1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

2 平面直角坐标系中的伸缩变换主备： 审核：学习目标：1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习过程：一、课前准备阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则①M 关于原点O 的对称点为(,)a b --； ②M 关于x 轴的对称点为(,)a b -； ③M 关于y 轴的对称点为,)a b (-； ④M 关于直线y x =的对称点为(,)b a ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为(,)b a --；⑥M 关于直线y x t =+的对称点为(,)b t a t -+.2．平移变换①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有x k x y k y'+=⎧⎨'+=⎩ ②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为(,)0F x h y k --=.3.填空题：（1）已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为(3,8)-．（2）函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x =22(3)4x --.(3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是2(2)2(3)y x -=+. 二、新课导学（一）新知：伸缩变换①一般地，由(0)kx x k y y'=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍；上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩；③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换． （二）典型例题【例1】求曲线224x y +=按照32x x y y '=⎧⎨'=⎩作伸缩变换后的曲线方程. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==''23y y x x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23''y y x x ，代入方程224x y +=化简可得2213616x y ''+=． 【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π=+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二：（1）先将1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得1sin23y x =的图象； （2）再将1sin23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin 3y x =的图象；（3）再将1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到sin y x =的图象.*【例3】已知函数22()3sin()cos()(0)33f x x x ππωωω+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求()8πf 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式.【解析】（1）22())cos()33f x x x ππωω+-+＝2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦＝2sin()2x πω+2cos x ω=， 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 即半个周期为2π，所以2T ππω==，所以2ω=. 故()2cos2f x x =， 因此()2cos 284f ππ=. （2）将()2cos2f x x =的图象向右平移个6π个单位后，得到2cos2()6y x π=-的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()2cos2()2cos()4623x x g x ππ=-=-的图象. 动动手：将函数sin2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )A .cos2y x =B .22cos y x =C .)42sin(1π++=x y D .22sin y x =【解析】 将函数sin2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=，故选B .三、总结提升：1．本学案总结了三种变换类型：对称变换、平移变换和伸缩变换，这三种变换都是在以前的教材或学习内容中遇到过的，通过这次的学习总结，希望起到加深理解、熟练运用的作用.2.在解决与变换有关的问题时，特别是对称或平移的问题时，应尽可能的画出图形，以帮助我们正确的使用变换公式.四、反馈练习：1．下列有关坐标系的说法错误的是（ D ）A ．在直角坐标系中，直线经过伸缩变换还是直线B ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把圆变成椭圆C ．在直角坐标系中，平移不会改变图形的形状和大小D ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把双曲线变成抛物线2． 已知()sin ,()sin (0),()f x x g x x g x ωω==>的图像可以看作把()f x 的图像上各点的横坐标压缩成原来的13（保持纵坐标不变）而得到的，则ω为（ C ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 13 3．曲线2(1,2)y x a ==- 按向量平移得到的曲线方程为（ A ）A ． 22(1)y x +=-B ． 22(1)y x +=+C ． 22(1)y x -=-D ． 22(1)y x -=+4．点(,)10a b x y --=关于直线的对称点坐标为（ B ）A ．(1,1)b a -+B ．(1,1)b a +-C ．(1,1)b a --D ．(1,1)b a ++5．已知曲线2211242x x x y y y ⎧'=⎪-=⎨⎪'=⎩通过伸缩变换后得到的曲线方程为（ A ） A ．2214y x -= B ．221x y -= C ．221164x y -= D ．221416x y -= 6．已知圆2216x y +=经过伸缩变换后得到椭圆22116x y ''+=，则它经过的伸缩变换为14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩． 7．直线223403x x x y y y '=⎧+-=⎨'=⎩经过的伸缩变换得到的方程为40x y ''+-=． 五、学后反思：。

《平面直角坐标系中的伸缩变换》导学案学习目标：1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习过程：一、课前准备阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题： 1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则①M 关于原点O 的对称点为(,)a b --； ②M 关于x 轴的对称点为(,)a b -； ③M 关于y 轴的对称点为,)a b (-； ④M 关于直线y x =的对称点为(,)b a ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为(,)b a --；⑥M 关于直线y x t =+的对称点为(,)b t a t -+.2．平移变换①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有x k x y k y'+=⎧⎨'+=⎩ ②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为(,)0F x h y k --=.3.填空题：(1)已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为(3,8)-．(2)函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x =22(3)4x --.(3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是2(2)2(3)y x -=+.二、新课导学(一)新知：伸缩变换①一般地，由(0)kx x k y y'=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍；上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩；③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换．(二)典型例题【例1】求曲线224x y +=按照32x x y y '=⎧⎨'=⎩作伸缩变换后的曲线方程. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==''23y y x x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23''y y x x ，代入方程224x y +=化简可得2213616x y ''+=． 【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π=+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二：(1)先将1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得1sin 23y x =的图象； (2)再将1sin 23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得1sin 3y x =的图象；(3)再将1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到sin y x =的图象.【例3】已知函数22())cos()(0)33f x x x ππωωω=+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. (1)求()8πf 的值；(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式.【解析】(1)22())cos()33f x x x ππωω=+-+＝2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦＝2sin()2x πω+2cos x ω=， 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 即半个周期为2π，所以2T ππω==，所以2ω=. 故()2cos 2f x x =，因此()2cos 84f ππ==(2)将()2cos 2f x x =的图象向右平移个6π个单位后，得到2cos 2()6y x π=-的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()2cos 2()2cos()4623x x g x ππ=-=-的图象. 动动手：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A .cos 2y x =B .22cos y x =C .)42sin(1π++=x y D .22sin y x = 【解析】 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=，故选B .三、总结提升：1．本学案总结了三种变换类型：对称变换、平移变换和伸缩变换，这三种变换都是在以前的教材或学习内容中遇到过的，通过这次的学习总结，希望起到加深理解、熟练运用的作用.2.在解决与变换有关的问题时，特别是对称或平移的问题时，应尽可能的画出图形，以帮助我们正确的使用变换公式.四、反馈练习：1．下列有关坐标系的说法错误的是( D )A ．在直角坐标系中，直线经过伸缩变换还是直线B ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把圆变成椭圆C ．在直角坐标系中，平移不会改变图形的形状和大小D ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把双曲线变成抛物线2． 已知()sin ,()sin (0),()f x x g x x g x ωω==>的图像可以看作把()f x 的图像上各点的横坐标压缩成原来的13(保持纵坐标不变)而得到的，则ω为( C ) A ．12 B ． 2 C ． 3 D ． 133．曲线2(1,2)y x a ==- 按向量平移得到的曲线方程为( A ) A ． 22(1)y x +=- B ． 22(1)y x +=+C ． 22(1)y x -=-D ． 22(1)y x -=+4．点(,)10a b x y --=关于直线的对称点坐标为( B )A ．(1,1)b a -+B ．(1,1)b a +-C ．(1,1)b a --D ．(1,1)b a ++5．已知曲线2211242x x x y y y ⎧'=⎪-=⎨⎪'=⎩通过伸缩变换后得到的曲线方程为( A ) A ．2214y x -= B ．221x y -= C ．221164x y -= D ．221416x y -= 6．已知圆2216x y +=经过伸缩变换后得到椭圆22116x y ''+=，则它经过的伸缩变换为14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩． 7．直线223403x x x y y y '=⎧+-=⎨'=⎩经过的伸缩变换得到的方程为40x y ''+-=． 五、学后反思：。

1.1.2平面直角坐标 系中的伸缩变换
• 教学目标： （1）学会用坐标法来解决几何问题。 （2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系， 知道图形之间是可以类与类变换的。 （3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换 公式。 • 教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。 • 教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结 体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、 剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
20 18 16 14 18 16 14 3 6
图1
3 6 月份
图2
月份
这两个图中所表示的数据是相同的，但是给我们的感 觉是图2显示的增长的幅度要大，产生这种误解的原因是 两图中坐标轴选择的长度不一样。
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴 或y轴的单位长度，将会对图形产生影响同。
例1、在下列平面直角坐标系中，分别作出以 原点为圆心，6为半径的圆。
P
3
4
O
1
2
5
6
x
1 持纵坐标不变, 将横坐标x缩为原来的 , 那么 2 正弦曲线y sin x就变成曲线y sin 2 x.
图1 4
二、伸缩变换（形状发生了变化） 由 y = f(x) (a > 0且a ≠1) 的由图象得到
1、y = f(ax) 的由图象
1）当a >1时，将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ， a 2）当0 < a <1时，将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍， a
在现实生活和生产实际中，需要处理大量数据和资料， 统计图是很需要工具。一般情况下，绘制统计图都需要借 助平面直角坐标系，当绘制者在x轴与y轴上选择不同的单 位长度时，统计图就会产生不同的效果，如果选择适当， 可以清晰地反映出事物的特征。如果选择不好，会使人产 生误解。例如，某银行信用卡贷款由1995年3月的15.924 亿元上升到1995年6月的18.281亿元，可以用图1和图2来 贷款/亿元 表示增长幅度。 贷款/亿元

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换

:

x y
' '


x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变 换得到；
y

1
2 1
x (5)
y
3
将(5)代入2x 3y 0,得到经过伸缩变换
后的方程为x y 0
所以，经过伸缩变换{x 2x 后，直线 y 3y
2x 3y 0变成直线x y 0
(2)、将(5)代入x2 y2 1,得到经过伸缩变换后的 图形的方程是x2 y2 1
49 所以，经过伸缩变换{x 2x 后，圆x2 y2 1
y 3y 变成椭圆x2 y2 1
49
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下， 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭 圆。
思考： 在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
8
6
4
2
-10
-5
-2
-4
5
10
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。