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第3章 波动模型

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第三章波动模型有许多经济时间序列，可能在某一段时间内呈现出相对平稳性，接着可能会呈现出剧烈的波动性。

条件方差在变化，但无条件方差可能是个常数。

因为资产持有者总是关注持有期内收益的波动，而不是整个历史期间内的波动。

能够估计、预测某种特定资产的风险十分重要的。

本章将介绍条件异方差模型（ARCH）的建模方法。

3.1 经济时间序列：典型化特征图形3.1到3.6说明了重要的宏观经济变量的变化行径。

当然需要有正式的检验来证实这些第一印象。

在视觉上，这些序列是非平稳的，样本均值不是常量，有很强的异方差性等重要的典型化特征：（1）大多数序列都包含有明显的趋势。

虽然实际GDP中的实际投资、政府支出比实际GDP和消费波动性更大，实际GDP和消费有一个明显向上趋势。

（2）对序列的冲击显示很强的持久性短期利率和长期利率都没有明显的向上或向下的随机趋势。

但都有很强的持久性。

（联邦基金利率）（某种债券收益）(3) 许多时间序列的波动性并不是常量（上证指数）(取对数再差分)可以看出，平静的期间内也伴随着不同的波动程度。

虽然无条件（或长期）方差是常量，但也有方差变化较大的期间，这样的序列称为条件异方差。

（4）一些序列似乎是随机游走没有特别增加或减少的趋势，没有返到长期均值的趋势。

这种随机游动类型是典型的非平稳序列。

(上证指数收盘价)（5）一些序列与其它序列有着“公共趋势”联邦基金利率和10年期美国政府债券收益没有返回到长期均值的趋势。

但两个序列从未分离开太远，对联邦基金利率的冲击也同样出现在10年政府债券收益。

这种“共同运动”不足奇怪，因为推动短期、长期利益的原因是相同的。

这些增长率趋势之间是否统计上有显著差别，都需要正式的统计检验。

3.2 ARCH过程在传统的计量经济模型中，扰动项的方差都被假设为常数。

但上一节我们看到，许多经济时间序列都显示了非常的大波动期之后又显示了一段相对平缓期，在这样情况下，常量方差的假设是不适当的。

在实践中，经常需要预测一个序列的条件方差。

一个资产持有者总是对持有这种资产的持有期内预测其收益率与方差。

如果你计划在t期买一种资产，在t+1期卖出这种资产，那么无条件方差（方差的长期预测）就不是很重要了。

另外，条件预测要优于无条件预测。

对一个平稳ARMA模型011t t t y a a y ε-=++, 预测1t y +的值。

这时1t y +的条件均值是101t t t E y a a y +=+如果利用这个条件均值预测1t y +，预测误差方差是2221011()t t t t t E y a a y E εσ++--==。

如果使用无条件预测，无条件预测是t y 的长期均值01/(1)a a -。

无条件预测误差方差是2232101111112[/(1)][]t t t tt E y a a E a a a εεεε++----=++++221/(1)a σ=-因为211/(1)1a ->，无条件预测方差比条件预测方差更大。

因而，条件预测更好些。

ARCH 过程Engle(1982)提出可以同时对一个序列的均值和方差建模方法。

1t y +的条件方差是 21101()()t ttt tV a r y y E y aa y ++=-- 21()t t E ε+=现在假设这个条件方差不是常量，预测这个条件方差的最简单办法是把估计的残差的平方看作为AR(q)过程20ˆt εα=+211ˆt αε-+222ˆt αε-++ 2ˆq t q t v αε-+ （3.2.1）这里t v 是白噪声过程。

由此可以预测t+1时的条件方差2101ˆt t E εαα+=+2ˆt ε+221ˆt αε-++ 21ˆq t q αε-+ 方程（3.2.1）被称为自回归条件异方差(ARCH)模型。

由Engle (1982) 提出的一类乘积条件异方差模型：设定白噪声扰动项t v 为乘积扰动形式。

如t v ε= （3.2.2） 这里t v 是白噪声过程21,v σ=且t v 与1t ε-不相关，010,01αα><<。

为了保证条件方差不为负，必须假设01,αα都为正。

为了保证过程的稳定性，还必须限制101α<<。

下面先分析t ε的性质： 1）t ε有零均值且是无关的。

21/2011[()]t t t E E v εααε-=+ =21/2011()0t t Ev E ααε-⋅+= （3.2.3） 由于,0t t i Ev v -=，则有0,0t t i E i εε-=≠ （3.2.4）2）t ε的无条件方差是2222201101101[()]()/(1)t t t t t E E v Ev E εααεααεαα--=+=⋅+=-因此，无条件均值、无条件方差不受误差过程（3.2.2）的影响。

3）t ε的条件均值是21/21211011(,,)()0t t t t t t t E E v E εεεααε-----=⋅+=4）t ε的条件方差是2212011(,,)t t t t E εεεααε---=+ （3.2.5） 这个条件方差依赖于21t ε-的值，如果21t ε-值较大，在t 处的条件方差将也较大。

因此，ARCH 模型能捕捉到{}t y 的平缓期和波动期。

现在可以分析t y 的无条件均值、无条件方差：由于 01011i t t ii a y a a ε∞-==+-∑ 可求出1）t y 的无条件均值 01/(1)t Ey a a =- 2）t y 的无条件方差为 210()()i t t i i Var y a Var ε∞-==∑再由t ε的无条件方差是常量（01/(1)a a -），则有 02111()11t Var y a αα⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭3）t y 的条件均值 1011t t t E y a a y --=+ 4）t y 的条件方差 2121011(,,)()t t t t t t V a r y y y E y aa y----=-- 21()t t E ε-= 2011t ααε-=+方程（3.2.2）形式的ARCH 过程可以多种形式扩展。

Engle(1982)考虑了高阶ARCH(q)过程t v ε=GARCH 模型Bollerslev(1986)扩充了Engle(1982)的工作，假设条件方差服从ARMA 过程：t t v ε= 21v σ=，20111qpt i t i t i i i h h ααεβ--===++∑∑ （3.2.6）因为t v 是白噪声过程，t ε的条件均值、无条件均值都为零。

（1/2()0t t t E Ev h ε==）。

重要的是t ε的条件方差为21t t t E h ε-=。

因此，t ε的条件方差是（3.2.6）中t h 给出的ARMA 过程。

这个推广的ARCH(p,q)模型称为 GARCH(p,q)。

如果所有i β都等于零， GARCH(p,q) 过程等价于ARCH(q)模型。

GARCH 模型的好处在于：一个高阶的 ARCH 模型可以有一个更节俭的GARCH 表示（更容易识别和估计）。

因为（3.2.6）中所有系数必须是正的，且为了保证方差有限，（3.2.6）的所有特征根必须在单位园外。

令()L α和()L β是滞后算子L 多项式，将t h 可写成 201()()t t t h L L h ααεβ-=++(1)α表示()L α在L=1时值，12(1)q αααα=+++ 。

Bollerslev(1986)证明了GARCH 过程是平稳的条件是(1)(1)1αβ+<。

这时0t E ε=，0()/(1(1)(1))t Var εααβ=--，,()0,0t t s Cov s εε-=≠。

GARCH 模型的关键特征是t y 的扰动项的条件方差是ARMA 过程，所以，如果拟合的ARMA 模型是充分的，ARMA 模型的残差的ACF 和PACF 应当是白噪声过程。

而且，残差平方的 ACF 可识别 GARCH 的阶。

方程（3.2.6）很像一个标准的 ARMA(p,q)过程，如果有条件异方差，相关图应显示出来，残差平方的相关图可构造如下：步1：利用ARMA 模型来估计{}t y ，得到残差2ˆt ε，计算残差的样本方差221ˆˆ/Tt t T σε==∑ T 是残差数。

步2：计算残差平方的样本自相关i ρ=∑∑=+=----Tt tTi t i t t 122212222)ˆˆ()ˆˆ)(ˆˆ(σεσεσε步3：在大样本中，i ρ的标准差能用0.5T -来近似。

如果i ρ值显著异于零，说明了序列{}t y 具有GARCH 误差。

Ljung-Box 的Q 统计量可用来联合检验多个系数的显著性：如果2ˆt ε是序列无关的，则 1(2)/()ni i Q T T T i ρ==+-∑有渐近2χ-分布，自由度为n ，拒绝2ˆt ε序列无关的零假设等价于拒绝没有ARCH 或GARCH 误差的零假设。

在实践中，n 值设为T /4。

对于ARCH 误差的Lagrange 乘数检验 (Engle(1982))方法有下面两步：步1：利用OLS 估计最适合的回归方程或ARMA 模型，并令2ˆt ε表示拟合误差的平方。

步2：把残差平方对常数及q 阶滞后21ˆ,t ε-22ˆ,,t ε- 2ˆt q ε-进行回归： 20ˆt εα=+211ˆt αε-+222ˆt αε-++ 2ˆq t q αε-如果没有ARCH 或GARCH 效应，12,,,q ααα 的估计值应为零。

因此，这些回归有较小的解释能力，2R 将非常低。

在没有ARCH 误差的假设下，检验统计量2TR 渐近2χ（q ）-分布。

如果2TR 充分大，拒绝12,,,q ααα 都为零的零假设等价于拒绝没有ARCH 效应的零假设。

如果2TR 充分小，可能没有ARCH 效应。

在小样本中，对零假设120q ααα==== 的F -检验要优于2χ-检验。

分子是自由度为q 的F值，分母是自由度为T-q 的F 值。

3通货膨胀的ARCH 和GARCH 估计由于ARCH 和GARCH 模型能估计一个序列在特殊点处的方差，因而ARCH 和GARCH 模型得到了广泛的应用。

Engle(1982)考虑了英国1958：2—1977：2的工资/价格的简单模型的残差。

令t p 表示英国消费价格指数的对数，t w 表示名义工资指数的对数。

所以，通货膨胀率是1t t t p p π-=-，实际工资是t t t r w p =-，Engle 选择了下面模型14510.02570.3340.4080.4040.0559t t t t t t r ππππε----=++-++（0.0057） （0.103） (0.110) (0.114) (0.0136)0.000089t h =这里t h 是t ε的方差。

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随机波动率模型PPT课件

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:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)

(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G

E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt

eht

/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]

exp(2h


2 h
(1


i ))
E[
rt rti
]

2

exp(h


2 h
第三章 短期经济波动模型：is-lm

第三章 短期经济波动模型：is-lm


MP
M/P
实际货币余额
流动性偏好理论中货币供给的减少
r
利率
r2
②均衡
r1
利率将
上升
①货币供给减少 （即央行减少M）
L (r )
M2
M1
M/P
实际货币余额
PP
四、“流动性陷阱”（“凯恩斯陷阱”）
⚫ 当利率下降到社会公认的水平时，人们认为债券价格将会达到最高， 于是，全部抛出手中的债券而持有货币。这时，无论有多少货币， 人们都愿意拿在手中。这时的货币需求变得极大。这种情况就是 “流动性陷阱”（“凯恩斯陷阱”）。
收入 产出 Y
第二节 流动偏好理论
• 本节涉及两种利率决定的观点，具有明显的宏微 观区别：
（一）古典经济学的利率决定观点
（二）凯恩斯经济学的利率决定观点
• 古典经济学的利率决定观点：古典的利率由资金借贷市场上的 供求均衡决定，而且资金的供给（储蓄）和需求（投资）都是 内生的，也显然是微观的观点。此外，利率也会对资金的供给 （储蓄）和需求（投资）进行调节。
• 一、流动性偏好理论：货币需求函数
凯恩斯在《通论》中指出货币是一种最具流动性的资产， 因此人们是有持有货币在手的偏好。但是持有货币的机会成 本就是放弃的以银行存款或者债券等形式持有资产带来的利 率收入。 也就是说利率是持有货币的机会成本。凯恩斯把利 率看作失去一定量货币（灵活性）而获得的代价，或者为得 到一定量货币所必须支付的代价。
策变动使得IS曲线向左移动。
下面我们通过凯恩斯交叉图来看政府购买的增加如
何使得IS曲线移动。
政府购买使得IS曲线向外移动
计划支出 AE
实际支出
计划支出
(a)凯恩斯 交叉图
宏观经济学(第十版)课件：一个经济波动的动态模型

宏观经济学(第十版)课件：一个经济波动的动态模型

●
15.1
模型的要素
在考察动态AD—AS模型的成分之前,我们需要引入一个符号:在本章,变量
的下标t代表时间。例如,正如本书到目前为止通篇所采用的,Y用于表示总产
出和国民收入。但是,现在它的形式是Yt,它代表时期t的国民收入。类似地,Yt1代表时期t-1的国民收入,Yt+1代表时期t+1的国民收入。这一新的符号使得我
到方程中的四个外生变量以及前一时期的通货膨胀率的影响。滞后的通货
膨胀率πt-1叫做前定变量(predetermined variable)。也就是说,它是一
个以过去值为内生的变量;由于它在我们到达时期t之前已经固定,对于找到
现期均衡这一目的来说,它在本质上是外生的。
我们几乎已经做好准备要将这些部分放在一起,分析各种对经济的冲击如
同样的假设适用于每个时期。因此,当观察到t-1期的通货膨胀时,人们预期该比
率会持续。这意味着
Et-1πt=πt-1。
2024/4/27
五、名义利率:货币政策规则
本模型的最后一个部分是货币政策方程。我们假设中央银行采用下面的规
则基于通货膨胀和产出来确定名义利率目标:
it=πt+ρ+θπ − ∗ +θY −
可以为负。这个变量刻画了除通货膨胀预期(由第一项Et-1πt刻画)和短期经济
条件[由第二项ϕ − 刻画]以外的所有影响通货膨胀的因素。
2024/4/27
四、预期的通货膨胀:适应性预期
正如我们已经看到的,预期通货膨胀在通货膨胀的菲利普斯曲线和联系名义与实
际利率的费雪方程中起着关键作用。为了使动态AD—AS模型变得简单,我们假设人
标,那么,通货膨胀率、预期的通货膨胀率和名义利率都增加相等的数量。实
金融资产价格波动的动态模型建立与分析

金融资产价格波动的动态模型建立与分析

金融资产价格波动的动态模型建立与分析第一章：引言过去几十年来，金融市场资产价格波动一直是一个热门话题，这也是金融理论中的重要问题之一。

随着金融市场的发展和技术的进步，金融资产价格波动模型及其分析方法也不断地发展和完善。

金融资产价格波动模型主要是为了预测未来的金融价格，这对于投资者和决策者来说是非常重要的，因为它们可以帮助他们做出更明智的金融决策。

本文将通过对金融资产价格波动的动态模型建立与分析来探讨金融资产价格波动的现象和原因。

首先，我们将介绍金融市场价格波动的基本概念和研究现状。

其次，我们将介绍金融资产价格波动的一些相关理论，例如随机漫步理论、布朗运动理论、随机差分方程等。

最后，我们将根据实际数据建立一个动态模型，并用该模型对金融资产价格波动进行分析和预测。

第二章：基本概念金融市场上的价格波动非常常见，它是由各种不同的因素所引起的，如政治、经济、社会和自然等因素。

金融资产价格波动主要指股票、债券等金融资产的价格波动。

金融资产价格波动是一种自然现象，并且是一种反映市场运作情况的重要指标。

投资者买卖金融资产时，需要关注市场价格的变化，以便更好地作出决策。

金融资产价格波动通常表现为价格的涨跌。

如果价格涨了，投资者通常会认为股票、债券等资产将有更高的价值，并开始购买这些资产。

这种现象被称为牛市。

反之，如果价格下降，投资者可能会认为股票、债券等资产价值不高，并开始抛售这些资产。

这种现象被称为熊市。

第三章：相关理论1.随机漫步理论随机漫步理论是理解金融市场价格波动的一个重要理论，它假定市场价格遵循一种随机运动的规律。

这种随机运动也被称为布朗运动。

根据随机漫步理论，金融资产价格的变化是完全随机的，不受任何影响，因此是无法预测的。

该理论认为，短期内的价格波动是纯随机过程，而长期内的价格波动则由基本面因素和整体经济环境因素共同决定。

2.布朗运动理论布朗运动理论是展现随机漫步模型的另一种方式。

布朗运动也叫做布朗运动过程，它假定股票价格的涨跌是沿一条随机曲线的，其变化呈正态分布。