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解三角形讲义

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解三角形 一、基础知识 1．正弦定理 asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．

正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A. 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C. 3．三角形的面积公式

(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B；

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2. 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4．用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．

第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形 考法(一) 正弦定理解三角形 [典例] (1)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________. [解析] (1)由正弦定理可得sin B＝bsin Aa＝2×sin 30°3＝13，∵a＝3>b＝2，∴B1－sin2B＝223. (2)∵sin B＝12且B∈(0，π)，∴B＝π6或B＝5π6，又∵C＝π6，∴B＝π6，A＝π－B－C＝2π3. 又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin 2π3＝bsin π6，解得b＝1. 考法(二) 余弦定理解三角形 [典例] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC

的周长为( ) A．7.5 B．7 C．6 D．5

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C，则角B＝________. [解析] (1)∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·b2＋c2－a22bc＋a·a2＋c2－b22ac＝c2，整理可得2c2＝2c3，

解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5. (2)由正弦定理可得c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C＝ab＋c，∴c2－b2＝2ac－a2，∴c2＋a2－b2＝2ac，

∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝22，∵0[题组训练] 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )

A.24 B．－24 C.34 D．－34 解析：选B 由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝2a，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a×2a＝－24. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )

A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，

所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝3π4，

由正弦定理得sin C＝c·sin Aa＝2×222＝12，又0＜C＜π4，所以C＝π6. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C. (1)求角A的大小；(2)若cos B＝13，a＝3，求c的值．

解：(1)由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π3. (2)由(1)可知sin A＝32，因为cos B＝13，B为△ABC的内角，所以sin B＝223， 故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理asin A＝csin C得c＝asin Csin A＝3×3＋2232×6＝1＋263.

考点二 判定三角形的形状 [典例] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 [解析] (1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，

由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，得sin(B＋C)＝sin Asin A. 又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．

法二：因为bcos C＋ccos B＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝π2，因此△ABC是直角三角形． (2)因为sin Asin B＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，

所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形． [变透练清] 1.变条件若本例(1)条件改为“asin A＋bsin B解析：根据正弦定理可得a2＋b2所以△ABC是钝角三角形． 2.变条件若本例(1)条件改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，那么△ABC的形状为________． 解析：因为c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)， 所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A， 所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，

所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形． 3.变条件若本例(2)条件改为“cos Acos B＝ba＝2”，那么△ABC的形状为________． 解析：因为cos Acos B＝ba，由正弦定理得cos Acos B＝sin Bsin A，所以sin 2A＝sin 2B.由ba＝2，可知a≠b，所以A≠B.又因为A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋B＝π2，所以C＝π2，于是△ABC是直角三角形． 答案：直角三角形

[课时跟踪检测] A级 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Aa＝cos Bb，则B的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选B 由正弦定理知，sin Asin A＝cos Bsin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定

解析：选C 由正弦定理得bsin B＝csin C，∴sin B＝bsin Cc＝40×3220＝3>1. ∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 3．在△ABC中，cos B＝ac(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选A 因为cos B＝ac，由余弦定理得a2＋c2－b22ac＝ac，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形． 4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝23，则b＝( ) A．14 B．6 C.14 D.6

解析：∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b＝6.

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且a>b，则B＝( ) A.π6 B.π3C.2π3 D.5π6 解析： ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝12sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝12sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝12，即sin B＝12.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝π6.

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2023届高三数学一轮复习专题 解三角形 讲义 (解析版)

2023届高三数学一轮复习专题 解三角形 讲义 (解析版)

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

高中数学专题讲义：利用正(余)弦定理破解解三角形问题

高中数学专题讲义：利用正(余)弦定理破解解三角形问题


第二步:定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步:求结果.
类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状
【例 3】在 中，
，
.
（1）求证:
是直角三角形；
（2）若点 在 边上，且
，求 ．
【答案】（1）见解析；（2）
（2）设
，则
所以 在
中，
，
，
，
， ，
，
由正弦定理得，
，
所以 【点睛】 本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一 定的计算 【例 4】【浙江省“七彩阳光”联盟高三期初联考】在 中，角 所对的边分别为 ，已 知且 （1）判断 的形状；
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
bsinA＜a
关系式 a＜bsinA a＝bsinA
a≥b
a＞b
a≤b
＜b
解的 个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
4.三角形常用的面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝21bcsinA＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
高中数学专题讲义:利用正(余)弦定理破解解三角形问题
考纲要求:
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 S 1 absin C . 2
基础知识回顾:
1.sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形:(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
高考考点复习讲义-27解三角形1

高考考点复习讲义-27解三角形1

27解三角形1【考点知识】正弦定理、余弦定理及其应用 B 【课前预习】1. 在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 2. 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． 则sin A = . 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ .4.已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos 2C ＝0， 则角A 、B 、C 的大小分别为 ， ， ．5.△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cosB ＝34．则cotA+cotC= . 【典例分析】例１在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3c os =A （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值【课后反思】例2设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．【巩固练习】1.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =2.ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A = 时，cos 2cos2B CA ++取得最大值。

3.已知向量m =(sin A ,cos A ),n=1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.4.在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．27参考答案 【课前预习】1.6π 2. 3π 3. 23π 4. 32 5.12【典例分析】例１3π例2max 2sin()23y y πθ=-+=+【巩固练习】1.233ππ或2. 2574. sin B =S =。

精品数学讲义—解三角形问题

精品数学讲义—解三角形问题

解三角形问题.一 基础知识1 三角形性质1.1任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边；1.2三角形中大边对的角也大；三角形中大角对的边也大；2 余弦定理、正弦定理及面积公式2.1余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=,2.2正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（2R 为外接圆直径）. 2.3面积公式2.3.1 三角形的面积等于底边长与其高乘积的一半； 2.3.2 B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===∆； 2.3.3 ))()((c s b s a s s S ---=∆其中s 为三角形周长的一半（海伦公式）.3 其它常用恒等式： 3.1 2cos 2sin,cos )cos( ,sin )sin(A C B A C B A C B =+-=+=+ 3.2 若B A B A cos sin ,2==+π3.3 ;tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++ 二、例题：1在三角形ABC 中，已知135cos =A ，53sin =B ，则C c os 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．6516或6556D ．6516- 2在三角形ABC 中，3=c ，1=b ， 30=B ，则三角形ABC 的面积积为（ ）A ．23或3B ．23或43C ．43或3D ． 3 3在三角形ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且1)cos(2=+B A ，求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC面积。

4例18在△ABC 中，B ＞Ａ且sin A 、sin B 是方程x 2－( 40cos 2)x +cos 240°－21=0的两根，求cos(2A －B )的值．5已知ΔABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知22（sin 2A-sin 2C ）=(a-b)sinB,ΔABC 的外接圆的半径为2，（1）求角C（2）求ΔABC 面积S 的最大值6已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B)＝53，sin(A －B)＝51。