重庆市人教版高中数学必修二导学案：第二章第二节直线与平面平面与平面平行的性质

课堂导学三点剖析一、如何利用性质定理证明线线平行【例1】 经过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B.证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂E E A ADD E E BB E E BB BB A ADD BB A ADD BB A ADD AA AA BB 1111111111111111111////平面平面平面平面平面平面BB 1∥EE 1. 温馨提示（1）直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可以继续推下去.示意图如下：（2）应用两个平面平行的性质，一可以证明线线平行；二可以解决线面平行问题.（3）已知a ∥平面α，该定理为我们提供了如何过α内一点P 作a 的平行线的有力依据.即直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线，即为所求与a 平行的直线.[]各个击破类题演练1已知：直线AB 平行于平面α，经过AB 的平面β1、β2、β3与平面α分别交于直线a 、b 、c ，求证：a ∥b ∥c.证明：∵AB ∥α,AB ⊂β1,且β1∩α=a,∴a ∥AB,同理可证AB ∥b,AB ∥c ，故a ∥b ∥c.变式提升1三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条也和它们分别平行.已知：平面α∩平面β=l 1,α∩γ=l 2,β∩γ=l 3,l 1∥l 2,如图求证：l 1∥l 3,l 2∥l 3.分析：欲证线线平行，即l 3∥l 2,l 3∥l 1,只须据条件转化为线面平行，再进一步应用线面平行性质定理转化为线线平行.证明：∵l 1∥l 2,l 1⊄γ,∴l 1∥γ(根据直线和平面平行判定定理).又∵l 1⊂β,β∩γ=l 3,∴l 1∥l 3(根据直线和平面平行性质定理).∴l 2∥l 3,∴l 1∥l 3,l 2∥l 3.二、“作辅助面，得平行线”【例2】求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行.已知：α∩β=l,a∥α，a∥β.求证：a∥l.思路分析：要证明a∥l,因为l是平面α与β的交线，所以首先应将a平移到平面α和β内，使其与直线l发生联系.证明：过a作平面γ交α于b，如图∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=b,∴a∥b(直线和平面平行性质定理).同样，过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β,∴a∥c(直线和平面平行性质定理)，∴b∥c.又∵b⊄β,且c⊂β,∴b∥β.又平面α经过b交β于l，∴b∥l(直线和平面平行判定定理).∵a∥b,∴a∥l(公理4).温馨提示(1)线的平行性质定理是用于证明线线平行的.（2）在证明线与面、线与线及面与面的位置关系时，应从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”去分析题意和寻求证明思路.（3）要使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以使用性质定理.即若知平行线面，则可采取“作或找辅助面，得平行线”这一措施.类题演练2已知:a、b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面必平行于过b且平行于a的平面.思路分析：依题意可设a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α,要证明的结论是α∥β,如图直接证明α∥β无从入手，于是可过b任作一平面r，通过线线、线面转化来证明.证明：在a上取一点A，∵a与b异面,∴A∉b,则b与A确定一个平面γ,设γ∩α=b′.∵b∥α,∴b′∥b.又∵b⊂β,b′⊄β,∴b′∥β.又a∥β且a∩b′=A,∴a⊂α,b′⊂α,∴α∥β.变式提升2如图直棱柱A1B1C1-ABC，过点A1、B、C1的平面与平面ABC的交线记为l，试判断直线A1C1和直线l的位置关系，并加以证明.解：A1C1∥l.证明如下，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1C1∥AC,AC⊂面ABC,A1C1⊄面ABC，∴A1C1∥面ABC.又∵A1C1⊂面A1BC1，面A1BC1∩面ABC=l,∴A1C1∥l.三、准确理解线面平行的性质定理【例3】判断下列命题是否正确.（1）若a∥b,b⊂α,则a∥α.（）（2）若a∥α,a∥b,则b⊂α.（）（3）若a⊂α,α∩β=b,则a∥b.（）（4）若a∥α,α∩β=b,则a∥b.（）（5）若a∥α,a⊂β，α∩β=b,则a∥b.（）（6）若a∥α,A∈a,B∈a,C∈α,D∈α,且AC∥BD,则AC=BD.（）解析：（1）a∥α或a⊂α;（2）b⊂α或b∥α;（3）a∥b或a与b相交；（4）a∥b或异面；（6）∵AC∥BD,∴AC与BD确定平面ABDC，且面ABDC∩α=CD.又a∥α,a 面ABDC,∴AB∥CD.∴四边形ABDC为平行四边形.∴AC=BD.答案：（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√ （6）√类题演练3下列说法正确的是（）①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内A.①②③④B.①②③C.②④D.①②④解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确.因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故③错.答案：D。

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教材分析空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.三、教学重点与难点如何判定直线与平面平行.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.（二）导入新课思路1.(情境导入)将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？图1（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间直线与平面的位置关系.②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.④试证明直线与平面平行的判定定理.活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用反证法证明.讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.③直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：如图2.图2④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.∴a⊂β，b⊂β.∵a⊄α，a⊂β，∴α和β是两个不同平面.∵b⊂α且b⊂β，∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.∴假设错误.故a∥α.（四）应用示例思路1例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF∥面BCD.活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.证明：如图3,连接BD,图3EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.变式训练如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.图4画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.证明：如图5,图5.所以,BC∥平面MNEF.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行. 例2 如图6，已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 的中点.图6求证：AC∥平面EFG ，BD∥平面EFG.证明：连接AC 、BD 、EF 、FG 、EG.在△ABC 中，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点,∴AC∥EF.又EF ⊂面EFG ，AC ⊄面EFG,∴AC∥面EFG.同理可证BD∥面EFG.变式训练已知M 、N 分别是△ADB 和△ADC 的重心，A 点不在平面α内，B 、D 、C 在平面α内，求证：MN∥α. 证明：如图7,连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于P 、Q ，连接PQ.图7∵M、N 分别是△ADB、△ADC 的重心， ∴NQAN MP AM ==2.∴MN∥PQ. 又PQ ⊂α，MN ⊄α,∴MN∥α.点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.思路2例题 设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8,（1）证明P Q∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长.图8(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=AD 21,NQ∥A 1D 1,NQ=1121D A , ∴MP∥ND 且MP=ND.∴四边形PQNM 为平行四边形.∴PQ∥MN.∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B.证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,∴PQ∥AB 1,且PQ=121AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B.(2)解:方法一:PQ=MN=a N A M A 222121=+. 方法二：PQ=a AB 22211=. 变式训练如图9，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.图9求证：EF∥平面BB 1C 1C.证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M.∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB. ∴BFDF FM AF =. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE. ∴BFDF FM AF =. ∴EF∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C. ∴EF∥平面BB 1C 1C.（五）知能训练已知四棱锥P —ABCD 的底面为平行四边形,M 为PC 的中点,求证:PA∥平面MBD.证明：如图10,连接AC 、BD 交于O 点,连接MO,图10∵O 为AC 的中点,M 为PC 的中点,∴MO 为△PAC 的中位线.∴PA∥MO.∵PA ⊄平面MBD,MO ⊂平面MBD,∴PA∥平面MBD.（六）拓展提升如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.图11求证:AM∥平面BDE.证明：设AC∩BD=O ，连接OE ，∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是平行四边形，∴四边形AOEM 是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM∥平面BDE.（七）课堂小结知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.（八）作业课本习题2.2 A组3、4.§2.2.3 直线与平面平行的性质一、教材分析上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3．情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路2.(事例导入)观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B 平行吗？图2（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间两直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用排除法.问题⑤引导学生找出应用的难点.问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④已知a∥α，a β，α∩β=b.求证：a∥b.证明：⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.（四）应用示例思路1例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，图5并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由（1）知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.因此BE 、CF 显然都与平面AC 相交.变式训练如图6，a∥α,A 是α另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图6解：A ∉a ，∴A、a 确定一个平面，设为β.∵B∈a ，∴B∈β.又A ∈β，∴AB ⊂β.同理AC ⊂β，AD ⊂β.∵点A 与直线a 在α的异侧,∴β与α相交.∴面ABD 与面α相交，交线为EG.∵BD∥α，BD ⊂面BAD ，面BAD∩α=EG,∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD. ∴ACAF BD EG =.(相似三角形对应线段成比例) ∴EG=920495=⨯=∙BD AC AF . 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b 都在平面α外.求证：b∥α.证明：过a 作平面β,使它与平面α相交,交线为c.∵a∥α,a ⊂β,α∩β=c,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c.∵c ⊂α,b ⊄α,∴b∥α.变式训练如图8,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH∥FG.图8证明：连接EH.∵E、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH∥BD.又BD ⊂面BCD ，EH ⊄面BCD,∴EH∥面BCD.又EH ⊂α、α∩面BCD=FG,∴EH∥FG.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路2例 1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a∥b,a ⊂α，b ⊂β，α∩β=c.求证：c∥a∥b.证明：变式训练求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b ，求证：a∥b.证明：如图10，过a 作平面γ、δ，使得γ∩α=c ，δ∩β=d ，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 如图11，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，求证：BD∥面EFGH ，AC∥面EFGH.图11证明：∵EFGH 是平行四边形变式训练如图12，平面EFGH 分别平行于CD 、AB ，E 、F 、G 、H 分别在BD 、BC 、AC 、AD 上，且CD=a ，AB=b ，CD⊥AB.图12（1）求证：EFGH 是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH 的面积.(1)证明：∵CD∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD=EF,∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH 为平行四边形.由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF 为CD 和AB 所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴四边形EFGH 为矩形.（2）解：由（1）可知在△BCD 中EF∥CD，DE=m ，EB=n, ∴DB BE CD EF =.又CD=a,∴EF=a nm n +. 由HE∥AB,∴DBDE AB HE =. 又∵AB=b,∴HE=b n m m +. 又∵四边形EFGH 为矩形,∴S 矩形EFGH =HE·EF=ab n m mn a n m n b n m m 2)(+=+∙+. 点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.（五）知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a 、b 是异面直线.求证：过b 有且只有一个平面与a 平行.证明：(1)存在性.如图13，图13在直线b 上任取一点A ，显然A ∉a.过A 与a 作平面β,在平面β内过点A 作直线a′∥a,则a′与b 是相交直线，它们确定一个平面，设为α,∵b ⊂α，a 与b 异面，∴a ⊄α.又∵a∥a′，a′⊂α，∴a∥α.∴过b 有一个平面α与a 平行.(2)唯一性.假设平面γ是过b 且与a 平行的另一个平面,则b ⊂γ.∵A∈b ，∴A∈γ.又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A ∈a″.∵a∥γ，a ⊂β，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.这与a′∩a″=A 矛盾.∴假设错误，故过b 且与a 平行的平面只有一个.综上所述，过b 有且只有一个平面与a 平行.变式训练已知：a∥α，A ∈α，A ∈b ，且b∥a.求证：b ⊂α.证明：假设b ⊄α，如图14，图14设经过点A 和直线a 的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行). 又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A 矛盾.∴假设错误.故b ⊂α.（六）拓展提升已知：a,b 为异面直线,a ⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α,求证:α∥β.证明：如图15，在b 上任取一点P ，由点P 和直线a 确定的平面γ与平面β交于直线c ，则c 与b 相交于点P.图15变式训练已知AB 、CD 为异面线段，E 、F 分别为AC 、BD 中点，过E 、F 作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB 与CD 所成角的大小.（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,图16∵AB∥α，面ADB∩α=GF AB∥GF.又∵F为BD中点,∴G为AD中点.又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.（2）解：由（1）证明可知：∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=5.在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.（七）课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.（八）作业课本习题2.2 A组5、6.§2.2.2 平面与平面平行的判定§2.2.4 平面与平面平行的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握平面与平面平行的判定定理；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（3）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。

2.2.3～2.2.4 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质问题导学一、直线与平面平行的性质定理的应用活动与探究1求证：若一条直线分别和两个相交平面平行，则这条直线必与它们的交线平行．迁移与应用1．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，则直线BB1与EE1的关系是________．2．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG．求证：EH∥BD．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．二、面面平行的性质定理的应用活动与探究2如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α．迁移与应用1．如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则线段AD与BC的长度关系是__________．2．如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)．直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．面面平行的性质定理的几个有用推论：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．三、平行关系的综合应用活动与探究3如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用在三棱锥S－ABC中，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，G是AB上任意一点．求证：SG∥平面DEF．在平行关系中，线线、线面、面面平行关系经常交替使用，相互转化，特别是一些复杂的题目，在线线、线面、面面平行关系中，判定了一个成立，接着可以利用性质转化成另一个也成立，其关系可用下图示意．当堂检测1．如果直线a∥平面α，则( )A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线2．如果一条直线和一个平面平行，两端点分别在直线和平面上的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )A．平行 B．相交 C．异面 D．皆有可能3．若α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线4．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．5．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AC∩α＝M，BD∩α＝N，其中M是AC的中点．AB＝4，CD＝6，则MN＝________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．过这条直线的任一平面与此平面的交线a⊂βα∩β＝b线线平行预习交流1(1)提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．(2)提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．2．相交平行α∩γ＝aβ∩γ＝b线线平行预习交流2提示：平面α内的任意直线都与平面β平行，与平面β内的直线平行或异面，即平面α内的任意直线与平面β内的直线都没有公共点．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先写出已知与求证，再利用线面平行的性质定理及判定定理证明．解：已知：a∥α，a∥β，α∩β＝b．求证：a∥b．证明：设A∈α，且A∉b，过直线a和点A作平面γ交平面α于直线c，如图，∵a∥α，a⊂γ，α∩γ＝c，∴a∥c(直线和平面平行的性质定理)．再设B∈β，且B∉b，同样，过直线a和点B的平面δ交平面β于直线d．同理a∥d(直线和平面平行的性质定理)．∴d∥c．又∵d⊂β，c⊄β，∴c∥β(直线与平面平行的判定定理)．又∵c⊂α，α∩β＝b，∴c∥b(直线与平面平行的性质定理)．从而a∥b．迁移与应用1．BB1∥EE12．证明：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．活动与探究2 思路分析：利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．证明：过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC．∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC．则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE．又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE．PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α．又M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α．∴平面MPN∥平面α．又MN⊂平面MPN，∴MN∥α．迁移与应用1．AD＝BC2．(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．又α∥β，∴AC∥BD．(2)解：由(1)得AC∥BD，∴PAAB＝PCCD．∴45＝3CD．∴CD＝154．∴PD＝PC＋CD＝274(cm)．活动与探究3 思路分析：充分利用A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后再由面面平行的性质定理得线线平行．证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′．∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C．同理AA′∥平面BB′C′C．∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C．又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D、平面BB′C′C的交线，故AD∥BC．同理可证AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用证明：∵D，E分别是AC，BC的中点．∴DE∥AB．又DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴DE∥平面SAB．同理可证EF∥平面SAB．∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面SAB．∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF．【当堂检测】1．B 2．D 3．D 4．l∥A1C15．5。

第二章第二节平面与平面平行的判定三维目标1.理解两平面平行的判定定理;2.会用面面平行的判定定理解决相关的问题.________________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1.请观察以下图形，平面与平面具有什么样的位置关系？图1 图2 图3*问题2.（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？为什么？如果不行请举反例.（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？为什么？如果不行请举反例.*问题3.证明平面与平面的判定定理.结论:。

*符号语言表示为： .*作用： .【学做思2】1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2.2-10, 求证：平面AB1D1∥平面C1BD.图2.2-102. 如图，点P 为△ABC 所在平面外任一点，点D 、E 、F 分别在PA 、PB 、PC 上，并且PD/PA ＝PE/PB=PF/PC.求证：平面DEF//平面ABC.达标检测*1.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若βα//,//,αl 则β//l ；③若l 、m 是异面直线，βα//,//m l ，则βα//.其中错误命题的序号为__________．*2．如图，11B E C F =已知正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，求证：//EF 平面ABCD .*3.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中，S 是11D B 的中点，G F E ,,分别是SC DC BC ,, 的中点．求证：平面EFG //平面11B BDD .。

§2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。

3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。

二、教学重点、难点重点：两个性质定理。

难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、引入新课1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）学生思考、交流，得出（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。

在教师的启发下，师生共同完成该结论的证明过程。

于是，得到直线与平面平行的性质定理。

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。

例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。

3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。

再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，于是得到两个平面平行的性质定理。

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行4、例5以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。

§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。

3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。

二、教学重点、难点重点：两个性质定理。

难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、引入新课1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）学生思考、交流，得出（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。

在教师的启发下，师生共同完成该结论的证明过程。

于是，得到直线与平面平行的性质定理。

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。

例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。

3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。

再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，于是得到两个平面平行的性质定理。

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行4、例5以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。

第二章第二节直线与平面平行的判定三维目标1.理解直线与平面平行的判定定理；2.会用线面平行的判定定理解决相关的问题；3.养成观察、发现问题的习惯.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1*问题1.请观察以下图形，直线与平面具有几种位置关系？图1 图2 图3*问题2.有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？*问题3.直线外一条直线和平面内一条直线平行，能否保证直线和平面平行并证明直线与平面平行的判定定理？结论： .符号语言表示为： .*作用： .【学做思2】1.已知：如图2.2-5，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的中点，求证：EF//平面BCD图2.2-52. 如图1，四棱锥A-DBCE 中，O 为底面正方形DBCE 对角线交点，F 为AE 的中点，求证：AB//平面DCF.图1达标检测1.如图，在长方体ABCD-1111D C B A 中 （1）与AB 平行的平面是 ;（2）与面AA'平行的平面是 ; （3） 与AD 平行的平面是 .BDAC A 1 B 1C 1D 1EA2.如图，正方体ABCD-1111D C B A 中，E 为1DD 的中点，试判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由。

*3.正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 和N 分别为AC 和BF 上的点，且AM FN，如 图所示.求证：MN ∥平面BEC .。

2.2.3 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b图形语言已知直线a ∥平面α，过平面α内的点P 如何作与直线a 平行的直线？提示：经过直线a 和点P 作一个平面和已知平面相交，则交线和已知直线a 平行，此交线在平面α内，就是要作的直线．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l ∥平面α，直线b ⊂平面α，则l ∥b.( × ) 提示：直线l ∥平面α，直线b ⊂平面α，则l ∥b 或l 与b 异面．(2)若直线l ∥平面α，则l 与平面α内的任意一条直线都不相交．( √ )提示：若直线l ∥平面α，则l 与平面α无公共点，所以l 与平面α内的任意一条直线都不相交．(3)若直线a ∥平面α，直线a ∥直线b ，则直线b ∥平面α.( × ) 提示：直线b 有可能在平面α内．(4)若直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b.( × )提示：(若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a与b平行、相交和异面都有可能．2．如图，在三棱锥S­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A.EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能【解析】选B.EF∥平面ABC，又EF⊂平面SBC，平面ABC∩平面SBC＝BC，故EF∥BC.3．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【解析】选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l ∥c，…，所以a∥b∥c∥….类型一与线面平行的性质有关的证明问题(逻辑推理、直观想象)【典例】如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：PA∥GH.【思路导引】要证PA∥GH，观察到过PA的平面PAHG与平面BDM相交于GH，需要先证PA∥平面BDM. 【证明】连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO.因为四边形ABCD为平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以MO∥PA.又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，所以PA∥平面BDM.又因为平面BDM∩平面PAHG＝GH，PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．求证：截面 MNPQ 是平行四边形．【证明】因为AB∥平面 MNPQ，平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB⊂平面 ABC，所以由线面平行的性质定理，知 AB∥MN.同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.同理可得 MQ∥NP.所以截面四边形 MNPQ 为平行四边形．【补偿训练】如图，在四棱锥P­ABCD中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH.证明：GH∥EF.【证明】因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.类型二与线面平行的性质有关的计算问题(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．【思路导引】由PC∥平面MEF可推出PC∥OM，利用平行线分线段成比例定理可得PMPA＝OCAC，转化为在菱形ABCD中求OC∶AC的值，可得解．【解析】如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC⊂平面PAC，所以PC∥OM，所以PMPA＝OCAC，在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以OCO1C＝12.又AO1＝CO1，所以PMPA＝OCAC＝14，故PM∶MA＝1∶3.用线面平行性质定理解计算问题的三个要点(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．(3)利用所得关系计算所求值．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段FE的长度．【解析】因为EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，所以EF∥AC.因为E是AD的中点，所以EF＝12AC＝12×2 2 ＝ 2 .【补偿训练】如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．【解析】过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG⊂平面PAC，所以FO∥CG.又O为AC中点，所以F为AG中点，所以FG＝GP＝1，所以E为PD中点，PE∶ED＝1∶1.。

章节2.2.3-2.2.4 课题直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质教学目标1.掌握直线与平面平行的性质定理，并会应用性质解决问题；2.掌握两个平面平行的性质定理，并会应用性质解决问题。

教学重点直线与平面、平面与平面平行的性质及其应用教学难点将空间问题转化为平面问题的方法【复习回顾】1.直线与平面平行的判定定理。

2.平面与平面平行的判定定理。

【新知探究】探究一：直线与平面平行的性质定理问题1：如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？问题2：如果直线a与平面α平行,那么在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？问题3：如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？自主探究1：已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b。

求证：a∥b。

新知：若一直线与一平面平行，则过的任一平面和此平面的与该直线平行。

线面平行性质定理作用：证明两直线平行思想：线面平行⇒线线平行。

探究二：平面与平面平行的性质定理问题4：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？问题5：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系？自主探究2：如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b新知：性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行【典型例题】例1. 如图所示的一块木料中，棱BC∥面''A C：(1)要过面''A C内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？请加以证明。

练习1：如图，已知三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：AB∥平面EFGH.例2. 求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。

βαA DCB练习2：如图，AB与CD是夹在两个平行平面α与β之间的线段，且直线AB与CD是异面直线，M与P分别为线段AB与CD的中点．求证：直线MP∥平面β.【达标检测】A组1.下列判断正确的是( )A．a∥α，bα⊂，则a∥b B．a∩α＝P，bα，则a与b不平行C．aα⊄，则a∥α D．a∥α，b∥α,则a∥b2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内3.下列命题错误的是（）A．平行于同一条直线的两个平面平行或相交B．平行于同一个平面的两个平面平行C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．平行于同一个平面的两条直线平行或相交4.已知E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.B组5. 若一条线同时平行于两相交平面，则此直线与此两平面的交线的位置关系是( )A、异面B、相交C、平行D、不能确定6.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．存在无数条与a平行的直线C．只有两条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线7．下列命题正确的是()A．夹在两个平行平面间的线段长相等B．平行于同一平面的两条直线平行C．一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线与这个平面平行D．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行8. 如图，=CDαβI，=EFαγI，=ABβγI，//ABα，求证：//CD EF。