高三数学一轮 9.2 算法案例精品复习学案
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2012版高三数学一轮 9.2 算法案例精品复习学案
- 1 - / 15 2012版高三数学一轮精品复习学案：第九章 算法初步第二节 算法案例
【高考目标导航】
一、考纲点击
1.了解几个古代算法案例，能利用辗转相除法及更相减损术求最大公约数；
2.用秦九韶算法求多项式的值;
3.了解进位制,会不同进位制间的相互转化.
二、热点提示
1.通过案例分析,加深对算法思想以及对程序框图三种基本逻辑结构的理解;
2.命题时会以简单的小题出现,考查典型案例所体现的算法原理,如求两数最大公约数的方法,进位制的转换等.
【考纲知识梳理】
1.辗转相除法是用于求两个数的最大公约数的一种方法,这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.
2.更相减损术的定义
任给两个正整数(若是偶数,先用2约简),以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
注:辗转相除法和更相减损术的区别和联系是:更相减损术与辗转相除法算法不同,但二者的算法理论是相似的,主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,而更相减损术进行的是减法运算,实质都是一个递归的过程.
3.秦九韶算法
秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数学书九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法。
注：秦九韶算法的特点是：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现。
4.进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几. 2012版高三数学一轮 9.2 算法案例精品复习学案
- 2 - / 15 5.排序
排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
（1）直接插入排序
在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。
例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。
完成这个工作要考虑两个问题：
（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。
（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。
对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了
首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：
{38，49}，
然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：
{38，49，65}
…………
按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到
{13，27，38，49，49，65，76，97}
这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台
（2）冒泡法排序
所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。
我们先对一组数据进行分析。
设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49}
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- 3 - / 15 排序的具体操作步骤如下：
1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65， 76，97，13，27，49}
5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65， 76， 13，97，27，49}
6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65， 76， 13，97，27，49}
7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}
我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。
上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程
【要点名师透析】
(一)求两个数的最大公约数
※相关链接※
1.辗转相除法就是用大数除以小数,再用小数除以余数,直到较大的余数能被较小的余数整除为止,这个较小的余数就是所求的最大公约数. 2012版高三数学一轮 9.2 算法案例精品复习学案
- 4 - / 15 2.更相减损术是大数减去小数,直到大数减小数的差等于小数时停止减法,较小的数就是最大公约数.
(1)更相减损术的算法步骤:(以求a,b两整数的最大公约数为例)
第一步:输入两个正整数a,b;
第二步:若a不等于b,则执行第三步;否则执行第四步;
第三步:若a>b,则a=a-b;否则b=b-a,返回第二步;
第四步:输出a.
(2)程序框图如图所示:
注:更相减损术的步骤较多,而辗转相除法的步骤较少,解题时应灵活运用.
※例题解析※
〖例〗(1)用辗转相除法求840与1760的最大公约数;
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.
思路解析:比较明确的用两种方法求最大公约数,严格按辗转相除法与更相减损术的操作步骤来求,计算时要仔细.
解答:(1)利用辗转相除法
1764=840×2+84,840=84×10,所以840与1764的最大公约数为84.
(2)利用更相减损术
556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,所以440与556的最大公约数为4. 2012版高三数学一轮 9.2 算法案例精品复习学案
- 5 - / 15 (二)利用秦九韶算法求一元多项式的值
※相关链接※
1.秦九韶算法用程序框图和程序表示
(1)程序框图
(2)程序
注:用秦九韶算法求n次多项式1110()nnnnfxaxaxaxa当0xx(0x是任意实数)时的值,需要n次乘法运算,n次加法运算.
2.利用秦九韶算法计算多项式的值,关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向处逐次计算,由于每步计算都是相关联的,因此计算一定要细心准确,更不能漏项. 2012版高三数学一轮 9.2 算法案例精品复习学案
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※例题解析※
〖例〗用秦九韶算法求多项式765432()765432fxxxxxxxx在3x时的值.
思路解析:(1)该多项式有七项,注意没有常数项;
(2)首先把多项式改写成含有多个一次多项式的格式.
解答:()((((((76)5)4)3)2)1),fxxxxxxxx
012344567,73627,273586,8634262,26233789,789322369,2369317108,7108321324,(3)21324vvvvvvvvf
（三）进位制的转换
〖例〗（1）把十进制数168化为八进制数；
（2）把五进制数33（5）化为二进制数。
思路解析：（1）由十进制数转化为八进制数除8取余数；
（2）把五进制转化为二进制数，先把五进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为二进制数。
解答：（1）
∴168=(8)250
（2）0(5)33353515318 2012版高三数学一轮 9.2 算法案例精品复习学案
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∴18=(2)10010，∴(5)33=(2)10010
注：（1）将k进制数化为十进制数的方法：先把k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积的形式，再按照十进制的运算计算出结果。
（2）将十进制的数化为k进制的数的方法是，除k取余数，即用k连续去除十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数从下到上写出，就是相应的k进制的数。
（3）k进制之间的转化，先化成十进制，再转化为k进制。
【感悟高考真题】
1．（2011.天津高考理科.T3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【思路点拨】逐次循环计算，验证输出。
【精讲精析】选B。第一次循环：1,2;ia第二次循环：2,5;ia第三次循环：3,21;ia第四次循环：4,10650ia，跳出循环。
2．（2011·天津高考文科·Ｔ3）
