ARCH(∞)模型加权和序列的渐近收敛性
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２４卷第２期 ２００８年４月 山西大同大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖ０１．２４．ＮＯ．２ Ａｐｒ．２００８
极限 ＡＲＣＨ（＝）模型加权和序列的渐近收敛性
张志强，张日权
（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同ｆ］３７（）ｆ）９）
摘要：本文在ＡＲｃＨ（ ）模型 有的平稳性的基础上，证明了其加权和序列几乎处处收敛，且均方收敛于同一
关键词：ＡＲＣＨ（∞）模型加权和几乎处处收敛均方收敛
中图分类号：０２１１．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—０８７４（２００８）０２—０００４—０２
传统的时间序列模型假定方差保持不变，但随
着经济理论的发展和实证工作的深入，已发现这一
假设不甚合理．越来越多的研究者发现，经济类时
间序列数据，诸如股票价格，通货膨胀率，利率，外
汇汇率等，经常出现方差随时间变化的特点，不仅
会随着时间的变化而变化，而且还存在着波动聚类
的特征，即一个大的变动会跟随着一个大的变动，
一个小的变动会跟随着一个小的变动．此外还发现
经济随机变量的分布具有厚尾现象．为了模拟这种
波动，提高预测精度，１９８２年Ｅｎｇｌｅ构造了方差随
时间变化的自回归条件异方差ＡＲＣＨ模型ＩＪ１．为这
一问题的解决提供了办法．此后，随着实践的深入，
ＡＲＣＨ模型的一些扩展模型也被相继提出，如
ＧＡＲＣＨ模型，ＥＧＡＲＣＨ模型等，并在解释货币和金
融时间序列的行为中得到广泛应用．本文主要讨论
ＡＲＣＨ（∞）模型加权和序列的渐进收敛性．
１ ＡＲＣＨ（Ｄｏ）模型
ＡＲＣＨ（ ）模型的一般形式为：
ｘｔ＝ｐ 考 ，Ｐ ：ｎ＋ ｂＩ ｘ １、 ＝ｌ 其中 ｝是非负的独立同分布随机变量序列，Ｅ￣ｔ－－１，
ａｍ＞０，６，三０．显然如果令 ＝￡ ，则以上模型包括经典
的ＡＲＣＨ模型作为特例，而且在一定的条件下，以
上模型还包括ＧＡＲＣＨ模型．我们先介绍一个引理． 引理闼（ｉ）在∑ ｂ＜１条件下，模型（１）有唯一的
严平稳解｛ ，ｔ＝０，±１，±２，… 且 一
， ∞ 、 ＥＸ，＝ａ／｛１一∑６，｝．
ｊ＝１ 进一步，如果ａ＝０，则对一切ｔ，有唯一解是 ；０．
（ｉｉ１假设
＜∞， ） ∑６ ＜１， ，＝ｌ 则模型（１）有唯一的严平稳解｛ ｝且
ＥＸ ＜∞．
２ 主要结果与证明
定理设 ～ＡＲＣＨ（￣），即服从模型（１），且满
足引理中的条件（ｉ）和（ｉｉ），如果
∑ ｌ＜∞．
Ｊ＝ｌ 则序列
１—１一 （ ） ，＝２．２ ，ＢＪ ，＝２．２ｑ，ｊ （２） ＝一。ｃ （其中 为延迟算子），几乎处处收敛和均方收敛于
同一极限．
证明 由单调收敛定理和引理，有
（∑ 』ｌｌ ， １）＝
收稿日期：２００７—１２—１５
基金项目：山西省自然科学基金项目［２００７０１ １０１４］；山西大同大学科研项目【２００７Ｋ０６］
作者简介：张志强（１９６９一），男，【ＩＩ西大同人，硕士，助教，研究方向：
时间序列分析与非参数统计 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８焦 山西大同大学学报（自然科学版） ・５・
因此
和 ｌｉｍＥ（￣］０
ｎ＿÷ Ｊ＝一 Ｉ）ｓ
ｌｉｍ（∑ １）ｓｌｕｐＥ［Ｘ ｆ＜。。 ｎ— ∞ ｉ＝－ｎ
∑ Ｉ ｆ，
（ ＝∑ 竹
依概率１有限．
对ｒｔ＞ｍ＞０，则当ｍ，ｎ一＿＋。。时，有
Ｅ ｊＪ ： ｌ Ｉ
ＪＩｓｎ １ ． Ｅ（Ｘ Ｘ ）ｓ Ｉ，Ｉｓｎｍ＜Ｉ ｋ Ｉ≤
ｓｕｐ ＥＩＸ ｆ （∑Ｉ 一－＋ｏ．
‘ ｍ＜ｊ＜－ｎ 由Ｃａｕｃｈｙ准则，序列（２）均方收敛．令．ｓ表示序列的
均方极限，由Ｆａｔｏｕ引理，有
ＥＩＳ一砂（ ） ｆ ：
ｌ Ｉ ２ Ｅ ｉｎｆ Ｉ
ｌ ｉｍ ｉｎｆＥｆ．ｓ一 ・ 置 ｆ‘＝。，
即证明了极限Ｓ和 ㈣置依概率１相等
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Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＡＲＣＨ（ｗ）ｍｏｄｅｌ；ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｓｕｍｓ；ａｌｍｏｓｔ ｓｕｒｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｍｅａｎ ｓｑｕａｒｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
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