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§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：***指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
依分布收敛与依概率收敛
依分布收敛与依概率收敛是概率论和统计学中的两个重要概念，常
用于描述随机变量序列的收敛性质。
下面分别介绍这两种收敛的定义
和特点。
依分布收敛：
所谓依分布收敛，是指随机变量序列逐渐趋向于某个分布的过程。
具
体而言，对于一组随机变量序列{Xi}和分布函数F(x)，如果对于任意
的x，当n趋向于无穷大时，有Fn(x)都趋向于F(x)，则称{Xi}依分布
收敛于分布函数F(x)，记作Xi~F(x)。
依分布收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个分布函数，可以通过累加分布函数来计算概率值。
2. 收敛的充分条件是连续的性质，具有普遍性。
3. 各种随机变量均可以进行依分布收敛。
依概率收敛：
依概率收敛是指随机变量序列以大概率趋近于某一常数的过程。
具体
而言，对于一组随机变量序列{Xi}和常数a，如果对于任意的小于等于ε（ε>0），有lim P(|Xi-a|>ε)=0，则称{Xi}依概率收敛于a，记作Xi→a （p）。
依概率收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个确定值，其概率趋向于1。
2. 收敛的充分条件是可测性的性质，具有更弱的条件限制。
3. 仅限于实数的随机变量序列（也可以进行有限维的推广）。
以上是依分布收敛与依概率收敛的定义和特点，两者之间存在差异，但都是表示随机变量序列逐渐趋向于某一结果的重要方法。
在实际应用中，需要根据具体问题和需求选择适合的方法进行处理。
科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。
这些理论既是概率论的重点，也是难点。
本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。
关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。
但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。
设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致 有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。
