一、判定两线平行的方法
1、平行于同一直线的两条直线互相平行
2、垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
就和交线平行
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明
二、判定线面平行的方法
1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平
行
3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义：没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行
3 垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、定义：成90 角
2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直
4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影
垂直
5 、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、定义：两面成直二面角, 则两面垂直
2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
1、二面角的平面角为90
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1
、异面直线所成的角的取值范围
是：
0 90 0 ,90
2、
直线与平面所成的角的取值范围是： 0 90 0 ,90
3、
斜线与平面所成的角的取值范围是：
90
0 ,90
4、
二面角的大小用它的平面角来度量； 取值范围是：
0 180
0 ,180
十、三角形的心 1、 内心：
内切圆的圆
心， 角平分线的交点
2、 外心： 外接圆的圆心， 垂直平分线的交点
3、 重心： 中线的交点
4、 垂心：
高的交点
【例题分析】
例 2 在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， M ， N 分别是 AB ，PC 的中点，求 证： MN∥平面 PAD ．
分析】 要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中
出现了中点的条件，因此可考虑构造 （添加 ）中位线辅助证明．
证明： 方法一，取 PD 中点 E ，连接 AE ，NE ．
∵底面 ABCD 是平行四边形， M ，N 分别是 AB ， PC 的中点，
1
∴ MA∥CD， MA CD.
2
∵E 是 PD 的中点，
1
∴ NE∥CD， NE CD.
2
∴ MA∥NE，且 MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN∥AE． 又 AE 平面 PAD ， MN 平面 PAD ， ∴ MN∥平面 PAD ．
方法二取 CD 中点 F ，连接 MF ， NF ．
∵MF∥AD，NF∥PD， ∴平面 MNF∥平面 PAD ， ∴ MN∥平面 PAD ．
评述】 关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法： (1) 证明线线平行：
a∥c，b∥c，
a∥ α，a β α∥β
a⊥ α，b⊥ α
α∩β＝b
∩ α ＝ a ， β＝b
∩
a∥b
a∥b a∥b
a∥b
(2) a∩ α＝
a∥b α∥β
b α， a α
a β a∥α
a∥α
a∥α
(3) α∩β＝
a∥
β，b∥β a⊥α，a⊥β
α∥
，β∥
a ，
b α ， a∩ b ＝ A
α∥β α∥β
α∥β α∥β
∵ABC－ A 1B 1C 1是直三棱柱，
∴ AA 1⊥平面 ABC ， ∴AB⊥AA 1． 又 AB⊥ AC，
∴ AB⊥平面 A 1ACC 1， ∴A 1C⊥A B ．① 又 AA 1＝ AC ， ∴侧面 A 1ACC 1 是正方形， ∴A 1C⊥AC 1．② 由①，②得 A 1C⊥平面 ABC 1， ∴ A 1C⊥ BC 1．
【评述】 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直
为核心展开的．如本
A 1C 垂
直
于经过 BC 1 的平面即可． 证明： 连接
AC ．
