初中奥数系列：.实数与二次根式A级.第02讲.学生版

1.(0)
a≥(0)
a≥是一个非负数；2a
=(0)
a≥a(0)
a≥•及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．
3.二次根式的加减运算．
第二次数学危机之无穷小是零
18
世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的．
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论．他指出："牛顿在求n x的导数时，采取了先给x
以增量0，应用二项式(0)n
x+，从中减去n x以求得增量，并除以0以求出n x的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比．这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量．"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"．无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论．导致了数学史上的第二次数学危机．
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠．其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等．
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础．从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础．
中考要求
重难点
课前预习
二次根式
模块一二次根式的概念及性质
a≥）的式子叫做二次根式，
称为二次根号．
二次根式的基本性质：（1
0（0
a≥）双重非负性；（2
2a
=（0
a≥）；（3
(0)
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
．
一、对二次根式定义的考察
【例1】判下列式子，哪些是二次根式，
1
x
0)
x>
1 x y +
x≥0，y•≥0）．
【巩固】下列式子中，是二次根式的是（）．
A
．B
C
D．x
【例2】当x
【例3】当x
1
1
x+
在实数范围内有意义？
x有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
【巩固】某工厂要制作一批体积为13m的产品包装盒，其高为0．2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
【例4】解答下列题目
（1）
已知6
y，求
x
y
的值．
（2
0，求20112011
a b
+的值．
例题精讲
【巩固】已知a 、b 5b =+，求a 、b 的值．
【巩固】已知实数a 与非零实数x 满足等式：2
22130x x ⎫⎛-+ ⎪⎝
⎭
二、对二次根式性质的考察
【例5】 计算
（1） 2 （2） 2 （3）2( （4） 2
【巩固】计算
（1） 2(0)x ≥ （2）2
（3）2 （4）2
【例6】 在实数范围内分解下列因式:
（1）25x - （2）44x - （3） 223x -
【例7】 先化简再求值：当a=9时，求a
甲的解答为：原式=(1)1a a a +-=；
乙的解答为：原式=(1)2117a a a a =+-=-=．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
【巩固】若-3≤x ≤2时，试化简2x -．
【巩固】如果0a >，0a b
<
总结:（1）在做题中,在有取之范围的情况下,根式下的式子要满足大于等于0；同时特别注意其与分式的
结合应用；
（2）整个初中数学共学习了三个非负性：绝对值；偶次方（常以平方的形式出现）；根号．在中考
题中经常以填空或选择的形式出现．。