宿主体内质粒有无微生物竞争模型的种群动力学和抗生素耐药分析

这里 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) 分别表示带质粒微生物和不带质
收稿日期 : 2005 09 08 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10101029) 作者简介 : 宋会兴 , 男 , 1973 , 博士生 , 讲师 ; 主要研究方向 : 种群生态学 .
第1期
宋会兴, 等 : 宿主体内质粒有无微生物竞争模型的种群动力学和抗生素耐药分析
* 1
x 1,
22
x 2 , 其中 q 是在
ij
再生过程中质粒丢失的概率 , 因此 0< q < 1,
是第
中进行分析.
i 种微生物对第 j 种微生物的竞争系数 . 为了生物学 上的意义所有参数都为正常数并且取系统 ( 1) 的初 值为 x i ( 0) > 0, i = 1, 2. 从系统( 1) 我们可知每一孤立种群都将遵循 lo g ist ic 生长规律 . 也就是说, 当我们限制在第 个坐标 轴上讨论系统( 1) , 我们有 x #i = x i [ a i i ii
我们用下述记 号表示系 统 ( 1 ) 的平 衡点 , E = (x , x* 2 ) . 我们说系统 ( 1) 的平 衡点不存在当且仅 当其中有一个分量为负 , 也就是平衡点是下述方程 组 x 1 [ r 1 ( 1 - q) 11
x1-
12
x 2 ] = 0,
x i ] , ai ,
ii
> 0,
103
粒微生物在 t 时刻的浓度; 有无质粒微生物的生长 率和死亡率分别为 r 1 , r 2 和
11
= { ( x 1 , x 2 ) | 0 < x 1 ( x 1∃ , 0 < x 2 ( x 2∃ } 是系统 ( 1) 的正不变区域. 为了下面叙述的简洁, 我 们将对系统 ( 1) 限制在区域
ii
) 处平衡 .
) . 两种微生物都幸存的平衡 点记为 E = ( x 1 ,
*
*
*
然而 , 从下面的分析我们将发现当种群不孤立时将 有更复杂的现象发生 .
x 2 ) , 这里 E 是曲线 和 l 1 : r 1 ( 1- q) l 2 : x 2 [ r 2 - 21 x 1 11
x 1 - 12 x 2 = 0 22 x 2 ] + qr 1 x 1 = 0
105
x 2 [ r 2 - 21 x 1 - 22 x 2 ] + qr 1 x 1 = 0 的非负解. 显然 , E 0 = ( 0, 0) 是其流 失平衡点, 即所 有微生物都将绝灭; 还有一个带质粒微生物绝灭而 不带质 粒微 生物幸 存的 平衡 点记 为 E 1 = ( 0, r 2 /
22 *
因此种群 x 对 0 点排斥( 即种群充分小时将增大 ) , 对 ∃ 处也排斥( 即种群充分大时由于竞争将减小 ) , 最终在一吸引的固定点 R i ( 环境容纳量 ai
2006 年
图1
表1
Case ∗ + , − . / 0 1
系统 ( 1) 的平衡点和向量场
不同准则下平衡点的渐近稳定性
R es t point s { E 0, E 1} { E0 , E1 , E * } r2
22 * { E0 , E1 , E* 1 , E2 }
Crit eria f or exis t ence of t he rest point s qr 1
21
们将证明对任意初值系统 ( 1) 的所有解都是正的并 且最终有界, 即系统 ( 1) 是一耗散系统. 因为 x 1 = 0 是系统( 1 ) 的一常数解, 由于初值问 题解的存在唯一性和解对初值的连续依赖性我们可 得 x 1 ( t ) > 0 对任意 t % 0 均 成立, 即 x 1 ( t ) 始 终为 正. 如果使得 x 2 ( t) = 0 的第一个时刻为 t1 > 0 , 那么 x #2 ( t ) = qr 1 x 1 ( t1 ) > 0, 因此有 x 2 ( t) < 0, t & ( t1 - ) , 是一任意小的正常数 , 矛盾. 所以 x 2 ( t ) 始终为正 . 再由系统 ( 1) 的第一式有 x #1 = x 1 [ r 1 ( 1 - q) < x 1 [ r 1 ( 1 - q) 利用比较原理可知 lim x 1( t) ( t∋ ∃ 由系统( 1) 的第二式有 x #2 = x 2 [ r 2 < x 2 [ r2 r 2+ r 1 ( 1- q)
qr 1
21
r2
22
r 1 ( 1- q)
12
r2
22
qr 1
21
r2
22
r 1 ( 1- q)
12
r2
22
qr 1
21
r2
22
r 1 ( 1- q)
12
r2
22
qr 1
21
r2
22
r 1 ( 1- q)
12
r2
22
第1期
宋会兴, 等 : 宿主体内质粒有无微生物竞争模型的种群动力学和抗生素耐药分析
< < < < = = > >
r2
22
பைடு நூலகம்
r 1 ( 1- q)
12
< x2 = x2 < r2
22
qr 1
21
r2
22
r 1 ( 1- q)
12
qr 1
21
r2
22
x 2<
r 1 ( 1- q)
12
qr 1
21
r2
22
r 1 ( 1- q)
12
> < > < >
{ E0 , E1 , E * 1 } { E 0, E 1} { E0 , E1 , E * } { E 0, E 1} { E0 , E1 , E * }
21
St abilizabilit y E 1 , global st ab le E 1 , E * , depen dent on t he init ial value E1 , E* 1 , depen dent on t he init ial value E* 1 , gl ob al st able E 1 , global st ab le E * , gl ob al st able E 1 , global st ab le E * , gl ob al st able
2
系统( 1) 的动力学分析
首先 , 我们说明系统 ( 1) 的合理性. 也就是说, 我
的交点 . 这有 8 种情形 ( 见图 1 ) . 每个平衡点用黑点 ) 表示 , 每个小区域中 x#1 , x #2 的符号用( a, b) 表示 , 其中 a 表示 x #1 的符号, b 表示 x #2 的符号 . 情形 ( ∗ ) ( + ) ( , ) ( −) 限制于 qr 1
x1 11 x 1 ] ,
11 ∃ 1
12
x 2]
= x ;
21
x1 x2 ] + 4 2
22
22
x 2 ] + qr 1 x 1
11
22
qr 2 1 ( 1 - q) qr 2 1 ( 1- q)
11
,
故 lim x 2 ( t) ( t∋ ∃
r2 2+
22
因此上述结论正确并且区域
104
曲阜师范大学学报 ( 自然科学版)
邹城市第四中学 , 273500, 山东省邹城市 )
摘要 : 研究宿主体内带质粒微生物和不带质粒 微生物 的竞争 关系. 在分析 相应数 学模型 动力学 行为的
基础上 , 获得了依赖于具有生物学意义参数的所有 8 种可能的结果 . 在对质粒模型分析的基础上 , 进一步分析 抗生素的杀菌效果 , 这些抗生素是临床上 通过注 射、 口 服和输 液而进 入宿主 体内 . 结果表 明抗生 素的剂 量越 大 , 带质粒微生物幸存的可能性越大 , 也就是说产生抗生 素耐受的几率越大 .
11
<
r2
22
; 情形 ( .) ( / ) 限制于
qr 1
21
=
r2
22
; 情形 ( 0 )
qr 1 r 2 ( 1 ) 限制于 > . 这里 x 2 是方程
21 22 1 1 21 x 2 ) [ r ( 1 - q) ( qr - r2 ] 2 11 x 2 4x 2 r 1 ( 1 - q) ( r 2 21 - qr 1 11 ) = 0. 11 x 2 的最大实根 .
关键词: 质粒; 竞争; 抗生素; 耐受 中图分类号: R969. 3 文献标识码: A 文章编号: 1001 5337( 2006) 01 0102 05 在恒化器( chem ost at) 中, 已有大量的文献讨论 质粒模型, 如在微生物量保持 平衡的基础上 , 文献 [ 8, 9] 讨论没有抑制剂的质粒有无微生物竞争模型, 文献[ 10, 11] 讨论了带抑制剂的质粒有无微生物竞 争模型 . 但是所有这些文献都假设微生物的生长受 到有限营养的限制, 实际上宿主体内的微生物所需 营养通常是足够充分的 , 但没有营养限制的质粒模 型却从来未被讨论. 本文将构建并讨论一个仅有密 度制约的质粒有无微生物竞争模型, 在该质粒模型 的基础上, 我们进一步分析抗生素的杀菌效果, 这些 抗生素是临床上通过注射、 口服和输液而进入宿主 体内. 所得结果有效地解释了抗生素耐受和抗生素 剂量之间的关系. 恒化器质粒模型在文献 [ 12 15] 及 其参考文献中也有讨论 .
*
[ 1 3]
1