的解题方法

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三

角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论：

1、等底等高的两个三角形面积相等．

2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。

第八讲 三角形 、平行四边形和梯形(图形计数)

[知识概述]

几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的,因而，要准确计数就需要些智慧了。 实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法。 具体而言，它是指把所有要计数的对象一一列举出来，以保证列举时不重复 、无遗漏，然后计算其总和,正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养思维的有序性和良好的学习习惯。

例题精学

例1A数一数，下图中有多少条线段?

[思路分析]同学们可能会 凭直觉脱口而出认为图上有4条线段，分别是AB,BC,CD和DE，其实不然，这4条我们称之为最基本的线段，每几条相邻的基本线段还可以组成新的线段，如AB,BC可以组成线段AC,要想得到正确的结果,必须有次序，有条理地数。

方法一:以线段左端点为起点，分类数的方法。

以A点为左端点的线段有:AB,AC,AD,AE,4条;

以B点为左端点的线段有:BC,BD,BE,3条;

以C点为左端点的线段有:CD,CE,2条;

以D点为左端点的线段有:DE,1条。

所以图中共有线段:4+3+2+1=10(条)。 方法二:把图中线段AB,BC,CD,DE看成基本线段。

由一条基本线段组成的线段有:AB,BC,CD,DE,4条;

由两条基本线段组成的线段有:AC,BD,CE,3条;

由三条基本线段组成的线段有:AD,BE,2条;

由四条基本线段组成的线段有:AE,1条。

图中一共有10条线段:4+3+2+1=10(条)。

同步精练

数一数，图中各有几条线段。

一共有()条线段。

一共有()条线段。

一共有()条线段。 例2、数一 数.图中有多少个角?

[思路分析] 我们可以用数线段的方法类推出数角的方法。

以OA为一边的角有:∠AOB,∠ BOC,∠COD和∠DOE,把它们看作基本角:

由一个基本角组成的角有:∠AOB, ∠BOC,∠COD和∠ DOE4个;