(完整版)平面直角坐标系知识点归纳.doc

《平面直角坐标系》知识点大全3.1确定位置：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。

3.2平面直角坐标系1、有序数对：我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，即：（a,b)2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向竖直的数轴称为y 轴或纵轴，习惯上取向上方向为正方向两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点3、象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0;第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0;第四象限：x>0，y<0x 轴上的点：（x ，0）y 轴上的点：（0，y ）4、距离问题：点（x ，y ）距x 轴的距离为y点（x ，y ）距y 轴的距离为x坐标轴上两点间距离：点A （x 1，0）点B （x 2，0），则AB 距离为21x x -点A （0，y 1）点B （0，y 2），则AB 距离为21y y -5、角平分线问题若点（x ，y ）在第一、三象限角平分线上，则x=y若点（x ，y ）在第二、四象限角平分线上，则x=-y6、对称问题：对称点坐标的特征：P(a，b)关于x 轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y 轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)7、平行于坐标轴的直线上的点：平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同。

8、中点坐标：点A （1x ，0）点B （2x ，0），则AB 中点坐标为（221x x +，0）。

数学篇数苑纵横坐标系与其它数学知识存在不可分割的联系.许多知识在平面直角坐标系中进行研究会更加直观易懂.所以只有牢固掌握了与直角坐标系有关的知识点与考点，才能更好地学习一次函数、反比例函数和二次函数等相关知识.一、平面直角坐标系相关知识点归纳1.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，竖直的数轴称为y 轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.2.各个象限内点的特征：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限.坐标在四个象限的特点：点P (x ，y )在第一象限则x >0，y >0；在第二象限则x <0，y >0；在第三象限则x <0，y <0；在第四象限则x >0，y <0.3.点到坐标轴的距离：点P (x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |.到坐标原点的距离为x 2+y 2.4.点的对称：点P (m ，n )，关于x 轴的对称点坐标是(m ，-n )，关于y 轴的对称点坐标是(-m ，n )，关于原点的对称点坐标是(-m ，-n ).5.平行线：平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等，如直线PQ ，P (m ,n )Q (p ,n )；平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等，如直线PQ 、P (m ,n )、Q (m ,p ).6.象限角的平分线：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：P (m ,m )；点P (a ，b )关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b ，a )；第二、四象限角P (m ,-m )；点P (a ，b )关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b ，-a ).7.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x ，y )向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x +a ，y ）;向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x -a ，y ）；向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y +b ）；向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y -b ）.二、平面直角坐标系相关考点归纳1.求坐标求点的坐标的方法是过这个点向x 轴作垂线，则垂足对应的数就是该点的横坐标；过这个点向y 轴作垂线，则垂足对应的数就是该点的纵坐标.确定了一个点的横坐标和纵坐标，就知道这个点的坐标.例1如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（3，4），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°至OA ′，则点A ′的坐标是．解：如图2，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过点A ′作A ′B ′⊥x 轴于B ′，∵OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°至OA ′，∴OA =OA ′，∠AOA ′=90°，∵∠A ′OB ′+∠AOB =90°，∠AOB +∠OAB =90°，∴∠OAB =∠A ′OB ′.在△AOB 和△OA ′B ′中，ìíîïï∠OAB =∠A ′OB ′,∠ABO =∠OB ′A ′,OA =OA ′,∴△AOB ≌△OA ′B ′（AAS ），∴OB ′=AB =4，A ′B ′=OB =3，有关平面直角坐标系的知识点及考点归纳湖南怀化顾建明图123数学篇数苑纵横图2例2在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，△ABC的面积为12，求点C的坐标．解：∵点A（-5，0），B（3，0），都在x轴上，∴AB=8.∵△ABC的面积为12，点C在y轴上，∴△ABC的面积=12AB⋅OC=12.解得OC=3，若点C在y轴的正半轴上，则点C的坐标为（0，3），若点C在y轴的负半轴上，则点C的坐标为（0，-3），综上所述，点C的坐标为（0，3）或（0，-3）.2.求象限在平面直角坐标系中，各象限内点的符号特点是：第一象限内的点，横坐标和纵坐标都为正；第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正；第三象限内点的横坐标和纵坐标都为负；第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负.确定了点横坐标及纵坐标的正负，就确定了象限.例3若点M(x,y)满足(x+y)2=x2+y2-2，则点M所在象限是（）.A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限D.不能确定解：∵(x+y)2=x2+y2+2xy，∴原式可化为xy=-1，∴x、y异号，∴点M(x,y)在第二象限或第四象限．故选B项．例4已知点P(x,y)在函数y=1x2+-x的图象上，那么点P在平面直角坐标系中的（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由题意x2≠0且-x≥0,∴x<0,∴1x2>0，x>0，∴y>0.∴点P(x,y)在第二象限.故选B项．3.求面积当三角形有一边在x轴上时，则以x轴上的边为底边，其长等于x轴上两个顶点横坐标差的绝对值，此边上的高就等于另一个顶点纵坐标的绝对值；当三角形的一边在y 轴上时，则以y轴上的边为底边，其长等于y 轴上两个顶点纵坐标差的绝对值，此边上的高就等于另一个顶点横坐标的绝对值.确定了三角形的底边和高就能求出面积.例5如图3，△ABC的三个顶点坐标分别是A（2,4），B（-2,0），C（3,0），求△ABC的面积.图3解：过A作AD⊥x轴，垂足为D，∵A的坐标是（2,4），∴AD=4，24数学篇∵B （-2,0），C （3,0），∴BC =5，∴S △ABC =12BC ∙AD =12×5×4=10.例6如图4，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1），B （1，3），C （2，-3），求三角形ABC 的面积.图4分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一个坐标轴平行，高（宽）与另一个坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积就容易求出，然后再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图5，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线，与过点B 平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ADEC 为梯形.图5因为A （-3，-1），B （1，3），C （2，-3），所以AD =4，CE =6，DB =4，BE =1，DE =5.所以S △ABC =12(AD +CE )×DE -12×AD ×DB-12×CE ×BE =12×（4+6）×5-12×4×4-12×6×1=14.平面直角坐标系可以帮助我们建立图形与数量间的联系，并为几何问题和代数问题的相互转化提供条件.因此，同学们一定要掌握好平面直角坐标系的相关知识点与考点，从而不断提高分析问题和解答问题的能力.上期《<实数>巩固练习》参考答案1.D ；2.C ；3.D ；4.A ；5.B ；6.5；7.-1；8.4；9.14或22；10.-3；11.解：（1）3，14-3；（2）∵2<6<3，4<21<5，∴m =6-2，n =4，∴2m +n -26=2（6-2）+4-26=0；（3）a =15，b =32-5．12.解：（1）原来正方形场地的周长为80m;（2）设长方形场地宽为3a m ，则长为5a m.由题意有：3a ×5a =315，解得：a =±21，∵3a 表示长度，∴a >0，∴a =21，∴这个长方形场地的周长为2（3a +5a ）=16a =1621（m ），∵80=16×5=16×25>1621，∴这些铁栅栏够用．答：这些铁栅栏够用．数苑纵横25。

(名师选题)七年级数学下册第七章平面直角坐标系知识点总结归纳完整版单选题1、如图所示，点A1(1,2)，A2(2,0)，A3(3,−2)，A4(4,0)，…，根据这个规律，可得点A2022的坐标是（）A．(2021,0)B．(2021,−2)C．(2022,0)D．(2022,2)答案：C分析：由图形得出点的横坐标依次是0、1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是0、2、0、−2、0、2、0、−2、…，四个一循环，继而求得答案．解：观察图形可知，点的横坐标依次是0、1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是0、2、0、−2、0、2、0、−2、…，四个一循环，2022÷4=505…2，故点A2022坐标是(2022,0)．故选：C．小提示：本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．2、已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将三角形ABC先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后点C1的坐标是（）A．(5，－2)B．(1，－2)C．(2，－1)D．(2，－2)答案：B分析：先写出平移前点C的坐标，再根据平移的规律“左减右加，上加下减”解答即可．解：平移前点C的坐标是 (3，3)，则△ABC先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度后点C的坐标是(1，-2)．故选：B．小提示：本题考查了平移的性质和坐标系中点的平移规律，属于基础题型，熟练掌握坐标系中点的平移规律是解题关键．3、根据下列表述，能够确定具体位置的是（）A．北偏东25°方向B．距学校800米处C．国家大剧院音乐厅4排D．东经116°20″北纬39°56″答案：D分析：根据确定一个点的具体位置的方法判断即得．确定一个点的具体位置的方法是确定点所在的方向和距离，或用有序数对．A. 北偏东25°方向不能确定一个点的具体位置，缺少距离，故此选项错误；B. 距学校800米处不能确定一个点的具体位置，缺少方向，故此选项错误；C. 国家大剧院音乐厅4排不能确定一个点的具体位置，应具体到8排几号，故此选项错误；D. 东经116°20″北纬39°56″可以确定一个点的具体位置，故此选项正确．故选：D．小提示：本题考查确定位置的方法，熟练掌握确定一个点的具体位置是解题的关键．4、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列答案：B分析：由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误，不符合题意；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确，符合题意；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误，不符合题意；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误，不符合题意．故选：B．小提示：本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．5、如图，象棋盘上“将”位于点(2,−1)，“象”位于点(4,−1)，则“炮”位于点()A．(1,2)B．(2,−1)C．(−1,2)D．(2,1)答案：C分析：根据象棋盘上“将”位于点(2,−1)，“象”位于点(4,−1)，建立直角坐标系，即可解题．如图所示：“炮”位于点(−1,2)，故选：C．小提示：本题考查坐标与象限，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−4，3)，AB∥y轴，AB=5，则点B的坐标为（）A．(1,3)B．(−4,8)C．(1,3)或(−9,3)D．(−4,8)或(−4,−2)答案：D分析：线段AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB=5，B点在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标．解：∵AB∥y轴，∴A、B两点的横坐标相同，又AB=5，∴B点纵坐标为：3+5=8或3−5=−2，∴B点的坐标为：(−4,−2)或(−4,8)．故选：D．小提示：本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．7、若点P(x,y)到y轴的距离为2，且xy=−6，则点P的坐标为（）A．(2,−3)B．(−2,3)或(2,−3)C．(−2,3)D．(–3,2)或(3,−2)答案：B分析：根据点P(x,y)到y轴的距离为2，且xy=−6，列出绝对值方程即可求解．解：∵点P(x,y)到y轴的距离为2，∴|x|=2，∵xy=−6，∴当x=2时，y=−3当x=−2时，y=3即点P的坐标为(−2,3)或(2,−3)故选B小提示：本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x 轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．8、已知x是整数，当|x−√30|取最小值时，x的值是( )A．5B．6C．7D．8答案：A分析：根据绝对值的意义，找到与√30最接近的整数，可得结论．解：∵√25<√30<√36，∴5<√30<6，且与√30最接近的整数是5，∴当|x−√30|取最小值时，x的值是5，故选A．小提示：本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．9、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（）A．504m2B．10092m2C．10112m2D．1009m2答案：A分析：由OA4n=2n知OA2017=20162+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．解：由题意知OA4n=2n，∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，∴A2018坐标为(1009，1)，则A2A2018=1009－1=1008(m)，∴S△OA2A2018＝12×A2A2018×A1A2＝12×1008×1＝504(m2)．故选：A．小提示：本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．10、观察下面一列有序数对：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，按这些规律，第50个有序数对是( )A．(3,8)B．(4,7)C．(5,6)D．(6,5)答案：C分析：不难发现横坐标依次是:1、1、2、1、2、3、1、2、3、4、1、2、3、4、5…,纵坐标依次是:1、2、1、3、2、1、4、3、2、1、5、4、3、2、1…,根据此规律即可知第50个有序数对.观察发现,横坐标依次是:1、1、2、1、2、3、1、2、3、4、1、2、3、4、5…,纵坐标依次是:1、2、1、3、2、1、4、3、2、1、5、4、3、2、1…,∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,∴第46、47、48、49、50个有序数对依次是(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6).所以C选项是正确的.小提示：本题主要考查了点的坐标探索规律题,找出有序数对的横、纵坐标变化规律是解决问题的关键.填空题11、在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每个正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第11个正方形(实线)四条边上的整点一共有_____个.答案：44分析：可以发现第n个正方形的整点数有4n个点，故第11个有44个整数点．由图象可知，第1个正方形四条边上整点数为4，第2个正方形四条边上整点数为8，第3个正方形四条边上整点数为12，则第n个正方形四条边上整点数为4n.当n=11时，第11个正方形四条边上整点数为44.故答案为44.小提示：此题考查点的坐标规律、正方形各边相等的性质，解决本题的关键是观察分析，得到规律，这是中考的常见题型．12、如图，在平面直角坐标系中，点A1(1,1),A2(−2,1),A3(−2,−2),A4(4,−2),A5(4,4),A6(−5,4),⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次排列下去，则点A10的横坐标为____________．答案：−8分析：根据题意可知，点A平移的规律是4次为一个循环，由10÷4=2···2，可知点A10的坐标与点A4n+2的坐标规律相同，再根据点A2，A6的坐标得出答案即可．根据题意可知点A1(1,1)向左平移3各单位长度得到点A2(−2,1)，再向下平移3个单位长度得到A3(−2,−2)，向右平移6个单位长度得到A4(4,−2)，再向上平移6个单位长度得到点A5(4,4)···，点A平移时每4次一个循环．由10÷4=2···2，∴点A10的坐标与点A4n+2（n为大于等于0的整数）的坐标的规律相同．∵A2(−2,1)，A6(−5.4)，∴点A10(−8,7)，所以点A10的横坐标为-8．所以答案是：-8．小提示：本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，掌握坐标变化规律是解题的关键．13、若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限．答案：二分析：根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到−1<m<0，从而得到m+2>0，即可求解．解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴{m+1>0，解得：−1<m<0，m<0∴m+2>0，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．所以答案是：二小提示：本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．14、−27的立方根是________．答案：－3分析：根据立方根的定义求解即可．解：－27的立方根是－3，所以答案是：－3．小提示：本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键．15、如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为(1,2,5)，点B的坐标可表示为(4,3,1)，按此方法，若点C的坐标为(3,m,m−1)，则m＝__________．答案：3分析：根据题目中定义的新坐标系中点坐标的表示方法，求出点C坐标，即可得到结果．解：根据题意，点C的坐标应该是(3,3,2)，∴m=3．故答案是：3．小提示：本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法．解答题16、已知平面直角坐标系中有一点M(m−1,2m+3)．(1)若点M到x轴的距离为1，请求出点M的坐标．(2)若点N(5,−1)），且MN∥x轴，求线段MN的长度．答案：(1)当m=-1时，点M的坐标为(-2，1)；当m=-2时，点M的坐标为(-3，-1)；(2)8分析：（1）根据点M到x轴的距离为1，得到|2m+3|=1，求出m即可；（2）根据MN// x轴，得到2m+3=-1，求出点M的坐标，即可求出MN的长度．（1）∵点M(m-1，2m+3)，点M到x轴的距离为1，∴|2m+3|=1，解得，m=-1或m=-2，当m=-1时，点M的坐标为(-2，1)，当m=-2时，点M的坐标为(-3，-1)；（2）∵点M(m-1，2m+3)，点N(5，-1)且MN// x轴，∴2m+3=-1，解得：m=-2，故点M的坐标为(-3，-1)．所以MN=5-（-3）=5+3=8．小提示：此题考查了点到坐标轴的距离，与坐标轴平行的直线上点的坐标特点，掌握并理解点的坐标与位置是解题的关键．17、如图，平面直角坐标系中有一个6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，请完成下列问题．(1)点C坐标为_________．(2)将△ABC先向_________平移_________个单位、再向_________平移_________个单位到达△A1B1C1的位置．(3)图中阴影部分的面积为_________．答案：(1)（2，3）(2)右，三，下，二（或下，二，右，三）(3)9分析：（1）根据网格结构，确定点C在平面直角坐标系中的象限，及其到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|，即可得点C的坐标；（2）根据网格结构，确定A、B、C三点分别同步平移到A1、B1、C1的方向和距离（单位数）即可得到结论；（3）根据平面直角坐标系中网格结构和平移的性质，可知AB平行且等于A1B1，S△ABC=S△A1B1C1，根据平行四边形的判定，从而得S阴影=S▱ABB1A1，计算即可得到结果．（1）解：根据平面直角坐标系及网格结构，可得：点C在第一象限到x轴距离为3，y轴的距离为2∴点C的坐标为（2，3）；（2）解：根据网格结构，点A平移到A1，需先向，再向下平移2个单位，B、C同步移动；或先向下平移2个格点，再向右平移3个单位，B、C同步移动．∴将△ABC先向右平移3个单位、再向下平移2个单位或者先向下平移2个单位、再向右平移3个单位，到达△A1B1C1的位置；（3）解：根据题意及平移的性质，AB∥A1B1，AB=A1B1，S△ABC=S△A1B1C1∴四边形ABB1A1为平行四边形∴S阴影=S▱ABB1A1=3×3=9小提示：本题主要考查平面直角坐标系点的坐标特征，作图－平移变换，平面直角坐标系中的图形面积，解题的关键是掌握平移变换的性质及要素（平移方向和平移距离）．18、已知点A(2a−3,4+a)在第一象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标．答案：（11，11）分析：直接利用第一象限内点的坐标特点，横纵坐标的符号关系，结合点A到x轴和y轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．解：∵点A(2a−3,4+a)在第一象限，点A到x轴和y轴的距离相等，∴2a−3=4+a，解得：a=7，故2a−3=2×7−3=11，4+a=11，则点A的坐标为：(11,11)．小提示：本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解题的关键是结合点A到x轴和y轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．。

平面直角坐标系的13个核心知识点哎，说起平面直角坐标系，那可是数学里头相当重要的一个板块儿。

咱们今天就来摆一摆它的13个核心知识点。

首先呢，平面直角坐标系就是由两条互相垂直的数轴组成，水平方向的叫x轴，垂直方向的叫y轴，它们交在一块儿的那个点叫原点。

然后啊，平面上的每个点都可以用一对有序实数来表示，比如(x,y)，x就是横坐标，y就是纵坐标。

再说说象限，根据点的坐标的正负，平面被分成了四个部分，叫象限。

第一象限的点坐标都是正数，第二象限的x坐标为负，y坐标为正，第三象限的点坐标都是负数，第四象限的x坐标为正，y坐标为负。

还有啊，关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标，都是有规律的。

比如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变相反数。

另外，平面直角坐标系里头还可以搞平移、缩放这些变换。

平移的时候，点的坐标会跟着变，比如向右平移，横坐标就变大，向左平移，横坐标就变小。

缩放的时候，比如横坐标变为原来的k倍，那图形就跟着放大或缩小了。

再来说说直线、圆这些图形，它们都可以用方程来表示。

比如直线y=2x+3，圆的方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。

最后啊，还有中点公式、斜率公式、距离公式这些工具，它们可以用来求线段的中点、直线的斜率和两点间的距离。

总之啊，平面直角坐标系的知识点虽然多，但只要掌握了规律，学起来也就不那么难了。

温馨提示(a , b )与(b , a )顺序不同，含义就不同。

例如：用(3 , 5) 表示第 3 列的第 5 位同学，那么(5 , 3) 就表示第 5 列的第 3 位同学。

夯实基础平面直角坐标系平面直角坐标系的有关概念一．有序数对在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数 a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a , b )。

例 1：（1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置？（2）在电影票上， 如果把“5 排 8 号”简记为（5,8），那么“4 排 9 号”如何表示？（8,3）表示什么含义？二．平面直角坐标系相关概念具体内容平面直角坐标系定义在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系两轴水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向 原点 两轴的交点O 为平面直角坐标系的原点 坐标平面坐标系所在的平面叫做坐标平面三．象限x 轴和 y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。

y第二象限第三象限第一象限Ox第四象限y b • Oax例 2：设M (a , b ) 为平面直角坐标系中的点。

（1） 当a > 0, b < 0 时，点M 位于第几象限？（2） 当ab > 0 时，点M 位于第几象限？四．点的坐标对于坐标平面内的任意一点 A ，过点 A 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a 、b 分别叫做点 A 的横坐标和纵坐标，有序数对(a , b )叫做点 A 的坐标，记作A (a , b ) ，如图。

1. 已知坐标平面内的点，确定点的坐标先由已知点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，设垂足分别为 A 、 B ，再求出垂足 A 在 x 轴上的坐标 a 与垂足 B 在 y 轴上的坐标b ，最后按顺序写成(a , b )即可。

平面直角坐标系二、知识要点梳理知识点一：有序数对比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。

我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)．要点诠释：对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。

知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。

注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。

平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。

2.点的坐标点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。

在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。

注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。

横、纵坐标的位置不能颠倒。

②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离。

知识点三：点坐标的特征l.四个象限内点坐标的特征：两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．2.数轴上点坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)．注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。

平面直角坐标系知识点口诀一、平面直角坐标系基本概念口诀。

1. 坐标轴。

- 平面直角坐标系，横轴纵轴要牢记。

- 横轴名叫x轴，向右为正方向齐。

- 纵轴名叫y轴，向上为正方向立。

- 原点坐标是(0,0)，两条数轴交点集。

2. 象限。

- 坐标平面分象限，一、二、三、四按序排。

- 右上象限是第一，符号为(+, +)真开怀。

- 左上象限第二家，符号是(-, +)不奇怪。

- 左下象限第三处，(-, -)符号记心怀。

- 右下象限第四域，(+, -)符号要明白。

3. 点的坐标。

- 点在平面有坐标，先横后纵顺序好。

- 横坐标x把位标，纵坐标y来相靠。

- 例如点A(x,y)，x在前来y在后。

二、坐标的平移口诀。

1. 左右平移。

- 点沿x轴左右移，左右平移x变起。

- 向左平移减数值，向右平移加无疑。

- 例如点P(x,y)，向左平移a单位，新坐标为(x - a,y)。

- 向右平移a单位，新坐标就成(x+a,y)。

2. 上下平移。

- 点沿y轴上下移，上下平移y变易。

- 向下平移减数值，向上平移加进去。

- 若点Q(x,y)，向上平移b单位，新坐标为(x,y + b)。

- 向下平移b单位，新坐标就是(x,y - b)。

三、对称点坐标口诀。

1. 关于x轴对称。

- 关于x轴来对称，横坐标x不变更。

- 纵坐标y变符号，正负相反记心中。

- 点M(x,y)对称点，x轴对称M'(x, - y)。

2. 关于y轴对称。

- 关于y轴的对称，纵坐标y不折腾。

- 横坐标x变符号，正负互换要记清。

- 若点N(x,y)对称，y轴对称N'(-x,y)。

3. 关于原点对称。

- 原点对称有特点，横纵坐标都要变。

- 横坐标x变符号，纵坐标y也换脸。

- 点P(x,y)对称点，原点对称P'(-x, - y)。

X平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a,b ）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点 不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P （ x, y ）所在的象限 —►横、纵坐标X 、y 的取值的正负性;（2 ）点P （ X, y ）所在的数轴 —*■横、纵坐标X 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点p （a,b ），则（1） 点P 到X 轴的距离为b ；（ 2 ）点P 到y 轴的距离为（3） 点P 到原点o 的距离为PO = .a 2 b 26、 平行直线上的点的坐标特征：a ）在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b ）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;d bJ_____ P(a,b) 1____________ 1-3 -2 -1 0 -1-2 -31a X点A 、B 的纵坐标都等于m ；象限 横坐标X 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限负 负 第四象限正负b YC点C、D的横坐标都等于n ；，nD 'XX7、对称点的坐标特征:8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:a)若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 b)若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，贝Um基本练习：练习 仁在平面直角坐标系中，已知点 P ( m 5,m2 )在x 轴上，贝U P 点坐标为 _________2练习2 :在平面直角坐标系中，点P ( m 2, 4 ) 一定在 _____________ 象限；2练习3 :已知点P ( a 1, a 9)在x 轴的负半轴上，则 P 点坐标为___________________ ;练习4 :已知X 轴上一点A (3 , 0) , y 轴上一点B ( 0 , b ),且AB=5，则b 的值为 ______________ ; 练习5 :点M (2 , - 3)关于x 轴的对称点N 的坐标为 _______________ ;关于y 轴的对称点P的坐标为 ________ ;关于原点的对称点 Q 的坐标为 ___________ 。

初中数学平面直角坐标系一、主要知识点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

1、记作（a ，b）；2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。

(二）平面直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形；2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点.（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置;2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数五、特殊位置点的特殊坐标：坐标轴上点P(x，y) 连线平行于坐标轴的点点P（x，y)在各象限的坐标特点象限角平分线上的点X轴Y轴原点平行X轴平行Y轴第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第二、四象限六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：• 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向; • 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度; 七、用坐标表示平移：见下图二、经典例题知识一、坐标系的理解例1、平面内点的坐标是（ ）A 一个点B 一个图形C 一个数对D 一个有序数对学生自测1．在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据；在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据． 2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是( ）A 原点O 不在任何象限内B 原点O 的坐标是0C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上D 原点O 在坐标平面内知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标点在x 轴上，坐标为（x,0）在x 轴的负半轴上时，x 〈0, 在x 轴的正半轴上时，x>0 点在y 轴上，坐标为（0,y ）在y 轴的负半轴上时,y 〈0， 在y 轴的正半轴上时，y>0（x ，0) （0，y) (0,0） 纵坐标相同，横坐标不同横坐标相同，纵坐标不同x ＞0y ＞x ＜0 y ＞0x ＜0 y ＜0x ＞0 y ＜0(m,m) (m,—m ）P （x ，y ）P （x ，yP （x －a ，P （x ＋a ，P （x ，y向上平移a 个单位向下平移a 个单位向右平移a 个单位向左平移a 个单位第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x 直线上)；坐标点（x,y)xy>0 第二、 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x 直线上）；坐标点（x ，y ）xy〈0 平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同;平行于y 轴（或纵轴）的直线上的点的横坐标相同。

平面直角坐标系知识点总结一、知识点框架图二、知识点整理1、有序数对两个数a 、b 组成的有顺序的数对即为有序数对，记作（a ，b ）。

ps ：有序，即强调（a ，b ）和（b ，a ）的区别 2、平面直角坐标系三要素：x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、原点O 。

四象限：第一、二、三、四 象限ps ：x 轴、y 轴方向要死记 3、点的坐标写点的坐标：写出A 点的坐标（a ，b ），过A 做x 轴y 轴的垂线，点A 到y 轴的距离为a ，点A 到x 轴的距离为b 。

确定平面内点的坐标建立平面直角坐标系点P 坐标 （有序数对（x ，y ））画两条数轴 ①数轴 ②有公共原点1)写点的坐标时，横轴在前（a），纵轴在后（b）2)注意各象限中a、b的正负号4、点坐标的特征1)四象限中点的特征：2)数轴上点的特征：x轴上点的纵坐标为0，写为（a，0）y轴上点的横坐标为0，写为（0，b）ps：坐标轴上的点不属于任一象限！！！3)象限角分线上点的坐标：4)对称点坐标的特点：点A（a，b）：5)平行于坐标轴的直线上的点三、平面直角坐标系的应用：1、坐标表示地理位置a)建立坐标系，选择原点，确定下x、y轴b)由具体问题建立适当的比例，标单位长度c)在坐标平面内画出点，写出坐标ps：即为，建系、定长度、写坐标2、用坐标表示平移a)点的平移：b)图形的平移：图形平移即为点平移，且为图形上的点的整体平移。

四、坐标系中的重点&难点重点：建立坐标系，点坐标的特征；难点：点的平移和图形的平移1：如图，在X轴上有五个点，它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作X轴的垂线，与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a >0，则图中阴影部分的面积是（）A.12.5B.25C.12.5aD.25a2：在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为A1(1,1) 、A2(0,2)、A3(-1,1),一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以A1为对称中心的对称点P1，第2次电子蛙由P1点跳到以A2为对称中心的对称点P2，第3次电子蛙由P 2点跳到以A3为对称中心的对称点P3，…，按此规律，电子蛙分别以A1、A2、A3为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P2009（_______ ，_______）.1、考点分析：此题包括坐标系、一次函数以及图形面积的求法。

第七章《平面直角坐标系》知识点总结一、有序数对：1、 定义：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，记作(a , b);2、 注意:a 、b 的先后顺序对位置的影响。

3、 坐标平面上的任意一点P 的坐标都和有序实数对(心)——对应。

二、平面直角坐标系1、两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系。

0 。

水平的数轴称为X 轴或横轴，取向右为正方向；°。

竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向； 两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点2、 历史:法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形；3、 象限：坐标轴上的点不属于但可象限■第一象限：X>0 , y >0■第二象限:x<0 , y>0 ■第三象限：xvO , y <0 ■第四象限:x >0 , y <0■横坐标轴上的点：(x ,0)。

在x 轴的负半轴上时,x<0 ;在x 轴的正半轴上 时，x>0■纵坐标轴上的点：(0, y )。

在y 轴的负半轴上时,y<0,在y 轴的正半轴上 时，y >0三.平行于坐标轴的直线的点的坐标特点:a)在与，轴平行的直线上”所有点的纵坐标相等;b)在与.y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；YC '点C 、D 的横坐标都等于"； n 「点A 、B 的纵坐标都等于〃?；X■各象限的角平分线上的点的坐标特点：1） 若点P （〃M ）在第一、三象限的角平分线上,则加="，即横、纵坐标相等，mn>0; 2） 若点P （加丿）在第二 四象限的角平分线上则川+ 〃 = 0,即横、纵坐标互为相反数mn<0五. 与坐标轴.原点对称的点的坐标特点:♦ 点P 伽n ）关于x 轴的对称点为R （ZT ），即横坐标不变，纵坐标互为相反数；♦ 点P （心n ）关于y 轴的对称点为P 2 （-加,"），即纵坐标不变,横坐标互为相反数； ♦点P （〃M ）关于原点的对称点为出（-心-“）,即横、纵坐标都互为相反数；1 n yJ■■■■■■. pi i• 二 — 1 1 1 P -------■ 11 -/?? n 0 1 X1 —〃7 0 -------- X 11 0 X_ n ----- 丄 片 1 U---4_ n 关于X 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对六. 用坐标表示平移:见下图七. 点到坐标轴的距离:♦点到X 轴的距离二纵坐标的绝对值;♦点到y 轴的距离=横坐标的绝对值。

平面直角坐标系知识点归纳总结1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（b a ,） 一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于坐标轴上的点不属于任何象限；4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1）点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性； （2）点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a6、 平行直线上的点的坐标特征：a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；-2b)在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C、D的横坐标都等于n；7、对称点的坐标特征：a)点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP-，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；b)点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP-，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；c)点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP--，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a)若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm=，即横、纵坐标相等；b)若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm-=，即横、纵坐标互为相反数；XXXXPX-在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上X。

平面直角坐标系知识点平面直角坐标系是解析几何中非常重要的一个概念，它是二维空间中经常用到的坐标系之一。

它的出现使得在平面上的点可以用有序的数字对来表示，从而方便进行计算和表示几何图形。

下面我们将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质和应用。

一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系是由两个互相垂直的坐标轴构成的。

通常情况下，我们把水平的坐标轴称为x轴，竖直的坐标轴称为y轴。

这两个轴的交点称为坐标原点O。

每个点P都可以由与x轴的距离和与y轴的距离分别表示，记作P(x, y)，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。

二、平面直角坐标系的性质1. 坐标轴的正向和负向：平面直角坐标系中，x轴从左向右延伸，正方向为右方，负方向为左方；y轴从下向上延伸，正方向为上方，负方向为下方。

2. 坐标轴的单调性：在平面直角坐标系中，随着x坐标的增大，点的位置会向右移动；随着y坐标的增大，点的位置会向上移动。

3. 坐标轴的交点：坐标原点O是各个坐标轴的交点，它的坐标为O(0,0)。

4. 坐标轴的单位长度：在实际应用中，我们通常将单位长度在x轴和y轴上分别表示为Δx和Δy。

两个单位长度的比值称为坐标轴的比例尺。

5. 相关性：平面直角坐标系中，两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)之间的距离d可以用勾股定理表示：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。

6. 坐标轴的划分：我们可以将x轴和y轴分别划分为若干个等分点，以方便表示坐标。

三、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系广泛应用于解析几何、物理学、工程学等领域，具有重要的实际应用意义。

1. 几何图形的表示：平面直角坐标系可以方便地表示各种几何图形，如点、线段、直线、圆等。

通过坐标系可以计算图形的属性，如长度、角度、面积等。

2. 位置关系的描述：通过平面直角坐标系，我们可以方便地描述点与点、点与线、线与线之间的位置关系。

例如，通过坐标系可以判断两个点是否重合、两条线是否相交等。

平面直角坐标系必考点题型归纳最新版必考点1： 象限的判断掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.例题1： 如果P （ab ，a +b ）在第四象限，那么Q （a ，﹣b ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出a ，b 的符号进而得出答案．【解析】∵P （ab ，a +b ）在第四象限，∴ab ＞0，a +b ＜0，∴a ＜0，b ＜0，∴﹣b ＞0，∴Q （a ，﹣b ）在第二象限．故选：B ．【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．变式1： 对于任意实数m ，点P （m ﹣1，9﹣3m ）不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据点所在象限中横纵坐标的符号即可列不等式组，若不等式组无解，则不能在这个象限．【解析】A 、当点在第一象限时{m −1＞09−3m ＞0解得1＜m ＜3，故选项不符合题意； B 、当点在第二象限时{m −1＜09−3m ＞0，解得m ＜3，故选项不符合题意； C 、当点在第三象限时{m −1＜09−3m ＜0，不等式组无解，故选项符合题意； D 、当点在第四象限时{m −1＞09−3m ＜0，解得m ＞1，故选项不符合题意． 故选：C ．【小结】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）．变式2： 在平面直角坐标系xOy 中，若点A （m 2﹣4，m +1）在y 轴的非负半轴上，则点B （m ﹣1，1﹣2m ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【分析】根据点A （m 2﹣4，m +1）在y 轴的非负半轴上可得{m 2−4=0m +1＞0，据此求出m 的值，再根据各象限内点的坐标的符号进行判断即可．【解析】∵点A （m 2﹣4，m +1）在y 轴的非负半轴上，∴{m 2−4=0m +1＞0，解得m ＝2， ∴m ﹣1＝1，1﹣2m ＝﹣3，∵（1，﹣3）在第四象限，∴点B （m ﹣1，1﹣2m ）在第四象限．故选：D ．【小结】本题考查了点的坐标，根据y 轴上的点的坐标特点求出m 的值是解答本题的关键，注意：四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．变式3： 如图，平面直角坐标系中有P 、Q 两点，其坐标分别为P （4，a ）、Q （b ，6）．根据图中P 、Q 两点的位置，判断点（9﹣2b ，a ﹣6）落在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【分析】直接利用Q ，P 的位置进而得出a ＜6，b ＜4，进而得出9﹣2b ＞0，a ﹣6＜0，求出答案即可．【解析】如图所示：a ＜6，b ＜4，则9﹣2b ＞0，a ﹣6＜0，故点（9﹣2b ，a ﹣6）落在第四象限．故选：D ．【小结】此题主要考查了点的坐标，正确得出a ，b 的取值范围是解题关键．必考点2： 坐标轴上点的特征坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x 轴（x ，0）、y 轴（0，y ）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x 轴、y 轴上两种情况来讨论.例题2： 已知点P （3a ，a +2）在y 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（0，﹣6）C ．（2，0）D ．（0，6）【分析】直接利用y 轴上点的坐标特点得出其横坐标为零，进而得出答案．【解析】∵点P （3a ，a +2）在y 轴上，∴3a ＝0，解得：a ＝0，故a +2＝2．则点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y 轴上点的坐标特点是解题关键．变式4： 已知A （a ﹣5，2b ﹣1）在y 轴上，B （3a +2，b +3）在x 轴上，则C （a ，b ）的坐标为 ．【分析】直接利用x，y轴上点的坐标特点得出a，b的值进而得出答案．【解析】∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，∴a﹣5＝0，b+3＝0，解得：a＝5，b＝﹣3，∴C（a，b）的坐标为：（5，﹣3）．【小结】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的值是解题关键．变式5：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a2﹣4，3）在y轴上，点B在x轴上，且横坐标为a，则点B的坐标为．【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案．【解析】∵点A（a2﹣4，3）在y轴上，∴a2﹣4＝0，解得：a＝2或﹣2，∵点B在x轴上，且横坐标为a，∴点B的坐标为：（2，0）和（﹣2，0）．【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．变式6：在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），|AB|＝3，且点B和点A在同一坐标轴上，则点B的坐标为．【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．【解析】B在x轴上时点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0），B在y轴上时点B的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；故答案为：（3，0）或（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣3）．【小结】本题考查了点的坐标．解题的关键能够正确确定出点的坐标，利用数轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏．必考点3：点到坐标轴的距离点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.例题3：若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）【分析】若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为【解析】由题意可得，|x|＝3，|y|＝4，∵点M在第二象限，∴x＝﹣3，y＝4，即M（﹣3，4），故选：D．【小结】本题考查了直角坐标系，正确理解横坐标与纵坐标的意义是解题的关键．变式7：已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，x＜0，则点P的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．【解析】∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，∴|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2；∵x+y＞0，xy＜0，∴x＝3，y＝﹣2，∴P的坐标为（3，﹣2），故选：C．【小结】本题涉及到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；两数相乘，异号得负；异号两数相加，结果的符号和绝对值较大的加数的符号相同．变式8：在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1 或3【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．【解析】∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a﹣5＞0，∴a＞53，∴a＝3，故选：C．【小结】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．变式9：若点P（2x，x﹣3）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为．【分析】分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．【解析】当点P在第一象限，x﹣3＞0，解得：x＞3，且2x+x﹣3＝5，解得：x=83＜3，不合题意；当点P在第二象限，{2x＜0x−3＞0，不等式组无解，不合题意；当点P在第三象限，{2x＜0x−3＜0，不等式组的解集为：x＜0，则﹣2x﹣x+3＝5，解得：x=−23；当点P 在第四象限，则{2x ＞0x −3＜0，不等式组的解集为：0＜x ＜3，故2x ﹣（x ﹣3）＝5，解得：x ＝2， 当点P 在x 轴上，则x ﹣3＝0，解得：x ＝3，此时2x ＝6，不合题意；当点P 在y 轴上，则2x ＝0，解得：x ＝0，此时|x ﹣3|＝3，不合题意；综上所述：x =−23或x ＝2．【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 必考点4： 角平分线上点的特征象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x ＝y ，第二、四象限中x ＋y ＝0．例题4： 已知点A （m 2﹣2，5m +4）在第一象限的角平分线上，则m 的值为（ ）A ．6B ．﹣1C ．﹣1或6D ．2或3【分析】根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．【解析】∵点A （m 2﹣2，5m +4）在第一象限的角平分线上，∴m 2﹣2＝5m +4，∴m 2﹣5m ﹣6＝0，解得m 1＝﹣1，m 2＝6，当m ＝﹣1时，m 2﹣2＝﹣1，点A （﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，所以m 的值为6．故选：A ．【小结】本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，易错点在于要注意对求出的解进行判断．变式10： 若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（﹣2，﹣2）C ．（2，2）或（﹣2，﹣2）D ．（﹣2，2）或（2，﹣2）【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点M 的横坐标与纵坐标的长度相等，再分点M 在第一、三象限两种情况解答．【解析】∵点N 在第一、三象限的角平分线上，∴点N 到y 轴的距离也为2，当点N 在第一象限时，点N 的坐标为（2，2）；点N 在第三象限时，点N 的坐标为（﹣2，﹣2）． 所以，点N 的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．故选：C ．【小结】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，要注意分情况讨论．变式11： 若点P （3a ﹣2，2a +7）在第二、四象限的角平分线上，则点P 的坐标是 ．【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于a 的方程，解出a的值，即可求得P点的坐标．【解析】∵点P（3a﹣2，2a+7）在第二、四象限的角平分线上，∴3a﹣2+2a+7＝0，解得：a＝﹣1，∴P（﹣5，5）．【小结】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．变式12：在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0．（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为；（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；（3）当a＜b时，则m的取值范围是．【分析】（1）把a＝1代入2a﹣6m+4＝0中求出m值，再把m值代入b+2m﹣8＝0中即可求出b的值，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解；（2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m的方程求出m的值，最后求出a、b值．（3）把a、b用m表示出来，代入a＜b，则m的取值范围可求．【解析】（1）当a＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m＝1．把m＝1代入b+2m﹣8＝0中，得b＝6．所以P点坐标为（1，6），所以点P到x轴的距离为6．（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．（3）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．故答案为m＜2．【小结】本题主要考察了点的坐标特征及解不等式，熟知特殊点的坐标特征是解题的关键．必考点5：点的坐标与象限之新定义问题例题5：若定义：f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），例如f（1，2）＝（﹣1，2），g（﹣4，﹣5）＝（﹣4，5），则g（f（3，﹣4））的值为（）A．（3，﹣4）B．（﹣3，4）C．（3，4）D．（﹣3，﹣4）【分析】根据f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），可得答案．【解析】g（f（3，﹣4））＝g（﹣3，﹣4）＝（﹣3，4），故选：B．【小结】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n）是解题关键．变式13：如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0，2）的点有1个；②“距离坐标”是（3，4）的点有4个；③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有4个．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据（p，q）是点M的“距离坐标”，得出①若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．②若pq＝0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个，进而得出解集确定答案．【解析】①p＝0，q＝2，则“距离坐标”为（0，2）的点有且仅有2个；故此选项①“距离坐标”是（0，2）的点有1个错误；②正确，四个交点为与直线L1相距为3的两条平行线和与直线L2相距为4的两条平行线的交点；③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有无数个，在角平分线上，故此选项错误；故正确的有：1个，故选：B．【小结】此题考查了坐标确定位置；解题的关键是要注意两条直线相交时有四个区域，本题是一个好题目，有创新性，但是难度较小，理解题意不难解答，考查学生的逻辑思维能力．变式14：对于平面坐标系中任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新运算“*”为：（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．根据这个規则计算：（3，5）*（﹣1，2）＝；若A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，则A*B在第象限．【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案．【解析】∵（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1），∴（3，5）*（﹣1，2）＝（3×2，﹣1×5）＝（6，﹣5）∵A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，∴x1＜0，y1＜0，x2＞0，y2＜0，A*B＝（x1y2，x2y1），∴x1y2＞0，x2y1＜0，∴A*B在第四象限．【小结】此题主要考查了点的坐标以及数字变化规律，正确利用已知运算法则是解题关键．变式15：在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′={x−y(当x≥y时)y−x(当x＜y时)，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点（3，5）的“关联点”的坐标；如果点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为．【分析】根据关联点的定义，可得答案．【解析】∵3＜5，根据关联点的定义，∴y′＝5﹣3＝2，点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）；∵点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），∴y′＝y﹣x＝3或x﹣y＝3，即y﹣（﹣2）＝3或（﹣2）﹣y＝3，解得y＝1或y＝﹣5，∴点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，﹣5）．【小结】本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．必考点6：点的坐标确定位置首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.例题6：棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示“炮”的点的坐标为（）A．（1，3）B．（3，1）C．（2，3）D．（1，2）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解析】如图所示：“炮”的点的坐标为（1，3）．故选：A．【小结】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．变式16：如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为（4，2），四号暗堡的坐标为（﹣2，4），原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大约是（）A．A处B．B处C．C处D．D处【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解析】如图所示：敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．【小结】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．变式17：如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（﹣2，﹣1），解答以下问题：（1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系；（2）若体育馆的坐标为C（1，﹣3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置；（3）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据点A的坐标，向左1个单位，向下2个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可；（2）根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可；（3）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．【解析】（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）体育馆C（1，﹣3），食堂D（2，0）如图所示；（3）四边形ABCD的面积＝4×5−12×3×3−12×2×3−12×1×3−12×1×2，＝20﹣4.5﹣3﹣1.5﹣1，＝20﹣10，＝10．【小结】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键．变式18：如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小明家可用坐标（﹣1，2）表示，汽车站可用坐标（3，﹣1）表示．（1）建立平面直角坐标系，画出x轴和y轴；（2）某星期日早晨，小明同学从家出发，沿（0，1）→（﹣2，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（0，﹣1）→（1，0）→（2，﹣1）→（2，2）的路线转了一圈，又回到家里，写出他路上经过的地方；（3）连接他在上一问中经过的地点，你得到了什么图形？【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可；（2）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后连接即可，再写出各地方的名称；（3）根据图形形状解答．【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系；（2）小明家﹣学校﹣奶奶家﹣宠物店﹣医院﹣公园﹣邮局﹣游乐场﹣消防站﹣小明家；（3）连接他在上一问中经过的地点，得到“箭头”状的图形．【小结】本题考查了坐标确定位置，主要是平面直角坐标系的建立与点的坐标位置的确定方法，是基础题．必考点7：坐标与图形（平行于坐标轴）与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．例题7：在平面直角坐标系中，已知线段MN∥x轴，且MN＝3，若点M的坐标为（﹣2，1），则点N的坐标为．【解析】∵线段MN∥x轴，点M的坐标为（﹣2，1），∴点N的纵坐标为1，∵MN＝3，∴点N的横坐标为﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5，∴点N的坐标为（1，1）或（﹣5，1），变式19：已知A（1，2），B（x，y），AB∥x轴，且B到y轴距离为2，则点B的坐标是．【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的长度求出点B的横坐标，然后写出即可．【解析】∵AB∥x轴，∴y＝2，∵点B到y轴距离为2，∴x＝±2，∴点B的坐标为（2，2）或（﹣2，2）．变式20：已知点A（3a﹣6，a+4），B（﹣3，2），AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且P A＝2PB，则点P的坐标为．【分析】由AB∥y轴可知AB的横坐标相等，故3a﹣6＝﹣3，即可求出a＝1，得AB＝3，根据已知P A＝2PB，分P在线段AB上和在线段AB延长线两种情况求出P A，即可得到两种情况下P的坐标．【解析】∵AB∥y轴，∴3a﹣6＝﹣3，解得a＝1，∴A（﹣3，5），∵B点坐标为（﹣3，2），∴AB＝3，B在A的下方，①当P 在线段AB上时，∵P A＝2PB∴P A=23AB＝2，∴此时P坐标为（﹣3，3），②当P在AB延长线时，∵P A＝2PB，即AB＝PB，∴P A＝2AB，∴此时P坐标为（﹣3，﹣1）；故答案为（﹣3，3）或（﹣3，﹣1）．【小结】本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于y轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据A、B两点的距离及相对位置，分类求解．变式21：平面立角坐标系中，点A（﹣2，3），B（2，﹣1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a 上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，3）【分析】根据经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．【解析】如右图所示，∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（﹣2，3），∴设点C（x，3），∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，﹣1），∴x＝2，∴点C的坐标为（2，3）．故选：D．【小结】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征和点到直线垂线段最短．必考点8：点的平移平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0（1）一次平移：P（x，y）P'（x＋a，y）P（x，y）P'（x，y －b）（2）二次平移：例题8：在平面直角坐标系中，点A'（2，﹣2）可以由点A（﹣2，3）通过两次平移得到，则正确的是（）A．先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度B．先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度C．先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度向右平移a个单位向下平移b个单位P（x，y）P（x－a，y＋b）向左平移a个单位再向上平移b个单D ．先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度【分析】利用点A 与点A ′的横纵坐标的关系确定平移的方向和平移的距离．【解析】把点A （﹣2，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点A ′（2，﹣2）． 故选：D ．【小结】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．变式22： 已知A （3，﹣2），B （1，0），把线段AB 平移至线段CD ，其中点A 、B 分别对应点C 、D ，若C （5，x ），D （y ，0），则x +y 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据A 、B 两点平移后对应点的位置可得图形的平移方法，进而可得x 、y 的值，再计算出x +y【解析】∵A （3，﹣2），B （1，0）平移后的对应点C （5，x ），D （y ，0），∴平移方法为向右平移2个单位，∴x ＝﹣2，y ＝3，∴x +y ＝1，故选：C ．【小结】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．变式23： 在平面直角坐标系中，将点A （m ，m +9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B ，若点B 在第二象限，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣11＜m ＜﹣4B ．﹣7＜m ＜﹣4C ．m ＜﹣7D ．m ＞﹣4【分析】首先根据平移表示出B 点坐标，再根据B 点所在象限列出不等式组，再解即可．【解析】∵点A （m ，m +9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B ，∴B （m +4，m +7），∵点B 在第二象限，∴{m +4＜0，m +7＞0，解得：﹣7＜m ＜﹣4，故选：B ． 【小结】此题主要考查了点的平移，以及一元一次不等式组的应用，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．变式24： 在平面直角坐标系中，将A （m 2，1）沿着x 的正方向向右平移m 2+3个单位后得到B 点．有四个点M （﹣m 2，1）、N （m 2，m 2+3）、P （m 2+2，1）、Q （3m 2，1），一定在线段AB 上的是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【分析】根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断．【解析】∵将A（m2，1）沿着x的正方向向右平移m2+3个单位后得到B点，∴B（2m2+3，1），∵m2≥0，∴2m2+3＞0，∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位，因为点M（﹣m2，1）在点A左侧，不在线段AB上；点N（m2，m2+3）距离x轴（m2+3）个单位，不在线段AB上；点P（m2+2，1）在点A右侧，且距离x轴1个单位，在线段AB上；点Q（3m2，1）是将A（m2，1）沿着x的正方向向右平移2m2个单位后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB延长线上．所以一定在线段AB上的是点P．故选：C．【小结】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．必考点9：图形的平移解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）例题9：如图，三角形ABC经过一定的平移变换得到三角形A'B'C'，若三角形ABC上一点M的坐标为（m，n），那么M点的对应点M'的坐标为．【分析】由图形得出△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，从而得到△ABC 上任意一点平移后的对应点的坐标．【解析】由图形知，△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，∴△ABC上的一点M（m，n）平移后的对应点M′坐标为（m+4，n+2）【小结】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）变式25：如图，三角形ABC中任意一点P（x，y），经过平移后对应点为P1（x+4，y﹣2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若点A的坐标为（﹣4，5），则点A1的坐标为．【分析】直接利用P点平移规律，进而得出A点平移规律．【解析】∵三角形ABC中任意一点P（x，y），经过平移后对应点为P1（x+4，y﹣2），∴点A1的坐标为：（﹣4+4，5﹣2），即（0，3）．【小结】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出平移规律是解题关键．变式26：已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1（4，﹣3），则a﹣b﹣c+d的值为（）A．2B．﹣2C．12D．﹣12【分析】由A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（4，﹣3），可得△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．【解析】∵A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（4，﹣3），∴△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），∴a+7＝c，b﹣5＝d，∴a﹣c＝﹣7，b﹣d＝5，∴a﹣b﹣c+d＝a﹣c﹣（b﹣d）＝﹣7﹣5＝﹣12，故选：D．【小结】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．变式27：如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C 与点C'分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题．（1）分别写出点A、点B、点C、点A'、点B'、点C'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．（2）若点M（a+2，4﹣b）是点N（2a﹣3，2b﹣5）通过（1）中的平移变换得到的，求（b﹣a）2的值．【解析】（1）由图知，A（0，3），B（2，1），C（3，4），A′（﹣3，0），B′（﹣1，﹣2），C′（0，1），且△ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位可以得到△A′B′C′；（2）由（1）中的平移变换的2a﹣3﹣3＝a+2，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝8，b＝4，则（b﹣a）2＝（4﹣8）2＝（﹣4）2＝16．必考点10：坐标系中的面积问题直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴（y轴）的垂线，将原图形分割为可求面积的图形，再求其面积和．例题10：如图，右边坐标系中四边形的面积是（）A．4B．5.5C．4.5D．5【解析】如图，作AE⊥BC，垂足为E，则：S四边形ABCD＝S△OCD+S梯形ODAE+S△ABE=12×1×1+12×（1+2）×2+12×1×2＝4.5，故选：C．【小结】本题考查了直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴（y轴）的垂线，将原图形分割为可求面积的图形，再求其面积和．变式28： 如图，A 、B 两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P 是x 轴上一点，且△ABP 的面积为6，则点P 的坐标为 ．【解析】设P 点坐标为（x ，0），根据题意得12•4•|6﹣x |＝6，解得x ＝3或9，所以P 点坐标为（3，0）或（9，0）． 变式29： 已知：在平面直角坐标系中，A （0，1），B （2，0），C （4，3）（1）求△ABC 的面积；（2）设点P 在x 轴上，且△ABP 与△ABC 的面积相等，求点P 的坐标．【解析】（1）过点C 作CD ⊥x 轴，CE ⊥y ，垂足分别为D 、E ．S △ABC ＝S 四边形CDEO ﹣S △AEC ﹣S △ABO ﹣S △BCD ＝3×4−12×2×4−12×1×2−12×2×3＝4．（2）设点P 的坐标为（x ，0），则BP ＝|x ﹣2|．∵△ABP 与△ABC 的面积相等，∴12×1×|x ﹣2|＝4．解得：x ＝10或x ＝﹣6． 所以点P 的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．变式30： 如图，在平面直角坐标系中，同时将点A （﹣1，0）、B （3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A 、B 的对应点C 、D ．连接AC ，BD（1）求点C 、D 的坐标，并描出A 、B 、C 、D 点，求四边形ABDC 面积；（2）在坐标轴上是否存在点P ，连接P A 、PC 使S △P AC ＝S 四边形ABDC ？若存在，求点P 坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C 、D 的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；（2）分点P 在x 轴和y 轴上两种情况，依据S △P AC ＝S 四边形ABDC 求解可得．【解析】（1）由题意知点C 坐标为（﹣1+1，0+2），即（0，2），点D 的坐标为（3+1，0+2），即（4，2），如图所示，S 四边形ABDC ＝2×4＝8；（2）当P 在x 轴上时，∵S △P AC ＝S 四边形ABDC ，∴12AP ⋅OC =8， ∵OC ＝2，∴AP ＝8，∴点P 的坐标为 （7，0）或 （﹣9，0）；当P 在y 轴上时，∵S △P AC ＝S 四边形ABDC ，∴12CP ⋅OA =8， ∵OA ＝1，∴CP ＝16，∴点P 的坐标为（0，18）或 （0，﹣14）；综上，点P 的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或 （0，﹣14）．【小结】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，熟记各性质是解题的关键． 必考点11： 点的坐标规律问题之周期性例题11： 在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），我们把点P '（1﹣y ，x ﹣1）叫做点P 的友好点，已知点A 1的友好点为A 2，点A 2的友好点为A 3，点A 3的友好点为A 4，…，这样依次得到点A 1、A 2、A 3、A 4…，若点A 1的坐标为（3，2），则点A 2020的坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（3，﹣2）【分析】根据点P （x ，y ）的友好点是点P '（1﹣y ，x ﹣1），点A 1的友好点为A 2，点A 2的友好点为A 3，点。

平面直角坐标系一.知识框架L有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（％b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖宜的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4.坐标：对于平面内任一点P,过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y 轴上，对应的数a, b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个彖限内。

平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它乂是学习函数的基础，起到承上启下的作用。

另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。

掌握本节内容对以后学习利生活有着积极的意义。

教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。

三角形一.知识框架fh丫分线—.知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2•三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫 做三角形的咼。

4•中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和 交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定 性。

7. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角 线。