随机波动率模型

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随机波动率模型

1.随机波动率模型（SV）的设定随机波动率模型（）随机波动率模型
SV 模型 rt = µt + ε t h /2 ε t = e t zt , zt iidN (0,1) ht = α + β ht −1 + σ vt , 0 < β < 1, vt Corr[ z , v ] ≡ ρ t t rt ≡ ln( S t / S t −1 )为资产收益率
X
−∞
x
X
∫
−∞
x
正态分布矩条件 0，p为奇数 P 原点矩 E[X ]= 中心绝对值矩
E[ X-µ X
P
p σ ( p − 1)!!，p为偶数
2 / πσ p ( p − 1)!!，p为奇数 ]= p σ ( p − 1)!!，p为偶数
对数正态分布密度函数
X
ln Ν ( µ , σ 2 )
∑ f (θ )代替总体矩，使样本矩
t =i t
T
等于 0的估计量称为矩估计量。当 N > K时，即矩条件个数大于估计参数个数时，这种情况称为过度识别。
广义矩方法（GMM）估计的思想是，选择θ 值使得由模型导出的矩条件个数与由数据计算的样本矩尽可能接近。 GMM估计量是使下式目标函数J T (θ )最小的估计量： ˆ θˆ = arg min{J (θ ) ≡ g Τ (θ )W (θ ) g (θ )}
rt的峰度： E [( rt − E [ rt ]) 4 ] E [ rt 4 ] K u r t [ rt ] = = 2 V a r [ rt ] E [ rt 2 ] 2
2 3 ex p ( 2 µ h + 2 σ h2 ) = = 3eσ h > 3 ex p ( 2 µ h + σ h2 )

几类随机微分方程的参数估计问题

几类随机微分方程的参数估计问题《几类随机微分方程的参数估计问题》一、引言随机微分方程是描述系统随机演化的数学模型，它在金融、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。

而参数估计则是通过对模型中的参数进行估计，以使模型更准确地描述实际系统的过程。

本文将围绕几类随机微分方程的参数估计问题展开讨论，并探讨不同类型的参数估计方法。

二、布朗运动下的参数估计布朗运动是一种最简单的随机微分方程模型，它描述了微观粒子在流体中的随机运动。

在布朗运动模型中，参数估计的问题主要集中在漂移项和扩散项的参数估计上。

针对漂移项参数的估计，一般可以通过极大似然估计或贝叶斯估计来实现；而对于扩散项参数的估计，则需要使用波动率的估计方法，例如条件异方差模型等。

三、随机波动率模型的参数估计随机波动率模型是在布朗运动模型的基础上引入了波动率随机性的扩展，常用于金融领域对股票等资产价格的建模。

在随机波动率模型中，参数估计的问题相对复杂，需要涉及到漂移项、扩散项和波动率项的估计。

针对波动率的参数估计尤为重要，常用的方法有GARCH模型、随机波动率模型等，通过这些模型可以对股票价格的波动率进行比较准确的估计。

四、随机微分方程组的参数估计随机微分方程组描述了多个随机变量之间的相互作用，它在经济学、生态学等领域具有重要的应用。

在随机微分方程组的参数估计中，需要考虑多个参数同时估计的问题，这就需要借助联合估计的方法来实现。

常用的方法有极大似然估计、贝叶斯估计等，通过这些方法可以较好地估计多个参数，并且考虑到了参数之间的相互关系。

五、总结与展望在本文中，我们讨论了几类随机微分方程的参数估计问题，并介绍了不同类型的参数估计方法。

通过对布朗运动、随机波动率模型和随机微分方程组的参数估计，我们可以看到参数估计在不同模型中的重要性和复杂性。

未来，随机微分方程的参数估计问题还有待进一步研究，尤其是在多维随机微分方程、非线性随机微分方程等方面的参数估计方法仍有待深入探讨。

RBC模型及应用教材教学课件

RBC模型及应用教材教学课件
目录
• RBC模型概述 • RBC模型应用场景 • RBC模型在教材中的应用 • RBC模型教学课件制作 • RBC模型教学课件使用建议
01 RBC模型概述
RBC模型定义
总结词
RBC模型即随机波动率模型，是一种用于描述金融市场波动性的模型。
详细描述
RBC模型是一种基于随机波动率（Stochastic Volatility）的模型，用于描述金融市场中的波动性。该模型假设资产价格和波动率都是随机过程，并且波动率具有随时间变化的特点。
RBC模型发展历程
总结词
RBC模型的发展经历了从早期的基础模型到现代的扩展和改进模型。
详细描述
RBC模型最初由Rubinstein和Epstein于1981年提出，用于描述股票价格的波动性。随着研究的深入，该模型逐渐发展并扩展到其他金融市场和资产类别。现代的RBC模型已经考虑了更多的因素，如市场微观结构、交易成本等，以更准确地描述市场行为。
教材中RBC模型的实践操作
总结词：操作指南
详细描述：教材提供RBC模型的实践操作指南，包括数据收集、模型设定、参数估计、模型检验等步骤。通过实际操作，学生可以更好地掌握RBC模型的应用技巧，提高解决实际问题的能力。
04 RBC模型教学课件制作
教学课件制作原则
内容准确
结构清晰
确保课件内容准确无误，与RBC模型及应用教材
使用对象
适用于金融学、经济学、会计学等专业的学生以及从事金融行业的专业人士。
使用目标
帮助学生和从业人员掌握RBC模型的基本原理、方法和应用，提高其在金融领域中的分析能力和决策水平。
使用方法与技巧
教学方法

概率论在市场波动中的应用

概率论在市场波动中的应用市场波动是金融领域中不可避免的一部分。

无论是股票、外汇还是商品市场，价格波动都成为了投资者面临的常态。

在这样的背景下，概率论作为一门数学分支，被广泛应用于市场波动的研究和预测中。

本文将探讨概率论在市场波动中的应用，并介绍一些常见的概率模型。

1. 随机游走模型随机游走模型是市场波动研究中最基础的模型之一。

它认为市场价格的波动是一个随机过程，在任意时刻价格的变动是由无数个微小的随机事件所引起的。

随机游走模型可以被表示为一个随机序列，每一个时间点的价格和前一个时间点的价格之间的差异是一个随机变量。

2. 随机过程模型除了随机游走模型，随机过程模型也是市场波动研究中常用的模型之一。

随机过程模型可以更好地模拟市场中不同时间点的不确定性和波动性。

其中，布朗运动是一种常见的随机过程模型，它可以描述市场价格在短时间内的波动情况。

3. 波动率模型波动率是市场波动的度量指标，它反映了价格变动的幅度和速度。

概率论在波动率模型的研究中扮演重要角色。

常见的波动率模型包括随机波动率模型和隐含波动率模型。

随机波动率模型通过引入随机变量来描述波动率的变动；而隐含波动率模型则通过期权市场上的价格信息来估计未来的波动率。

4. 风险管理概率论在市场波动中的应用还体现在风险管理方面。

通过利用概率模型对市场波动进行建模和预测，投资者可以更好地评估和管理投资风险。

例如，在股票投资中，可以利用概率论的知识来计算投资组合的价值-at-risk（VaR），从而确定合适的投资策略和风险控制措施。

总结起来，概率论在市场波动中的应用非常广泛。

从随机游走模型到随机过程模型，再到波动率模型和风险管理，概率论为我们提供了一种更科学和可靠的方法来揭示市场中的规律和特点。

然而，需要注意的是，市场波动是一个复杂的系统，概率模型只是对其进行近似和简化。

因此，在应用概率论时，我们需要结合实际情况和其他交叉学科的知识，才能更好地理解和应对市场波动带来的挑战。

随机波动率模型表达式

随机波动率模型表达式
随机波动率模型(Stochastic Volatility Model)是一种用于描述金融市场波动率的模型。

具体的表达式可能因模型而异，但一般可以表示为以下形式：
1. 平方跳跃：该模型假设波动率的变化是随机的，并且遵循某种随机过程。

通常，波动率的平方(即波动率的平方)被建模为随机过程。

2. 随机波动率模型：该模型假设波动率是随机的，并且遵循某种随机过程。

这个随机过程通常由一组随机微分方程描述，其中包含一些未知的参数和随机变量。

这些模型试图通过模拟波动率的变化来更准确地预测金融市场的价格行为。

然而，这些模型的具体表达式可能因不同的假设和参数而异。

随机波动率模型分析与应用

随机波动率模型分析与应用陈杨林;夏正喜【摘要】本文首先分析了金融时间序列中常用的随机波动率模型结构,介绍了马尔可夫链蒙特卡洛MCMC方法并采用基于MCMC模拟的贝叶斯分析对随机波动率模型的参数进行估计了,其次应用该模型对世界黄金价格指数时间序列的走势与波动进行分析,实证结果表明SV模型能较好的拟合金价走势并作出预测.【期刊名称】《九江职业技术学院学报》【年(卷),期】2010(000)004【总页数】3页(P78-80)【关键词】随机波动率模型;MCMC方法【作者】陈杨林;夏正喜【作者单位】九江职业技术学院,信息工程系,江西九江,332007;九江职业技术学院,信息工程系,江西九江,332007【正文语种】中文【中图分类】O141.4一、模型介绍在对金融数据的处理上人们建立了大量的模型来拟合分析数据进而想作出合理的预测和估计,随机波动 (stochastic volatility)模型就是其中大量被采用的一种金融模型,它具有数理金融学和金融计量经济学的双重根源。

早在1973年, Clark提出把资产收益作为信息到达随机过程的函数建模。

此后,Tauchen及Pitts细化了这项工作,提出一种与信息到达时间相关的资产收益的混合分布模型。

在研究过程中Hull和White没有直接把资产收益和信息到达联系起来,而是对欧洲期权定价产生兴趣。

他们假定基础资产收益是连续时间随机波动模型,进而对具有波动的基础资产提出一种扩散表达式,其中波动服从一个正扩散过程。

另一个方法来自于Taylor的工作,他建立了一种非连续时间的随机波动模型,替代自回归条件异方差 (ARCH)模型,此后经过许多专家和学者的研究发展了许多SV模型构成了随即波动率模型族。

本文分析的是带正态分布的SV模型,但是由于SV模型的参数很难估计 (主要是其似然函数难以得到)SV模型的应用受到很大的限制,随着近代计量经济学理论的不断进步,SV模型的参数估计变得容易了,因此,它比起其它金融模型 (如ARCH模型)更具有吸引力。

随机波动率模型的Euler-Maruyama数值解收敛性证明

带可调整参数的均值回复过程。采用Ｅｕｌｅｒ — Ｍａｒｕｙａｍａ数值方法给出其Ｅｕｌｅｒ — Ｍａｍｙａｍａ数值解，证明了其数
值解依概率收敛于连续解。关键词：随机波动率；Ｅｕｌｅｒ．Ｍａｒｕｙａｍａ数值方法；数值解收敛中图分类号：０２１文献标识码：Ａ
ＬＩＹａｎ－ｊｕｎ
（ＪｉｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＧｕａｎｇｄｏｎｇＧｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６３２ＰＲＣ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓｓｅｔｐｉｃｒｅｓｍｏｄｅｌｉｎｇｉｎｉｆｎａｎｃｉａｌｍａｒｋｅｔｓｍｏｖｅｍｅｎｔｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｔｅｎｔｏｆｉｎｆａｎｃｉａｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｍａｎｙｅｍｐｉｒｉｃａｌｓｔｕｄｉｅｓｉｎｆｄｔｈａｔａｓｓｅｔｐｒｉｃｅｖｏｌａｔｉｌｉｔｙｉｓｎｏｔｃｏｎｓｔａｎｔ，ｂｕｔｍｅｅｔａｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｒｅｌａｔｅｄｔｏａｓｓｅｔｓ，ｎａｍｅｌｙｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ．Ａｃｌａｓｓｏｆｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｖｏｌａｔｉｌｉｔｙｍｏｄｅｌ

金融时间序列的随机波动模型评述

的大多数模型可以通过Ｅｉ等常见软件得以估计和检验，ｖｗｓｅ而基于贝叶斯的ＭＣＭＣ方法则要求助于新的软件包ＷＩＮ—
ＢＵＧＳ。
二、基本的随机波动模型及其扩展类型
从（，）ｏ１上的均匀分布，Ｅ服从参数为的指数分布，服从ｆ｝Ｎ均值为ｐｏ（／的泊松分布；，，之间是相互独立的。基ｌ１）ｇｕ，ＥＮ于对样本内分析表明ｒｓ — ｖ捕获尖峰厚尾性以及平方收益序列
在收益残差序列用ｔ分布或ＧＤ分布来测度其尖峰厚尾Ｅ性时，与实际中典型的金融时间序列相比，其峰度还是偏低。Ｂ — ｏｖｓＲａｆｉ２０）ａ、ｎｎ等（０６还提出一种刻画尖峰厚尾性的伽马随机波ｉ
动模型（ — ｖ）其形式为：ｒｓ，
ｈ６＋ｌＯ＜１ｔ，，ｈ１ｘ，≤ 一，１２ …
有学者发现在牛市和熊市中，益的条件均值明显依赖于收前期的涨跌，方差对过去收益的反映也是非对称的，在坏消息影响下的方差比好消息情况下趋于更大，即所谓的杠杆效应。基本ｓｖ模型中假设收益和波动过程的误差项是两个相互独立的过程，因此没有考虑到金融市场尤其是股票市场上的杠杆效应。ｆｑｉｒＮｉｏａ、ｏｏ、ｓ（０３利用ＭＣａｕｅ、ｃｌＰｉｎＲｏｓ２０）ｃｈｓｓｉＭＣ方法分析了ＡＶ，即收益冲击８和波动冲击Ｕ之间存在相关关系，Ｓ．从
ｈ是伽马随机变量，密度函数为：其

第5章随机波动率

第5章随机波动率*Eric Ghysels, Andrew C. Harvey and Eric Renault1．引言随机波动率（SV）类模型产生于数理金融学和金融计量学。

事实上，SV模型的几种变形来源于对非常不同问题的研究，例如，Clark（1973）认为资产收益率是信息到达这一随机过程的函数，这种所谓的时间形变（time deformation）方法产生了资产收益率的时变（time-varying）波动率模型。

Tauchen和Pitts（1983）对此做了改进，提出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布模型。

Hull和White（1987）并不直接关心资产收益率与信息到达的联系，而是对欧式期权的定价感兴趣，并假定标的资产服从连续时间SV模型。

他们提出资产价格服从扩散过程，其波动率为正扩散过程。

另一种方法源于Taylor（1986）的研究，他建立了替代自回归条件异方差（ARCH）模型的离散时间SV模型。

直到不久以前，估计Taylor模型或者任何其它SV模型几乎仍是不可能的，经济计量理论的最新发展使估计SV模型变得容易得多。

从而，它们变成了一类很有吸引力的模型，并可替代其它类模型如ARCH。

在数理金融学和经济计量学文献中均可以找到关于SV模型的研究。

因此，我们面对着一系列广泛的主题。

本文将很少涉及ARCH模型，因为最近已有几篇关于该主题的优秀综述，包括Bera和Higgins（1995），Bollerslev、Chou和Kroner（1992），Bollerslev、Engle和Nelson（1994），以及Dievold和Lopez（1995）的研究成果。

而且，由于本文是为《统计学手册》写的，我们力图最小限度地涉及数理金融学的内容。

不过，期权定价的内容显然是不必要的。

事实上，在第2节定义波动率时已广泛涵盖Black-Scholes隐含波动率问题。

第2节还概括了经验类型化事实（stylized facts），及波动率统计建模的结论。

金融工程第二版郑振龙第七章

第七章金融工程第二版郑振龙第七章在第六章中，我们在一系列假定条件下推导得到了闻名的布莱克－舒尔斯期权定价公式，在现实生活中，这些假设条件往往是无法成立的，本章的要紧目的，确实是从多个方面逐一放松这些假设，对布莱克－舒尔斯期权定价公式进行扩展。

然而我们也将看到，在有些时候，模型在精确度方面确实获得了相当的改进，但其所带来的收益却无法补偿为达到改进而付出的成本，或是这些改进本身也存在问题，这使得布莱克－舒尔斯期权定价公式仍旧在现实中占据重要的地位。

第一节布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷在实际经济生活中，布莱克-舒尔斯期权定价模型（为简便起见，我们后文都称之为BS模型）应用得专门广泛，对金融市场具有专门大的阻碍。

其三个作者中的两个更是曾经因此获得诺贝尔奖。

因此，不管是从商业上依旧从学术上来说，那个模型都专门成功。

然而理论模型和现实生活终究会有所差异，关于大多数理论模型来说，模型假设的非现实性往往成为模型要紧缺陷之所在，BS公式也不例外。

本章的要紧内容，确实是从多方面逐一放松BS模型的假设，使之更符合实际情形，从而实现对BS定价公式的修正和扩展。

BS模型最差不多的假设包括：1.没有交易成本或税收。

2.股票价格服从波动率和无风险利率r为常数的对数正态分布。

3.所有证券差不多上高度可分的且能够自由买卖，能够连续进行证券交易。

4.不存在无风险套利机会。

在现实生活中，这些假设明显差不多上无法成立的。

本章的后面几节，将分别讨论这些假设放松之后的期权定价模型。

1. 交易成本的假设：BS模型假定交易成本为零，能够连续进行动态的套期保值，从而保证无风险组合的存在和期权定价的正确性。

但事实上交易成本总是客观存在的，这使得我们无法以我们所期望的频率进行套期保值；同时，理论上可行的价格，考虑了交易成本之后就无法实现预期的收益。

我们将在第二节中介绍一些对这一假设进行修正的模型。

2. 波动率为常数的假设：BS模型假定标的资产的波动率是一个已知的常数或者是一个确定的已知函数。

随机波动率微笑模型及套利-20180504财通证券

随机波动率微笑模型及套利-20180504财通证券投资要点：金融市场的波动率金融市场波动率具有尖峰肥尾、波动率群集、具有杠杆效应等特点。

本文将简单地分析金融市场波动率重要的几个特性，并介绍50ETF相关波动率的度量方法。

波动率微笑与BS模型假设不同，隐含波动率ω (t，t + h) 在很大程度上取决于日历时间t 、到期期限h 和期权的货币性，隐含波动率曲面呈现明显的微笑或倾斜的特征。

本文将简单地介绍隐含波动率微笑的基本特性。

利用随机波动率模型进行套利Vanna-Volga模型，SVI模型，SABR模型都可以用来拟合隐含波动率微笑。

通过模型刻画的隐含波动率与通过BS公式反算的隐含波动率进行对比，找到每日最被低估和高估的期权合约，分别买入和卖出。

通过合约的持仓数量，形成delta 中性，从而赚取波动率估值回归的收益。

结果显示，在看涨期权季月合约上进行波动率套利有不错效果，三种模型年化收益率都超过20%。

风险提示：未来市场变幻莫测，模型有失效的可能。

正文1、波动率的分类在期权世界中，波动率可以简单的分为历史波动率、隐含波动率、已实现波动率三大类，分别对应着过去的波动率、隐含在期权价格中的波动率(也被称之为预期波动率)以及实际的波动率。

对于这三种波动率的理解对于期权交易来说是至关重要的，这不仅可以用于期权的定价，还可以用于直接的波动率交易，包含波动率的方向性交易及波动率的套利交易。

1.1、历史波动率 (HV)历史波动率是基于过去的统计分析得出的，假定未来是过去的延伸，利用历史方法估计波动率类似于估计标的资产收益系列的标准差。

1.1.1、标准差标准差是衡量风险的常用标准，是与时间期限相关的概念，例如日标准差、周标准差、月标准差、年标准差等等。

在风险评价中，常用的是年标准差。

计算方法(以标的证券过去30个交易日的历史波动率为例)；1。

根据计算周期(交易周期；周、月、季度、年均指日历周期) 在所选时间段内拆分出N个区间(头尾包含的不完整日历周期舍去)。

随机波动率

Markov过程

Markov过程是一种重要的随机过程，它有如下性质：当随机过程在时刻ti所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在 ti时刻的状态有关，而与过程在ti时刻以前所处的状态无关。此特性称为随机过程的无后效性或马尔可夫性。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
伊藤过程

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t 的函数，我们可以从前面公式得到伊藤过程（Ito Process）：
dx a( x, t )dt b( x, t )dz

其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2 。
布朗运动
特点：（1）它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。（2）布朗运动具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。（3）它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。
波动性的特征

（3）波动非对称性：不同种类的信息对股价波动的影响不对称，下跌引起的波动比上升引起的波动大一种解释是杠杆效应：指股价运动与波动呈现出负相关的关系。即下降的股价将提高资产负债比（财务杠杆），因此提高了公司的风险，从而导致未来波动的上升。另一种解释是反馈效应：当前波动与未来收益正相关。
波动性的特征

（6）波动传导性（波动溢出现象）：不同金融市场的波动之间可能存在相互影响，波动会从一个市场传递到另一个市场，一种金融产品到另外一种金融产品。例如，期货市场的交易将会加剧现货市场的波动，同样现货市场对期货市场存在波动传导。

GARCH模型与随机波动模型的对比：期权定价和风险管理

GARCH模型与随机波动模型的对比：期权定价和风险管理译自Alfred Lehar，Martin Scheicher，Christian Schittenkopf ：GARCH vs. stochastic volatility:Option pricing and risk management摘要：在本文中，我们比较了B-S期权定价模型的两种通常延伸的样本绩效，即GARCH(广义自回归条件异方差)和SV（随即波动）。

我们为日内的FTSE 100（英国富时100指数）期权价格校正了三个模型并且采用了两套绩效标准，即样本估价误差和风险值调整措施。

当我们分析模型结果和观测价格的一致性时，GARCH明显优于SV和标准B-S模型。

然而，假定的金融衍生工具持仓量的市场风险预测显示出相当大的误差。

与实际盈亏的符合程度较低并且两个模型间没有明显的差别。

因此，总体来说，我们注意到如果只是基于定价的目的而不是VaR预测，则期权定价模型越复杂越能改进B-S方法。

1.引言在任何金融市场中，金融衍生工具的恰当估价对从业者来说都至关重要。

金融衍生工具如今是投资者投资组合的主要组成部分。

金融衍生产品的流通量和成交量从20世纪70年代开始就显著增长，该事实充分反映了金融市场的这一发展。

对市场参与者而言，主要的问题是由标准B-S模型得到的价格与观测价格显著不同。

这些系统估价误差可以由一个被称作“微笑”效应的特征事实证明如下：当波动性避开期权价格与价值状况和到期日发生冲突时，理论模型预测的结果就严重偏离事实。

这些理论误差表明实际上波动率不是恒定的而是随时间变化的。

这一结果与几何中布朗运动的恒定变动框架形成了对比，而布朗运动是B-S方法的基础。

定价误差源于不切实际的假定，而且对市场参与者测定其投资组合的市场风险产生了严重的后果。

在最近的几年中，监管部门已经允许金融机构使用内部风险模型来测定市场误差并分配经济资本。

基于这些目的，VaR已成为最常见的方法（概念）。

Heston随机波动率模型下的动态投资组合

ｏｐｔｉｍａｌｐｏｌｉｃｉｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ；ｄｙｎａｍｉｃｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｐｏｗｅｒｕｔｉｌｉｔｙ；ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｕｔｉｌｉｔｙ；
ＣＨＡＮＧＨａｏ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，７７ａｎｊｉｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，７７ａｎｊｉｎ３００３８７，Ｃｈｉｎａ）
投资机构进行投资理财和资产套期保值的指导性工
具．后来，人们在长期的投资实践和实证分析中却发现股票的波动率不是一成不变的，而是时时受到一
资问题进行了研究，得到了幂效用函数下最优投资
略的影响．
关键词随机波动率；动态投资组合；动态规划；幂效用；指数效用；最优投资策略中图分类号Ｆ８３２．８，Ｏ２１１．６文献标识码Ａ
ＤｙｎａｍｉｃＰｏｒｔｆｏｌｉｏＳｅｌｅｃｔｉｏｎｗｉｔｈＨｅｓｔｏｎ’ ＳＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＶｏｌａｔｉｌｉｔｙ
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｐｅｒｕｓｅｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｏｒｙｔｏｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅａｄｙｎａｍｉｃｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｗｉｔｈ

带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用

带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用
郝红霞;胡红倩;韩忠成;林金官
【期刊名称】《应用概率统计》
【年(卷),期】2024(40)2
【摘要】为了更好地捕捉金融时间序列中杠杆效应的时变非对称性,本文基于线性样条思想,提出一种带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型,并利用贝叶斯MCMC方法对所提模型中的参数进行了估计.模拟研究表明贝叶斯MCMC方法在所提模型的参数估计方面有着良好的有限样本表现.最后利用本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型对2000年1月4日至2020年8月18日的上证综合指数和深证成份指数日收益数据进行了实证分析,结果表明利用本文所提出的模型拟合这两组实例数据是合理的.
【总页数】13页(P264-276)
【作者】郝红霞;胡红倩;韩忠成;林金官
【作者单位】南京审计大学统计与数据科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O212.1
【相关文献】
1.快速均值回归随机波动率模型参数估计及应用
2.干散货运价波动的杠杆效应特征研究——基于非对称随机波动模型
3.带跳的随机波动模型的参数估计
4.具有时变
杠杆效应的已实现GARCH模型5.中国波指隐含的波动率风险溢价研究:基于带跳随机波动率模型的实证分析
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波动率wing模型

波动率wing模型英文回答：The波动率 wing model is a stochastic volatility model that describes the evolution of the volatility of an underlying asset. It is a two-factor model, consisting of a short-term component and a long-term component. The short-term component is mean-reverting, while the long-term component is driven by a Wiener process.The model is defined by the following stochastic differential equations:dS_t = S_t(μ + σ_s(t)dZ_t)。

dσ_s(t) = κ(θ σ_s(t))dt + σ_σdW_t.where:S_t is the underlying asset price.μ is the drift rate.σ_s(t) is the short-term volatility component.κ is the mean-reversion rate.θ is the long-term volatility level.σ_σ is the volatility of the long-term volatility component.Z_t and W_t are independent Wiener processes.The波动率 wing model is a popular choice for modeling the volatility of financial assets because it is able to capture a wide range of volatility dynamics. It is also relatively easy to calibrate and can be used to price a variety of financial instruments, including options and swaps.中文回答：波动率wing模型是一种随机波动率模型，它描述了基础资产波动率的演变过程。

随机波动率模型

❖ 由于式中包含 h t 1 ，而h t 1 的边际分布与 h t 边际
分布同为 2
( 1
, 1
2
)
。
❖ E[e ] m(ht1)/2 可根据对数正态分布矩条件公式计算。
所以，关键是要计算 E[emvt /2ztm] 。
❖ 但是，
z
，
t
vt
相关使得矩条件计算比不相关
情形更为复杂。
❖ 根据Jiang、Knight和Wang（2007）导出SV 模型的矩条件：
称为权重矩阵，依概率收敛与一个对称的正定矩阵 W,
它可以是参数和样本数据的函数，最简单的权重
是恒等矩阵，它赋予每个矩阵条件相同的权重。
❖ GMM估计量具有良好的性质。Hansen（1982）证明，在一定的正规性条件下（主要是样本数据的平稳性）：
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= xpf(x)dx
❖ 中心矩
E [(X-X)P ]= (xx)pf(x)dx
❖ 中心绝对值矩
E [X-XP]= xxpf(x)dx
❖ 正态分布矩条件
原点矩
E[XP]=0， p(pp为奇 1)!数 !，p为偶数
性质 1 ： G M M 估计量是相合的，即 ˆ T P
性质 2 ： 1 T tT ift() d (0 ,S ),S 是 N * N 正定矩阵
则 ˆ T 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A v a r ( ˆ T ) ( G W G ) 1 G T W S W G ( G W G ) 1 ,其中 G E [ f t( ) ]

随机波动率ppt课件

布朗运动
布朗运动也称维纳过程，是一个随机过程。定义：
若一个随机过程{X(t),t>=0}满足： (1)X(t)是独立增量过程； (2)任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望为0，方差为c^2*t 的正态分布； (3) X(t)关于t是连续函数
Ct St(dt ) KB(t,t h)(dt s h) 其中是累计标准正态分布函数，贴现因子B(t,t h)定义为：
xt LogSt / KB(t,t h), dt =(xt / s h/2)，那么，有： Ct / St =(dt ) ext(dt s h)
.
随机波动期权定价模型
由于B-S模型的一些假设在实际中并不成立，特别是假设波动为常数，因此Hull和White提出了随机波动下的期权定价公式，该模型假设：
P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
.
伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t 的函数，我们可以从前面公式得到伊藤过程（Ito Process）： d xa (x,t)d tb (x,t)dz
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
其中yt是消去均值后第t期的收益，即yt log(St / St1) 一般假定t ~i.iN(0,1)t ~i.iN(0,2),且2未知。,为常数，为持续性参数,反映当前波动对未来波动的影响，||<1.
.
离散SV模型
如果取h t
lnt2,则可以得到
ht
yt te2
ht ht1 t
还有其他不同的离散SV模型，如：

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0

,

1
]
❖ r t 的各阶矩条件（使用条件期望的迭代性质）：
E [ r tm ] E [ E [ r tm /h t] ] E [ E [ e m ( h t 1 v t) /2 z t m /h t 1 ] ] E { e m ( h t 1 ) /2 g E [ e m v t/2 z t m /h t 1 ] } E [ e m ( h t 1 ) /2 ] g E [ e m v t/2 z t m ]
ˆT a rg m in { J T ( ) g T ( )Wˆ ( ) g T ( )}

其中，是参数空间； Wˆ 是一个对称的正定矩阵，称为权重矩阵，依概率收敛与一个对称的正定矩阵 W, 它可以是参数和样本数据的函数，最简单的权重是恒等矩阵，它赋予每个矩阵条件相同的权重。
❖ （2）E [ rt m ]：
E [r t] E [e h t/2zt] E [e h t/2 ]E [zt]2 / e x p (h/2 h 2/8 ) E [r t3 ] E [e 3 h t/2zt3 ] E [e 3 h t/2 ]E [zt3 ] 22 / e x p (3h/2 9h 2/8 )
给定总体矩条件 E [ ft ( )] 0， ft ( )是 N 维列向量是 K维参数向量矩阵， N K.
很多时候先获得条件矩 E [ht / t1], 根据条件期望的
性
质
有
E [ht gzt ]

0，
其
中
，
zt是
信
SV模型（ = 0 ）
对于 SV模型（t=0，=0）
rt ht
eht/2zt,zt : iidN(0,1)
ht1 vt,0
1,vt
:
iidN(0,1)
Corr[zt ,vt ] =0
（1） E [ rt m ]
E[rti]0，i为奇数
E[rt2]E[eht zt2]E[eht ]E[zt2]exp(hh2/2) E[rt4]E[e2ht zt4]E[e2ht ]E[zt4]3exp(2h2h2) E[rt6]E[e3ht zt6]E[e3ht ]E[zt6]15exp(3h9h2/2)
❖ 对数正态分布 X: ln(,2)
密度函数
f (x) 1 e(ln2x2)2
2
对数正态分布的均值、方差、原点矩公式：
1 2
EX e 2
V arX (e 2 1)e 2 2
EX
s

s 1 s2 2
e 2 ,s
¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
❖ SV 中新的随机变量的引入，使得无论是从长期波动性的预测能力来看，还是从波动率序列的稳定性、抑或对资产定价理论的应用来看，它都是优于ARCH 类模型的。
❖ 教材P140-141做出了收益率，收益率平方以及条件方差的自相关函数。其中收益率的各阶自相关函数都不显著。收益率平方以及条件方差的部分自相关函数都是显著的。体现了收益率的波动率集聚特征。

2 2
2
2 2 2
2 2 2 22
t
9e 3
2
3 (1
)

8
9 2 (1
2
)

9

2 8
2
9 2 2 8
E[r ] e ( 2 t
9 2 2
27e
8
3 3
)
8
E[rt4 ]
e (3e 1

2 2 (1 2
)

2
❖ 另一类是Taylor 于1986年在解释金融收益序列波动的自回归行为时提出的随机波动模型（Stochastic volatility model），简称SV 模型。
1.随机波动率模型（SV）的设定
SV模型
GARCH 模型
rt t t
t
ht
eht /2zt , zt : iidN(0,1)
则 ˆ T 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A v a r ( ˆ T ) ( G W G ) 1 G T W S W G ( G W G ) 1 ,其中 G E [ f t( ) ]
随机波动率模型 Stochastic volatility model
内容框架
❖ 简介 ❖ SV模型的设定（与GARCH对比） ❖ SV模型的矩条件（两种情况下） ❖ SV模型的广义矩估计（GMM） ❖ 模特卡罗模拟评判估计方法 ❖ 其他估计方法
简介
❖ 经济或金融时间序列存在着普遍的波动性现象，而波动性是描述金融市场研究的一个核心问题，它通过金融收益率的方差来测度。目前研究金融衍生物的价格的波动模型主要有随机游走模型 (Random Walk)、对数正态分布模型等，而主要有两类：
情形更为复杂。
❖ 根据Jiang、Knight和Wang（2007）导出SV 模型的矩条件：
❖ （1）
E[rti ](i 1,…,4) :
2
E[rt ]
e 2(1 )
8(1 2 )
2
E[r ] e (e e ) 2
1

2 2(1
2
)
由于h t 平稳性，可知
Eht Eht
Eht1
Eht1
Eht
1
Varht Varht
Varht1
2Varht1
2
Varht
2 1

因为 h t 可以展开为一个 ht vs ts s0 ht : (1 ,1 22)=(h,h2)
t t1
3.SV模型的广义矩（GMM）估计
❖ 与ARCH/GARCH类模型相比，SV模型的估计要复杂得多。因为SV模型中波动率过程是潜藏的，即不可直接观察。因此，任何估计步骤必须处理潜变量，一般要使用替代变量或在似然函数中通过积分去掉潜变量。由于似然函数中的高维积分一般难以降到一维（或大幅降维）积分，数值积分往往需要先将连续时间模型离散化，然后模拟期路径，因此需要非常大的计算量。这里重点介绍通过前面导出的矩条件而使用广义矩方法（GMM，Generalized Method of Moments）来估计SV模型。
当 N K时，即矩条件个数大于估计参数个数时，
这种情况称为过度识别。
广义矩方法（GMM）估计的思想是，选择值使得由模型导出的矩条件个数与由数据计算的样本矩尽可能接近。 G M M 估计量是使下式目标函数 J T ( )最小的估计量：
❖ 一类是由诺贝尔经济学奖获得者、美国著名的统计学家Engle 于1982 年在研究英国通货膨胀指数问题时提出的自回归条件异方差（ autoregression conditional heteroscedasticity variance）模型，简称ARCH 模型以及后来由Bollerslev 提出的GARCH 类模型；
息
集

t

中
1
的
任
意
元素，称为工具变量。选择不同的工具变量就
得到不同的矩条件。如果 N K，即矩条件个数等
于参数个数时，就可以得到矩方法。
用样本矩 g T ( )
1 T
T ti
ft ( )代替总体矩，使样本矩
等于 0的估计量称为矩估计量。
22 2
e （1+ 1（122+(123）2) 2
3
）3
3
e （1+ 1（122+(126）2) 2
6
）2
2
E[rtrt3]
22 2
，E[rtrt6]
22 2
Байду номын сангаас
2 （2+2）222 22
22
E[r2r2 ]e1 2(12) (e 2 e 2 22)2
ut是资产的条件期望收益率
h t是一个平稳的 A R (1 )过程
C o r r [ z t , v t ] 刻画了资产收益率的杠杆效应
GARCH与SV的数据模拟
GARCH与SV模型的比较
❖ 由于ARCH 类模型将条件方差定义为过去观测值的平方项和前期条件方差的确定性函数, 条件方差的估计与过去观测值直接相关, 因此当存在异常观测值时, 估计的波动性序列将不很稳定, ARCH 类模型对于长期波动性的预测能力也较差。
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E
[
rt
2
rt
2 i
]

exp(2h

2 h
(1

i ))
E[
rt rt i
]

2

exp(h

2 h
4
(1

i
))
C
or
r
(
rt
2
,
rt
2 i
)

ex
p(
2 h

i
)

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