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一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
必修二立体几何知识点一、引言本文档旨在概述高中必修二课程中立体几何的核心知识点，为教师和学生提供一个清晰的学习指南。
二、立体图形的基础1. 点、线、面的关系- 点的位置关系：共面、异面- 线的位置关系：平行、相交、异面- 面的位置关系：平行、相交2. 立体图形的分类- 多面体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体- 旋转体：球面、圆锥面、圆柱面三、多面体1. 棱柱- 棱柱的结构特征- 棱柱的体积和表面积计算2. 棱锥- 棱锥的结构特征- 棱锥的体积和表面积计算3. 棱台- 棱台的结构特征- 棱台的体积计算四、旋转体1. 圆柱和圆锥- 结构特征- 体积和表面积计算- 旋转体的方程表示2. 球体- 结构特征- 体积和表面积计算五、立体图形的截面1. 截面的概念- 截面的定义- 截面的形状分类2. 截面的性质- 截面与原图形的关系- 截面的计算方法六、空间向量1. 空间向量的定义- 空间向量的基本概念- 空间向量的加法、减法和数乘2. 空间向量的应用- 点到直线的距离- 直线到平面的距离- 立体图形的体积计算七、立体角1. 立体角的定义- 立体角的概念- 立体角的度量2. 立体角的性质- 立体角与平面角的关系- 立体角的计算方法八、结语本文档提供的知识点是理解和掌握立体几何的基础。
教师应根据学生的实际情况，适当调整教学进度和深度。
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高中数学必修2立体几何知识点1.1柱、锥、台、球的结构特征，定义，性质棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球：1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2斜二测画法的步骤：1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积，侧面积公式扇形的面积公式213602n RS lrπ==扇形（其中l表示弧长，r表示半径）（二）空间几何体的体积公式第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。
2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点特别指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα⊄来表示2.2.直线、平面平行的判定及其性质一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法90角1、定义：成︒2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质901、二面角的平面角为︒2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九线面角的求法1．定义法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
第1讲：空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2．空间几何体的直观图(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图． 4．柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3题型一 空间几何体的结构特征 例1 (1)下列说法正确的是( )A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°题型二空间几何体的三视图和直观图例2(1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．(1)(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于()A．1 B. 2 C.2－12 D.2＋12(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是() A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23D.22第2讲：空间的基本关系与公理1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内(即直线在平面内)． 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 2．公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 5．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 6．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．题型一 平面基本性质的应用例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．(1)以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面．题型二判断空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)题型三求两条异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°第3讲：平行关系1． 直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 a ∩α＝∅ a α，b ⃘α，a ∥ba ∥α a ∥α，a β，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2． 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 α∩β＝∅ a β，b β，a ∩b＝P ，a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝bα∥β，a β 结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α题型一 直线与平面平行的判定与性质例1 (2012·山东)如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.题型三 平行关系的综合应用例3 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD .第4讲：垂直关系1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC 的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．题型三直线、平面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E 为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．为23的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．。
俯视图一、前提测评1、如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正 方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的的体积为 ____ 、表面积为。
2、如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的 正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是____3、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为４５ｏ，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A. 2+B.C. D. 14、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正 方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ） A.23 B. 76 C. 45 D. 565、半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A. 3R B.3R C.3R D.3R 6、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是A 、25πB 、50πC 、125πD 、都不对 7、正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A.B. 2C.D.8、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为 A 、7 B 、6 C 、5 D 、3二、例题示范 [例1] 长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点。
（1）求证：直线⊥AE 平面E D A 11；（2）求三棱锥E D A A 11-的体积。
⑴略 ⑵ 由（1）知AE ⊥平面E D A 11∴E D A A V 11-=AE S E D A ∙1131 =2212131⨯⨯⨯⨯ =31例2] 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点。
（Ⅰ）求证://PA 平面BDF ； （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF 。
（Ⅰ）证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF . ABCD 是菱形, O ∴是AC 的中点.主视图左视图 俯视图ABC D EA 1B 1C 1D 1AFPD点F 为PC 的中点, //OF PA ∴. OF ⊂ 平面,BDF PA ⊄平面BDF , ∴//PA 平面BDF . (Ⅱ)证明: PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , PA AC ∴⊥.//,OF PA OF AC ∴⊥ . ABCD 是菱形, AC BD ∴⊥.OF BD O = ， AC ∴⊥平面BDF.AC ⊂ 平面PAC , ∴平面PAC ⊥平面BDF . [例3] 如图，四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC ，PD =1， PC (1)求证：PD ⊥面ABCD ；(2)求二面角A －PB －D 的大小。
(Ⅰ)证明:1,PD DC PC == ,PDC PD CD ∴∆⊥是直角三角形即.又,PD BC BC CD C ⊥= ,∴ PD ⊥面ABCD (Ⅱ)解:连结BD ,设BD 交AC 于点O , 过O 作OE ⊥PB 于点E ,连结AE , ∵PD ⊥面ABCD , ∴AO PD ⊥, 又∵AO ⊥BD , ∴AO ⊥面PDB. ∴AO ⊥PB ,∵,AE PB AE AO A ⊥= , ∴PB AEO ⊥平面,从而PB EO ⊥, 故AEO ∠就是二面角A －PB －D 的平面角. ∵ PD ⊥面ABCD , ∴PD ⊥BD , ∴在Rt △PDB 中,PB ==又∵OE OBPD PB=, ∴6OE =,tan AO AEO OE ∴∠=== ∴ 60AEO ∠= . 故二面角A －PB －D 的大小为60°[例4] 如图，在棱长为a 的正方体ABCD D C B A -1111中，（1）作出面11A BC 与面ABCD 的交线l ，判断l 与线11AC 位置关系，并给出证明；（2）证明1B D ⊥面11A BC ；（3）求线AC 到面11A BC 的距离；（4）若以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出1,B B 两点的坐标.PABCDPABCDOE解：（1）在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，易知BE 即为直线l ，∵AC ∥11AC ，AC ∥l ，∴l ∥11AC .证明：（2）易证11AC ⊥面11DBB D ，∴11AC ⊥1B D ，同理可证1A B ⊥1B D ， 又11AC ⋂1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .解：（3）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点1B 到 面11A BC 的距离，记为h ，在三棱锥111B BAC -中有111111B BAC B AB C V V --=，即1111111133A BC A B C S h S BB ∆∆⋅=⋅，∴h =. 解：（4）1(,,0),(,,)C a a C a a a四、思维训练1、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为A ．π34B ．π38C ．π316D ．π3322、用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ） A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与15 3、已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中是假命题的是A ．若βα//，α⊂l ,则β//l ；B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥l ；C ．若α//l ，α⊂m ,则m l //；D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m4、设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β ②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β ④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n 。
其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5、下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm ),可知几何体的表面积是( )cm 2A.18+ C.18 D.6+6、若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和 底面边长分别为（ ）(A)2，23 (B) 22，2 (C)4，2 (D)2，47、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A ．2B ．1C ．12+D 主视图俯视图2222俯视图侧视图正视图33主视图 俯视图 左视图EACB【答案】D.【解析】正方体对角线为球直径，所以432=R ，在过点E 、F 、O 的球的大圆中， 由已知得d=23,21=R ，224143=-=r ，所以8．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）2:2【答案】：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ，于是1,2h a ==2,h h ===12::2:2.h h h ∴9．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π 【答案】：D【分析】：如图，2,90,,AB r ACB BC ⇒=∠==31111,3323ABC V SO S r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅=三棱锥 333441,::4.333V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥10、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 （A ）433 (B)33 (C) 43 (D) 123解析：正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为3，体积为431)3(43312=⨯⨯，选C 11、Rt △ABC 的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC 的距离是 （A ）5 （B ）6 （C ）10 （D ）12解析：Rt △ABC 的斜边长为10，且斜边是Rt △ABC 所在截面的直径，球心到平面ABC 的距离是d=1251322=-，选D12、 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________.【答案】14π13、正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________。
解．正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为4π3。
14、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.解．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。
正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm ，设正四棱柱的高为h ，∴ h=2，那么该棱柱的表面积为2+42cm 2.15、正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是 .解析：设P 在 底面ABC 上的射影为O ，则PO=2，且O 是三角形ABC 的中心，设底面边长为a,则3222332=∴=⋅a a 设侧棱为b 则22=b 斜高5'=h 。
由面积法求 A 到侧面PBC 的距离 556523223=⋅⋅=h。
