2005年全国奥赛复赛试题

2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨2005年全国高中数学联赛加试第2题：设非零向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)，把它们当作两个方向，假定这两个方向都从原点(0，0， 0)发出，请找出一个向量c，用它表示这两个方向之间的夹角为60°.2005年全国高中数学联赛加试第2题讨论起源于几何学和向量计算，其中又引出了四边形构造与和弦定理、几何向量的内积等数学知识的应用。

本题的通解犹如一部普通高中几何课本中的例题，只是这一次需要计算出两个方向之间的夹角，而非表示几何图形的解析式或绘制出的图形。

本题的解法可以分为如下几个步骤：首先，用一组给定的数据求取非零向量a、b的三维向量，即(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，其中a1、a2、a3、b1、b2、b3都是实数；然后，计算出a和b的内积，即|a|*|b|*cos(θ)，其中θ代表a和b之间的夹角；接着，构建一组未知的实数c1、c2、c3，把它们当作向量c的三维向量，即(c1,c2,c3)，这一步是关键，c的值将决定a和b之间的夹角是否为60°；最后，计算出a、b、c之间的内积，即|a|*|b|*cos(60°)=|a|*|b|*cos(θ)，将a、b、c之间的三维向量插入上式中即可得到向量c的值，即(c1,c2,c3)。

从数学角度看，本题解法是非常巧妙的，需要理解数学基础知识，如四边形构造与和弦定理、几何向量的内积等才能求得本题的正确答案。

在构建c的三维向量时，除了运用到了四边形构造与和弦定理，还有条件约束的相关知识，这样才能保证c的三维向量最终满足题目要求，即(c1,c2,c3)表示a和b之间的夹角为60°.本题从算法实现的角度而言，可以利用最小二乘法、梯度下降法、共轭梯度法等算法来求解最优的三维向量(c1,c2,c3)。

当然，这需要大量的计算量，而基于计算机技术的一些算法可以让我们更容易地得出答案。

2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案一、选择题：1．已知,a b N ∈，100a 是一个120位数，ba 是一个10位数，则b 的值是 （ ）()A 7()B 8()C 9()D 10解：B ．由题设：100119lg 1209lg 10ba a ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩，从而9101.19 1.2b ≤<．∴ 8b =． 2．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1,2,,8 ．若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法的种数为（ ）()A 31()B 27()C 54()D 62解：A ．123836++++= ．1到8中任取四个不同的数求和，可以得到4870C =种答案（可以相同）． 其中和为18的共有8种：()8,7,2,1，()8,6,3,1，()8,5,4,1，()8,5,3,2，()7,6,4,1，()7,6,3,2，()7,5,4,2，()6,5,4,3．∴ 4个红球对应序号之和小于4个蓝球序号之和的排列数为708312-=． 3．若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱的体积的最小可能是 （ ）()A 48π()B 50π()C 54π()D 66π解：C ．设圆柱底面半径为r ，高为h ．则2222r h r rh πππ=+，即22rh r =-，2r >． 从而322222r r V r r r ππ==--．令20t r =->，则 ()()3222816121811272t V t t t t t t t π+⎛⎫==+++=-+++≥ ⎪⎝⎭． ∴ 当1t =时，V 取最小值54π．4．已知,αβ均为锐角，且满足()2sin cos ααβ=-，则α与β的关系 （ ）()A αβ<()B αβ=()C αβ>()D 2παβ+=解：C ．由题设：2sin cos cos sin sin ααβαβ=+． ∴ sin cot cos sin sin ααβββ=⋅+>． ∴ αβ>．5．正四面体的4个面上分别写着1，2，3，4．将4个这样的均匀正四面体投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 （ ）()A 18()B 964()C 116()D 1316解：D ．()4434424213416-+⨯=． 6．甲、乙、丙，3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛的第10局的输方 （ ）()A 必是甲()B 必是乙()C 必是丙()D 不能确定解：A ．丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛．又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局． 三个人之间总共打了（8+4+13）=25局．考察甲，总共打了12局，当了13次裁判．所以他输了12次．所以当n 是偶数时，第n 局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲． 二、填空题：7．已知向量(a =，()b = ．若正数k 和t 使得()21x a t b =++ 与1y ka b t =-+垂直．则k 的最小值是 ．解：2．a b == 0a b ⋅= ．2210x y ka t b t ⎛⎫=⋅=-++ ⎪⎝⎭，即12k t t =+≥．8．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点．若凸n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其他整点，则n = ．解：3n =或4．3n =或4显然满足题意．当5n ≥，考察其顶点()111,A x y ，()222,A x y ，()333,A x y ，()444,A x y ，()555,A x y ，由抽屉原理知道必然有两点的横坐标与纵坐标的奇偶性完全相同，不妨设为(),i i i A x y ，(),j j j A x y ，i j ≠．则i j A A 的中点必然是一个整点．而由凸n 边形的性质知道，线段i jA A 的中点必然在该多边形的内部或者边上．9．若实数,x y 满足0x ≥，且{}max 1,12x x y x --≤≤+．则二元函数(),u x y2x y =+的最小值是 ．解：1．由题意：12x y x -≤≤+，且0x ≥． ∴ (),u x y 2x y =+312, 11211, 01x x x x x x -≥≥⎧≥-+=⎨+≥≤<⎩．10．设方程1nx =（n 为奇数）的n 个根为1211,,,,n x x x - ，则1111n k kx -==+∑ ． 解：12n -． 22cos sin k k k x i n nππ=+，1,2,3,,1k n =- ．注意到2222cossin cos 2sin 2k k k k k x i i n n n n ππππππ--⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22cos sin n k n k n k i x n nππ---=+=．∴11111111111k k k n k k k k k k kx x x x x x x x x x -+=+=+=++++++． 而n 为奇数，所以1n -为偶数，从而111112n k kn x -=-=+∑．11．用{}x 表示实数x的小数部分，若()200518a =．则{}a a ⋅= ．解：1．记()200518b =，则01b <<，且1ab =．又((()2005200520052005200520051818rrrr rr r r a b CC--==-=⋅-⋅-∑∑(100220042212120050218kk k k C Z -++==⋅⋅∈∑．而()a a b b =-+，其中a b Z -∈，01b <<． ∴{}b a =．∴ {}1a a ab ==．12．已知P 、Q 、R 、S 是三棱锥A BCD -内的四点，且Q 、R 、S 、P 分别是线段PA 、QB 、RC 、SD 的中点，若用P ABC V -表示三棱锥P ABC -的体积，其余的类推．则:::P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----= ．解：8:1:2:4．记,P BCD H 为点P 到平面BCD 的距离．其余类推．设P V -∵ ,,::2S BCD P BCD H H SD PD ==．∴ 2S BCD V -=． ∵ ,,::2:1R BCD S BCD H H RC SC ==，∴ 4R BCD V -=． ∵ ,,::2:1Q BCD R BCD H H QB RB ==，∴ 8Q BCD V -=．设AP 延长后交平面BCD 于'P ．则':':Q BCD QP PP V -=∴ :'7:1QP PP =，又AQ QP =，∴ ':'15:1AP PP =．∴ 15A BCD V -=． 同理1Q ACD V -=，1S ABC V -=，1R ABD V -=．∴88P ABC S ABC V V --==，22P CDA Q CDA V V --==，244P ABD Q ABD R ABD V V V ---===． ∴ :::8:1:2:4P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----=．D三、解答题：13．设()12,,,2n P P P n ≥ 是1,2,,n 的任意一个排列．求证：1223211111112n n n nn P P P P P P P P n ----++++>+++++ ． 证：记12232111111n n n n A P P P P P P P P ---⎛⎫=++++ ⎪++++⎝⎭ ，()()()12231n n B P P P P P P -=++++++ ．则()21A B n ⋅>-．（1223P P P P +≠+，故等号不成立）而()()21212212123n n B P P P P P n n n =+++--≤+++--=+-∴()()()222221111322n n n n A Bn n n n n ---->≥>=+-+-+． 14．一医生知道某种疾病患者的自然痊愈率为0.25，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用．他事先决定，若这10个病人中至少有4个治好，则认为这种药有效，提高了痊愈率．否则认为无效．求（1）虽然新药有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通过实验却被否定的概率； （2）新药完全无效，但通过实验却被判断为有效的概率． 参考数据：解：设痊愈率为p ，恰好有k 个人痊愈的概率为k a ，0,1,2,,10k = ．则()10101kkk k a C p p -=-．（1）0.35p =，此时：01230.5138a a a a +++=．即新药有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通过实验却被否定的概率为0.5138． （2）新药完全无效，∴0.25p =，此时：()012310.2241a a a a -+++=．15．设双曲线2222:1x y S a b-=，()00,M x y S ∉，且000x y ≠．()00,N x y λλ，其中2200221x y a b λ=-．过点N 的直线L 交双曲线S 于,A B 两点，过点B 作斜率为2020b x a y 的直线交双曲线S 于点C ．求证：,,A M C 三点共线．证：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ．过点M 作斜率为2020b x a y 的直线m ，则直线m 的方程为 ()200020b x y y x x a y -=- ①设直线m 交NA 与点P 、交NC于点Q ，(),F F F x y 为BC 中点． 由,B C S ∈得：2222221x y a b -=，2233221x y a b-=． 两式相减后化简后可得：F F y y x x =．∴ F 在直线MN 上． 从而M为PQ 中点．设直线L 的斜率为k ，则直线L 的方程为()00y y k x y λλ-=-②故12,x x 是方程()22002211x k x x y a bλλ--+=⎡⎤⎣⎦的两根．整理得： ()()22220000002222221210x k y x y k x x x x a b a b a b λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⋅-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭FPQDG将2200221x y a bλ=-代入上式，得：()()22000022221210x ky k x x x x a b a b λλλλ⎛⎫⎛⎫--+-⋅-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其视为关于()0x x λ-的一元二次方程．由韦达定理，有002210201121x ky x x x x a b λλλλ-⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭③联立①②，消去y 得到0022011P ky x x x b a λλλ⎛⎫=-⎪--⎝⎭． 比较③式得：01020211P x x x x x x λλλ=+---． 从而211NP NA NB=+． 下面利用平几知识证明,,A M C 三点共线．首先假设,,A M C 三点共线，来证明：211NP NA NB=+．过A 做直线AD ∥BC ，交NC 与D ．设G 为AD 中点．由于AD ∥BC ∥PQ ，∴ ,,AD BC PQ 的中点,,G F M 共线（过点N ）． ∴NA AG AG AM AP NP NA NB BF FC MC BP NB NP -=====-．整理即得：211NP NA NB=+． 反之，用同一法可证明当211NP NA NB=+时,,A M C 三点共线．2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛(加试)试题参考答案一．锐角三角形ABC 的内切圆分别切,AB AC 边于点,D E ，,X Y 分别为ABC ∠和ACB ∠的平分线与DE 的交点，Z 为BC 边的中点．求证：当且仅当60A ∠=︒时，△XYZ 为正三角形． 证：记△ABC 的内心为I ，由()(1118022ADE AED A ∠=∠=︒-∠=得,,,B I Y D 四点共圆．又ID AB ⊥，故BY CY ⊥．则ZY ZB ZC ==．同理ZX ZB ZC ==，故ZX ZY =． 又ZY ZC =，∴ ZYC ZCY ACY ∠=∠=∠．从而 ZY ∥AC ．同理ZX ∥AB ． ∴当且仅当60A ∠=︒时，△XYZ 为正三角形．二．求与数列{}*2361,n n n n a n N =++-∈中每一项都互质的所有正整数．解：设质数3p >，由费马小定理得：()121mod p p -≡，()131mod p p -≡，()161mod p p -≡．记121p rp -=+，131p sp -=+，161p tp -=+，,,r s t Z ∈．则222211123611236p p p p rp sp tp a ----+++=++-=++-336r s tp ++=⋅ ∵ 2p a -为整数，而(),61p = ∴ 2|p p a -．又 424823a ==⨯，故没有质数与数列所有的项都互质． 综上所述，与{}n a 中所有项都互质的正整数只有1．三．设12345678A A A A A A A A 为一凸八边形，其中任意三条对角线不共点．我们把任意两条对角线的交点（不包含顶点）称为“扣”，把以这个八边形的四个顶点为顶点的凸四边形称为“子四边形”．求满足以下性质的最小正整数n ：可以找到n 个“扣”，并将它们染色，使得对任意{},1,2,3,4,5,6,7,8i k ∈，i k ≠，(),s i k 为定值．其中，(),s i k 表示以i A 、k A 为其中两个顶点，且对角线交点是一个染色的“扣”的“子四边形”的个数．解：由题目条件，容易看出，任意四个顶点组和“子四边形”一一对应，所有“子四边形”的对角线交点又与所有的“扣”一致，所以我们可以用无序四元集()1234,,,i i i i （{}1,2,3,4,5,6,7,8j i ∈，1,2,3,4j =）来标记以1234,,,i i i i A A A A 为顶点的“子四边形”及其对角线交点对应的“扣”．则原问题要求的性质转化为：找出n 个四元集，使得任意二元组(),x y （x y ≠，{},1,2,3,4,5,6,7,8x y ∈）在其中出现的次数相同．每个染色的四元集中有24C 个二元组，所以()22481,2n C C s ⋅=⋅，即()3141,2n s =，故14|n ，从而14n ≥．下面给出14n =的满足要求的染色方法：14个染色的“扣”为：{}1,2,3,4，{}5,6,7,8，{}1,2,5,6，{}3,4,7,8，{}1,2,7,8，{}3,4,5,6，{}1,3,5,7，{}2,4,6,8，{}1,3,6,8，{}2,4,5,7，{}1,4,5,8，{}2,3,6,7，{}1,4,6,7，{}2,3,5,8．AA 4567。

2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

） 二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。

如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。

2005年全国高中数学联赛加试题另解
李建泉; 王连笑
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2006(000)001
【总页数】5页(P12-16)
【作者】李建泉; 王连笑
【作者单位】天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所 300074; 天津市实验中学 300074
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005.6.4一.(10分) 设()()200523456131123143-++++=x x x x x x f ,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-215f 的值. 解:记215-=s ,满足12=+s s , (4分) ()()()[]()111311200520052232-=-=-+++=s s s s s f (6分)二.(15分) 设()αC 为()αx +1的Maclaurin 级数中2005x 项的系数,试求积分()⎰∑=+⋅---=1020051d 11y ky y C I k解:()()()()()()()!20052005211,!200520041------=----=y y y y C C αααα()()()()!20052005211+++=---y y y y C , (5分)()()()()()()()2005!2005!2005!2006200521!20051d 1200521!20051d 11101200512005110=-=+++=++++=+---=⎰∑∑⎰==y y y y ky y y y y k y y C I k k (10分)三.(15分) 试证不等式: ππ222d sin 202->⎰x x 解:⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==πππππππ02020202d sin 1121d sin d sin 21d sin 21d sin t t t t t t t t t t t t t x x ,（7分） 设()=t f π+-t t 11， ()()0112133<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='t t t f π,()t f 在[]π,0上单调减少,(5分) ππππ222221121d sin 202-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎰x x , (3分) 四.(15分) 设()x f 在区间[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()211,00==f f ,试证: ()ηξηξ≠∈∃,1,0,,使得 ()()ηξηξ+='+'f f .解: 设 ()()()()22121211x x x f x f x F -+---=, (8分) ()x F 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,()021,00=⎪⎭⎫⎝⎛=F F ,由Rolle 定理,,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃ξ使得(),0='ξF 取⎪⎭⎫⎝⎛∈-=1,211ξη,得()()ηξηξ+='+'f f .五.(15分) 设()x f 在[]b a ,上有连续导函数,且()0=a f ,试证: ()()()()⎰⎰'-≤b aba x x f ab x x fd 2d 222解:()()()()()()⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=ba xa xa xa x x f a x t t f t t t f x fd )(d )(d 1d 2222(10分) ()()()⎰⎰'-≤b a ba x x f ab x x fd )(2d 222(5分)六.(15分) 设()x f 在[]π,0上连续,证明:两个不等式()[]()[]4d sin ,4d cos 022ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f 不能同时成立.解: 用反证法,设两个不等式同时成立,则()()()()()()2d sin ,2d cos 212212ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f (3分)()()()()()()()πππππ<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤-=⎰⎰⎰221221022d sin d cos d cos sin xx x f x x x f x x x 矛盾.说明两个不等式不能同时成立. (12分)七.(15分) 考察所有的具有如下性质的正整数,它们的十进制表示中没有数字9,证明由所有这样的正整数的倒数构成的级数收敛.解:设m S 表示所考察的级数的m 项的部分和,数列{}m S 单调递增,只需证明数列{}m S 有上界. (3分)对于给定的部分和m S ,令n 为整数m 中数字的个数,恰好有n 个数字,并且十进制表示中每个数字都不是因9的整数个数是198-⨯n 个(第一个数字不为零),(如1=n ,即;8,,2,12=n ,即 ,3;88,80;;28,,20;18,,10=n ),于是它们的倒数的和小于111098--⨯n n 于是80109109181098109810988212=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+<- n m S , 所以原级数收敛. (12分)。

生物奥赛复赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于细胞膜的描述，哪一项是不正确的？A. 细胞膜主要由磷脂和蛋白质组成B. 细胞膜具有流动性C. 细胞膜上的蛋白质都是固定不动的D. 细胞膜具有选择透过性答案：C2. 光合作用中，光能被转化为化学能的场所是：A. 叶绿体B. 线粒体C. 核糖体D. 高尔基体答案：A3. DNA复制过程中，新合成的DNA链与模板链之间的碱基配对是：A. A-T 和 G-CB. A-G 和 C-TC. A-C 和 G-TD. A-A 和 G-G答案：A4. 下列哪一项不是细胞凋亡的特征？A. 细胞核缩小B. 细胞膜破裂C. 染色质凝聚D. 细胞体积缩小答案：B5. 下列关于酶的描述，哪一项是不正确的？A. 酶是一类生物催化剂B. 酶可以降低反应的活化能C. 酶的活性受温度和pH值的影响D. 酶的化学本质都是蛋白质答案：D6. 下列关于基因突变的描述，哪一项是不正确的？A. 基因突变是可遗传的变异B. 基因突变可以是自然发生的C. 基因突变是定向的D. 基因突变可以增加种群的遗传多样性答案：C7. 下列关于生态系统的描述，哪一项是不正确的？A. 生态系统包括生物部分和非生物部分B. 生态系统具有自我调节能力C. 生态系统的能量流动是单向的D. 生态系统的物质循环是循环的答案：D8. 下列关于遗传信息的描述，哪一项是不正确的？A. 遗传信息储存在DNA中B. 遗传信息可以通过转录和翻译过程表达C. 遗传信息是双链DNA上的碱基序列D. 遗传信息的表达是单向的答案：C9. 下列关于植物激素的描述，哪一项是不正确的？A. 植物激素可以调节植物的生长发育B. 植物激素在植物体内合成C. 植物激素可以由植物的任何部位产生D. 植物激素的作用具有两重性答案：C10. 下列关于动物行为的描述，哪一项是不正确的？A. 动物行为是动物适应环境的表现B. 动物行为可以是先天性行为或学习行为C. 动物行为总是有利于动物的生存和繁殖D. 动物行为可以是个体行为或群体行为答案：C二、填空题（每空2分，共20分）11. 细胞周期包括____和____两个阶段。