2015-2016学年上海市宝山区高一(上)数学期末试卷 及解析

宝山区2015学年度第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.方程0624=--xx 的解集为 .2.已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .3．以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是 ．4.数列2,*3nn N ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所有项的和为 ．5. 已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219，则x+y = ． 6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .7．若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是-84，则a= ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．9. 已知,0,>t ω函数xxx f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 ．10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 ．11. 向量a r ，b r 满足a 1=r，a 2b -=r r ，a r 与b r 的夹角为60°，则b =r .12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 项. 13. 已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L .给出下列三个结论：① 数列{}n y 是递减数列； ② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15.如图，该程序运行后输出的结果为…… （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）1616. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上 17.若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为------------------------------------------ （ ）（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行； （B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直； （C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距； （D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直。

宝山区2015学年度第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.方程0624=--xx 的解集为 .2.已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .3．以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是 ．4.数列2,*3nn N ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所有项的和为 ．5. 已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219，则x+y = ． 6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .7．若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是-84，则a= ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．9. 已知,0,>t ω函数xxx f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 ．10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 ．11. 向量a r ，b r 满足a 1=r，a 2b -=r r ，a r 与b r 的夹角为60°，则b =r .12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 项. 13. 已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L .给出下列三个结论：① 数列{}n y 是递减数列； ② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15.如图，该程序运行后输出的结果为…… （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）1616. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上 17.若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为------------------------------------------ （ ）（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行； （B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直； （C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距； （D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直。

2015-2016学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（5分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a ﹣5|}，?U M={5，7}，则a 的值为．2．（5分）函数f （x ）=lg （2x﹣4）的定义域为．3．（5分）方程lg （2x +1）+lgx=1的解集为．4．（5分）函数f （x ）=x 2（x ≥1）的反函数f ﹣1（x ）=．5．（5分）已知幂函数f （x ）的图象过，则f （4）=．6．（5分）已知log 163=m ，则用m 表示log 916=．7．（5分）已知函数f （x ）=a x﹣4a+3的反函数的图象经过点（﹣1，2），那么a 的值等于．8．（5分）函数y=的值域是．9．（5分）一片人工林地，目前可采伐的木材有10万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过年，该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米．（结果保留整数）10．（5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3在[m ，0]上的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是．11．（5分）若关于x 的不等式﹣x 2+2x ＜lgt 恒成立，则实数t 的取值范围是．12．（5分）已知函数f （x ）=，若f （0）是该函数的最小值，则实数a 的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A ．y=x 2B ．y=x﹣1C ．D ．14．（5分）命题“若x ＞1，则x ＞a ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ≥1D ．a ≤115．（5分）设a ，b 为正实数，则“a ＜b ”是“a ﹣＜b ﹣”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．（5分）最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m 2；③设水葫芦面积蔓延至2m 2、3m 2、6m 2所需要的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1+t 2=t 3；其中正确的说法有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题17．（12分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A?B．求实数a的取值范围．18．（12分）已知a是实数，函数f（x）=是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．19．（12分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R（x）=，x∈N．（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入﹣总成本）20．（12分）已知函数f（x）=|x|+﹣1，其中m∈R；（1）当m=2时，判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f（x）零点的个数．21．（12分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）=（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；（2）证明：函数f（x）=（）x+x2∈M．2015-2016学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）（2010?河西区一模）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a ﹣5|}，?U M={5，7}，则a 的值为2或8．【考点】补集及其运算．【分析】题目给出了全集U={1，3，5，7}，给出了全集的子集M 及M 的补集，由M ∪（C U M ）=U 可求a 的值．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}，又集合M={1，|a ﹣5|}，所以|a ﹣5|=3．所以，实数a 的值为2或8．故答案为：2或8【点评】本题考查了补集及其运算，解答此题的关键是一个集合与其补集的并集等于全集，此题是基础题．2．（5分）（2014?奉贤区二模）函数f （x ）=lg （2x﹣4）的定义域为{x|x ＞2} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣4＞0，解得x ＞2，∴函数的定义域为{x|x ＞2}，故答案为：{x|x ＞2}【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）（2015?上海）方程lg （2x+1）+lgx=1的解集为{2}．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：∵lg （2x +1）+lgx=1，∴lg （x （2x+1））=lg10，∴，解得：x=2．故答案为：{2}．【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．4．（5分）（2015秋?徐汇区期末）函数f （x ）=x 2（x ≥1）的反函数f ﹣1（x ）=（x ≥1）．【考点】反函数．【分析】由y=x2（x≥1），解得x=（y≥1），把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=x2（x≥1），解得x=（y≥1），把x与y互换可得：y=，∴f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．故答案为：（x≥1）．【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）（2015秋?徐汇区期末）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数f（x）=x a，由幂函数f（x）的图象过，知，解得a=﹣，由此能求出f（4）．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过，∴，解得a=﹣，∴，故f（4）==．故答案为：．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）（2015秋?徐汇区期末）已知log163=m，则用m表示log916=．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：∵log163=m，∴log916===．故答案为：．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则、换底公式的合理运用．7．（5分）（2006?北京）已知函数f（x）=a x﹣4a+3的反函数的图象经过点（﹣1，2），那么a的值等于2．【考点】反函数．【分析】本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，利用函数f （x ）=a x﹣4a+3的反函数的图象经过点（﹣1，2）可知点（2，﹣1）在函数f （x ）=a x﹣4a+3的图象上，由此代入数值即可求得．【解答】解：依题意，点（﹣1，2）在函数f （x ）=a x﹣4a+3的反函数的图象上，则点（2，﹣1）在函数f （x ）=a x﹣4a+3的图象上将x=2，y=﹣1，代入y=a x﹣4a+3中，解得a=2 故答案为： 2【点评】本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷！这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便的多，不妨一试进行比较．8．（5分）（2015秋?徐汇区期末）函数y=的值域是（﹣1，1）．【考点】函数的值域．【分析】变形利用指数函数与反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：y==1﹣，∵x ∈R ，∴2x＞0，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，∴函数的值域为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了指数函数与反比例函数的单调性、函数的值域、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2015秋?徐汇区期末）一片人工林地，目前可采伐的木材有10万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过21年，该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米．（结果保留整数）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】设出未知数，列出方程，解方程即可．【解答】解：设经过n 年该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米，由题意得：100（1+8%）n=50，解得：n ≈21，故答案为：21．【点评】本题考查了指数函数问题，考查列方程解应用题，是一道基础题．10．（5分）（2015秋?徐汇区期末）已知函数f （x ）=x 2+2x+3在[m ，0]上的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是[﹣2，﹣1] ．【考点】二次函数的性质．【分析】分析函数的图象和性质，可得x=0，或x=﹣2时，f （x ）=3，当x=﹣1时，函数取最小值2，进而得到答案．【解答】解：函数f （x ）=x 2+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=﹣1为对称的抛物线，当x=﹣1时，函数取最小值2，令f（x）=x2+2x+3=3，则x=0，或x=﹣2，若函数f（x）=x2+2x+3在[m，0]上的最大值为3，最小值为2，则m∈[﹣2，﹣1]，故答案为：[﹣2，﹣1]【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．11．（5分）（2015秋?徐汇区期末）若关于x的不等式﹣x 2+2x＜lgt恒成立，则实数t的取值范围是（10，+∞）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的图象和性质，求出﹣x2+2x的最大值，进而可得实数t的取值范围．【解答】解：函数y=﹣x2+2x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，取最大值1，若关于x的不等式﹣x2+2x＜lgt恒成立，则1＜lgt，解得：t∈（10，+∞），故答案为：（10，+∞）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．12．（5分）（2015秋?徐汇区期末）已知函数f（x）=，若f（0）是该函数的最小值，则实数a的取值范围是[﹣2，0] ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意知当x≤0时，|x+a|≥|a|，且x++a≥2+a=4+a，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（0）是该函数的最小值，∴当x≤0时，|x+a|≥|a|，∴a≤0；又∵x++a≥2+a=4+a，（当且仅当x=2时，等号成立）；∴|a|≤4+a，即﹣a≤4+a，故a≥﹣2；故实数a的取值范围是[﹣2，0]；故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．二、选择题13．（5分）（2015秋?徐汇区期末）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y=x 2B．y=x﹣1C．D．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性即可得到结论．【解答】解：A．函数y=x2为偶函数，在（0，+∞）单调递增，不满足条件．B．y=x﹣1是奇函数，在（0，+∞）单调递减，不满足条件．C．函数y=为非奇非偶函数，在（0，+∞）单调递增，不满足条件．D..函数y=为奇函数，在（0，+∞）单调递增，满足条件．故选D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．14．（5分）（2015秋?徐汇区期末）命题“若x＞1，则x＞a”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据命题是真命题，转化为两个集合之间的关系建立条件关系即可得到结论．【解答】解：“若x＞1，则x＞a”是真命题，则（1，+∞）?（a，+∞），即a≤1，即实数a的取值范围是a≤1，故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假应用，建立集合之间的关系是解决本题的关键．15．（5分）（2015?青浦区一模）设a，b为正实数，则“a＜b”是“a﹣＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．【分析】根据所给的两个数字是正实数，写出两个数字的倒数之间的关系，在倒数两边同时乘以符号，把两个不等式相加得到结论，可以证明反之也成立．【解答】解：∵a ，b 为正实数，a ＜b ∴∴∴反之亦成立∴前者是后者的充要条件，故选C ．【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是需要用不等式的基本性质写出由一个推出另一个的方法，要严格按照不等式基本性质来写．16．（5分）（2015秋?徐汇区期末）最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m 2；③设水葫芦面积蔓延至2m 2、3m 2、6m 2所需要的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1+t 2=t 3；其中正确的说法有（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据图象判断其关系为指数函数，由图象过（4，16）点求出底数为2判断①；把t=5代入求出s 判断②；利用指对互化求出三个时间的值，由对数的运算判断③．【解答】解：由图得其关系为指数函数，①、因图象过（4，16）点，所以指数函数的底数为2，故①正确；②、当t=5时，s=32＞30，故②正确；③、由图得t 1=log 22=1，t 2=log 23，t 3=log 26，则t 1+t 2=t 3，故③正确，综上可知①②③正确．故选：D ．【点评】本题考查指数函数的图象及解析式，对数的运算性质，解题的关键由图求出函数的解析式，属于基础题．三、解答题17．（12分）（2011?泰兴市校级模拟）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A?B．求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；其他不等式的解法；绝对值不等式．【分析】解绝对值不等式|x﹣a|＜2，可以求出集合A，解分式不等式，可以求出集合B，进而根据A?B，我们可以构造出一个关于参数a的不等式组，解不等式即可求出实数a的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A=（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A?B，∴．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，分式不等式的解法，绝对值不等式的解法，其中解绝对值不等式和分式不等式求出集合A，B是解答本题的关键．18．（12分）（2015?上海）已知a是实数，函数f（x）=是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的定义，求出a，根据基本不等式，即可求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，∴=﹣，∴a=0，∴f（x）=x+，∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=4，当且仅当x=2时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为4．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋?徐汇区期末）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R（x）=，x∈N．（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入﹣总成本）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用y=R（x）﹣100x﹣20000分0≤x≤400、x＞500两种情况讨论即可把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）分段求最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意y=R（x）﹣100x﹣20000元，当0≤x≤500时，y=500x﹣x2﹣100x﹣20000=﹣（x﹣400）2+60000，当x＞500时，y=125000﹣100x﹣20000=105000﹣100x，∴y=；（2）当0≤x≤500时，y=﹣（x﹣400）2+60000显然当x=400时，y取最大值60000元；当x＞500时，y=105000﹣100x，显然y随着x的增大而减小，y＜105000﹣100?500=55000∴每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）（2015秋?徐汇区期末）已知函数f（x）=|x|+﹣1，其中m∈R；（1）当m=2时，判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f（x）零点的个数．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】（1）当m=2时，求出函数f（x）的表达式，结合函数单调性的定义进行证明即可．（2）利用参数转化法进行转化，构造函数，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（1）当m=2时，f（x）=|x|+﹣1，当x＜0时，f（x）=﹣x+﹣1，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+﹣1﹣（﹣x2+﹣1）=x2﹣x1+﹣=（x2﹣x1），∵x1＜x2＜0，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），即f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调递减；（2）由f（x）=|x|+﹣1=0，则=1﹣|x|，即m=x（1﹣|x|），（x≠0），设h（x）=x（1﹣|x|）=，作出函数h（x）的图象如图：由图象得到当m＞或m＜﹣时，m=h（x）有1个零点，当m=﹣或或0时，m=h（x）有2个零点，当﹣＜m＜0或0＜m＜时，m=h（x）有3个零点．【点评】本题主要考查函数单调性的判断和证明以及函数零点个数的判断，利用参数分离法结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．21．（12分）（2015秋?徐汇区期末）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）=（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；（2）证明：函数f（x）=（）x+x2∈M．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）根据题意，直接令=+k，解分式不等式得出无解，故f（x）?M；（2）只要存在一个x0即可满足题意，故探索发现令x0=1时，满足题意．【解答】解：（1）f（x0+1）=，f（x0）+f（1）=+k，∵=+k，∴解得无解，故f（x）?M；（2）f（1）=，f（2）==+，故令x0=1时，满足题意，∴函数f（x）=（）x+x2∈M．【点评】本题考查了抽象函数新定义题型的解题，难点是对题意的深刻理解．参与本试卷答题和审题的老师有：wubh2011；maths；刘老师；沂蒙松；zlzhan；liuerq；豫汝王世崇；炫晨；涨停；gongjy；刘长柏；lcb001；洋洋（排名不分先后）菁优网2016年12月22日。

2015-2016学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（5.00分）计算：log34×log29=．2．（5.00分）不等式|x﹣1|＜1的解集是．3．（5.00分）幂函数y=x的定义域为（用区间表示）4．（5.00分）方程42x﹣1=64的解为x=．5．（5.00分）函数y=的反函数的图象经过点（3，2），则a=．6．（5.00分）某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为．7．（5.00分）若集合A={y|y=x2+2x+3}，集合B={y|y=x+}，则A∩B=．8．（5.00分）设函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．9．（5.00分）若函数y=3x+a的图象经过第一、二、三象限，则a的取值范围是．10．（5.00分）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）﹣1且g（1）=0，则g （﹣1）=．11．（5.00分）若a、b∈R，下列4个命题：①a+b≥2；②a5+b5＞a3b2+a2b3；③a2+b2≥2（a+b﹣1）；④+≥2，其中真命题的序号是（写出所有正确的序号）12．（5.00分）若函数f（x）=x2﹣2（2﹣m）x+5在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数m的取值范围是．13．（5.00分）函数的值域为．14．（5.00分）函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：f M（x）=（M是实数集R的非空真子集），若A={x||x﹣1|≤2}，B={x|﹣1≤x＜1}，则F（x）=的最大值为．二、选择题15．（5.00分）给定命题：p：x＜3，q：＞0，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件16．（5.00分）若关于x的方程3x=无负数根，则a的取值范围为（）A．a≥1 B．a＜5 C．（﹣∞，1]∪（5，+∞） D．[1，5）17．（5.00分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）18．（5.00分）定义域为R的函数f（x）满足以下条件：（1）对于任意x∈R，f（x）+f（﹣x）=0；（2）对于任意x1、x2∈[1，3]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0；则以下不等式不一定成立的是（）A．f（2）＞f（0）B．f（2）＞f（1）C．f（﹣3）＜f（﹣1） D．f（4）＞f（2）三、解答题19．（12.00分）解方程：log3（x+14）+log3（x+2）=log38（x+6）20．（12.00分）设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}（1）若A∩B=B，求实数a的值；（2）若A∪B=B，求实数a的值．21．（12.00分）已知函数f（x）=log2|x|．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性、单调性；（不必证明）（3）画出函数f（x）的图象．22．（12.00分）如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）（1）求出a，b满足的关系式；（2）问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？23．（12.00分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=1，b=1时，若f（2x）=，求x的值；（3）若b=﹣1且对任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5.00分）计算：log34×log29=4．【解答】解：log34×log29=•=•=4，故答案为：4．2．（5.00分）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．3．（5.00分）幂函数y=x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）（用区间表示）【解答】解：∵幂函数y=x=，∴x2＞0，解得x≠0，∴函数y的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）．4．（5.00分）方程42x﹣1=64的解为x=2．【解答】解：∵42x﹣1=64，∴42x﹣1=43，∴2x﹣1=3，解得x=2．故答案为：2．5．（5.00分）函数y=的反函数的图象经过点（3，2），则a=1．【解答】解：函数y=的反函数的图象经过点（3，2），∴原函数的图象经过点（2，3），∴3==4﹣a，解得a=1．故答案为：1．6．（5.00分）某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为80．【解答】解：由于参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则如图示，只参加科技兴趣小组的有65﹣20人，只参加演讲兴趣小组的有35﹣20人故两种小组至少参加一组的人数是：（65﹣20）+（35﹣20）+20=80故答案为：807．（5.00分）若集合A={y|y=x2+2x+3}，集合B={y|y=x+}，则A∩B=[4，+∞）．【解答】解：由A中y=x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，得到A=[2，+∞），当x＞0时，B中y=x+≥2=4；当x＜0时，B中y=﹣（﹣x﹣）≤﹣4，∴B=（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），则A∩B=[4，+∞），故答案为：[4，+∞）8．（5.00分）设函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=，其中x＞1且x≠3．【解答】解：有f（x）=，得x≠3，由g（x）=，得x＞1，∴f（x）•g（x）=•=，其中x＞1且x≠3，故答案为：，其中x＞1且x≠39．（5.00分）若函数y=3x+a的图象经过第一、二、三象限，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【解答】解：如图，函数y=3x+a的图象是把函数函数y=3x的图象向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位得到的，若函数y=3x+a的图象经过第一、二、三象限，则需把函数y=3x的图象向下平移，但平移单位小于1，∴﹣1＜a＜0．故答案为：﹣1＜a＜0．10．（5.00分）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）﹣1且g（1）=0，则g （﹣1）=﹣2．【解答】解：∵y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）﹣1且g（1）=0，∴g（1）=f（1）﹣1=0，则f（1）=1，g（﹣1）=f（﹣1）﹣1=﹣f（1）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故答案为：﹣2．11．（5.00分）若a、b∈R，下列4个命题：①a+b≥2；②a5+b5＞a3b2+a2b3；③a2+b2≥2（a+b﹣1）；④+≥2，其中真命题的序号是③（写出所有正确的序号）【解答】解：①a+b≥2，若a=﹣1，b=﹣1不成立；②a5+b5＞a3b2+a2b3，a=0，b=0时，不成立；③∵（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，∴a2﹣2a+1+b2﹣2b+1≥0，∴a2+b2≥2（a+b﹣1），故③成立；④+≥2，a=﹣1，b=﹣1时，不成立，其中真命题的序号是③，故答案为：③．12．（5.00分）若函数f（x）=x2﹣2（2﹣m）x+5在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：二次函数的对称轴为，则函数在（﹣∞，2﹣m]上单调递减，所以要使函数f（x）=x2﹣2（2﹣m）x+5在区间（﹣∞，4]上单调递减，则4≤2﹣m，解得m≤﹣2．所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．13．（5.00分）函数的值域为[0，+∞）．【解答】解：由于函数，故当x＜1时，f（x）=＞．当x≥1时，f（x）=log2x≥log21=0．综上可得，f（x）≥0，故函数的值域为[0，+∞），故答案为[0，+∞）．14．（5.00分）函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：f M（x）=（M 是实数集R的非空真子集），若A={x||x﹣1|≤2}，B={x|﹣1≤x＜1}，则F（x）=的最大值为．【解答】解：A={x||x﹣1|≤2}={x|﹣2≤x﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∪B={x|﹣1≤x≤3}，（x）=，f A（x）=，f B（x）则f A∪B=，即当﹣1≤x＜1时，F（x）==1，当1≤x≤3时，F（x）==，此时F′（x）==＞0恒成立，即此时F（x）为增函数，则F（1）==，F（3）===．当x＞3或x＜﹣1时，F（x）=，综上函数的最大值为．故答案为：．二、选择题15．（5.00分）给定命题：p：x＜3，q：＞0，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：由：＞0得0，则2＜x＜3，即q：2＜x＜3，则p是q的必要不充分条件，故选：C．16．（5.00分）若关于x的方程3x=无负数根，则a的取值范围为（）A．a≥1 B．a＜5 C．（﹣∞，1]∪（5，+∞） D．[1，5）【解答】解：∵方程3x=无负数根，∴当x≥0时，3x≥1，即≥1，即﹣1=≥0，则≤0，则1≤a＜5，故选：D．17．（5.00分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．18．（5.00分）定义域为R的函数f（x）满足以下条件：（1）对于任意x∈R，f（x）+f（﹣x）=0；（2）对于任意x1、x2∈[1，3]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0；则以下不等式不一定成立的是（）A．f（2）＞f（0）B．f（2）＞f（1）C．f（﹣3）＜f（﹣1） D．f（4）＞f（2）【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0；得f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；对于任意x1、x2∈[1，3]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0；则此时函数f（x）为增函数，在[﹣3，﹣1]上是增函数，A．f（2）＞0，f（0）=0，则f（2）＞f（0）成立，B．f（2）＞f（1）成立，C．f（﹣3）＜f（﹣1）成立，D．f（4）与f（2）的关系不确定，故不一定成立的是D，故选：D．三、解答题19．（12.00分）解方程：log3（x+14）+log3（x+2）=log38（x+6）【解答】解：∵log3（x+14）+log3（x+2）=log38（x+6），∴log3[（x+14）（x+2）]=log38（x+6），∴，解得x=2．20．（12.00分）设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}（1）若A∩B=B，求实数a的值；（2）若A∪B=B，求实数a的值．【解答】解：由A中方程变形得：x（x+4）=0，解得：x=0或x=﹣4，即A={﹣4，0}，（1）∵A∩B=B，∴B⊆A，当B=∅时，B中方程无解，即4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得：a＜﹣1；当B≠∅时，B中方程有解，且x=﹣4或x=0为方程的解，把x=﹣4代入B中方程得：16﹣8a﹣8+a2﹣1=0，即a2﹣8a+7=0，解得：a=1或a=7（不合题意，舍去）；把x=0代入方程得：a2﹣1=0，即a=﹣1或1，综上，实数a的值为a≤﹣1或a=1；（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，把x=0与x=﹣4为B中方程的解，此时0﹣4=﹣2（a+1），解得：a=1．21．（12.00分）已知函数f（x）=log2|x|．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性、单调性；（不必证明）（3）画出函数f（x）的图象．【解答】解：（1）∵f（x）=log2|x|，∴|x|＞0，解得x≠0．∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．（2）∵f（﹣x）=log2|x|=log2|﹣x|=log2|x|=f（x），∴函数f（x）是偶函数．当x＞0时，f（x）=log2|x|=log2x，此时f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）=log2|x|=﹣log2x，此时f（x）是减函数．（3）由（2）知当x＞0时，f（x）=log2|x|=log2x，当x＜0时，f（x）=log2|x|=﹣log2x，且x≠0，∴先作出x＞0时，f（x）=2x的图象，再由偶函数的图象关于y思对称的性质作出x＜0时，f（x）=log2（﹣x）的图象，由此能画出函数f（x）的图象，如右图所示．22．（12.00分）如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）（1）求出a，b满足的关系式；（2）问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？【解答】解：（1）由题意可得，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，所以当ab最大时，该杂质的质量分数最小由均值不等式得（当且仅当a=2b时取等号）所以，即（当且仅当a=2b时取等号）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）即，因为，所以，所以ab≤18﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以当且仅当即时，ab取得最大值18，此时该杂质的质量分数最小﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）23．（12.00分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=1，b=1时，若f（2x）=，求x的值；（3）若b=﹣1且对任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，b=0时，f（x）=x|x﹣1|，f（﹣x）=﹣x|x+1|≠±f（x），∴函数没有奇偶性；（2）当a=1，b=1时，f（x）=x|x﹣1|+1，若f（2x）=，∴2x|2x﹣1|+1=，令t=2x，t＞0，当t＞1时，t（t﹣1）=，∴t=，∴x=log2（1+）﹣1；当t＜1时，t（1﹣t）=，不成立，∴x=log2（1+）﹣1；（3）若b=﹣1且对任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，∴|x﹣a|＜，∴x﹣＜a＜x+恒成立，∴0＜a＜2．。

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4.00分）函数的定义域为．2．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．3．（4.00分）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α=．4．（4.00分）函数的反函数为f﹣1（x）=．5．（4.00分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为．6．（4.00分）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线对称．7．（4.00分）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．8．（4.00分）方程：的解为．9．（4.00分）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是．10．（4.00分）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为．11．（4.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为．12．（4.00分）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x∈D，使的函数的序号为．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x314．（4.00分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（4.00分）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c16．（4.00分）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f （﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数三、解答题17．（8.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f（1﹣2x）﹣f （x）＜1．18．（10.00分）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．19．（12.00分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．20．（12.00分）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．21．（14.00分）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4.00分）函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2} ．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠2．∴函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．故答案为：{x|x＞﹣1且x≠2}．2．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：3．（4.00分）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α=．【解答】解：根据幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，知α＞0，且α为偶数；又满足．所以α＜1；写出一个满足条件的α值，则α=即可．故答案为：．4．（4.00分）函数的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．【解答】解：由y=，解得x=＞0，解得0＜y＜1，因此f（x）的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．故答案为：，（x∈（0，1））．5．（4.00分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）6．（4.00分）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线y=x对称．【解答】解：∵y=﹣log 3x=log x，∴同底的指数函数和对数函数互为反函数，则图象关于y=x对称，故答案为：y=x7．（4.00分）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．【解答】解：∵log53=a，5b=7，∴=a，b=log57=，∴lg3=alg5，lg7=blg5，∴log63105===．故答案为：．8．（4.00分）方程：的解为{log23} ．【解答】解：由22x+1﹣6＞0，得2×4x＞6，即4x＞3，则方程等价为=log22x+log2（2x+1）=log22x（2x+1），即22x+1﹣6=2x（2x+1），即2（2x）2﹣6=（2x）2+2x，即（2x）2﹣2x﹣6=0，则（2x+2）（2x﹣3）=0，则2x﹣3=即2x=3，满足4x＞3，则x=log23，即方程的解为x=log23，故答案为：{log23}9．（4.00分）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．【解答】解：∵函数的值域是R，∴其真数函数g（x）=x2+ax﹣a的函数值应该能够取遍所有正数，∴函数y=g（x）的图象应该与x轴相交即△=a2+4a≥0解得a≤﹣4或a≥0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．10．（4.00分）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：∵函数的值域为[﹣2，+∞），当x≥2时，f（x）=﹣6+2x≥﹣2．当x＜2，f（x）=x2﹣ax+3=（x﹣）2+3﹣，当=2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a≤2，a=4∈[﹣2，2]，故a=4成立；当＜2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a＜4．当＞2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥（2﹣）2+3﹣≥﹣2，解得4＜a．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．11．（4.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为（，9）．【解答】解：作函数的图象如下，方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2=﹣2，x3∈（，1），x4∈（1，10），故x3+x4∈（，11），∴x1+x2+x3+x4∈（，9），故答案为：（，9）．12．（4.00分）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x∈D，使的函数的序号为（3）、（4）．【解答】解：根据题意可知：对于（1），函数f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；对于（2），函数f（x）=3x2+1，当x 1=0时，存在x2=±使得使，故不符合题意；对于（3），函数f（x）=3e x，对任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；对于（4），函数f（x）=，对定义域内的任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；所以成立的函数序号为（3）、（4）．故答案为：（3）、（4）．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x3【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足；对于B，是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递增，不满足；对于C，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减，满足；对于D，函数是奇函数，不满足，故选：C．14．（4.00分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x 轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故选：A．15．（4.00分）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c【解答】解：∵a、b、c均大于1，log a c•log b c=4，∴log c a•log c b=，∴log c a、log c b大于零，则log c a•log c b≤（log c a+log c b）2，即≤（log c a+log c b）2，∴（log c a+log c b）2≥1，∴（log c ab）2≥1，∴log c ab≥1或log c ab≤﹣1，当且仅当log c a=log c b，即a=b时取等号，∵a、b、c均大于1，∴log c ab＞1，解得ab≥c，故选：B．16．（4.00分）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f （﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解答】解：函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x）=﹣f﹣1（x），关于原点对称，∴y=f（﹣x）是奇函数，故选：A．三、解答题17．（8.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f（1﹣2x）﹣f （x）＜1．【解答】解：∵函数f（x）=lg（x+1），∴不等式0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1可化为0＜lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）＜1，即；化简得，即，解得即﹣＜x＜；∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．18．（10.00分）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．【解答】解：∵函数为奇函数，实数a＞0，∴有f（0）=0，即=0，解可得a=1，∴f（x）=；f（x）=1﹣理由：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）是增函数．19．（12.00分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，，∵，∴当x≥0时，f（x）=x2，解得x≥；当x＜0时，f（x）=，解得﹣2≤x＜0；综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥}；（2）若函数y=f（x）存在反函数，则函数f（x）在R为单调函数，则a≥1，此时函数f（x）在R为单调递增函数，x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=a；此时f﹣1（x）=在（0，+∞）上也为增函数，若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，则，当0＜4﹣a＜1，即3＜a＜4时，log2（4﹣a）≤a恒成立，当4﹣a≥1，即1≤a≤3时，解：得：﹣1+≤a≤2综上可得：a∈[﹣1+，2]∪（3，4）．20．（12.00分）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．【解答】解：（1）在f1（x）=2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）∉D1，故函数f1（x）=2x﹣1在D1上不封闭；在f2（x）=2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．（2）g（x）=的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），当a+10＞0时，函数g（x）=在D2上为增函数，只需，解得a=2当a+10＜0时，函数g（x）=在D2上为减函数，只需，解得a∈∅综上，所求a的值等于2．证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．x0∈D且f（f（x0））=x0，∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，∴f（x0）=x0．21．（14.00分）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．【解答】解：（1）根据题意，设函数f1（x）=3x为（0，+∞）上的增函数，f2（x）=﹣2x为（0，+∞）减函数，则f（x）=3x﹣2x是（0，+∞）上的单调增函数；（2）命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数，是真命题；理由是：设x1＜x2由y=f1（x）是区间D上的增函数可得f1（x1）＜f1（x2）①若f2（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数②若函数f2（x1）＞f2（x2），则由|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|可得，﹣f1（x1）+f1（x2）＞f2（x1）﹣f2（x2）∴f1（x1）+f2（x1）＜f1（x2）+f2（x2），即f（x1）＜f（x2）；综上，函数f（x）为单调递增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数，是假命题；如函数f1（x）=﹣3x为减函数，f2（x）=2x为增函数，但f（x）=2x﹣3x不是单调递增函数；（3）由f（x）=x3+x2+x+1，令f1（x）=x3，为定义域R上的增函数，f2（x）=x2+x+1，且f2（x）为非常值函数，则f′（x）=3x2+2x+1=3+＞0，所以f（x）是定义域R上的增函数．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=∠BCD=90°， （1）若AB =3，BC +CD =5，求四边形ABCD 的面积（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

2015-2016学年上海市复兴高级中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1．设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B=．2．已知3a=2，那么log38﹣log362用a表示是．3．设f（x）=9x﹣2.3x，则f﹣1（0）=．4．函数的单调递增区间是．5．函数y=log2（x2﹣6x+17）的值域是．6．设x，y∈R+，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为．7．幂函数y=f（x）的图象过点A（4，2），则函数y=f（x）的反函数为．8．若函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．9．若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．已知函数f（x）=x2﹣mx+1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），则实数m的取值范围．11．设，函数y=g（x）的图象与y=f﹣1（x+1）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=．12．若f（x）=|log2x|﹣m有两个零点x1，x2（x1＞x2），则的最小值为．13．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A、B 和函数y=log2x上的点C，线段AC平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为．14．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）同时满足一下两个条件：（1）点A、B都在函数y=f（x）上；（2）点A、B关于原点对称；则称点对（（x1，y1），（x2，y2））是函数f（x）的一个“姐妹点对”．已知函数，则函数f（x）的“姐妹点对”是．二、选择题15．“log2x＜3”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件16．若M{x|y=2x+1}，N={y|y=﹣x2}，则集合M，N的关系是（）A．M∩N={（﹣1，1）}B．M∩N=∅ C．M⊆N D．N⊆M17．已知f（x）是偶函数，x∈R，当x＞0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）18．函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）A．{1，2}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．{1，4，16，64}三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的响应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（12分）记关于x的不等于的解集为P，不等式|x﹣a|≤1的解集为Q．（1）求出集合P；（2）若P∩Q=Q，求实数a的取值范围．20．（14分）利民工厂生产的某种产品，当年产量在150T至250T之内，当年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系可近似地表示为．（Ⅰ）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本；（Ⅱ）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润．21．（14分）关于x的方程lg（x﹣1）+lg（3﹣x）=lg（a﹣x），其中a是实常数．（1）当a=2时，解上述方程（2）根据a的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．23．（18分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求a的取值范围；（3）设函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．2015-2016学年上海市复兴高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B={7，9} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由条件利用补集的定义求得∁U A，再根据两个集合的交集的定义求得（∁A）∩B．U【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁U A）={4，6，7，9 }，∴（∁U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知3a=2，那么log38﹣log362用a表示是a﹣2．【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算法则知log38=3log32，log36=log32+1，由此根据题设条件能求出log38﹣2log36用a表示的式子．【解答】解：∵3a=2，∴a=log32，log38﹣2log36=3log32﹣2（log32+log33）=3a﹣2（a+1）=a﹣2．故答案为：a﹣2【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行转化．3．设f（x）=9x﹣2.3x，则f﹣1（0）=log32．【考点】函数的值．【分析】由f（x）=9x﹣2.3x=0，能求出f﹣1（0）的值．【解答】解：∵f（x）=9x﹣2.3x，∴当f（x）=0，即9x﹣2.3x=0时，9x=2•3x，解得x=log32，∴f﹣1（0）=log32．故答案为：log32．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．4．函数的单调递增区间是（﹣∞，0] ．【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据题意，本题即函数y=|x|的减区间，从而得出结论．【解答】解：函数的单调递增区间，即函数y=|x|的减区间，而函数y=|x|的减区间为（﹣∞，0]，故答案为：（﹣∞，0]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、绝对值函数的性质，属于基础题．5．函数y=log2（x2﹣6x+17）的值域是[3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值．【分析】设t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8转化为函数y=，t∈[8，+∞），根据y=，在t∈[8，+∞）上单调递增，可求解．【解答】解：设t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8函数y=log2（x2﹣6x+17），则函数y=，t∈[8，+∞），∵y=，在t∈[8上单调递增，∴当t=8时，最小值为log=3，故答案为：[3，+∞）【点评】本题考察了二次函数，对数函数性质，综合解决问题．6．设x，y∈R+，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为2．【考点】对数的运算性质．【分析】利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵x，y∈R+，且x+4y=40，∴40≥，解得xy≤100，当且仅当x=4y=20时取等号．则lgx+lgy=lg（xy）≤2，因此其最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．幂函数y=f（x）的图象过点A（4，2），则函数y=f（x）的反函数为y=x2，x≥0．【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】先求出y=f（x）==，由此能求出函数y=f（x）的反函数．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点A（4，2），∴f（4）=4α=2，解得α=，∴y=f（x）==，∴x=y2，x，y互换，得函数y=f（x）的反函数为y=x2，x≥0．故答案为：y=x2，x≥0．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．8．若函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值为5，则实数a=4或﹣6．【考点】绝对值三角不等式．【分析】函数f （x ）=|x +1|+|x ﹣a |的几何意义是点x 与点﹣1的距离及点x 与点a 的距离之和，从而解得．【解答】解：∵函数f （x ）=|x +1|+|x ﹣a |的几何意义是： 点x 与点﹣1的距离及点x 与点a 的距离之和， 故函数f （x ）=|x +1|+|x ﹣a |的最小值为|1+a |=5， 故a=4或﹣6， 故答案为：4或﹣6．【点评】本题考查了学生对于绝对值的理解掌握情况，同时考查了数形结合的思想应用．9．若f （x ）=﹣，则满足f （x ）＜0的x 的取值范围是 （0，1） ．【考点】指、对数不等式的解法；其他不等式的解法． 【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f （x ）=﹣，若满足f （x ）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．已知函数f （x ）=x 2﹣mx +1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），则实数m 的取值范围 （2，） ． 【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数零点的判定定理可知：f （0）=1＞0，，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：由题意可知：函数f（x）=x2﹣mx+1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），f（0）=1＞0，则，即，解得：2＜m＜，∴实数m的取值范围（2，），故答案为（2，）．【点评】本题考查一元二次函数零点的判定，考查不等式的解法，属于基础题．11．设，函数y=g（x）的图象与y=f﹣1（x+1）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=0．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据反函数的定义求出f（x）的反函数g（x），求出g（3）的值即可．【解答】解：由y=log2，得：2y=，解得：x=，故f﹣1（x）=，f﹣1（x+1）=，故g（x）=log2﹣1，故g（3）=1﹣1=0，故答案为：0．【点评】本题考查反函数的求法，考查指数式和对数式的互化，指数函数的反函数是对数函数，对数函数的反函数是指数函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称．12．若f（x）=|log2x|﹣m有两个零点x1，x2（x1＞x2），则的最小值为4．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可知：求得f（x）的两个零点，则=22m+4（）2m=22m+22﹣2m≥2=2=4．【解答】解：由题意可知：f（x）=|log2x|﹣m有两个零点x1，x2（x1＞x2），则x1=2m，x2=（）m，=22m+4（）2m=22m+22×2﹣2m=22m+22﹣2m≥2=2=4，∴的最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查函数零点定理的判定，考查含绝对值的函数的零点判断，基本不等式的性质，属于中档题．13．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A、B 和函数y=log2x上的点C，线段AC平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为12．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC=2，2+log2p=q，∴p=2q﹣2，∴4p=2q；又x0﹣p=，∴p=x0﹣，∴x0=p+；又2+log2x0﹣q=1，∴log2x0=q﹣1，x0=2q﹣1=；∴p+=，2p+2=2q=4p，∴p=，2q=4；∴p2•2q=3×4=12．故答案为：12．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．14．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）同时满足一下两个条件：（1）点A、B都在函数y=f（x）上；（2）点A、B关于原点对称；则称点对（（x1，y1），（x2，y2））是函数f（x）的一个“姐妹点对”．已知函数，则函数f（x）的“姐妹点对”是（1，﹣3），（﹣1，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】设x1＞0，则y1=x1﹣4，由“姐妹点对”的定义知x2=﹣x1，y2==﹣y1=4﹣x1，由此能求出函数f（x）的“姐妹点对”．【解答】解：设x1＞0，则y1=x1﹣4，∵点对（（x1，y1），（x2，y2））是函数f（x）的一个“姐妹点对”，∴x2=﹣x1，y2=（﹣x1）2﹣2（﹣x1）==﹣y1=4﹣x1，∴，解得x1=1或x1=﹣4（舍），∴，，∴函数f（x）的“姐妹点对”是（1，﹣3），（﹣1，3）．故答案为：（1，﹣3），（﹣1，3）．【点评】本题考查函数的“姐妹点对”的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、选择题15．“log2x＜3”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数以及指数的运算求出关于x的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由log2x＜3，解得：0＜x＜8，由“”，解得：x＜8，故“log2x＜3”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题．16．若M{x|y=2x+1}，N={y|y=﹣x2}，则集合M，N的关系是（）A．M∩N={（﹣1，1）}B．M∩N=∅ C．M⊆N D．N⊆M【考点】交集及其运算．【分析】求出M{x|y=2x+1}=R，N={y|y=﹣x2}={y|y≤0}，由此能判断集合M，N 的关系．【解答】解：∵M{x|y=2x+1}=R，N={y|y=﹣x2}={y|y≤0}，∴集合M，N的关系是N⊆M．故选：D．【点评】本题考查两个集合的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用．17．已知f（x）是偶函数，x∈R，当x＞0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是偶函数，x∈R，当x＞0时，f（x）为增函数，且|x1|＜|x2|，∴f（|x1|）＜f（|x2|），则f（﹣x1）＜f（﹣x2）成立，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．18．函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）A．{1，2}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．{1，4，16，64}【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，进而可得到方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=令设方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解为f1（x），f2（x）则必有f1（x）=y1=ax2+bx+c，f2（x）=y2=ax2+bx+c那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点由于对称性，则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=对称也就是说x1+x2=同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=对称那就得到x3+x4=，在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}而在D中，{1，4，16，64}找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和故答案D不可能故选D．【点评】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的响应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（12分）（2015秋•虹口区校级期末）记关于x的不等于的解集为P，不等式|x﹣a|≤1的解集为Q．（1）求出集合P；（2）若P∩Q=Q，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算．【分析】（1）利用分式不等式的性质能求出集合P．（2）利用交集性质能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵x的不等于的解集为P，∴P={x|}={x|﹣1＜x≤3}．（2）∵P={x|﹣1＜x≤3}，不等式|x﹣a|≤1的解集为Q．Q={x||x﹣a|≤1}={x|a﹣1≤x≤a+1}，P∩Q=Q，∴P⊂Q，∴，无解，∴实数a的取值范围是∅．【点评】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．20．（14分）（2009•奉贤区校级模拟）利民工厂生产的某种产品，当年产量在150T至250T之内，当年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系可近似地表示为．（Ⅰ）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本；（Ⅱ）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（I）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．（II）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．【解答】解：（I）设每吨的平均成本为W（万元/T），则，当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．（6分）（II）设年利润为u（万元），则=．（11分）所以当年产量为230吨时，最大年利润1290万元．（12分）【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．21．（14分）（2015秋•虹口区校级期末）关于x的方程lg（x﹣1）+lg（3﹣x）=lg（a﹣x），其中a是实常数．（1）当a=2时，解上述方程（2）根据a的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）由对数的含义及运算法则，转化为二次方程的解，解出即可；（2）由对数的含义及运算法则，转化为二次方程的解得问题处理即可，注意定义域．【解答】解：（1）a=2时，lg（x﹣1）+lg（3﹣x）=lg（2﹣x），x∈（1，2），故（x﹣1）（3﹣x）=2﹣x，整理得：x2﹣5x+5=0，△=25﹣20=5＞0，x=，∵x∈（1，2），故x=；（2）由题意x﹣1＞0且3﹣x＞0，所以1＜x＜3，又lg（x﹣1）+lg（3﹣x）=lg（x﹣1）（3﹣x）=lg（a﹣x）所以（x﹣1）（3﹣x）=a﹣x在1＜x＜3上有两个实根，即判断x2﹣5x+a+3=0在（1，3）上个实根的个数．所以a=﹣x2+5x﹣3，x∈（1，3），令f（x）=﹣x2+5x﹣3，x∈（1，3），f （1）=1，f （3）=3，f （）=，当1＜a ≤3，或a=时，方程有1个实根，当3＜a ＜时，方程有2个实根，当a ＞，a ＜1时，方程无实根．【点评】本题考查二次方程实根分布问题、对数的运算法则，同时考查等价转化思想，属于中档题．22．（16分）（2012•长宁区一模）设函数f （x ）=a x ﹣（k ﹣1）a ﹣x （a ＞0且a ≠1）是定义域为R 的奇函数． （1）求k 值；（2）若f （1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f （x 2+tx ）+f （4﹣x ）＜0恒成立的t 的取值范围；（3）若f （1）=，且g （x ）=a 2x +a ﹣2x ﹣2mf （x ）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据奇函数的性质可得f （0）=0，由此求得k 值．（2）由f （x ）=a x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1），f （1）＜0，求得1＞a ＞0，f （x ）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．（3）由f（1）=求得a的值，可得g（x）的解析式，令t=f（x）=2x﹣2﹣x，可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t2﹣2mt+2，（t≥），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…（2）∵函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0，∴1＞a＞0．…（6分）由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，…（8分）∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…（10分）（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或a=﹣（舍去）．…（12分）∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x﹣2﹣x ，显然是增函数．∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）…（15分）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2…（16分）若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…（17分）综上可知m=2．…（18分）【点评】本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．23．（18分）（2005•闸北区一模）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求a的取值范围；（3）设函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．【考点】对数的运算性质．【分析】（1）集合M中元素的性质，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；（2）根据f（x0+1）=f（x0）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用f（x0+1）=f（x0）+f（1）和f（x）=2x+x2∈M，整理出关于x0的式子，利用y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明．【解答】解：（1）若f（x）=∈M，在定义域内存在x0，则+1=0，∵方程x02+x0+1=0无解，∴f（x）=∉M；（2）由题意得，f（x）=lg∈M，∴lg+2ax+2（a﹣1）=0，当a=2时，x=﹣；当a≠2时，由△≥0，得a2﹣6a+4≤0，a∈．综上，所求的；（10分）（3）∵函数f（x）=2x+x2∈M，∴﹣3=，又∵函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，设交点的横坐标为a，则，其中x0=a+1∴f（x0+1）=f（x0）+f（1），即f（x）=2x+x2∈M．（16分）【点评】本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．。

2015—2016学年上海市复兴高级中学高一(上)期末数学试卷一、填空题1．设全集U=｛n∈N｜1≤n≤10}，A=｛1,2，3，5，8｝,B=｛1，3，5，7，9｝，则（∁U A）∩B= ．2．已知3a=2，那么log38﹣log362用a表示是．3．设f（x)=9x﹣2.3x，则f﹣1（0)= ．4．函数的单调递增区间是．5．函数y=log2（x2﹣6x+17）的值域是．6．设x，y∈R+，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为．7．幂函数y=f（x）的图象过点A（4,2），则函数y=f(x）的反函数为．8．若函数f(x）=|x+1｜+|x﹣a|的最小值为5，则实数a= ．9．若f（x)=﹣,则满足f（x)＜0的x的取值范围是．10．已知函数f（x）=x2﹣mx+1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），则实数m的取值范围．11．设，函数y=g(x)的图象与y=f﹣1（x+1）的图象关于直线y=x对称，则g(3)= ．12．若f（x)=｜log2x｜﹣m有两个零点x1，x2（x1＞x2），则的最小值为．13．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A、B 和函数y=log2x上的点C，线段AC平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时,点B的坐标为(p，q），则p2×2q的值为．14．若点A（x1，y1）、B(x2，y2)同时满足一下两个条件：（1)点A、B都在函数y=f（x)上；(2）点A、B关于原点对称；则称点对（（x1,y1），（x2，y2））是函数f（x）的一个“姐妹点对"．已知函数，则函数f（x）的“姐妹点对”是．二、选择题15．“log2x＜3”是“”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件16．若M{x｜y=2x+1｝,N=｛y｜y=﹣x2｝，则集合M，N的关系是( )A．M∩N={（﹣1,1)} B．M∩N=∅C．M⊆N D．N⊆M 17．已知f（x）是偶函数,x∈R,当x＞0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0,且|x1|＜｜x2|,则( ）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2) B．f(﹣x1)＜f（﹣x2) C．﹣f（x1)＞f(﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）18．函数f（x）=ax2+bx+c(a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p,关于x的方程m[f （x）］2+nf(x）+p=0的解集都不可能是（)A．{1，2} B．{1，4} C．{1，2，3，4｝ D．{1，4，16，64}三、解答题：（本大题满分74分，共有5题,解答下列各题必须在答题卷的响应编号规定区域内写出必要的步骤）19．(12分)记关于x的不等于的解集为P，不等式｜x﹣a｜≤1的解集为Q．（1)求出集合P；（2）若P∩Q=Q,求实数a的取值范围．20．（14分）利民工厂生产的某种产品，当年产量在150T至250T 之内,当年生产的总成本y(万元)与年产量x（T）之间的关系可近似地表示为．（Ⅰ）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本;（Ⅱ）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润,并求最大年利润．21．（14分）关于x的方程lg（x﹣1）+lg（3﹣x）=lg（a﹣x）,其中a是实常数．（1)当a=2时，解上述方程（2）根据a的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．(16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2+tx）+f （4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围;（3）若f（1）=，且g(x）=a2x+a﹣2x﹣2mf(x）在［1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．23．(18分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f(x0+1）=f（x0）+f（1)成立．（1）函数f(x）=是否属于集合M？说明理由；(2）设函数f（x）=lg∈M,求a的取值范围；（3)设函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．2015—2016学年上海市复兴高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设全集U={n∈N|1≤n≤10},A=｛1,2，3,5，8}，B=｛1,3，5，7，9｝，则(∁U A）∩B= {7，9} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由条件利用补集的定义求得∁U A,再根据两个集合的交集的定义求得（∁U A）∩B．【解答】解:∵全集U=｛n∈N|1≤n≤10｝,A=｛1，2,3，5,8}，B=｛1,3，5，7，9}，∴(∁U A）={4,6，7，9 },∴（∁U A）∩B={7，9},故答案为：{7，9}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法,属于基础题．2．已知3a=2，那么log38﹣log362用a表示是a﹣2 ．【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算法则知log38=3log32，log36=log32+1,由此根据题设条件能求出log38﹣2log36用a表示的式子．【解答】解：∵3a=2，∴a=log32，log38﹣2log36=3log32﹣2（log32+log33）=3a﹣2(a+1)=a﹣2．故答案为：a﹣2【点评】本题考查对数的运算法则,解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行转化．3．设f（x）=9x﹣2。

十堰市2015—2016学年度上学期期末调研考试高一数学参考答案及评分细则(2016.1)命题人：陈 强 审题人： 吴顺华 程世平一、选择题（5分×12=60分）12．解析：由题意得第一个图象为函数()f x 图象，第二个为函数()g x 图象，由图可得()0g x =有三个解，分别设为123=-,=0,=x m x x m （m <<112） 由(())0g f x t -=得()f x t m -=-或()0f x t -=或()f x t m -= 即()f x t m =-或()f x t =或()f x t m =+m <<1(1)2（1）由121<<t 及()f x 图象得()f x t =有4个解， （2）由121<<t 及m <<112得12t m <+<，()f x t m =+无解;1122t m -<-<，()f x t m =-有2个，3个或4个解 综上，(())0g f x t -=的解的个数为6个，7个或8个.即a 的可能取值为6，7或8. 故选D 二、填空题（5分×4=20分）13． (7,4)-- 14． 2(,1]3 15． 114a a -≤≤≥或 16． 15[,)2816.∴510222a ≤-<，解得514a <≤，得a φ∈ （2三、解答题（70分，答案仅供参考，其它解法酌情给分）17解：（Ⅰ）由,A C A A B φ==I I 得A 中元素不含2，4，5，6且A 中元素必在集合{1,2,3,4}C =中，故{1,3}A =， ………………3分 故方程20x px q ++=的两个根为1，3由韦达定理得3,4=-=q p . ………………5分(Ⅱ) 由题意得+=(3+4,2+)a kc k k r r ，2-=(-5,2)b a r r………………7分∵（+a kc r r ）//（2-b a r r）∴2(3+4)(5)(2+)0k k --=，解得1613k =- 故实数k 的值为1613-. ………………10分 18解：（Ⅰ）原式平方得2512cos sin -=αα，πθπ<<∴2………………1分 由57cos sin ,2549)cos (sin 2=θ-θ=α-α得：………………4分联立得34tan 53cos 54sin 57cos sin 51cos sin -=θ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=θ=θ⇒=θ-θ=θ+θ. ………………6分（Ⅱ）由tan ()απ+=3得tan 3α= ………………8分 ∴.734332tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos=-⨯+-=-+-=-+-=αααααα原式 ………………12分19解：（Ⅰ）因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以(0)0f = ………………2分 当0x <时，0x ->,由奇函数定义得x x x x x f x f 3)3()()(22--=+-=--= ………………5分 ∴223,0()3,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩………………6分（Ⅱ）由题意知函数2243,0g(x)43,0x x x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ………………7分由错误！未找到引用源。

2015-2016学年上海市宝山区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．=．2．若直线l的一个方向向量为（1，1），则l的倾斜角为．3．等差数列﹣1，4，…的前10项之和为．4．设向量=（﹣1，1）与=（0，2），则与的夹角为．5．若直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：x+（m﹣1）y+2=0垂直，则实数m=．6．已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=．7．过圆x2+y2=2上一点（1，1）的切线方程为．8．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=．9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出y的值为．10．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为．11．设a，b是两个不共线的向量，若=2+k，=+，=2﹣，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于．12．设线性方程组的增广矩阵为，解为，则三阶行列式的值为．13．已知P为椭圆+=1上任意一点，AB为⊙T：（x+1）2+y2=1的任意一条直径，则•的取值范围是．14．将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”．已知m＞1，设区间（m，+∞）内的三个正整数a，x，y满足：数列a2，，cos，x2﹣1为“弱等比数列”，则的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．用数学归纳法证明不等式＜1++++…+＜n+1（n＞1，n∈N*）的过程中，当n=2时，中间式子为（）A．1B．1+C．1++D．1+++16．“点P（1，2）在曲线x2+a2y2﹣5=0上”是“a=1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．给出下列命题：（1）若数列{a n}存在极限，则该极限唯一；（2）若直线l的倾斜角为α，则l的斜率存在且为tanα；（3）设向量与的夹角为α，若•＞0，则α为锐角；（4）到x轴、y轴距离相等的点的轨迹方程为x2﹣y2=0．其中所有正确命题的序号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）18．记a i=a1+a2+…+a n，a i=a1×a2×…×a n，设关于实数x的函数f n（x）=（n∈N*）满足f i（x）＜1，则x可取的值为（）A．﹣B．C．D．三、解答题（共5小题，满分74分）19．设直线l过点（2，3），且与直线x﹣2y+1=0平行，若点P（a，2）（a＞0）到直线l的距离为，试求a的值．20．已知向量，满足：||=1，||=2，且（﹣2）（2﹣）=5．（1）求与的夹角θ；（2）若（﹣m）⊥，求实数m的值．21．设{x n}是首项为x1=2，公比为q（q∈N*）的等比数列，且6x3是16x1与2x5的等差中项，数列{y n}的前n项和S n=n2（n∈N*）．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若不等式λx n y n﹣3x n+1≤n2•2n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．22．设点F1（﹣，0），F2（，0），动点P满足|PF1|+|PF2|=4，P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点D（t，0）（|t|＜2）作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原点，若直线l与x轴垂直，求△OAB面积的最大值；（3）设t=1，在x轴上，是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数，若不存在，说明理由．23．对于无穷数列{T n}，若正整数n0，使得n≥n0（n∈N*）时，有T n+1＞T n，则称{T n}为“n0～不减数列”．（1）设s，t为正整数，且s＞t，甲：{x n}为“s～不减数列”，乙：{x n}为“t～不减数列”．试判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）与函数y=﹣+2的图象关于直线y=x对称，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n）（n ∈N*），如果{a n}为“n0～不减数列”，试求n0的最小值；（3）设y n=，且x n﹣λy n=2n，是否存在实数λ使得{x n}为“f（f （））～不减数列”？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．2015-2016学年上海市宝山区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．=4．【解答】解：原式==，其中，=0，=0，所以，原式==4，故答案为：4．2．若直线l的一个方向向量为（1，1），则l的倾斜角为．【解答】解：∵直线l的一个方向向量为（1，1），∴直线l的斜率为k=1，设其倾斜角为α（0≤α＜π），由tanα=1，得．故答案为：．3．等差数列﹣1，4，…的前10项之和为215．【解答】解：∵等差数列﹣1，4，…的首项为﹣1，公差为5，∴．故答案为：215．4．设向量=（﹣1，1）与=（0，2），则与的夹角为．【解答】解：∵=（﹣1，1），=（0，2），∴，，则cos=．∴与的夹角为．故答案为：5．若直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：x+（m﹣1）y+2=0垂直，则实数m=．【解答】解：当m=1时，两条直线分别化为：x+y﹣1=0，x+2=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m≠1时，两条直线的斜率分别为：﹣m，，由于两条直线相互垂直，∴﹣m•=﹣1，解得m=．综上可得：m=．故答案为：．6．已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=8．【解答】解：由椭圆+=1的长轴在y轴上，则a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12．由焦距为4，即2c=4，即有c=2．即有2m﹣12=4，解得m=8．故答案为：87．过圆x2+y2=2上一点（1，1）的切线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：∵点（1，1）在圆上，∴过点（1，1）的圆x2+y2=2的切线方程为1×x+1×y=2，故答案为：x+y﹣2=0．8．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=1．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a20=a1+19d=1．故答案为1．9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出y的值为15．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=0，y=1满足条件x＜7，y=3，x=3满足条件x＜7，y=7，=6满足条件x＜7，y=15=9不满足条件x＜7，退出循环，输出y的值为15．故答案为：15．10．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为7．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．11．设a，b是两个不共线的向量，若=2+k，=+，=2﹣，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于﹣4．【解答】解：由于A，B，D三点共线，故∥，又=，=﹣=，故由可解得k=﹣4．故答案为﹣412．设线性方程组的增广矩阵为，解为，则三阶行列式的值为19．【解答】解：由题意可知：，是方程的解，解得：，∴=1×+（﹣1）×=﹣6﹣（﹣1）×5+（﹣1）×（1﹣1×21）=19，故答案为：19．13．已知P为椭圆+=1上任意一点，AB为⊙T：（x+1）2+y2=1的任意一条直径，则•的取值范围是[3，15]．【解答】解：∵•=（﹣）•（﹣）=•﹣•（+）+2=﹣|TA|•|TB|•cosπ﹣0+|TP|2=﹣1+|TP|2．∵T为椭圆的左焦点∴|TP|∈[a﹣c，a+c]=[2，4]∴•∈[3，15]．故答案为：[3，15]．14．将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”．已知m＞1，设区间（m，+∞）内的三个正整数a，x，y满足：数列a2，，cos，x2﹣1为“弱等比数列”，则的最小值为2．【解答】解：由题意，数列a2，，cos，x2﹣1为“弱等比数列”，则数列a2，，x2﹣1为等比数列，∴y2﹣1=a2（x2﹣1），即a2x2﹣y2=a2﹣1，由题意可知，a＞1，∴，则，∴，则==，当且仅当，即a=2（a＞1）时取等号．∴（a＞1，x＞1）．即的最小值为2．故答案为：2．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．用数学归纳法证明不等式＜1++++…+＜n+1（n＞1，n∈N*）的过程中，当n=2时，中间式子为（）A．1B．1+C．1++D．1+++【解答】解：用数学归纳法证明不等式＜1++++…+＜n+1（n＞1，n∈N*）的过程中，当n=2时，中间式子为1+++，故选：D．16．“点P（1，2）在曲线x2+a2y2﹣5=0上”是“a=1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：点P（1，2）在曲线x2+a2y2﹣5=0上，可得1+4a2﹣5=0，解得a=±1．∴“点P（1，2）在曲线x2+a2y2﹣5=0上”是“a=1”的必要非充分条件．故选：B．17．给出下列命题：（1）若数列{a n}存在极限，则该极限唯一；（2）若直线l的倾斜角为α，则l的斜率存在且为tanα；（3）设向量与的夹角为α，若•＞0，则α为锐角；（4）到x轴、y轴距离相等的点的轨迹方程为x2﹣y2=0．其中所有正确命题的序号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）【解答】解：（1）若数列{a n}存在极限，则该极限唯一，故正确；（2）若直线l的倾斜角为α，当α≠90°时，l的斜率存在且为tanα，故错误；（3）设向量与的夹角为α，若•＞0，则α为锐角或0，故错误；（4）到x轴、y轴距离相等的点的轨迹方程为|x|=|y|，即x2﹣y2=0．故正确的命题为：（1）（4），故选：C18．记a i=a1+a2+…+a n，a i=a1×a2×…×a n，设关于实数x的函数f n（x）=（n∈N*）满足f i（x）＜1，则x可取的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵a i=a1+a2+…+a n，a i=a1×a2×…×a n，设关于实数x的函数f n（x）=（n∈N*）满足f i（x）＜1，∴+…+＜1，分别代入x=﹣，x=，x=，x=，得到x可取的值为．故选：D．三、解答题（共5小题，满分74分）19．设直线l过点（2，3），且与直线x﹣2y+1=0平行，若点P（a，2）（a＞0）到直线l的距离为，试求a的值．【解答】解：直线l过点（2，3），且与直线x﹣2y+1=0平行的斜率为：，所求直线方程为：y﹣3=（x﹣2），即直线方程为：x﹣2y+4=0，点P（a，2）（a＞0）到直线l的距离为，可得：=∵a＞0，∴a=1（a=﹣1舍去）．20．已知向量，满足：||=1，||=2，且（﹣2）（2﹣）=5．（1）求与的夹角θ；（2）若（﹣m）⊥，求实数m的值．【解答】解：（1）∵（﹣2）（2﹣）=5，∴2||2﹣5+2||2=5，∴=1．∴cosθ==．∴θ=．（2）∵（﹣m）⊥，∴（﹣m）•=0，∴﹣m2=0，∴1﹣4m=0，解得m=．21．设{x n}是首项为x1=2，公比为q（q∈N*）的等比数列，且6x3是16x1与2x5的等差中项，数列{y n}的前n项和S n=n2（n∈N*）．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若不等式λx n y n﹣3x n+1≤n2•2n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由6x3是16x1与2x5的等差中项，可得12x3=16x1+2x5，即有6q2=8+q4，解得q2=4或q2=2，由q∈N*，可得q=2．又x1=2，可得x n=x1q n﹣1=2n（n∈N*），（2）由数列{y n}的前n项和S n=n2（n∈N*），可得y1=S1=1，n＞1时，y n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．综上可得y n=2n﹣1（n∈N*），λx n y n﹣3x n+1≤n2•2n对任意n∈N*恒成立，即为λ•2n•（2n﹣1）﹣3•2n+1≤n2•2n对任意n∈N*恒成立，即有λ≤对任意n∈N*恒成立，由=[（2n﹣1）++2]≥[2+2]=3，当且仅当2n﹣1=，即n=3时，取得最小值3．从而λ≤3．即实数λ的取值范围是（﹣∞，3]．22．设点F1（﹣，0），F2（，0），动点P满足|PF1|+|PF2|=4，P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点D（t，0）（|t|＜2）作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原点，若直线l与x轴垂直，求△OAB面积的最大值；（3）设t=1，在x轴上，是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由动点P满足|PF1|+|PF2|=4，P的轨迹曲线C是椭圆，中心在原点，半长轴a=2，半焦距c=，b2=a2﹣c2=1．∴曲线C的方程为：=1．（2）不妨设直线l：x=t与椭圆的交点为A（t，﹣y），B（t，y）（y＞0），把x=t代入椭圆方程可得：y=，S△OAB=|t|≤=1，当且仅当|t|=，即t=时取等号，此时D，综上可得：△OAB面积的最大值为1．（3）设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），可设直线l：x=λy+1，联立，化为（λ2+4）y2+2λy﹣3=0，△=4λ2+12（λ2+4）＞0，∴x1+x2=，∴x1•x2=，x1=λy1+1，x2=λy2+1．假设在x轴上，存在一点E（m，0），使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数，即k AE•k BE=s≠0．∴==s，﹣3=s（m2﹣4）λ2+4s（m﹣1）2（m为常数，s是非零常数）．要使得等式对λ恒成立，则，解得，或．即当定点E是椭圆的右顶点（2，0）时，非零常数s=﹣．当定点E是椭圆的左顶点（﹣2，0）时，非零常数s=﹣．综上可得：当定点E是椭圆的右顶点（2，0）时，非零常数s=﹣．当定点E是椭圆的左顶点（﹣2，0）时，非零常数s=﹣．23．对于无穷数列{T n}，若正整数n0，使得n≥n0（n∈N*）时，有T n+1＞T n，则称{T n}为“n0～不减数列”．（1）设s，t为正整数，且s＞t，甲：{x n}为“s～不减数列”，乙：{x n}为“t～不减数列”．试判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）与函数y=﹣+2的图象关于直线y=x对称，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n）（n ∈N*），如果{a n}为“n0～不减数列”，试求n0的最小值；（3）设y n=，且x n﹣λy n=2n，是否存在实数λ使得{x n}为“f（f （））～不减数列”？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）对于甲：{x n}为“s～不减数列”⇔x s＜x s+1＜x s+2＜…，对于乙：{x n}为“t～不减数列”⇔x t＜x t+1＜x t+2＜…，∵s，t为正整数，且s＞t，∴乙⇒甲，显然甲推不出乙，故甲是乙的必要条件，从而“甲是乙的充分条件”是假命题．（2）∵函数y=f（x）与函数y=﹣+2的图象关于直线y=x对称，∴函数y=f（x）与函数y=﹣+2互为反函数，故y=f（x）=，=f（a n）得a n+1=，由a n+1由a1=3得a2=﹣1＜1，假设a k=＜1（k≥2），=＜1，则a k+1即n≥2时，a n＜1；﹣a n=﹣a n=＞0（n≥2），于是a n+1故a2＜a1，且a2＜a3＜a4＜a5＜…，故n0的最小值为2．（3）假设存在实数λ使得{x n}为“f（f（））～不减数列”，∵f（f（））=1，∴{x n}是单调递增数列，∵cosnπ=（﹣1）n，且f（）=，∴y n=，又∵x n=2n+λy n，故当n≥3时，x n﹣x n﹣1=2n﹣1+（﹣1）nλ（+2）＞0，（﹣1）nλ＞﹣，若n为大于或等于4的偶数，则有λ＞﹣恒成立，故λ＞（﹣）max=﹣=﹣，故λ＞﹣，若n为大于或等于3的奇数，则有λ＜恒成立，故λ＜（）min==，故λ＜，又当n=2时，x2﹣x1=（4+λ）﹣（2+λ）＞0，故λ＜8；综上可知，λ的取值范围为（﹣，）．。