第五章波动率的估计(GARCH模型)

garch波动率模型GARCH波动率模型是金融领域中常用的一种波动率预测模型，它基于过去的波动率信息来预测未来的波动率。

本文将介绍GARCH 模型的原理、应用和局限性。

一、GARCH模型的原理GARCH模型是由Engle于1982年提出的，它的全称是Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model，翻译过来就是广义自回归条件异方差模型。

GARCH模型的基本思想是通过对过去一段时间的波动率进行建模，来预测未来的波动率。

GARCH模型的核心是通过对过去的波动率进行建模，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。

在GARCH模型中，波动率是一个时间序列，它的波动会受到过去一段时间内的波动率的影响。

GARCH 模型通过引入自回归项和移动平均项，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。

二、GARCH模型的应用GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，特别是在风险管理和衍生品定价中。

通过对未来波动率的预测，可以帮助投资者和交易员更好地管理风险和制定交易策略。

1. 风险管理：GARCH模型可以用来估计金融资产的风险价值，即在给定的置信水平下，资产可能的最大损失。

通过对不同资产的风险价值进行估计，可以帮助投资者更好地分散风险，保护资产。

2. 衍生品定价：GARCH模型可以用来估计衍生品的隐含波动率，从而为衍生品的定价提供基础。

隐含波动率是指市场上衍生品的价格中所隐含的未来波动率，通过GARCH模型的预测，可以帮助交易员判断衍生品的市场价格是否合理。

三、GARCH模型的局限性尽管GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。

1. 假设限制：GARCH模型假设波动率是一个时间序列，它的波动受到过去波动率的影响。

然而，在实际应用中，市场的波动率可能受到其他因素的影响，如宏观经济变量、政治事件等，这些因素无法被GARCH模型捕捉到。

2. 参数估计：GARCH模型的参数估计比较复杂，需要通过最大似然估计等方法来求解。

波动率预测:GARCH模型与隐含波动率①郑振龙1　黄薏舟2(11厦门大学金融系;21新疆财经大学)【摘要】在预测未来波动率时,究竟是基于历史数据的时间序列模型还是基于期权价格的隐含波动率模型效率更高?本文对香港恒生指数期权市场所含信息的研究发现,在预测期限较短(一周)时,GA RCH(1,1)模型所含信息较多,预测能力最强,但在预测较长期限(一个月)时,隐含波动率所含信息较多,预测能力较强。

同时,期权市场交易越活跃,所反映的信息就越全面,隐含波动率的预测能力也就越强。

关键词　隐含波动率　GARCH模型　信息含量中图分类号　F830 文献标识码　AV olatility Forecast:G ARCH Model vsImplied V olatility Abstract:It is an interesting questio n t hat which is more efficient in forecas2 ting t he f ut ure volatilities,t he time series models based on historical data or implied volatilities obtained directly f rom t he option prices1The st udy based on Hang Seng Index(HSI)optio ns suggest s t hat when t he forecast horizon is one week,t he GARC H(1,1)volatilities contains all information in implied volatilities,whilet he result is t he opposite and implied volatilities are more efficient in t he predictionof f ut ure volatilities when t he horizon is one mont h1The larger t he option t rading volume,t he more t he information contained in implied volatilities1K ey w ords:Implied Volatility;GARC H Model;Information Content引 言波动率在金融经济研究中是非常重要的变量,投资组合、资产定价、风险管理以及制定货币政策,都离不开波动率这一关键的变量。

波动率预测GARCH模型与隐含波动率一、本文概述波动率预测一直是金融领域的核心问题之一，对于投资者、风险管理者和市场监管者都具有重要意义。

本文旨在探讨GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）在波动率预测中的应用，并与隐含波动率进行比较分析。

通过这一研究，我们希望能够更深入地理解这两种波动率预测方法的原理、优缺点及适用范围，为金融市场的稳定和发展提供理论支持和实践指导。

本文首先将对GARCH模型进行详细介绍，包括其理论基础、模型构建过程以及在实际应用中的表现。

随后，我们将对隐含波动率的概念、计算方法和应用领域进行阐述。

在此基础上，我们将对GARCH模型预测波动率与隐含波动率进行比较分析，探讨它们之间的异同点以及在不同市场环境下的适用性。

通过本文的研究，我们期望能够为投资者提供更准确的波动率预测方法，帮助他们在金融市场中做出更明智的投资决策。

我们也希望为风险管理者提供有效的风险管理工具，以降低投资风险并保护投资者的利益。

我们还将为市场监管者提供政策建议和监管思路，以促进金融市场的健康稳定发展。

二、波动率与金融市场在金融市场中，波动率是一个至关重要的概念，它反映了资产价格变动的幅度和不确定性。

对于投资者和风险管理者来说，理解并预测波动率是做出有效决策的关键。

因此，波动率预测在金融领域中具有广泛的应用，包括但不限于资产配置、风险管理、衍生品定价和投资策略制定等。

在众多波动率预测模型中，GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）因其能够捕捉金融时间序列数据的波动性聚集现象而备受关注。

波动性聚集是指资产价格在大幅波动后往往伴随着更大的波动，而在小幅波动后则可能出现较小的波动。

GARCH模型通过引入条件方差的概念，允许波动率随时间变化，并能够在一定程度上解释这种波动性聚集现象。

除了GARCH模型外，隐含波动率也是金融市场中的一个重要概念。

隐含波动率是指从金融衍生品价格中反推出的波动率，它反映了市场对未来资产价格波动的预期。

金融工程学 Chapter5引言金融工程是一门综合性学科，旨在运用数学、统计学和计算机科学等工具，研究金融市场和金融产品，以解决金融领域的实际问题。

本章将探讨金融工程学中的第五章内容，包括期权定价、风险中性测度以及波动率的估计等。

1. 期权定价1.1 期权的基本概念期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来某个时间点或某个特定时间段内购买或卖出某种资产的权利。

期权的价值在很大程度上取决于标的资产价格的变动。

1.2 期权定价模型1.2.1 Black-Schole模型Black-Schole模型是一个用于计算欧式期权定价的数学模型。

它假设市场中不存在任何交易费用和税收，并且市场是完全有效的。

在这个模型中，期权的价格是由标的资产的价格、执行价格、时间、无风险利率和标的资产的波动率来决定的。

1.2.2 套利定价原则套利定价原则是一种通过构建无风险套利组合来确定期权合理价格的方法。

这个原则基于市场无套利的假设，套利定价原则的核心思想是通过一系列交易来合成与期权相同的现金流。

1.3 期权定价的实证方法1.3.1 历史模拟法历史模拟法是通过使用历史价格和波动率来估计期权的价值。

这种方法的优点是计算简单，但缺点是对未来的不确定性没有考虑。

1.3.2 蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法是一种基于随机数和模拟的方法，用于估计期权的价值。

这种方法通过生成许多随机价格路径，并计算每个路径上期权的价值，然后取平均值作为估计结果。

2. 风险中性测度风险中性测度是金融工程学中的重要概念，它给出了无套利投资策略的概率分布。

风险中性测度可以用于定价衍生品，管理风险以及进行投资决策。

风险中性测度是指在特定的投资环境下，投资者对未来收益的偏好是中性的，即对风险和收益没有明显的倾向。

2.2 风险中性测度的性质风险中性测度有以下几个重要的性质：•风险中性测度下的资产价格过程是一个马尔可夫过程，即未来的价格只依赖于当前的价格。

•在风险中性测度下，市场是完全有效的，不存在任何的套利机会。

基于GARCH模型的股价波动预测基于GARCH模型的股价波动预测一、引言股票市场中的波动性一直是投资者关注的焦点之一。

准确预测股价波动有助于投资者制定合理的投资策略，降低风险并获得收益。

GARCH（Generalized AutoregressiveConditional Heteroscedasticity）模型是一种常用于金融市场波动预测的统计模型，本文将介绍GARCH模型的原理和应用，以及通过该模型进行股价波动预测的方法和步骤。

二、GARCH模型原理GARCH模型通过建模误差项的波动性，捕捉到股票市场的异方差性（Heteroscedasticity）。

GARCH模型基于时间序列分析的基本原理，认为过去的波动对未来波动有重要影响。

该模型通过拟合历史波动性数据，生成一个条件波动性序列，从而预测将来的波动性水平。

GARCH模型由ARCH（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型发展而来。

ARCH模型是通过引入滞后误差项的平方，捕捉到异方差性。

然而，ARCH模型只考虑到了平方的影响，而在金融市场中，波动性的影响可能是各种方面的。

GARCH模型在ARCH模型的基础上引入了滞后条件波动性的平方，将过去波动性的信息作为一个冗余变量，从而更好地捕捉到波动性的特征。

三、GARCH模型的应用GARCH模型广泛应用于金融市场，已成为预测股价波动性常用的统计模型。

GARCH模型的应用可以分为两个方面：条件波动性的建模和波动性预测。

1. 条件波动性建模条件波动性建模是GARCH模型的核心内容，通过拟合历史波动性数据，得到一个条件波动性序列。

条件波动性序列可以反映股票市场的波动性水平，投资者可以根据这一信息制定风险管理策略。

条件波动性建模的关键是选择适当的GARCH模型，常用的有GARCH(1,1)、GARCH(1,2)等。

2. 波动性预测GARCH模型的另一个重要应用是波动性预测。

利用garch模型求波动率的例子在本文中，我们将介绍如何使用GARCH模型来估计金融市场的波动率，并通过一个实际的例子来说明GARCH模型的应用。

首先，让我们对GARCH模型进行简单的介绍。

GARCH模型是由罗伯特·恩格尔（Robert F. Engle）在1982年提出的，用于描述时间序列数据的波动性。

GARCH模型结合了ARCH （自回归条件异方差）模型和ARIMA（自回归积分滑动平均）模型的特点，能够充分考虑序列数据的自回归性和波动性。

GARCH模型的基本形式为：\[ \sigma^2_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 +\sum_{j=1}^{q}\beta_j\sigma_{t-j}^2 \]其中，\(\sigma^2_t\)表示时间t的波动率，\(\varepsilon_t\)表示时间t的误差项，\(\alpha_0\)为常数项，\(\alpha_i\)和\(\beta_j\)为GARCH模型参数，p和q为模型的阶数。

通过最大似然估计或贝叶斯方法，可以估计GARCH模型的参数，并利用已有的数据来预测未来的波动率。

下面我们将通过一个具体的例子来说明如何应用GARCH模型。

假设我们有一组历史数据，包括某个金融资产的收盘价。

我们的目标是通过GARCH模型来预测未来的波动率，为投资决策提供参考。

首先，我们需要对收盘价数据进行预处理，包括计算收益率和对收益率数据进行平稳性检验。

然后，我们可以利用收益率数据来估计GARCH模型的参数。

假设我们使用R语言来进行GARCH模型的估计。

以下是一个简单的R代码示例，用于估计GARCH(1,1)模型的参数：```Rlibrary(rugarch)# 读入数据data <- read.csv("financial_data.csv")# 计算收益率returns <- diff(log(data$close))# 设置GARCH模型的阶数p <- 1q <- 1# 构建GARCH模型garch_model <- ugarchspec(variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(p, q)), mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), include.mean = FALSE), distribution.model = "std") # 估计GARCH模型的参数garch_fit <- ugarchfit(spec = garch_model, data = returns)# 打印模型参数print(garch_fit)```在上面的代码中，我们首先读入收盘价数据，并计算收益率。

GARCH模型介绍GARCH模型是一个用来描述金融时间序列数据中波动率的统计模型。

它的全称是Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model，可以翻译为广义条件异方差模型。

Yt=μ+εtεt=σtZtσt^2=α0+α1εt-1^2+β1σt-1^2其中Yt是观测序列，εt是误差项，σt^2是条件方差（也称为误差的条件方差），μ是均值，Zt是独立同分布的标准正态随机变量。

α0、α1和β1是模型的参数，它们表示波动率的变化情况。

α1和β1分别表示过去的误差项和过去的条件方差对波动率的影响程度，α0是模型的常数项。

GARCH模型的优点是可以较好地预测金融时间序列数据的波动性，特别是对于存在波动簇（volatility clusters）的数据更加适用。

波动簇是指金融市场上波动率出现较长时间的高值或低值，而GARCH模型可以捕捉到这种特征。

另外，GARCH模型还具有良好的统计性质。

它是一个根据已观测数据进行估计和预测的参数模型，使用最大似然估计方法进行参数估计。

在理论上，GARCH模型可以利用更多的历史数据进行模型拟合，从而提高预测的准确性。

然而，GARCH模型也存在一些局限性。

首先，GARCH模型假设波动率是稳定的，但实际金融市场中的波动率常常是非稳定的，因此GARCH模型可能无法准确描述这种非平稳的情况。

其次，GARCH模型对参数的估计结果可能会受到数据样本的选择和模型设定的影响，这就需要研究人员在使用GARCH模型时进行验证和优化。

为了解决这些问题，研究人员在GARCH模型的基础上提出了各种改进和扩展模型。

比如，EGARCH模型可以克服GARCH模型对波动率非平稳性的假设，TGARCH模型可以描述对称和非对称的波动率响应，NGARCH模型可以描述波动率对不同时间尺度的变化。

总的来说，GARCH模型是一个广泛应用于金融时间序列数据分析和预测的模型。

基于GARCH模型的股票市场波动率预测研究近年来，股票市场的波动性愈加强烈，股票交易商们也越来越需要一个准确的波动率预测模型，以便他们能够更好地管理风险。

基于GARCH（广义自回归条件异方差）模型的股票市场波动率预测研究正逐渐受到业内人士的青睐。

本文将会对GARCH模型相关概念进行分析，并介绍如何理解和实施它。

在此基础上，本文将探讨使用GARCH模型进行股票市场波动率预测的相关技术和方法。

1、GARCH模型简介GARCH模型最早由Bollerslev在1986年提出，它是一种常见的随机波动模型，能够描述和预测自回归序列的条件异方差。

由于它灵活性极强，因此被广泛运用于股票、汇率、商品等金融资产的统计建模中。

GARCH模型的基本假设是随机波动率有一定趋势或模式，这种波动率的不稳定性可以通过过去信息（即历史波动率）来预测和估计。

GARCH模型利用历史数据可以预测股票市场未来的波动率，这种预测可以作为一个风险管理工具，有助于决策者在股票交易中采取更全面、更具体化的策略。

2、GARCH模型的基本假设GARCH模型假设股票市场波动率是一个自回归、条件异方差的过程。

简单来说，波动率不但依赖于过去的平均收益率，还依赖于过去波动率产生的影响，因此它可以被描述为：(1) 格式无法回答(as an image)上述公式体现了随时间变化的波动率。

r是股票的收益率序列，$\sigma^2$表示方差序列，$\mu$为平均值，$\alpha$ and $\beta$为GARCH模型的系数，$\epsilon$诠释股票收益率序列中的随机波动。

3、GARCH模型的实施对于GARCH模型的实施，我们需要使用一组历史数据来生成一个自回归模型，这样我们可以学习模型的参数（$\alpha$ and $\beta$），并通过反复迭代的方式进行模型拟合。

在实际应用中，我们通常使用最优化算法来确定模型参数，以最大化其似然函数。

为了能够确定最佳的GARCH模型，我们通常需要进行以下几个步骤：①首先，我们需要选择一组历史数据，并通过选取多个统计变量（如最高价、最低价、收盘价等）来计算股票的收益率。

GARCH模型简介GARCH模型（___ Model）是一种用于建模金融时间序列数据的方法，广泛应用于风险管理和金融衍生品定价等领域。

GARCH 模型通过捕捉时间序列数据的波动性特征，对未来的波动性进行预测，从而帮助分析师和投资者做出决策。

模型原理GARCH模型是在ARCH模型的基础上发展而来的，它在建模时不仅考虑了随机项的自相关性（ARCH），还加入了波动性的自回归模型（G）。

具体而言，GARCH模型的核心公式如下：GARCH formula](garch_formula.png)其中，___代表时间序列的观测值，σt为根据历史信息估计的波动性，εt为随机误差项，α0、αi和βi是模型的参数。

GARCH模型通过利用过去观测值和波动性估计值来预测未来的波动性。

模型应用GARCH模型广泛用于金融领域的风险管理和衍生品定价等任务。

风险管理GARCH模型可以帮助分析师和投资者评估资产或投资组合的风险。

通过对波动性的估计，可以计算损失的概率、范围和价值-at-risk等风险指标。

这些指标可以用来制定风险管理策略，避免或减轻潜在的投资风险。

衍生品定价GARCH模型在衍生品定价中也被广泛应用。

通过对未来的波动性进行预测，可以计算期权或其他衍生品的隐含波动性，从而为其定价提供基础。

这对于衍生品交易员和投资者来说是至关重要的，他们可以根据波动性的变动来制定相应的投资策略。

模型评估在应用GARCH模型时，我们需要对模型进行评估以确保其拟合程度和预测能力。

残差分析残差分析可以帮助我们评估模型是否能够捕捉到数据的波动性特征。

一般来说，残差的均值应该接近零，不存在显著的自相关性，并且其平方应该与估计的波动性值接近。

模型拟合度可以使用一些统计学指标来评估模型的拟合度，如平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和决定系数（R-square）。

通过比较这些指标的值，我们可以判断模型的预测能力。

总结GARCH模型是一种在金融领域广泛应用的时间序列模型，它通过对波动性的估计，帮助分析师和投资者进行风险管理和衍生品定价。

garch模型公式及系数含义Garch模型是金融研究的一个重要的概念，它有助于研究金融市场的波动性和风险，也为投资者提供了设定投资组合投资策略的依据，因此，Garch模型一直受到金融学者和实践者的青睐。

Garch模型是根据金融市场收益率时序序列的变动特征，以及实现市场价格波动的根源机制，建立的一种定量的模型，又称为自回归条件异方差（ARCH）或自回归条件异方差指数（GARCH）模型。

Garch 模型基于一种称为自回归条件异方差（ARCH）的概念，该概念描述的是不同资产的波动率就是其过去的收益率变异的函数，而不是一个固定的值，这一概念可以追溯到1979年Robert Engle发表的论文中。

Garch模型包含两个方面：第一是ARCH模型，其假定金融市场收益率具有自回归性，也就是说，未来的收益率可以由前一个时期的收益率来预测。

第二是GARCH模型，该模型则考虑了收益率变动的条件异方差性，其主要考虑的是收益率的变化程度，它将估量未来收益率的波动性，也就是收益率的连续变动性。

尽管Garch模型的原理简单，但它的公式却很复杂，其公式为：σt2=ω +σt1 +σt-2其中，ω是Garch模型中的常量参数；α与β是Garch模型中的动态参数，也可以称为Garch模型的权重系数；σt,σt1,σt-2分别指第t个时间序列的收益率波动性、第t-1个和第t-2个时间序列收益率波动性。

Garch模型中的常量参数ω即被称为Garch模型的拉伸参数，它表示当收益率波动性在t-2时段为零时，t时段波动性的基础水平，其值的大小取决于金融市场的稳定程度，值越小收益率的变动越小，市场稳定程度也越高，值越大，收益率变动也越大，市场不稳定程度也越高。

Garch模型中的动态参数α与β也可以称为Garch模型的系数。

α表示当t时刻收益率波动性变动时，t-1时刻收益率波动性对t时刻收益率波动性的影响程度。

它与t-1时刻收益率波动性的大小有关，如果t-1时段收益率变动较大，则α应该较大以反映t-1时段的影响，反之亦然。

garch模型公式及系数含义GARCH模型，即动态条件变异率模型，是由美国经济学家Robert F. Engle于1982年提出的，旨在模拟金融市场中的资产收益率的波动。

这种随机序列的特征是波动会受到过去的波动所影响，即短期内波动会重复出现，而长期内则会稳定。

GARCH模型的公式为：$sigma_{t}^{2}=omega+alpha sigma_{t-1}^{2}+beta varepsilon_{t-1}^{2}$其中，$sigma_{t}$为t时刻的波动值（即股票收益率的平方值），$omega$, $alpha$和$beta$都是调整参数，$varepsilon_{t-1}$为t-1时刻的误差项值，即收益率与预期之间的差值。

在GARCH模型中，ω、α和β都是可调整参数。

ω是平均波动率，表示波动率均值；α表示过去收益率波动对当期波动率的影响；β表示过去收益率偏差对当期波动率的影响。

ω、α和β的取值受到许多因素的影响，但通常α的取值应该大于0，β的取值应该大于α。

如果α较大，表示过去波动率对当期波动率的拉动力很大；如果β较大，表示过去收益率偏差对当期波动率的拉动力很大。

GARCH模型公式及参数的调整，是根据股票收益率的真实数据，经过最小方差估算、最大似然估算或蒙特卡洛模拟等方法，来确定GARCH模型的参数值的。

有了GARCH模型，对股票收益率的波动和变化可以更好的模拟，可以更好的预测股票的收益率，进而更好的进行投资决策。

GARCH模型允许分析师根据市场情况来量化资产收益率的波动性，从而更好地进行投资决策。

GARCH模型可以用来估计投资者所面临的波动风险，从而更有效地控制投资风险，及时根据市场来调整投资组合。

GARCH模型可以用来估计未来收益率的波动。

经过有效调整，GARCH模型可以有效地预测资产收益率的波动，从而更好地进行投资决策，从而更有效地控制投资风险。

GARCH模型的应用可以提供对市场变化的更深入的认识，从而用于企业投资策略的拟定，可以更全面地分析市场动态，从而提高投资绩效。

Garch模型Garch⼩声逼逼⼀句，学长有毒吧~~让我进⾦融的东东，我懂个锤⼦⾦融时间序列⾦融资产的波动是⼀个⾮常重要的概念，它与资产的风险直接相关，因此对资产的波动模式进⾏建模是量化投资中的⼀个重要课题。

⼀般来讲，波动建模有以下量化投资⽅向的应⽤：期权定价：波动率是影响期权价值的重要因素；风险度量和管理：在VaR的计算中波动率是主要影响因素，根据波动率决定交易策略的杠杆；资产价格预测和模拟：通过Garch簇模型对资产价格的时间序列进⾏预测和模拟；调仓：盯住波动率的调仓策略，如⼀个tracing指数的策略；作为交易标的：在VIX、ETF以及远期中波动率作为标的可以直接交易。

上⾯的⼏⾏确实没明⽩，正确性有待考证许良：股票收益率中的⽅差⼀般就是表⽰风险嗯，这个check了⼀下，债券/股票等的收益率的波动性（volatility）就是风险，就是滚动风险。

⾦融时间序列分析的核⼼是找到资产收益率序列的⾃相关性，并利⽤它。

同⽅差&&异⽅差在讲Garch模型之前，我们必须对同⽅差和异⽅差的概念进⾏回顾。

在时间序列的弱平稳条件中⼆阶矩是⼀个不变的、与时间⽆关的常数。

在理想条件下，如果这个假设是成⽴的，那么⾦融时间序列的预测将会变得⾮常简单，采⽤ARIMA等线性模型就能做不错的预测。

然⽽采⽤Ariam等模型对⾦融事件序列建模效果是⾮常差的，原因就在于⾦融事件序列的异⽅差性。

这种⾮平稳性⽆法⽤简单的差分去消除，其根本原因在于其⼆阶矩随时间t变化⽽变化。

这⾥说的⽅差是回报率(收益率)简单的理解就是说对于普通的时间序列，⼀般采⽤取n差分或者取对数或者滞后，就可以使时间序列平稳，这个的前提是⽅差不随时间变化也就是同⽅差（此时⽅差是个常数，因为是不随时间变化的），这个时候可以使⽤ARIMA进⾏预测了。

但是⾦融时间序列的⽅差是随着时间变化⽽变化的,⽅差不在是⼀个常数了。

异⽅差描述的是⾦融时间序列⼤的趋势，时间跨度相对较长。

1.1.波动率波动率是用来描述证券价格、市场指数、利率等在它们均值附近上下波动幅度的术语，是标的资产投资回报率的变化程度的度量。

股票的波动率σ是用于度量股票所提供收益的不确定性。

股票通常具有15%-50%之间的波动率。

股票价格的波动率可以被定义为按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标准差。

当∆t 很小时，2t σ∆近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的方差。

这说明σ ∆t 近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的标准差。

由标准差来表述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间展望期长度的平方根（至少在近似意义下）。

1.2.由历史数据来估计波动率为了以实证的方式估计价格的波动率，对股票价格的观察通常是在固定的时间区间内（如每天、每星期或每个月）。

定义n+1——观测次数；S i ——第i 个时间区间结束时变量的价格，i =0，1，…n ； τ——时间区间的长度，以年为单位。

令1ln ,0,1,,;i i i S u i n S -⎛⎫== ⎪⎝⎭1.2.1u i 的标准差s 通常估计为s = 1.2.2或s =1.2.3其中u 为i u 的均值。

由于iu 的标准差为因此，变量s 是所以σ本身可以被估计σ∧，其中σ∧=可以证明以上估计式的标准差大约为/σ∧。

在计算中选择一个合适的n 值并不很容易。

一般来讲，数据越多，估计的精确度也会越高，但σ确实随时间变化，因此过老的历史数据对于预测将来波动率可能不太相干。

一个折中的方法是采用最近90～180天内每天的收盘价数据。

另外一种约定俗成成俗的方法是将n 设定为波动率所用于的天数。

因此，如果波动率是用于计算量年期的期权，在计算中我们可以采用最近两年的日收益数据。

关于估计波动率表较复杂的方法涉及GARCH 模型与EWMA 模型，在下文中将进行详细介绍。

1.3.隐含波动率首先对于一个无股息股票上看涨期权与看跌期权，它们在时间0时价格的布莱克-斯科尔斯公式为012()()rT c S N d Ke N d -=-1.3.1201()()rT p Ke N d S N d -=---1.3.2式中21d =221d d==-函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数。

EGARCH模型定义又称“广义ARCH模型（Generalized ARCH）”、“广义自回归条件异方差模型”自从Engle(1982)提出ARCH模型分析时间序列的异方差性以后，波勒斯列夫T.Bollerslev(1986)又提出了GARCH模型，GARCH模型是一个专门针对金融数据所量体订做的回归模型，除去和普通回归模型相同的之处，GARCH对误差的方差进行了进一步的建模。

特别适用于波动性的分析和预测，这样的分析对投资者的决策能起到非常重要的指导性作用，其意义很多时候超过了对数值本身的分析和预测。

基本原理一般的GARCH模型可以表示为：其中ht为条件方差，ut为独立同分布的随机变量，ht与ut互相独立，ut为标准正态分布。

（1）式称为条件均值方程；（3）式称为条件方差方程，说明时间序列条件方差的变化特征。

为了适应收益率序列经验分布的尖峰厚尾特征，也可假设服从其他分布，如Bollerslev (1987)假设收益率服从广义t-分布，Nelson(1991)提出的EGARCH模型采用了GED分布等。

另外，许多实证研究表明收益率分布不但存在尖峰厚尾特性，而且收益率残差对收益率的影响还存在非对称性。

当市场受到负冲击时，股价下跌，收益率的条件方差扩大，导致股价和收益率的波动性更大；反之，股价上升时，波动性减小。

股价下跌导致公司的股票价值下降，如果假设公司债务不变，则公司的财务杠杆上升，持有股票的风险提高。

因此负冲击对条件方差的这种影响又被称作杠杆效应。

由于GARCH模型中，正的和负的冲击对条件方差的影响是对称的，因此GARCH模型不能刻画收益率条件方差波动的非对称性。

发展为了衡量收益率波动的非对称性，Glosten、Jagannathan与Runkel（1989）提出了GJR模型，在条件方差方程（3）中加入负冲击的杠杆效应，但仍采用正态分布假设。

Nelson(1991)提出了EGARCH模型。

Engle等（1993）利用信息反应曲线分析比较了各种模型的杠杆效应，认为GJR模型最好地刻画了收益率的杠杆效应。