随机变量序列的收敛特性

Dvoretzky’s 收敛定理一、概述Dvoretzky’s 收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。

本文将对Dvoretzky’s 收敛定理进行深入剖析，旨在帮助读者全面了解该定理的内容、证明过程和应用领域。

二、Dvoretzky’s 收敛定理的表述Dvoretzky’s 收敛定理描述了随机变量序列的收敛性质，在正式表述如下：对于一个随机变量序列X1, X2, …, Xn，在满足一定条件下，这个序列可以在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。

具体而言，若满足以下条件：1. 随机变量序列的方差有界：存在一个正数C，使得对于所有的n，有Var(Xn) <= C。

2. 随机变量序列的"距离"有限：对于任意的i≠j，有E|Xi - Xj| <=d(i,j)，其中d(i,j)是一个随机变量序列的"距离"函数。

那么，这个随机变量序列在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。

三、Dvoretzky’s 收敛定理的证明Dvoretzky’s 收敛定理的证明是通过利用概率论和数学分析的方法来完成的。

主要思路是采用刻画随机变量序列的距离函数，配合方差有界的条件，最终利用概率的收敛性质来推断序列的收敛性。

具体证明过程如下：1. 定义随机变量序列的距离函数d(i,j)，并使得该距离函数满足E|Xi - Xj| <= d(i,j)。

2. 利用方差有界的条件，推导出随机变量序列的均值序列收敛到一个常数。

3. 利用概率的性质，证明了随机变量序列在概率意义下的收敛性。

四、Dvoretzky’s 收敛定理的应用Dvoretzky’s 收敛定理在概率论和统计学中有着广泛的应用。

主要体现在以下几个方面：1. 随机变量序列的收敛性分析：Dvoretzky’s 收敛定理可以用来分析随机变量序列的收敛性，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。

迪利克雷收敛定理
一、迪利克雷收敛定理简介
迪利克雷收敛定理（Dirlikov Convergence Theorem）是概率论中一个重要的收敛性定理，主要用于研究随机变量序列的收敛性。

该定理由保加利亚数学家迪利克雷（Kolmogorov）提出，因此得名。

二、迪利克雷收敛定理的条件
迪利克雷收敛定理指出，当且仅当以下两个条件同时满足时，一个随机变量序列收敛：
1.单调性：序列中的每个随机变量具有单调性，即随着自变量的增加，随机变量值也单调增加或减少。

2.矩条件：序列的任意阶矩存在且有限。

三、迪利克雷收敛定理的应用
迪利克雷收敛定理在概率论、统计学和随机过程等领域具有广泛的应用，例如：
1.用于研究随机变量序列的收敛性，判断其极限分布。

2.用于大数定律和中心极限定理的证明。

3.研究稳定分布和无穷可分分布的性质。

四、实例分析
以伯努利试验为例，设随机变量序列：X_n = B(n, p)，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率。

1.判断单调性：随着n的增加，X_n的成功次数也单调增加或减少。

2.判断矩条件：计算序列的矩，如E[X_n] = np，Var[X_n] = np(1-p)，可知任意阶矩存在且有限。

因此，根据迪利克雷收敛定理，序列X_n收敛。

五、总结与展望
迪利克雷收敛定理为研究随机变量序列的收敛性提供了一个有力的工具。

在实际应用中，判断序列的单调性和矩条件是关键。

通过对迪利克雷收敛定理的学习，我们可以更深入地理解随机变量序列的收敛性，并为后续的研究奠定基础。

本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：薛永丽指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 12.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。

第24卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vol .24,No .22008第2期NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY随机变量序列依概率收敛的几个性质朱永生(哈尔滨师范大学)【摘要】　对随机变量序列依概率收敛的问题进行研究进而得出一些结论.关键词:依概率收敛;随机变量序列;连续函数收稿日期:2007-1-3 笔者在原有随机变量序列依概率收敛性质基础上进一步研究得出几个系统的结论.定义:设有随机变量序列ξ1,ξ2,ξ3,…,若对任意的ε>0,有li m n →∞P (|ξn -ξ|<ε)=1,则称随机变量序列{ξn }依概率收敛于ξ,并记作li m n →∞ξnPξ或ξnPξ(n →∞).引理1　设随机变量序列{ξn }、{ηn }分别依概率收敛于a 与b (其中a 与b 是两个常数),则有①ξn +-×ηnP a +-×b ②ξn ÷ηn Pa ÷b 进一步利用归纳法可证明上述引理在有限次的四则运算下也是成立的,从而可推广如下:定理1　设{ξ1n },{ξ2n },…,{ξkn }是k 个随机变量序列,并且ξinPa i ,n →∞(i =1,2,…,k ),又Q (x 1,x 2,…,x k )是k 元变量的有理函数,并且Q (a 1,a 2,…,a k )≠±∞,则有Q (x 1,x 2,…,x k )PQ (a 1,a 2,…,a k ),n →∞成立.为了进一步推广上述定理,下面再给出一个定理.定理2　设随机变量序列{ξn }依概率收敛于ξ,f (x )为直线上的连续函数,则f (ξn )Pf (ξ).证明　①若f (x )=∑mi =1a i x i是m 次多项式函数,由定理1知f (ξn )Pf (ξ)成立,结论为真.②现在证明一般情形.对任意的ε>0,δ>0,取M 充分大使得有P (|ξ|>M )>δ,又选取N 1充分大,使当n ≥N 1时,有P (|ξ-ξn |>1)<δ,于是有　P (|ξn |>M +1)≤P{(|ξ|>M )∪(|ξ-ξn |>1}<2δ对取定的M ,因为f (x )是连续函数,可以用多项式函数进行任意逼近,且在任意有限区间上是一致收敛的,从而有m 次多项式g m (x ),使有|f (x )-g m (x )|<ε3,x ∈[-(M +1),M +1].对取定的m 次多项式g m (x ),因为g m (ξn )Pg m (ξ),n →∞,故存在N 2,使当n ≥N 2时,有P (|g m (ξ)-g m (ξn )|≥ε3)<δ成立,又P (|f (ξ)-f (ξn )|≥ε)=P{(|f (ξ)-f (ξn )|≥ε)∩(A ∪B )}+P{(|f (ξ)-f (ξn )|≥ε)∩((A ∪B )}=I 1+I 2可以看出(A ∪B )∪(A ∪B )=(A ∪B )∪( A ∩ B )=Ω(A ∪B )∩(A ∪B )=Φ其中(A ∪B )=(|ξ|>M )∪(|ξn |>M +1)(A ∪B )=( A ∩ B )=(|ξ|≤M )∩(|ξn |≤M +1)那么当n ≥m ax {N 1,N 2}时,有I 1≤P (|ξ|>M )+P (|ξn |>M +1)<3δ,又|f (ξ)-f (ξn )|≥ε]|f (ξ)-g m (ξ)+g m (ξ)-g m (ξn )+g m (ξn )-f (ξn )|≥ε]|f (ξ)-g m (ξ)|≥ε3或|g m (ξ)-g m (ξn )|≥ε3或|g m (ξn )-f (ξn )|≥ε3.即(|f (ξ)-f (ξn )|≥ε)<{(|f (ξ)-g m (ξ)|≥ε3)∪(|g m (ξ)-g m (ξn )|≥ε3)∪(|g m (ξn )-f (ξn )|≥ε3)}.然而由上面可知,有下述事实成立P{(|f (ξ)-g m (ξ)|≥ε3)∩ A ∩ B }=P{(|f (ξ)-g m (ξ)|≥ε3)∩(|ξ|≤M )∩(|ξn |≤M +1)}=0P{(|g m (ξn )-f (ξn )|≥ε3)∩(|ξ|≤M )∩(|ξn |≤M +1)}=0,所以I 2≤P{(|g m (ξ)-g m (ξn )|≥ε3)∩(|ξ|≤M )∩(|ξn |≤M +1)}≤P{|g m (ξ)-g m (ξn )|≥ε3)<δ从而有P (|f (ξ)-f (ξn )|≥ε)=I 1+I 2<4δ成立.由ε、δ的任意性即知f (ξn )Pf (ξ)成立.于是结论得证.进而可得定理3如下.定理3　若ξn Pc,则g (ξn )Pg (c ),其中c 是一个常数,g 是一个连续函数.从而可推广前述两个定理如下:定理4　设{ξ1n },{ξ2n },…,{ξkn }是k 个随机变量序列,g i (x )是一组连续函数,并且{ξin }Pξi ,n →∞(i =1,2,…,k ),又Q (x 1,x 2,…,x k )是k 元变量的有理函数,并且Q (g 1(ξ1),g 2(ξ2),…,g k (ξk ))≠±∞,则有Q (g 1(ξ1n ),g 2(ξ2n ),…,g k (ξkn ))PQ (g 1(ξ1),g 2(ξ2),…,g k (ξk ))(n →∞).例　若ξnPξ,ηnPη.则有(eξn+sinηn )/(1+e ξn)P(e ξ+sin η)/(1+e ξ)这是因为g 1(x )=e x,g 2(x )=sin x 为连续函数,Q (x,y )=x +y1+x为有理函数,从而易证.从定理3和上述定理4亦不难得出相应的下述定理5.定理5　设{ξ1n },{ξ2n },…,{ξkn }是k 个随机变量序列,g i (x )是一组连续函数,并且{ξin }Pc i ,n →∞(i =1,2,…,k,c i 为常数),又Q (x 1,x 2,…,x k )是k 元变量的有理函数,并且Q (g 1(c 1),g 2(c 2),…,g k (c k ))≠±∞,则有Q (g 1(ξ1n ),g 2(ξ2n ),…,g k (ξkn )PQ (g 1(c 1),g 2(c 2),…,g k (c k ))(n →∞).引理2　设ξnPa,ηnPb,又设函数g (x,y )在点(a,b )连续,则g (ξn ,ηn )Pg (a,b )证明　由函数g (x,y )在(a,b )的连续性知,对于任给的ε>0,必存在δ>0,使当|x -a |+|y -b |<δ时,|g (x,y )-g (a,b )|<ε,于是{|g (ξn ,ηn )-g (a,b )|≥ε}<{|ξn -a |+|ηn -b |≥δ}<{|ξn -a |≥δ2}∪{|ηn -b |≥δ2}因此,P{|g (ξn ,ηn )-g (a,b )|≥ε}≤P{|ξn -a |≥δ2}+P{|ηn -b |≥δ2}→0(n →∞)亦即li m n →∞P{|g (ξn ,ηn )-g (a,b )|<ε}=1.进而得出下述定理:定理6　设{ξ1n },{ξ2n },…,{ξkn }与{η1n },{η2n },…,{ηkn }分别是k 个随机变量序列g i (x,y )是一组二元连续函数,并且ξinPa i ,ηinPb i ,n →∞(i =1,2,…,k,a i ,b i 为常数),又Q (x 1,x 2,…,x k )是k 元变量有理函数,并且Q (g 1(a 1,b 1),…,g 2(a 2,b 2),…,g k (a k ,b k ))≠±∞,则有Q (g 1(ξ1n ,η1n ),g 2(ξ2n ,ξ2n ),g k (ξkn ,ηkn ))PQ (g 1(a 1,b 1),g 2(a 2,b 2),…,g k (a k ,b k ))(n →∞).例　若ξnPξ,ηnPη.则有(e ξn+ηn+sin ξnηn )/(1+e ξn ηn )P(eξ+η+sinξη)/(1+e ξη)83哈尔滨师范大学自然科学学报 2008年此例题由上述定理6很容易看出.由上述的引理2还可以推出引理1.分别取g (x,y )为x ±y,xy,xy(y ≠0),则可由引理2推论得到引理1,因此,引理1可以看作是引理2的特例.最后,还应该注意的是,依概率收敛不同于通常意义上的极限,随机变量序列ξnPξ不一定有ξn (ω)→ξ(ω),(ω∈Ω),甚至可能对每一个ω,ξn (ω)ξ(ω),(ω∈Ω).如取Ω=[0,1],R 是包含[0,1]中一切左闭右开区间的事件域,P 是定义在R 上的概率,且对于[a,b )<[0,1],满足P ([a,b ))=b -a,定义随机变量序列如下:η11(ω)≡1,η21(ω)=1,ω∈[0,12);0,ω∈[12,1)η22(ω)=1,ω∈[0,12);0,ω∈[12,1)　…一般地,将[0,1)分成K 个等长的区间,定义ηk i (ω)=1,ω∈[i -1K ,iK);0,ω[i -1K ,iK).　(i =1,2,…,K;K =1,2,…)显然,对任意ε>0,P (|ηk i |≥ε)≤1K,将ηk i 重新编号,令ξ1=η11,ξ2=η21,ξ3=η22,ξ4=η31,ξ5=η32,…则由上式可知,ξnP0,但对每一个ω∈Ω,由{ξn }的定义知,数列{ξn (ω)}中皆有无穷多个1和无穷多个0,因而{ξn (ω)}不收敛.参　考　文　献[1]　来向荣.简明概率论教程[M ].北京:北京工业大学出版社,2004.[2]　魏宗舒.概率论与数理统计教程[M ].北京:高等教育出版社,1983.[3]　严士健,王隽骧,刘秀芳.概率论基础[M ].北京:科学出版社,1983.[4]　王梓坤.概率论基础及其应用[M ].北京:科学出版社,1979.[5]　Laha ,R.G .and Rohatgi ,B.K .Pr obability theory[M ].JohnW iley &s ons,1985.S OM E CONCLUSIONS OF THE CONVERGENTCHARACTER B Y PR OBABIL I T YZhu Yongsheng(Harbin Nor mal University )ABSTRACTA series of conclusi ons are given according t o researching int o the convergent character by p r obability in this paper .Keywords:Convergent character by p r obability;Random variable;Continuity functi on(责任编辑:王丹红)93第2期 随机变量序列依概率收敛的几个性质。